Aula 7 PROBABILIDADE

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CURSO DE ENGENAHRIA CIVIL/PRODUÇÃO
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADA À ENGENHARIA
 Probabilidade
Tema da Apresentação
Probabilidades
O estudo de probabilidades diz respeito a experiências aleatórias, cujo resultado não pode ser conhecido "a priori" antes que a experiência seja efetivamente realizada e o seu resultado observado. Embora o resultado de uma experiência aleatória seja imprevisível existe certo tipo de regularidade presente neste tipo de experiência, e isto nos permite criar modelos para representar fenômenos aleatórios.
Tema da Apresentação
Probabilidades
O estudo da probabilidade vem da necessidade de em certas situações, prevermos a possibilidade de ocorrência de determinados fatos.
Tema da Apresentação
Probabilidades
Experimento Aleatório 
Experimentos cujos resultados podem apresentar variações, mesmo quando realizados em condições
 praticamente iguais.
Ex.: Lançamento de um dado
 Observação do sexo de recém-nascidos
 Lançamento de uma moeda
 Jogar duas moedas
Tema da Apresentação
Probabilidades
Espaço Amostral ( S )
 
Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
Ex.: S1 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } (lançamento de um dado)
 S2 = { M, F }
 S3 = { C , K } onde, C = cara K= coroa
 S4 = { 0 , 1 , 2 , 3 ,... } (números naturais)
 S5 = { CC, CK, KC, KK } (Lançamento de duas moedas)
Tema da Apresentação
Probabilidades
Evento
É qualquer subconjunto do espaço amostral, geralmente denotado por letras maiúsculas.
Quando lançamos um dado ou uma moeda, chamamos a ocorrência deste fato de evento. Qualquer subconjunto de um espaço amostral é um evento.
 
E = lançamento de um dado
S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
A = sair face par
Tema da Apresentação
Probabilidades
DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE CLÁSSICA
 
Suponha que uma experiência aleatória tem apenas um número finito de resultados possíveis.
Seja A um evento associado a essa experiência aleatória. Então a probabilidade do evento A é dada por:
 
P(A)= N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A
 N. º total de casos possíveis
 
P(A) – probabilidade de ocorrer o evento A
f – número de casos FAVORÁVEIS à ocorrência de A
p – Número de casos POSSÍVEIS
Tema da Apresentação
Probabilidades
DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE EMPÍRICA
Tema da Apresentação
Probabilidades
DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE EMPÍRICA
Tema da Apresentação
Probabilidades
DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE SUBJETIVA
Tema da Apresentação
Probabilidades
Tema da Apresentação
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Importante:
A probabilidade varia entre 0 e 1:
Caso seja igual a um chama-se EVENTO CERTO.
Caso seja igual a zero chama-se EVENTO IMPOSSÍVEL. 
Tema da Apresentação
Probabilidades
ESPAÇO AMOSTRAL EQUIPROVÁVEL
  
A probabilidade de um evento ocorrer (Luís voltar para casa primeiro) considerando-se um espaço amostral (Pedro, João e Luís) é igual a razão do número de elementos do evento (1, apenas Luís) para o número de elementos do espaço amostral (3, o número de irmãos que foram brincar na rua), desde que espaço o amostral seja um conjunto equiprovável, ou seja, todos os seus elementos tenham a mesma possibilidade de ocorrer (as condições de retorno para casa são as mesmas para os três irmãos).
Tema da Apresentação
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Probabilidade condicional
Tema da Apresentação
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Probabilidade condicional
Tema da Apresentação
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Probabilidade condicional
Tema da Apresentação
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Eventos Mutuamente Exclusivos
Tema da Apresentação
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Eventos Mutuamente Exclusivos
Tema da Apresentação
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Eventos independentes
Tema da Apresentação
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Eventos independentes
Tema da Apresentação
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Eventos Complementares
Tema da Apresentação
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Eventos Complementares
Tema da Apresentação
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Eventos Complementares
Tema da Apresentação
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Teorema do produto
Para eventos independentes:
P(A e B) = P(A). P(B)
Para eventos dependentes:
P(A e B) = P(A). P(B/A)
 
Exemplo: Em um saco temos dez bolas, quatro brancas e seis vermelhas. Iremos fazer o sorteio de 2 bolas (com reposição), qual a probabilidade de sair uma bola branca e uma bola vermelha desse sorteio?
 
P(B e V)= P(B) . P(V)= 4/10 . 6/10 = 24/100
Tema da Apresentação
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Teorema da Soma
Para eventos independentes:
P(A ou B) = P(A) + P(B)
Para eventos dependentes:
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)
  
Exemplo: Suponha que tenhamos uma urna com quatro bolas, duas pretas, uma azul e uma verde. Qual a probabilidade de sair uma bola azul ou verde do primeiro sorteio?
P(A) = ¼
P(V) = ¼
P(A ou V) = ¼ + ¼ = ½ = 0,5 = 50%
Tema da Apresentação
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Teorema da Soma
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Tema da Apresentação
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Teorema da Soma
Tema da Apresentação
Probabilidades
 Exemplo 1
1)Um dado é lançado. Qual é a probabilidade de obtermos um número divisor de 6? 
Como vimos acima, o espaço amostral do lançamento de um dado é:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Como estamos interessados apenas nos resultados divisores de 6, o evento E é representado por:
E = { 1, 2, 3, 6 }Então n(E) = 4 e n(S) = 6, portanto:
Podemos também apresentar o resultado na forma de uma porcentagem: A probabilidade de se obter um número divisor de 6 é 2/3 ou 66,67%.
Tema da Apresentação
Probabilidades
 Exemplo 2
Qual a probabilidade de uma pessoa ganhar na Mega Sena jogando 1 volante com 6 números?
Tema da Apresentação
Probabilidades
 SOLUÇÃO
Primeiramente precisamos calcular o tamanho do Espaço Amostral, isto é, o número de combinações possíveis para um volante com 60 números. Podemos utilizar a noção de Número Binomial
Tema da Apresentação
Probabilidades
 SOLUÇÃO
Tema da Apresentação
Probabilidades
 Exemplo 3
Tema da Apresentação
Probabilidades
SOLUÇÃO
Tema da Apresentação
Probabilidades
 Exemplo 3
Tema da Apresentação
Probabilidades
SOLUÇÃO
Tema da Apresentação
Probabilidades
 Exemplo 4
Tema da Apresentação
Probabilidades
SOLUÇÃO
Tema da Apresentação
Probabilidades
 Exemplo 5
Tema da Apresentação
Probabilidades
SOLUÇÃO
Tema da Apresentação
Probabilidades
SOLUÇÃO
Tema da Apresentação
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Teorema da Probabilidade Total
Tema da Apresentação
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Teorema da Probabilidade Total
 Exemplo 
Tema da Apresentação
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Teorema da Probabilidade Total
 Solução 
Tema da Apresentação
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Teorema da Probabilidade Total
 Solução 
Tema da Apresentação
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Teorema de Bayes
Tema da Apresentação
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Teorema de Bayes
 Exemplo 
Tema da Apresentação
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Teorema de Bayes
 Solução 
Tema da Apresentação
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Teorema de Bayes
 Solução 
Tema da Apresentação
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Teorema de Bayes
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 Solução 
Tema da Apresentação
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VAMOS ÀS ATIVIDADES !
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Tema da Apresentação