U02 A05 FEMDIST CAMPOE 2D3D

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AULA 5: CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO PARA DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES
	OBJETIVOS
calcular o campo elétrico para QUALQUER distRibuição contínua de carga
identificar e expressar os elementos de superfície e de volume 
5.1 Elementos de superfície e de volume
Para resolver problemas que envolvem o cálculo do campo elétrico de distribuições contínuas de carga em duas e três dimensões, é importante conhecer os elementos de volume . Ou seja:
(a) Distribuição superficial de cargas: aqui o elemento de volume se reduz ao elemento de área:
 
 • para coordenadas cartesianas em uma superfície plana, como ilustra a figura 4.2a;
 • para coordenadas polares (por exemplo, em um disco, figura 5.1b.
 
Figura 5.1: Elementos de área no plano: (a) coordenadas cartesianas e (b) polares.
A densidade volumétrica de cargas se reduz à densidade superficial σ (número de cargas por unidade de área).
 (c) Distribuição volumétrica de cargas: o elemento de volume pode ser expresso das seguintes por 
 • para coordenadas cartesianas, figura 5.2a;
 • para coordenadas cilíndricas, figura 5.2b;
 • para coordenadas esféricas, figura 5.2c.
A densidade volumétrica de cargas, chamada de  indica o número de cargas por unidade de volume.
Figura 5.2: Elementos de volume: (a) coordenadas cartesianas, (b) cilíndricas e (c) esféricas.
5.2 CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO PARA DISTRIBUIÇÕES DE CARGA EM DUAS DIMENSÕES
Antes de prosseguir é importante relembrar a discussão do item 4.1 sobre os problemas que envolvem o cálculo do campo elétrico de distribuições contínuas de carga, tendo em mente que os passos a seguir são os mesmos. Vamos então começar com o exemplo 5.1 da espira metálica. 
	EXEMPLO 5.1
Considere uma espira metálica de raio carregada com uma carga total positiva, como mostra a figura 5.1. Calcule o campo elétrico no eixo que passa pelo centro da espira.
Figura 5.1: Espira carregada com uma carga Q.
SOLUÇÃO: Da figura, vemos que:
a) Para qualquer no aro, a distância que o localiza a partir do centro é sempre .
b) A localização do ponto de observação é .
c) A distância entre e é .
 Simetria: Vemos que, pela simetria do problema, o campo gerado por qualquer elemento de carga , terá um correspondente simétrico com relação à origem, cujo campo terá uma componente horizontal idêntica e na vertical de mesmo módulo e sentido. A carga total na espira tal que 
O elemento diferencial do campo gerado por é então: 
 
Tal que	
Como vem: 	
Repare que o integrando não depende de . Fica então, muito fácil: 
	 (5.1)
Note que o campo na origem é nulo, como seria de se esperar por simetria.
Outra vez, se , devemos obter o campo de uma carga puntiforme. O parâmetro adimensional que caracteriza essa condição é:
	
Reescrevendo: 
	
Usando a expansão em série de Taylor para dada no Apêndice D, obtemos imediatamente: 
	 (5.2)
	Atividade 5.1
	
Qual é a força exercida sobre uma carga =10,0 μC colocada sobre o eixo do anel e à distância de 1,0 m do seu centro, se a carga do anel for de 5,5 μC?
	EXEMPLO 5.2
Consideremos um aro uniformemente carregado, com densidade superficial de carga , e calcule o campo elétrico na origem do sistema de coordenadas da figura 5.2.
 
 Figura 5.2: Aro uniformemente carregado.
SOLUÇÃO: Aqui novamente por simetria, o campo na direção se anulará, visto que haverá um elemento que gera um campo na direção de negativo. Devemos calcular então: 
	
ou: 
	
	
	 (5.3)
	Atividade 5.2
Qual é a força exercida sobre uma carga q=10,0 μC colocada à distância de 1,0 m do anel do Exemplo 5.2, supondo esta carga de 6,0 μC?
	EXEMPLO 5.3
Considere um disco de raio R com densidade superficial uniforme de carga em sua face superior. Calcule o campo elétrico gerado por ele no ponto situado sobre seu eixo.
 
 Figura 5.3: Campo elétrico gerado por um disco carregado.
SOLUÇÃO: Tendo identificado todos os elementos essenciais ao nosso cálculo na figura, notemos ainda que, outra vez, por simetria, teremos apenas resultado não nulo para o campo na direção . A carga total no disco é tal que O elemento infinitesimal de campo é: 
	
Tal que o campo é dado por 	 
E como 	
A integração em pode ser feita imediatamente e dá um fator . A integral é simples:
	
	
Finalmente, substituindo na expressão para o campo. Vem:
 	 (5.4)
	Atividade 5.3
	Calcule o campo elétrico para pontos muito distantes do disco do exemplo 5.3
	 EXEMPLO 5.4 
	 SOLUÇÃO ALTERNATIVA PARA O PROBLEMA DO DISCO CARREGADO
	
	Ao invés de resolvermos o problema com a integração direta do campo como acima, podemos resolver o problema dividindo o disco em elementos de área dσ, constituidos por anéis de raio r e espessura dr como mostrado na Figura 5.4.
	
	
O elemento de área do anel é: 
	
	 
	Figura 5.4: Disco plano com distribuição superficial de carga homogênea.
	
	Então, o campo elétrico no ponto situado à distâcia z do centro do anel é:
	
	
 
	
	Esta integral foi feita no Exemplo 4.3. O resultado então é:
	
	
 (5.5)
	Atividade 5.4
	
Qual seria o valor do campo elétrico caso ? Nesse caso você poderia considerar o disco como um plano infinito de cargas?
5.3 CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO EM DISTRIBUIÇÕES DE CARGA EM TRÊS DIMENSÕES
O exemplo 5.5 mostra a dificuldade de calcularmos o campo elétrico de distribuições contínuas de carga, por causa das integrais (no caso mais geral, triplas) que aparecem durante o cálculo e exigem muito trabalho. É possível evitar ter que efetuar essas integrais e resolver o mesmo problema em algumas linhas efetuando no máximo uma integral unidimensional. O que nos proporciona isso é a lei de Gauss, que veremos na próxima unidade. 
Então, até como motivação para aprender a lei de Gauss, vamos antes disso mostrar como resolver o problema da esfera uniformemente carregada pelos métodos que já aprendemos. Depois vamos ver como a lei de Gauss simplifica tudo.
	EXEMPLO 5.5
	
Utilizando a Lei de Coulomb, encontre o campo elétrico em pontos internos e externos a uma esfera uniformemente carregada com densidade volumétrica de carga .
	
	SOLUÇÃO: O procedimento é idêntico ao que adotamos anteriormente. Temos que:
	 
	 1) escolher um referencial conveniente;
	
 2) escolher um elemento de carga arbitrário 
	 3) desenhar o campo por ele gerado;
	
 4) definir a posição do elemento de carga , relativa ao referencial escolhido;
	 5) definir a posição do ponto de observação;
	 6) definir a distância entre esses dois pontos, que é o que nos pede a lei de Coulomb. 
	
	Se fizermos isso cuidadosamente, o problema estará essencialmente resolvido e se resumirá a resolver integrais complicadas. Vamos escolher então o referencial. Como essa escolha é arbitrária, podemos colocar o ponto de integração sobre o eixo z. A lei de Coulomb nos fornece: 
	
	
	 (5.6)
	
	
O módulo do vetor pode ser escrito em termos das cordenadas esféricas. A figura 5.6 ilustra o sistema de coordenadas utilizado. Como:
	
 	 
	e
	
 	 
	vem: 
	
 	 
	 
	 Figura 5.5: Escolha do referencial: coordenadas esféricas.
	
	
Assim, de acordo com a equação (5.6) o elementode campo elétrico gerado por fica:
	
 
	
	
onde: 
	
	
 e: 
	
	
é o elemento de volume em coordenadas esféricas. Podemos agora verificar explicitamente que os campos nas direções e se anulam. Para isso, escreva a componente do elemento na direção e o integre sobre o volume da esfera:
	
 
 	
	
A integral sobre só envolve o que, integrado no intervalo de a se anula. Um argumento completamente análogo vai levar você a concluir que:
	
	
	
Então, o que nos resta é calcular . Entretanto, o cálculo desta integral é muito trabalhoso, como você verá a seguir. 
	
	
A integral que desejamos é: 
	
 
 
	
A integração sobre a variável pode ser efetuada fazendo a seguinte transformação de variáveis: 
	
 (5.7) 
 
	
Esta transformação afeta apenas a integral em , vamos escrevê-la como:
	
 
	O integrando pode ser preparado para integração da seguinte forma:
	
 = 
	Depois de usar a equação 5.7 no denominador: 
	
 = 
	
 
	 
 
	 
 
	
	Assim, ficamos com: 
	
 	 
	em que:
	
 
 
	
Fazendo uma nova transformação de variáveis: podemos notar que d o que nos permite reescrever a integral acima como: 
	 
	
 
	
Tal que 
	 
	
 	 
 
	
onde . É preciso ter muito cuidado com as duas raízes. Portanto é necessário usar o módulo e avaliar as duas opções ao fazer as contas. Enfim, agrupando os termos ficamos com: 
	
	 (5.7)
	Isto mostra que vamos obter expressões diferentes para o campo se o calcularmos em pontos dentro ou fora da esfera.
	
Para os pontos externos, ,logo: 
	
	 
	ou, 
	
 (5.8)
	
se .
	
Para pontos internos, temos que está entre zero e ; portanto devemos dividir a integral em duas partes e notar que a contribuição para é nula, enquanto que para , . Portanto:
	
	 (5.9)
	
E vemos portanto que o campo elétrico cresce para pontos dentro da esfera à medida que a carga interna à superfície esférica onde se encontra vai crescendo.
	
Um gráfico do campo elétrico obtido, como função da distância a partir da origem é mostrado na Figura 5.6. Note que o campo elétrico é contínuo para , conforme pode ser testado das duas expressões obtidas para ele, dentro e fora da esfera.
	
	
 
	 Figura 5.6: Gráfico do campo elétrico em função de r.
	ATIVIDADE 5.5
Mostre que o campo elétrico é contínuo em .
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS
Atividade 5.1
A força sobre a carga q =10,0 μC é:
 
Atividade 5.2
A força exercida pela carga no arco é:
 
Como conhecemos a carga Q=6,0 μC, temos, na equação acima, ou substituir λ por QL, sendo L o comprimento do aro, ou calcular λ com λ = Q/L. Vamos fazer a segunda opção. O comprimento do aro é dado por L = Rθ, sendo θ o ângulo subentendido pelo aro no seu centro. Notemos que o ângulo θ é medido em radianos. Assim, como θ=120° e R=1,0 m, temos:
 m.
A densidade linear de cargas é:
 
Então:
 
A direção da força é radial e o sentido, do meio do aro para o centro (note o sinal negativo na fórmula do campo elétrico e como o vetor unitário i está dirigido).
Atividade 5.3
Para calcular o campo elétrico para pontos muito distantes do disco utilize a equação 5.4 fazendo o limite para para . O parâmetro adimensional que caracteriza essa condição é:
	
Reescrevendo: 	
Usando a expansão em série de Taylor para dada no Apêndice D, obtemos imediatamente: 
	 
 	 
Atividade 5.4
Com a condição dada que o campo elétrico será 
Como veremos mais adiante, esse é o valor do campo elétrico de um plano infinito de cargas. 
Atividade 5.5
Você não encontrará resposta para essa atividade.
PROBLEMAS
P2.1) Duas cargas elétricas iguais e de sinais contrários valendo q=50 μC são separadas de 20 cm. Qual o campo elétrico no ponto médio da linha que une as cargas?
P2.2) Duas cargas elétricas iguais de 10 μC são alinhadas e separadas por uma distância de 10 cm. Calcule o campo elétrico gerado no ponto P da mediatriz da reta que une as argas, à distância de 15 cm dela.
P2.3) Qual deve ser o valor da carga elétrica se o campo gerado por ela vale 4,0 N/C à distância de 70 cm dela?
P2.4) Uma carga elétrica -5q é colocada à distância a de outra +2q. Em que ponto ou pontos da linha reta que passa pelas cargas o campo elétrico é nulo?
P2.5) A figura 3.9 representa um quadrupólo elétrico. Ele é composto por dois dipólos com momentos opostos. 
 
 Figura 3.9 – O quadrupólo elétrico
Calcule o campo elétrico do quadrupólo no ponto P, situado à distância r>>a.
P2.6) Duas pequenas esferas possuem uma carga total +140 μC. (a) Se elas se repeliriam com uma força de 60 N quando separadas de 0,60 m, quais são as cargas das esferas? (b) se elas se atraem com uma força de 60 N, quais as cargas em cada uma delas?
P2.7) Uma carga de +6,0 μC é colocada no ponto P de coordenadas (2,5;-3,0) m. Uma outra carga de -5,5 μC é colocada no ponto Q de coordenadas (-2,0;2,0) m. Determine o vetor campo elétrico gerado por elas no ponto R de coordenadas (3,0;1,5) m.
P2.8) Um elétron com velocidade m/s é lançado paralelamente a um campo elétrico uniforme N/C que o freia.
(a) Qual a distância que o elétron percorre até parar?
(b) Quanto tempo ele leva para parar?
c) Se o campo elétrico se estende por uma região de 0,80 cm de comprimento, que fração de energia cinética inicial o elétron perde ao atravessar o campo?
P2.9) Um elétron é lançado em um campo elétrico uniforme compreendido entre duas placas como mostrado na figura abaixo. 
 
 Figura 3.10 – Elétron no campo uniforme entre duas placas
A velocidade inicial do elétron é m/s e o ângulo de lançamento é °. Se N/C, =10,0 cm e =2,0 cm, (a) o elétron se choca contra alguma das placas? (b) se sim, qual e a que distância do lançamento ele se choca?
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