Cálculo III 12-2-4

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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Cieˆncias Exatas e Aplicadas
Ca´lculo Diferencial e Integral III
Engenharia Ele´trica
4a Prova - 12/04/2013
Professor E´den Amorim
Arte integral em campos vetoriais no espac¸o
1. (Campos Conservativos e Solenoidais)
(a) (4pts) Considere o campo
−→
F (x, y, z) = (yz, xz, xy). Verifique que
−→
F e´ conservativo e encontre
uma func¸a˜o potencial para o campo.
(b) (3pts) Dizemos que um campo
−→
F e´ solenoidal se div
−→
F = 0. Deˆ um exemplo de um campo
vetorial no espac¸o, na˜o constante, que seja ao mesmo tempo conservativo e solenoidal.
2. (A´rea de Superf´ıcie)
Considere a superfice Γ definida pela parte do paraboloide circular z = x2 + y2 que esta´ dentro do
cilindro x2 + y2 = 9.
(a) (4pts) Encontre uma parametrizac¸a˜o para Γ.
(b) (5pts) Sabendo que a a´rea de uma superf´ıcie S pode ser calculada pela integral de superf´ıcie
A(S) =
∫∫
S
dσ,
calcule a a´rea de Γ.
3. (Integrais de linha e superf´ıcie no espac¸o)
Ca´lcule as integrais abaixo, da forma que julgar mais conveniente.
(a) (5pts)
∫∫
S
−→
F · −→n dσ, onde −→F (x, y, z) = (3xy2, xez, 3x2z) e S e´ a superf´ıcie fechada formada
pelo cilindro x2 + y2 = 1 e os planos z = −2 e z = 2.
(b) (5pts)
∫
Q
−→
F · −→T ds, onde −→F (x, y, z) = (x + y2, y + z2, z + x2) e Q e´ o quadrado formado pelos
pontos (0, 0, 5), (0, 1, 5), (1, 1, 5), (1, 0, 5).
(c) (4pts)
∫
C
−→
F · −→T ds, onde −→F (x, y, z) = (yz, xz, xy) e C e´ o segmento de reta entre os pontos
(1,−2, 1
2
) e (2, 3, 2
3
).