AULA 03 TENSÃO E DEFORMAÇÃO

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AULA 03 - TENSÃO E DEFORMAÇÃO 
Observação: Esse texto não deverá ser considerado como apostila, somente 
como notas de aula. 
DEFORMAÇÃO 
Em engenharia, a deformação de um corpo é especificada pelo conceito da 
deformação normal e por cisalhamento. 
Sempre que uma força é aplicada a um corpo, esta tende a mudar a forma e o 
tamanho dele. Essas mudanças são denominadas deformações e podem ser altamente 
visíveis ou praticamente imperceptíveis se não forem utilizados equipamentos que façam 
medições precisas. Por exemplo, uma tira de borracha sofrerá uma grande deformação 
quando esticada. Por outro lado, os elementos estruturais de um edifício sofrem apenas 
leves deformações quando há muitas pessoas dentro dele. Também pode ocorrer 
deformação em um corpo quando há mudança de temperatura. Um exemplo típico é a 
expansão ou contração térmica de um telhado causada pelas condições atmosféricas. 
 
Portanto as medições de deformação são experimentais e, uma vez obtidas, podem 
ser relacionadas com as cargas aplicadas, ou tensões, que agem no interior do corpo. 
 
1. DEFORMAÇÃO NORMAL 
O alongamento ou contração de um segmento de reta por unidade de comprimento é 
denominado deformação normal. 
 
O alongamento total de uma barra submetida a uma força axial é designado pela 
letra grega δ (delta), onde δ = L = ( L - Lo ). E a deformação normal, representado pela 
letra grega ε (epsilon), como: 
𝝐 = 
𝜹
𝑳𝒐
 
2 
 
onde: 
ε = deformação normal 
δ = alongamento ou encurtamento 
 Lo = comprimento inicial da barra. 
Note-se que a deformação ε é uma quantidade adimensional. 
 
1.1. - DIAGRAMA DE TENSÃO – DEFORMAÇÃO 
A resistência de um material depende da sua capacidade de suportar uma carga sem 
deformação excessiva ou ruptura. Essa propriedade é inerente ao próprio material e deve 
ser determinada por métodos experimentais. Um dos testes mais importantes nesses 
casos é o ensaio de tração ou compressão. Embora seja possível determinar muitas 
propriedades mecânicas importantes de um material por esse teste, ele é usado 
primariamente para determinar a relação entre a tensão normal média e a deformação 
normal média em muitos materiais usados na engenharia, como metais, cerâmicas, 
polímeros e compósitos. 
Pelos dados obtidos em um ensaio de tração ou compressão, é possível calcular 
vários valores da tensão e da deformação, correspondentes no corpo de prova e, então, 
construir um gráfico com esses resultados. A curva resultante é denominada diagrama 
tensão – deformação. 
 
 
O diagrama tensão x deformação varia muito de material para material e, 
dependendo da temperatura do corpo de prova ou da velocidade de crescimento da carga 
podem ocorrer resultados diferentes para um mesmo material. Entre os diagramas tensão 
3 
 
x deformação de vários grupos de materiais é possível, no entanto, distinguir algumas 
características comuns que nos levam a dividir os materiais em duas importantes 
categorias: materiais dúcteis e materiais frágeis. 
 
Materiais Dúcteis – Qualquer Material que possa ser submetido a grandes 
deformações antes da ruptura é chamado de material dúctil. O aço doce é um exemplo. 
Os engenheiros escolhem materiais dúcteis para o projeto por que são capazes de 
absorver choque ou energia e, quando sobrecarregados, exibem, em geral, grande 
deformação antes de falhar. 
 
Materiais Frágeis – São materiais que possuem pouco, ou nenhum escoamento. 
Exemplo: ferro fundido, concreto. 
O concreto, assim como o ferro fundido cinzento, é classificado como um material 
frágil e também tem baixa capacidade de resistência à tração. As características de seu 
diagrama tensão-deformação dependem primariamente da mistura do concreto (água, 
areia, brita e cimento) e do tempo e temperatura de cura. Um exemplo típico de um 
diagrama tensão-deformação "completo" para o concreto é dado na figura abaixo. 
 
Observamos nesse gráfico que a máxima resistência à compressão do concreto é 
quase 12,5 vezes maior do que sua resistência à tração, (c)máx = 34,5 MPa, em 
comparação com (t)máx = 2,76 MPa. Por essa razão, o concreto é quase sempre 
reforçado com barras ou hastes de aço quando projetado para suportar cargas de tração. 
4 
 
1.2 - DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO CONVENCIONAL E REAL PARA 
MATERIAIS DÚCTEIS. 
 
1.2.1 REGIÃO ELÁSTICA 
O trecho da curva tensão-deformação, compreendido entre a origem e o limite de 
proporcionalidade que representa a tensão máxima que pode ser aplicada à barra sem 
que apareçam deformações residuais, ou permanentes, após a retirada integral da carga 
externa. 
 
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Limite de proporcionalidade: Representa o valor máximo da tensão abaixo da qual 
o material obedece a Lei de Hooke. Para um material frágil, não existe limite de 
proporcionalidade (o diagrama não apresenta parte reta). 
Limite de elasticidade: Existe um ponto na curva tensão x deformação ao qual 
corresponde o limite de elasticidade; representa a tensão máxima que pode ser aplicada 
a barra sem que apareçam deformações residuais ou permanentes após a retirada integral 
da carga externa. Para muitos materiais, os valores dos limites de elasticidade e 
proporcionalidade são praticamente iguais, sendo usados como sinônimos. 
Na fase elástica do diagrama tensão - deformação, temos um trecho reto. Por 
consequência, um aumento na tensão provoca um aumento proporcional na deformação. 
Esse fato foi descoberto por Robert Hooke, em 1676, para molas, e é conhecido como lei 
de Hooke e pode ser expresso matematicamente como: 
 = E. 
Nesta expressão, E representa a constante de proporcionalidade, denominada 
módulo de elasticidade ou módulo de Young, nome que se deve a Thomas Young, que 
publicou uma explicação sobre o módulo em 1807. 
 
Alguns valores de E são mostrados na Tabela abaixo. Para a maioria dos 
materiais, o valor do Módulo de Elasticidade sob compressão ou sob tração são iguais. 
 
 
 
 
6 
 
Tabela 1 Propriedades mecânicas típicas de alguns materiais 
 
Material 
Peso específico 
(kN/m3) 
Módulo de Elasticidade 
(GPa) 
Concreto Simples 24 25 
Concreto Armado 25 30 
Aço Estrutural 78,5 210 
Alumínio 26,9 70 
Bronze 83,2 98 
Cobre 88,8 105 
Madeira Estrutural 3 a 12 7 a 14 
 
Quando a barra é carregada por tração simples, a tensão axial é σ = P / A e a 
deformação específica é ε = δ / L . Combinando estes resultados com a Lei de Hooke, 
tem-se a seguinte expressão para o alongamento da barra: 
𝜹 = 
𝑷𝑳𝒐
𝑬𝑨
 
Esta equação mostra que o alongamento de uma barra linearmente elástica é 
diretamente proporcional à carga e ao comprimento e inversamente proporcional ao 
módulo de elasticidade e à área da seção transversal. O produto EA é conhecido como 
rigidez axial da barra. 
 
Exemplo: A barra rígida BDE é suspensa por duas barras AB e CD. A barra AB é de 
alumínio (Ealu = 70 GPa) e com seção 
transversal de área de 400 mm2, a barra 
CD é de aço (Eaço = 200 GPa) com uma 
seção transversal de área de 500 mm2. 
Considerando um comportamento 
elástico, determine os alongamentos das 
barras AB e CD. 
 
 
7 
 
1.2.2 REGIÃO PLÁSTICA 
O trecho da curva entre o limite de proporcionalidade e o ponto de ruptura do 
material; é chamado de região plástica. Nesta região se retirarmos o carregamento, o 
corpo não volta à sua forma inicial, havendo um deslocamento residual. 
a) Escoamento 
A maioria dos materiais metálicos, ao ser submetida a uma tensão de tração 
crescente, se comporta dentro do grupo dos que ‘cedem’ antes de romper. Neste caso, 
antes de ser atingida a tensão que caracteriza a resistência mecânica do material, arelação entre a força aplicada e o alongamento desvia-se da linearidade elástica na (assim 
denominada) tensão de escoamento. Para estes materiais, a partir deste ponto em diante, 
passa a acontecer o processo que se denomina deformação plástica do metal. 
 
Quando se atinge o limite de escoamento, o material passa a escoar-se. A partir 
deste limite, aumentam as deformações sem que se altere praticamente o valor da tensão. 
 
 
 
8 
 
Observação: Os materiais frágeis e alguns com características de dúcteis, 
apresentam de modo indefinido, o início do escoamento. Neste casos a Norma Brasileira 
estabelece uma Tensão Convencional de Escoamento, tomando-se no eixo dos 
deslocamento específicos o valor  = 0,2%. 
A partir deste ponto traça-se uma reta paralela ao trecho reto do diagrama. A tensão 
de Escoamento (e) é obtida pela intersecção com o gráfico. 
b) Endurecimento por deformação 
 
Discordâncias são os defeitos em linha, são imperfeições em uma estrutura 
cristalina nas quais uma linha de átomos tem uma estrutura local que 
difere da estrutura circunvizinha. 
Durante a deformação plástica o número de discordâncias 
aumenta drasticamente; 
Esse endurecimento dá-se 
devido a este aumento de 
discordâncias e imperfeições 
promovidas pela deformação, 
que impedem o escorregamento 
dos planos atômicos; 
 
 
O escoamento termina e a curva cresce continuamente (endurecimento), até atingir 
a tensão máxima denominada limite de resistência. 
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Desde o início do teste até o limite de resistência, a área da seção transversal 
decresce uniformemente. 
Exemplo A figura apresenta o diagrama tensão-
deformação para um aço-liga com 12 mm de 
diâmetro original e comprimento de referência 50 
mm. Determine: 
a) os valores aproximados do módulo de 
elasticidade para o material; 
b) a carga aplicada ao corpo de prova que 
causa escoamento; 
c) a carga máxima que o corpo de prova 
suportará. 
 
 
Exemplo 2 A figura apresenta o diagrama 
tensão-deformação de uma barra de aço. 
Determine os valores aproximados do módulo 
de elasticidade, limite de proporcionalidade, 
limite de resistência e módulo de resiliência. Se 
a barra for submetida a uma carga de tração de 
450 MPa, determine o valor da recuperação da 
deformação elástica e da deformação 
permanente na barra quando descarregada. 
 
10 
 
 
c) Estricção 
 
 
Quando a carga de tração aumentar muito, 
quando se atinge a tensão da resistência mecânica (tensão máxima) a situação torna-se 
incontrolável, com a formação de uma zona de deformação acentuada, localizada, 
denominada pescoço, onde a seção da peça diminui de forma visível, prenunciando a 
ruptura iminente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
1.2.3 COEFICIENTE DE POISSON 
As experiências demonstram que um material, quando submetido à tração, sofre 
além da deformação axial (alongamento), uma deformação transversal (afinamento). 
 
 
 
 
Poisson demonstrou que estas 
duas deformações eram proporcionais uma em 
relação à outra, dentro dos limites da Lei de Hooke. 
𝜹𝒚
𝑳𝒚
 = 
𝜹𝒛
𝑳𝒛
  y = z 
As experiências mostram que y = z e que a 
relação entre deformação transversal e longitudinal é 
constante. 
Essa relação é denominada de Coeficiente de 
Poisson () (ni) 
 
 = 
𝜺𝒚
𝜺𝒙
 = 
𝜺𝒛
𝜺𝒙
  = - (εtransversal / εlongitudinal) 
 
Essa expressão tem sinal negativo porque o alongamento longitudinal (deformação 
positiva) provoca contração lateral (deformação negativa) e vice-versa. 
 
O coeficiente de Poisson é constante para cada material e seu valor varia 
entre 0 e 0,5. 
 
12 
 
Exemplos: 
Material Coeficiente de Poisson () 
Aço 0,3 
Concreto 0,15 
Pedra 0,20 
 
Exemplo: A barra circular de aço apresentada na figura abaixo possui d = 20 mm e 
comprimento L = 0,80 m. Encontra-se submetida à ação de uma carga axial de 7,2 kN. 
Pede-se determinar: 
a) tensão normal atuante na barra; 
b) o alongamento; 
c) a deformação longitudinal; 
d) a deformação transversal; 
Dados: 
Eaço = 210.000 MPa 
aço = 0,3 (coeficiente de Poisson) 
 
13 
 
 
 
1.2.4 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO 
Quando um material é deformado por uma carga externa, tende a armazenar energia 
internamente em todo o seu volume. Como essa energia está relacionada com as 
deformações no material, ela é denominada energia de deformação. Por exemplo, quando 
um corpo de prova de ensaio de tração é submetido a uma carga axial, um elemento de 
volume do material é submetido a uma tensão uniaxial, como mostra a figura ao lado. 
Essa tensão desenvolve uma força F = A = (x.y) nas faces superior e inferior do 
elemento após ele ter sofrido um deslocamento vertical (.z). Por definição, trabalho é 
determinado pelo produto entre a força e o deslocamento na direção da força. Visto que a 
força aumenta uniformemente de zero até seu valor final F quando é obtido 
odeslocamento (.z), o trabalho realizado pela força sobre o elemento é igual ao valor 
médio da força (F/2) vezes o deslocamento (.z). Esse “trabalho externo" é equivalente 
ao "trabalho interno" ou energia de deformação armazenada no elemento, se 
considerarmos que nenhuma energia é perdida sob a forma de calor. 
 
Por consequência, a energia de deformação U é U = 
(1/2F) .z = (1/2 x..y)..z. Visto que o volume do elemento 
é  V = x.y.z, então U = 1/2V 
 
14 
 
Às vezes, é conveniente formular a energia de deformação por unidade de volume 
de material, denominada densidade de energia de deformação, a qual pode ser expressa 
por: 
 
 
Se o comportamento do material for linear elástico, então a lei de Hooke se aplica, 
 = E. e, portanto, podemos expressar a densidade de energia de deformação em termos 
da tensão uniaxial como: 
 
 
Módulo de resiliência. Em particular, quando a tensão atinge o limite de 
proporcionalidade, a densidade de energia de deformação é calculada pela Equação: 
 
 
 
Observe, na região elástica do diagrama tensão-
deformação (Figura a) , que ur é equivalente à área 
triangular sombreada sob o diagrama. Em termos físicos, 
a resiliência de um material representa sua capacidade 
de absorver energia sem sofrer qualquer dano 
permanente. 
Módulo de tenacidade. Outra importante 
propriedade de um material é o módulo de tenacidade (ut). 
O trabalho realizado por unidade de volume do 
material, quando há uma força de tração simples que 
aumenta gradualmente a partir de zero até atingir o limite 
de ruptura, é chamado de módulo de tenacidade. 
Essa quantidade representa a área inteira sob o 
diagrama tensão-deformação (Figura b), portanto indica a densidade de energia de 
deformação do material um pouco antes da ruptura. A tenacidade de um material é sua 
capacidade de absorver energia na região plástica de um material. 
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Essa propriedade é importante no projeto de elementos estruturais que possam ser 
sobrecarregados acidentalmente. Materiais com alto módulo de tenacidade sofrerão 
grande distorção devido à sobrecarga; contudo, podem ser preferíveis aos que têm baixo 
valor de módulo de tenacidade, já que os que têm ut baixo podem sofrer ruptura repentina 
sem dar nenhum sinal dessa ruptura iminente. 
 
Exemplo: A figura apresenta o diagrama tensão-
deformação para um aço-liga com 12 mm de 
diâmetro original e 50 mm de comprimento de 
referência. Determine os valores aproximados do 
módulo de resiliencia e do módulo de tenacidade 
para o material 
 
 
 
16 
 
 
2. TENSÃO- DEFORMAÇÃO POR CISALHAMENTO. 
Seja uma partícula submetida a um esforço F com indicado abaixo: 
 
 
A partícula irá sofre uma deformação, onde poderemos observar um deslocamento 
angular  denominado de distorção. 
 
A mudança que ocorre no ângulo entre dois segmentos de reta que originalmente eram 
perpendiculares um ao outro é denominada deformação por cisalhamento. Esse ângulo é 
representado por  (gama) e medido em radianos (rad). 
 
 = 
𝝅
𝟐
− θ′ 
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Observação: 
a) As deformações normais causam uma mudança no volume do elemento, ao 
passo que deformações por cisalhamento provocam uma mudança em sua 
forma. É claro que ambos os efeitos ocorrem simultaneamente durante a 
deformação. 
b) A maioria dos materiais de engenharia sofre pequenas deformações , portanto, 
uma deformação normal ε << 1. 
 
2.1 O DIAGRAMA TENSÃO DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO 
 
A forma deste gráfico é semelhante ao gráfico de tensão - deslocamento específico 
(-), mudando apenas a ordem de grandeza dos valores. 
18 
 
Para os pontos A, B, C e D e para p, e, u, R, vale a mesma nomenclatura anterior 
(agora no cisalhamento). 
 
2.1.1 LEI DE HOOKE NO CISALHAMENTO 
 
O trecho AO do diagrama - é uma reta, ou seja, existe uma proporcionalidade 
entre Tensão de Cisalhamento e Distorção . 
A maioria dos materiais de engenharia apresenta comportamento elástico linear, 
portanto a lei de Hooke para cisalhamento pode ser expressa por 
 = G. 
Essa expressão é a chamada Lei de Hooke no cisalhamento e G é o módulo de 
Elasticidade Transversal. 
O valor de G pode ser obtido do diagrama - sendo numericamente igual à tg , 
com a mesma unidade da Tensão de Cisalhamento, visto que  é expresso em radianos. 
As experiências demonstram que um material, quando submetido à tração, sofre 
além da deformação axial (alongamento), uma deformação transversal (afinamento). Três 
constantes do material, E, v e G, na realidade, estão relacionadas pela equação 
 v
E
G


12 
G = módulo de elasticidade o cisalhamento ou módulo de rigidez. 
 
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TABELA – PROPRIEDADES DE ALGUNS MATERIAIS 
 
 
Aplicando a lei de Hooke para o alongamento, temos: 
 
Para pequenos deslocamentos  o ângulo de cisalhamento pode ser 
 𝜸 ≈ 𝐭𝐠𝛄 = 
𝜹
𝒉
 
Sendo: 
 
𝛕 = 
𝐅
𝐀
 𝝉 = 𝑮. 𝜸 → 
𝐅
𝐀
= 𝑮.
𝜹
𝒉
 
 
𝜹 = 
𝑭. 𝒉
𝑨. 𝑮
 
20 
 
Exemplo Qual o valor máximo da carga P a ser aplicada na peça abaixo, sabendo-se que 
o deslocamento máximo permitido é 20º. Dado: G = 80 kgf/cm2. 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
 ANTÔNIO NETO, Aiello Giuseppe – Resistência dos Materiais I - Universidade Presbiteriana 
Mackenzi. 
 GASPAR, Ricardo MECÂNICA DOS MATERIAIS - Notas de aula da disciplina Resistência dos 
Materiais ministrada pelo Prof. Leandro Mouta Trautwein. 
 HIBBELER, R. C. – Resistencia dos materiais 7ª Ed. Pearson 
 JUDICE, Flávia Moll de Souza e PERLINGEIRO,Mayra Soares Pereira Lima Resistência Dos 
Materiais IX - Universidade Federal Fluminense 
 BEER, Ferdinand P. JOHNSTON, E. Russel Jr - Resistência dos Materiais - . Ed. PEARSON - 3ª 
edição – 1995. 
 VINICIOS, Marcos Notas de Aulas da disciplina Resistência dos Materiais- Universidade 
Candido Mendes 
 BAÊTA, Fernando da Costa SARTOR, Valmir – Resistência dos Materiais e Dimensionamento de 
Estruturas para Construções Rurais Universidade Federal de Viçosa – 1999 
 GUSTAVO, Luiz - Apostila Resistencia dos Materiais - IFSP http://sjc.ifsp.edu.br