Aula 5 Matemática Elementar Prof Álvaro

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21/08/2012
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Professor Me. Álvaro Emílio Leite
MATEMÁTICA
Revisão Geral
Aula 5 – Parte 1
Equações do 2º grau
Toda expressão que possui a
forma ��� + �� + � = 0, onde �, �
e �
são números reais e � ≠ 0, é uma
equação do 2° grau na incógnita �.
� é o coeficiente do termo ��
� é o coeficiente do termo �
� é o coeficiente ou termo 
independente de �
Exemplos:
a) �� − 3� − 2 = 0
b) −2�� + 4� = 0
c) −�� + 25 = 0
Completa
incompleta
incompleta
� = 1
� = −3
� = −2
� = −2
� = 4
� = 0
� = −1
� = 0
� = 25
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Exemplos:
d) 4�� − � = 3�� + 9�
Incompleta
� = 1
� = −10
� = 0
4�� − 3�� − � − 9� = 0
�� − 10� = 0
e) � − 3 � + 5 = −7
Completa
� = 1
� = 2
� = 8
�� + 5� − 3� − 15 = −7
�� + 2� + 8 = 0
Equações incompletas (c = 0)
a) 3�� − 12� = 0
� = 3
� = −12
� = 0
3� � − 4 = 0
0 −4 = 0
3 ∙ 0 0 − 4 = 0
0 = 0
�� = 0
3� � − 4 = 0
12 0 = 0
3 ∙ 4 4 − 4 = 0
0 = 0
�� = 4
Equações incompletas (c = 0)
Sempre que o coeficiente � for
igual a zero, uma das soluções da
equação do 2º grau será
�� = 0
e a outra será
�� =
−�
�
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Exemplos:
a) 4�� − � = 0
� = 4
� = −1
� = 0
�� = 0
�� =
−�
�
�� =
−(−1)
4
b) −5�� − 100� = 0
� = −5
� = −100
� = 0−5�(� + 20) = 0
−5� = 0 � + 20 = 0
�� = −20�� = 0
�� =
1
4
Equações incompletas (b= 0)
a) 2�� − 32 = 0
� = 2
� = 0
� = −322�� = 32
�� = 16
�� = 322
� = ± 16
�� = 4
�� = −4
Equações incompletas (b = 0)
Sempre que o coeficiente � for igual a
zero, uma das soluções da equação
do 2º grau será
�� =
−�
�
e a outra será
�� = −
−�
�
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a) −5�� + 125 = 0
� = −5
� = 0
� = 125
�� =
−125
−5
�� = 25
Exemplos:
�� = 5
�� = −
−125
−5
�� = − 25
�� = −5
b) 3�� − 27 = 0
� = 3
� = 0
� = −32
3�� = 27
�� = 9
�� = 273
� = ± 9
�� = 3
�� = −3
Exemplos:
a) −�� − 100 = 0
� = −1
� = 0
� = −100
�� =
−(−100)
−1
�� = −100
Exemplos:
Não existe solução Real
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Equações completas
Fórmula Resolutiva ou de Bhaskara
� = −� ± ∆2�
∆= �� − 4��
Se ∆= 0
Se ∆> 0
Se ∆< 0
Duas raízes reais diferentes
As raízes são iguais
Não possui raízes reais
Exemplo 1
a) �� + 2� − 8 = 0
∆= �� − 4��
� = 1
� = 2
� = −8
∆= 2� − 4 ∙ 1 ∙ −8
∆= 4 + 32
∆= 36 Duas raízes reais diferentes
Exemplo 1
� = −� ± ∆2� � =
−2 ± 36
2 ∙ 1
� = −2 ± 62
�� =
4
2 = 2 �� =
−8
2 = −4
2� + 2 ∙ 2 − 8 = 0
4 + 4 − 8 = 0
(−4)�+2 ∙ (−4) − 8 = 0
16 − 8 − 8 = 0
0 = 0 0 = 0
Conferindo... �� + 2� − 8 = 0
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Exemplo 2
b) 4�� − 4� + 1 = 0
∆= �� − 4��
� = 4
� = −4
� = 1
∆= (−4)�−4 ∙ 4 ∙ 1
∆= 16 − 16
∆= 0 As duas raízes são iguais
Exemplo 2
� = −� ± ∆2� � =
−(−4) ± 0
2 ∙ 4
� = 48 �� = �� =
1
2
4 ∙ 14 − 4 ∙
1
2 + 1 = 0
1 − 2 + 1 = 0
0 = 0
Conferindo... 4�� − 4� + 1 = 0
4
4 −
4
2 + 1 = 04 ∙
1
2
�
− 4 ∙ 12 + 1 = 0
Exemplo 3
c) −2�� + � − 3 = 0
∆= �� − 4��
� = −2
� = 1
� = −3
∆= 1� − 4 ∙ (−2) ∙ (−3)
∆= 1 − 24
∆= −23 Não possui raízes reais
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Exemplo 4
Um retângulo de área igual a
50��� possui lados iguais a (x+3)
e (x+8). Calcule o perímetro do
retângulo.
� + 8
� + 3 = 50���
Exemplo 4
� + 3 � + 8 = 50
��+8�+3�+24= 50
�� + 11� − 26 = 0
� = 1
� = 11
� = −26∆= �� − 4��
∆= 11� − 4 ∙ 1 ∙ (−26)
∆= 121 + 104
∆= 225
� = −� ± ∆2� � =
−11 ± 225
2 ∙ 1
� = −11 ± 152
�� =
−11 + 15
2
�� =
4
2
�� = 2
�� =
−11 − 15
2
�� =
−26
2
�� = −13
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� + 8
� + 3
5��
10��
! = 2 ∙ 5 + 2 ∙ 10
! = 30��
 = 50���
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MATEMÁTICA
Revisão Geral
Aula 5 - Parte 2
Equações irracionais
2� − 9 + 15 = 2�
2� − 9 = 2� − 15
2� − 9 � = 2� − 15 �
2� − 9 = 4�� − 60� + 225
0 = 4�� − 60� + 225 − 2� + 9
0 = 4�� − 62� + 234
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0 = 4�� − 62� + 234
 ÷ 2
0 = 2�� − 31� + 117 � = 2� = −31
� = 117∆= �� − 4��
∆= (−31)�−4 ∙ 2 ∙ 117
∆= 961 − 936
∆= 25 Duas raízes reais diferentes
� = −� ± ∆2�
� = −(−31) ± 252 ∙ 2
�� =
36
4 = 9
� = 31 ± 54
�� =
26
4 = 6,5
Sistemas de Equações
Roberval percorre com um carro 
26km o contorno retangular de 
sua fazenda. A área da fazenda é 
de 40#��. Quais são as 
dimensões da fazenda?
$
� = 40#��
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2 ∙ � + 2 ∙ $ = 26
� ∙ $ = 40%
÷ 2
� + $ = 13
$ = 13 − �
� ∙ (13 − �) = 40
13� − �� = 40
0 = �� − 13� + 40
� = 1
� = −13
� = 40∆= �� − 4��
∆= (−13)�−4 ∙ 1 ∙ 40
∆= 169 − 160
∆= 9 duas raízes reais
� = −(−13) ± 92 ∙ 1 � =
13 ± 3
2
�� =
16
2 = 8
�� =
10
2 = 5
$� = 13 − 8
$ = 13 − �
$� = 13 − 5
$� = 5 $� = 8
$
�= 5#�
= 8#�
Sistema de coordenadas Cartesianas
A (2, 3)
1 2 3-1-2-3
-1
-2
-3
1
2
3
0
B (-3, 1)
C (-2, -2)
D (3, -1)
A
C
B
D
x
y
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Distância entre dois pontos
A (2, 3)
1 2 3-1-2-3
-1
-2
-3
1
2
3
0
B (-3, 1)A
B
x
y
2
5
d
Distância entre dois pontos
A (2, 3)
B (-3, 1)A
B
2
5
d
&� = 5� + 2�
&� = 29
& = 29 = 5,4
Distância entre dois pontos
A (2, 3)
B (-3, 1)A
B
2
5
d
& = (�' − �()�+($' − $()�
& = 29 = 5,4
& = (2 + 3)�+(3 − 1)�
& = 25 + 4
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MATEMÁTICA
Revisão Geral
Aula 5 – Parte 3
Ideia intuitiva de funções
Litros de
álcool
Preço (R$)
0 0
5 9,00
10 18,00
15 27,00
20 36,00
! = 1,8�
Exemplo
Tomando como base a tabela 
anterior, calcule quanto que um 
motorista irá pagar por 33 litros 
de combustível.
! = 1,8 ∙ 33
! = 54,00
! = 1,8�
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Função do primeiro grau
Uma função que tem a forma 
$ = �� + � é chamada função do 
primeiro grau.
Sendo � ∈ *, � ∈ * e � ≠ 0.
Exemplo
O preço de uma corrida de taxi em 
determinada cidade é calculado da 
seguinte maneira: R$ 5,50 de 
“bandeirada” mais R$ 1,50 por 
quilômetro rodado.
Exemplo
a) Construa a lei de formação que 
relaciona o valor da corrida (y) 
com o número de quilômetros 
rodados (x).
b) Quanto um passageiro pagará 
por uma corrida de taxi de 
17km?
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Resolução
a) $ = 1,5� + 5,50
b) $ = 1,5 ∙ 17 + 5,50
$ = 25,50 + 5,50
$ = 31,00
Gráfico de uma função do 1º grau
O gráfico de uma função do 1º 
grau é sempre uma reta
x
y
� > 0�
x
y
� < 0�
Exemplo
Construa o gráfico da função 
$ = 1,5� + 5,50 (exemplo anterior).
x y
0 5,50
5 13,00
10 20,50
15 28,00
20 35,50
25 43,00
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Gráfico
20,00
10,00
30,00
40,00
50,00
y
15105 x2520
x y
0 5,50
5 13,00
10 20,50
15 28,00
20 35,50
25 43,00
Função do 2º grau ou quadrática
Uma função que tem a forma 
$ = ��� + �� + � é chamada função 
do primeiro grau.
Sendo � ∈ *, � ∈ *, c ∈ * e � ≠ 0.
$ = �� − 4� + 3
Exemplo � = 1
� = −4
� = 3
Características de uma Função do 2º 
grau
O gráfico é uma parábola;
� > 0 � < 0
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Raízes ou zeros da função do 
2º grau
Para encontrar as raízes ou zeros 
de uma função do 2º grau é 
preciso fazer y = 0 e calcular os 
valores de x (quando eles 
existirem)
Zeros da função do 2º grau
x
y
� > 0
Se ∆> 0 →duas raízes reais diferentes.
A parábola corta o eixo x em dois pontos
x
y
� < 0
Zeros da função do 2º grau
x
y
� > 0
Se ∆= 0 →duas raízes reais iguais.
A parábola toca o eixo x em um ponto.
x
y
� < 0
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Zeros da função do 2º grau
x
y
� > 0
Se ∆< 0 →não possui raízes reais.A parábola não toca o eixo x.
x
y
� < 0
Coordenadas do vértice
�- =
−�
2�
x
y
$- = ��-� + ��- + �
�-
$-
Exemplo
(UMC-SP) Uma loja fez campanha 
publicitária para vender seus 
produtos importados. Suponha 
que x dias após o término da 
campanha, as vendas diárias 
tivessem sido calculadas segundo 
a função $ = −2�� + 20� + 150, 
conforme o gráfico.
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x (dias)
y(unidades)
150
�-
$-
a)Depois de quantos dias �- , após 
encerrada a campanha, a venda 
atingiu o valor máximo.
b)Depois de quantos dias as 
vendas se reduziram a zero.
Resolução a)
�- =
−�
2�
�- =
−20
−4
$ = −2�� + 20� + 150
� = −2
� = 20
� = 150
�- = 5
$- = −2 ∙ 5� +20 ∙ 5 + 150
$- = −50 + 100 + 150
$- = 200
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∆= �� − 4��
∆= 20� − 4 ∙ (−2) ∙ 150
∆= 400 + 1200
∆= 1600 Duas raízes reais diferentes
� = −20 ± 1600−4 � =
−20 ± 40
−4
�� =
20
−4 = −5 �� =
−60
−4 = 15
Resolução b)
Diretrizes para construir gráficos 
de funções do 2º grau
1) Determinar as coordenadas do 
vértice (�- , $-);
2) Atribuir valores para x. Alguns 
maiores que �- e outros menores;
3) Marcar os pontos no plano 
cartesiano;
4) Unir os pontos para formar a 
parábola;
Exemplo
Construa no plano cartesiano o 
gráfico da função $ = �� + 2� − 3.
� = 1
� = 2
� = −3
�- =
−�
2�
�- =
−2
2
�- = −1
$- = (−1)�+2 ∙ (−1) − 3
$- = 1 − 2 − 3
$- = −4
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x y
-3
-2
-1 -4
0
1
$ = (−3)�+2 ∙ −3 − 3 = 0
$ = (−2)�+2 ∙ −2 − 3 = −3
$ = 0� + 2 ∙ 0 − 3 = −3
$ = 1� + 2 ∙ 1 − 3 = 0
0
0
-3
-3
Gráfico
x y
-3
-2
-1 -4
0
1
0
0
-3
-3 -2
-3
-1
1
y
-3 -1-2 x21
-4