Apol Calculo diferencial a varias variaveis

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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
A respeito da sequência an=3+7n2n+n2, pode-se afirmar que
Referência: Livro-Base, p. 104-105.
Nota: 0.0
	
	A
	é convergente com limite 3.
	
	B
	é convergente com limite 7.
Observamos que limn→+∞an=limn→+∞3+7n2n2n+n2n2=limn→+∞3n2+71n+1=71=7.
	
Logo, podemos afirmar que a sequência é convergente com limite igual a 7.
	
	C
	é convergente com limite 10.
	
	D
	é divergente.
	
	E
	é convergente com limite infinito.
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considere a função f(x,y)=lnx−lny.
Assinale a alternativa que corresponde a derivada de f no ponto P=(12,−13), na direção do vetor unitário ⃗u=(35,−45).
Referência: Livro-Base, p. 83-86.
Nota: 10.0
	
	A
	∂f∂⃗u(35,−13)=85.
	
	
	B
	∂f∂⃗u(35,−13)=−135.
	
	
	C
	∂f∂⃗u(35,−13)=−65.
Você acertou!
Notamos que ∂f∂⃗u(x0,y0)=∇f(x0,y0)⋅⃗u.
Assim, ∂f∂⃗u(1/2,−1/3)=∇f(1/2,−1/3)⋅(3/5,−4/5). Como ∂f∂x(x,y)=1x e ∂f∂y(x,y)=−1y, temos ∇f(1/2,−1/3)=(2,3) e, portanto, ∂f∂⃗u(1/2,−1/3)=(2,3)⋅(3/5,−4/5)=−65.
	
	
	D
	−57.
	
	
	E
	−85.
	
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Dada a função f(x,y)=√x2+y2
, o gradiente de f no ponto P=(1,1) é
Referência: Livro-Base, p. 86.
Nota: 10.0
	
	A
	∇f(1,1)=2√2^i+2√2^j.
	
	
	B
	∇f(1,1)=2√2^i−2√2^j.
	
	
	C
	∇f(1,1)=√22^i+√22^j.
Você acertou!
O gradiente de f(x,y)
é definido por ∇f(x,y)=∂f∂x(x,y)^i+∂f∂y(x,y)^j. Notamos que ∂f∂x(x,y)=2x2√x2+y2=x√x2+y2 e ∂f∂y(x,y)=2y2√x2+y2=y√x2+y2. Com isso, ∂f∂x(1,1)=1√2=√22 e ∂f∂y(1,1)=1√2=√22. Portanto,
∇f(1,1)=√22^i+√22^j.
	
	
	D
	∇f(1,1)=√2^i−√2^j.
	
	
	E
	∇f(1,1)=√23^i−√23^j.
	
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Dada a função vetorial ⃗F(x,y,z)=2x2y^i+2yz^j+4xyz2^z
, o divergente de ⃗F é
Referência: Livro-Base, p. 155-156.
Nota: 10.0
	
	A
	∇⋅⃗F(x,y,z)=4xy−8xz−8xyz.
	
	
	B
	∇⋅⃗F(x,y,z)=8xy+2z+4xyz.
	
	
	C
	∇⋅⃗F(x,y,z)=6xy−2xz−8xyz.
	
	
	D
	∇⋅⃗F(x,y,z)=4xy+2z+8xyz.
Você acertou!
Observamos que ∇⋅⃗F(x,y,z)=∂F1∂x(x,y,z)+∂F2∂y(x,y,z)+∂F3∂z(x,y,z),
onde F1(x,y,z)=2x2y, F2(x,y,z)=2yz e F3(x,y,z)=4xyz2. Logo,
∇⋅⃗F(x,y,z)=∂∂x(2x2y)+∂∂y(2yz)+∂∂z(4xyz2)=4xy+2z+8xyz.
	
	
	E
	∇⋅⃗F(x,y,z)=6xy+2xz+8xyz.
	
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Seja I=∫2−1∫42xydydx.
O valor de I
 é
Referência: Livro-Base, p. 47.
Nota: 0.0
	
	A
	8.
	
	B
	27.
	
	C
	9.
Para obter o valor de I
, inicialmente integramos com respeito a variável y (neste caso, mantemos a variável x constante). Assim,
∫42xydy=x∫42ydy=x(y22)∣∣∣42=x(8−2)=6x.
Finalmente, 
I=∫2−1∫42xydydx=∫2−16xdx=6(x22)∣∣∣2−1=6(2−12)=9.
	
	
	D
	3.
	
	E
	18.
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Seja S
o sólido limitado superiormente pelo plano z=5, inferiormente por z=2 e lateralmente pelos planos y=0, y=3, x=0 e x=1. O volume de S é
Referência: Livro-Base, p. 60-66.
Nota: 10.0
	
	A
	V=18u.v.
	
	
	B
	V=9u.v.
Você acertou!
Inicialmente, observamos que S={(x,y,z)∈R3; 0≤x≤1, 0≤y≤3 e 2≤z≤5}
e seu volume pode ser obtido a partir da integral tripla: 
∭1dV. Assim,
V=∭V1dV=∫10∫30∫52dzdydx=∫10∫30[z]∣∣∣52dydx=∫10∫303dydx=∫10[3y]∣∣∣30dx=∫109dx=9u.v.
	
	
	C
	V=3u.v.
	
	
	D
	V=12u.v.
	
	
	E
	V=6u.v.
	
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considere a função z=x3−4x2y+xy2−y3+1,
 onde x=sent e y=cost. Então, a derivada de z em relação à variável t
é
Referência: Livro-Base, p. 79
Nota: 10.0
	
	A
	dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent.
Você acertou!
Pela Regra da Cadeia, como x
e y estão em função de t, temos
dzdt=∂z∂x⋅dxdt+∂z∂y⋅dydt. Portanto, dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(−4x2+2xy−3y2)(−sent)=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent.
	
	
	B
	dzdt=(3x2−8xy+y2)sent+(4x2−2xy+3y2)sent.
	
	
	C
	dzdt=(3x2−8xy+y2)cost−(4x2−2xy+3y2)cost.
	
	
	D
	dzdt=(−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent.
	
	
	E
	dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(2xy+3y2)sent.
	
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
A área da superfície de revolução obtida ao girar o gráfico da função f(x)=2x
em torno do eixo x, no intervalo [0,3], vale
Referência: Livro-Base, p. 15-20.
Nota: 0.0
	
	A
	12√5πu.a.
	
	
	B
	18√5πu.a.
A área da superfície de revolução é dada por
Área=2π∫30f(x)√1+[f′(x)]2dx=2π∫302x√1+22dx=4√5π∫30xdx=4√5π(x22)∣∣∣30=18√5πu.a.
	 
	
	C
	9√5π u.a.
	
	D
	3√13πu.a.
	
	
	E
	π√133u.a.
	
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considere R
a região delimitada pela cardióide r=2+2cosθ, conforme a figura abaixo:
A área da região R mede
Referência: Livro-Base, p. 33-36.
Nota: 0.0
	
	A
	16π u.a.
	
	
	B
	12π u.a.
	
	
	C
	10πu.a.
	
	
	D
	8πu.a.
	
	
	E
	6πu.a.
A curva r=2+2cosθ
é simétrica ao eixo polar (pois trocando θ por −θ, a equação r=2+2cosθ não se altera). Desse modo, calculamos a área da região acima do eixo polar e multiplicamos o resultado por 2, ou seja, 
Área(R)=2[12∫π0(2+2cosθ)2dθ]=∫π0(4+8cosθ+4cos2θ)dθ=∫π0[4+8cosθ+4(1+cos2θ2)]dθ=∫π0(6+8cosθ+2cos2θ)dθ=(6θ+8senθ+sen2θ)∣∣∣π0=6π+8senπ+sen2π=6π+0+0=6πu.a.
	
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considere a função f(x)=x3/2.
O arco do gráfico desta função no intervalo [0,1] é apresentado na figura abaixo:
O comprimento deste arco vale
Referência: Livro-Base, p. 21-24.
Nota: 0.0
	
	A
	L=227(10√10−1)u.c.
	
	
	B
	L=227(10√10)u.c.
	
	
	C
	L=227(13√13−1)u.c.
	
	
	D
	L=127(10√10−1)u.c.
	
	
	E
	L=127(13√13−8)u.c.
A fórmula que fornece o comprimento de arco é L=∫ba√1+[f′(x)]2dx.
Assim,
L=∫10 ⎷1+(3√x2)2dx=∫10√1+9x4dx=12∫10√4+9xdx=127[13√13−8]u.c.