Função Tangente (Resumo)

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Instituto Promath
Prof. Eliakim
Matema´tica
20 de Agosto de 2018
1 Func¸a˜o Tangente
Definimos a func¸a˜o tangente f : A → R pondo f(x) = tan (x) = sin (x)cos (x) , sendo A = R \ {pi2 + kpi; k ∈ Z}
(pois os valores do conjunto {pi2 +kpi; k ∈ Z} anulam a func¸a˜o cosseno, logo f na˜o esta´ definida neste conjunto).
1.1 Domı´nio da Func¸a˜o Tangente
Podemos representar o domı´nio da func¸a˜o tangente como segue na Figura 1.
Figura 1: o domı´nio da func¸a˜o tangente e´ o conjunto de todos os valores reais x que na˜o anulam cos(x)
1.2 Tangente no Ciclo Trigonome´trico
No ciclo trigonome´trico, obtemos os valores de tan(x) da seguinte maneira:
Figura 2: a reta em vermelho e´ denominada Reta das Tangentes
Pore´m, podemos sempre recorrer a` definic¸a˜o da tangente para obter valores de tan(x), basta calcular
sin(x)/ cos(x).
1.3 Gra´fico da Func¸a˜o Tangente
Para a construc¸a˜o do gra´fico da func¸a˜o tangente, utilizamos a seguinte tabela com os valores mais simples
poss´ıveis:
1
x sin(x) cos(x) tan(x) = sin(x)
cos(x)
0 0 1 0
pi
6
1
2
√
3
2
√
3
3
pi
4
√
2
2
√
2
2
1
pi
3
√
3
2
1
2
√
3
pi
2
1 0 indefinido
pi 0 −1 0
3pi
2
−1 0 indefinido
2pi 0 1 0
Observac¸o˜es. Embora estejamos colocando na tabela tan(x) para x ∈ {pi2 + kpi; k ∈ Z}, e´ obvio que na˜o faz
sentido calcular tais imagens. Pore´m, isso nos ajuda a identificar que, na medida em que x se aproxima dos
valores do conjunto x ∈ {pi2 + kpi; k ∈ Z}, a tangente cresce ou decresce indefinidamente e temos uma melhor
noc¸a˜o do que acontece com seu gra´fico.
Enta˜o, o gra´fico de tan(x) pode ser esboc¸ado.
Figura 3: as curvas em vermelho representam uma parte do gra´fico de tan(x)
Apenas observando gra´fico de f(x) = tan(x), temos a intuic¸a˜o de que f e´ uma func¸a˜o perio´dica. De fato, a
func¸a˜o tangente sera´ uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo P (f) = pi.
2 Func¸a˜o Secante, Cossecante e Cotangente
As func¸o˜es secante, cossecante e cotangente sa˜o definidas, respectivamente por:
• f : A→ R tal que f(x) = sec(x) = 1cos(x) , onde A = R \ {pi2 + kpi; k ∈ Z}.
• g : B → R tal que g(x) = csc(x) = 1sin(x) , onde B = R \ {kpi; k ∈ Z}.
• h : B → R tal que h(x) = cot(x) = cos(x)sin(x) , onde B = R \ {kpi; k ∈ Z}.
Os gra´ficos das func¸o˜es secante, cossecante e cotangente sa˜o construidos da mesma maneira que foi feito na
tangente.
3 Sinais
Os sinais (em cada quadrante) das func¸o˜es que derivam de seno e cosseno podem ser obtidos efetuando as
operac¸o˜es (jogo de sinal).
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