Funções Trigonométricas

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<p>DESCRIÇÃO</p><p>Apresentação das funções trigonométricas e suas aplicações.</p><p>PROPÓSITO</p><p>Compreender e utilizar as características e os gráficos das funções trigonométricas.</p><p>PREPARAÇÃO</p><p>Para realizar o estudo deste conteúdo, recomendamos que utilize uma calculadora.</p><p>OBJETIVOS</p><p>MÓDULO 1</p><p>Reconhecer as principais características de uma função real</p><p>MÓDULO 2</p><p>Identificar os gráficos das funções trigonométricas básicas</p><p>MÓDULO 3</p><p>Identificar as funções trigonométricas inversas</p><p>A IMPORTÂNCIA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS</p><p>AVISO: orientações sobre unidades de medida.</p><p>AVISO: ORIENTAÇÕES SOBRE UNIDADES DE</p><p>MEDIDA.</p><p>javascript:void(0)</p><p>Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por</p><p>questões de tecnologia e didáticas. No entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um</p><p>espaço entre o número e a unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatórios técnicos e demais</p><p>materiais escritos por você devem seguir o padrão internacional de separação dos números e</p><p>das unidades.</p><p>MÓDULO 1</p><p> Reconhecer as principais características de uma função real</p><p>CARACTERÍSTICAS DAS FUNÇÕES REAIS</p><p>CARACTERÍSTICAS DE UMA FUNÇÃO</p><p>REAL</p><p>DISCUSSÃO PRELIMINAR</p><p>Como já estudado nos ensinos fundamental e médio, uma abordagem intuitiva para o conceito</p><p>de função é identificar essa importante entidade matemática como uma correspondência</p><p>entre os elementos de um conjunto A, chamado de domínio da função, e os elementos de um</p><p>conjunto B, chamado de seu contradomínio. Escrevemos:</p><p>Assim, uma função f se caracteriza, objetivamente, por uma lei de associação entre objetos de</p><p>seu domínio A e seu conjunto contradomínio B.</p><p> ATENÇÃO</p><p>Naturalmente que as funções reais — as que possuem domínio e contradomínio constituídos</p><p>apenas de números reais, ou seja, ambos são subconjuntos do conjunto dos números reais —</p><p>são as funções de nosso maior interesse.</p><p>A figura ao lado é uma forma esquemática extremamente útil para a compreensão dos</p><p>principais conceitos e a terminologia utilizada no estudo das funções.</p><p>Por meio de setas, está indicada a correspondência entre objetos de seu conjunto domínio</p><p>e seu contradomínio .</p><p>f : A → B</p><p>A = {a,  b,  c,  d} B ={p,  q,  r,  s t}</p><p>NOTE QUE CADA ELEMENTO DO CONJUNTO A ESTÁ</p><p>RELACIONADO A UM E APENAS UM OBJETO DO</p><p>CONJUNTO B, MAS É POSSÍVEL, ENTRETANTO, QUE</p><p>DOIS ELEMENTOS DIFERENTES DO CONJUNTO A</p><p>ESTEJAM ASSOCIADOS AO MESMO OBJETO DO</p><p>CONJUNTO B. SE UM OBJETO X DE A ESTÁ</p><p>RELACIONADO AO OBJETO Y DE B, ESCREVEMOS</p><p>E LEMOS QUE: “ÍPSILON É IGUAL A F DE</p><p>XIS”.</p><p>Então, no exemplo, temos:</p><p>,</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Ou seja, p é a imagem de a pela função f; r é a imagem de b e de c pela função f; e, finalmente,</p><p>q é a imagem de d pela função f.</p><p>Se, em dada função, dois objetos do domínio não possuírem a mesma imagem, dizemos que a</p><p>função f é injetora. Isso ocorre, então, quando não há duas setas partindo de A e chegando ao</p><p>mesmo objeto de B. Assim, no presente exemplo, f não é uma função injetora.</p><p>y = f(x)</p><p>p = f(a)</p><p>r = f(b)=</p><p>f</p><p>(c)</p><p>q = f(d)</p><p>Note que a definição de uma função não exige que todos os objetos de B sejam associados a</p><p>algum objeto de A.</p><p>Na verdade, quando isso ocorre, dizemos que a função é sobrejetora. Intuitivamente, quando</p><p>sobram elementos de B, a função não é sobrejetora.</p><p>Nesse exemplo, os elementos s e t do conjunto contradomínio B não estão associados a</p><p>nenhum dos elementos do conjunto domínio A. Logo, f não é sobrejetora.</p><p>OS OBJETOS DE B QUE SÃO IMAGEM DE ALGUM</p><p>OBJETO DE A PELA FUNÇÃO F CONSTITUEM UM</p><p>CONJUNTO QUE CHAMAMOS DE IMAGEM DA</p><p>FUNÇÃO F E USAMOS A NOTAÇÃO .</p><p>PORTANTO, A FUNÇÃO F DO EXEMPLO NÃO É</p><p>SOBREJETORA, POIS .</p><p>ENTÃO, UMA FUNÇÃO É SOBREJETORA QUANDO</p><p>— SEU CONJUNTO IMAGEM — É IGUAL A SEU</p><p>CONTRADOMÍNIO, ISTO É, QUANDO .</p><p>Outra representação curiosa e muito útil é associar funções a máquinas que, digamos,</p><p>transformam objetos de seu domínio A em objetos de seu contradomínio B.</p><p>Assim, se x entra na máquina f, x é transformado no objeto y, de B.</p><p>É claro que, nessa analogia, se todos os elementos de A entrarem na máquina f, o conjunto</p><p>dos objetos transformados, que saem da máquina f — seu conjunto imagem, que está</p><p>Im(f)</p><p>Im (f) = {p,  q,  r} ≠ B</p><p>Im (f)</p><p>Im (f) = B</p><p>representado na cor laranja — não será, em geral, igual ao conjunto contradomínio B, em</p><p>verde.</p><p> ATENÇÃO</p><p>Essa representação é extremamente útil para ilustrarmos os conceitos de composição de</p><p>funções e de função inversa, a serem abordados em outro momento em nosso estudo.</p><p>EXEMPLO 1</p><p>Considere a função , definida por .</p><p>Em seguida:</p><p>Determine a imagem, por f de x = -2, -1, 0, 1 e 2.</p><p>Determine o conjunto imagem de f.</p><p>Verifique se a função dada é injetora e se é sobrejetora.</p><p>SOLUÇÃO</p><p>Como a associação entre os elementos do domínio de f e contradomínio de f se dá por meio de</p><p>uma expressão algébrica — um polinômio do segundo grau —, é simples analisar os itens</p><p>solicitados.</p><p>f : R → R f(x)= x2 − 1</p><p>Vejamos:</p><p>a. A imagem de cada um dos valores do domínio pode ser analisada na tabela a seguir, que</p><p>associa cada valor dado do domínio de f, sua imagem.</p><p>-2</p><p>-1</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p> Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal</p><p> Tabela: Valores do domínio.</p><p>Elaborada por Carlos Nehab.</p><p>b. Embora tenhamos calculado a imagem de apenas alguns valores do domínio de f, parece</p><p>natural perceber que, por elevarmos x ao quadrado e depois subtrairmos 1, só obteremos</p><p>valores positivos ou o zero, subtraídos de 1! E, como x percorre todos os números reais, pois</p><p>seu domínio é R, parece claro que o conjunto imagem de f é constituído de todos os números</p><p>reais maiores ou iguais a -1, ou seja, o intervalo fechado em -1 e aberto em , isto é,</p><p>.</p><p>c. Para determinar se uma função é injetora, podemos investigar a seguinte situação: se</p><p>, podemos garantir que ? Se a resposta for afirmativa, a função será</p><p>injetora; do contrário, a função não será injetora.</p><p>Vejamos, então: é equivalente a , ou seja, .</p><p>A resposta se resume a investigar a seguinte questão: podemos garantir que acarreta</p><p>? A resposta é negativa, pois, nesse caso, podemos ter ou e,</p><p>desse modo, de fato pode ser negativo. Aliás, poderíamos ter respondido de imediato que f</p><p>x f(x)</p><p>f(−2)=(−2)</p><p>2</p><p>− 1 = 4 − 1 = 3</p><p>f(−1)= (−1)2 − 1 = 1 − 1 = 0</p><p>f(0)= 02 − 1 = 0 − 1 = −1</p><p>f(1)= 1</p><p>2</p><p>− 1 = 1 − 1 = 0</p><p>f(2)= 22 − 1 = 4 − 1 = 3</p><p>+∞</p><p>[−1; +∞[</p><p>f(x1)= f(x2) x1 = x2</p><p>f(x1)= f(x2) x2</p><p>1 − 1 = x2</p><p>2 − 1 x2</p><p>1 = x2</p><p>2</p><p>x2</p><p>1 = x2</p><p>2</p><p>x1 = x2 x1 = x2 x1 = −x2</p><p>x1</p><p>não é injetora simplesmente percebendo, na tabela montada, no item a anterior, que já</p><p>tínhamos observado dois valores diferentes de x que possuíam a mesma imagem…</p><p>Como o conjunto imagem da função dada não coincide com o contradomínio escolhido — veja</p><p>o item b —, segue-se que a função f também não é sobrejetora.</p><p>Observação</p><p>Note que, se tivéssemos escolhido como domínio apenas os números reais entre 1 e 2,</p><p>estritamente, mantendo o contradomínio como R, por exemplo, a função dada seria injetora.</p><p>Pense a esse respeito…</p><p>Procure analisar, também, a situação em que: o domínio é o intervalo entre 1 e 2</p><p>(estritamente); e o contradomínio, o intervalo entre 1 e 4, também estritamente. Perceba que,</p><p>nesse caso, a função seria tanto injetora quanto sobrejetora e, nessa situação, utilizamos a</p><p>terminologia bijetora!</p><p>Portanto, para uma mesma regra de associação entre os valores do domínio e do</p><p>contradomínio de uma função, ou seja, uma mesma regra que ligue x a y, é fundamental</p><p>perceber que a injetividade ou sobrejetividade de uma função depende, diretamente, do</p><p>domínio e do contradomínio escolhidos.</p><p>GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO REAL</p><p>O conceito de gráfico de uma função real de variável real, estudado nos ensinos fundamental</p><p>e médio, possui extrema utilidade para analisarmos, via geometria, as características de uma</p><p>função real — especialmente as características das funções trigonométricas, que são nosso</p><p>especial interesse nesse tema.</p><p>Relembremos a engenhosa estratégia que nos possibilita essa associação entre a álgebra</p><p>e a</p><p>geometria, atribuída aos estudos de Descartes e de Pascal.</p><p>Dada uma função f arbitrária real de variável real, podemos associar a cada valor x de seu</p><p>domínio e sua correspondente imagem um ponto do plano cartesiano, cuja abscissa</p><p>vale x e cuja ordenada vale y.</p><p>Essa estratégia possibilita que qualquer expressão matemática que relacione xizes do</p><p>domínio aos correspondentes ipsilons do contradomínio seja associada a uma curva que se</p><p>relacione à expressão utilizada.</p><p>y = f(x)</p><p>javascript:void(0)</p><p>DESCARTES E DE PASCAL</p><p>René Descartes foi um filósofo, físico e matemático francês considerado o fundador da</p><p>filosófica moderna e pai da matemática moderna.</p><p>Blaise Pascal foi um Filósofo, físico, matemático e teólogo francês. Dedicou-se ao estudo de</p><p>ciências naturais e ciências aplicadas.</p><p> RELEMBRANDO</p><p>Se a regra que associa os elementos do domínio aos elementos do contra-domínio de uma</p><p>função for um polinômio do primeiro grau, o gráfico obtido será uma reta; se for um polinômio</p><p>do segundo grau, será uma parábola.</p><p>EXEMPLO 2</p><p>As imagens a seguir mostram os gráficos das funções f e g, de R em R definidas pelo</p><p>polinômio do primeiro grau e , respectivamente, exibindo,</p><p>portanto, uma reta e uma parábola. Note que, se restringirmos o domínio das funções f e g a</p><p>intervalos, naturalmente os gráficos da função serão apenas um “trecho” do gráfico da parábola</p><p>e da reta. Do mesmo modo, os conjuntos imagem, nessas situações, também serão alterados.</p><p>f(x) = 2x– 1 g(x) = x2 − 1</p><p></p><p></p><p>Note na imagem que os conjuntos imagem de f e g, caso os domínios sejam R, são,</p><p>respectivamente, R e o intervalo . Entretanto, se restringirmos o domínio de f e de</p><p>g ao intervalo fechado , por exemplo, seus conjuntos imagem serão, respectivamente,</p><p>os intervalos também fechados e .</p><p>f(x)= 2x − 1</p><p>g(x)= x2 − 1</p><p>[−1;   + ∞[</p><p>[−1;  2]</p><p>[−2;  3] [−1;   + ∞[</p><p>FUNÇÕES PERIÓDICAS</p><p>O conceito de função periódica — nome que sugere algum aspecto relacionado à repetição de</p><p>comportamento — é essencial para o estudo das funções trigonométricas. Veja, no exemplo</p><p>que se segue, o desenvolvimento intuitivo desse importante conceito.</p><p>EXEMPLO 3</p><p>Analise a função da Figura A, cujo gráfico é suposto repetir um padrão indefinidamente.</p><p> Figura A</p><p> Figura B</p><p>SOLUÇÃO:</p><p>Note que se os dois retângulos em laranja na imagem B fossem interpretados como carimbos,</p><p>tais carimbos, usados indefinidamente, permitiriam gerar o gráfico da função indicada. A</p><p>menor largura do carimbo capaz de realizar essa tarefa é chamada de período principal.</p><p>Alguns atores chamam de período simplesmente a largura de qualquer carimbo capaz de</p><p>replicar a função. Assim, 2, 4, 6, 20 etc. são períodos da função, mas o período principal da</p><p>função vale 2.</p><p>Assim como no exemplo anterior, a imagem a seguir também possui aspecto repetitivo, e seu</p><p>período (principal) vale . Na verdade, conforme veremos no próximo módulo, trata-se do</p><p>gráfico da função definida em R por . Note que o seno de múltiplos inteiros de</p><p>π vale zero (x entendido em radianos).</p><p>Veja que interessante! Uma vez determinada a largura do menor carimbo associado a uma</p><p>função periódica (seu período), qualquer trecho do gráfico com a mesma largura desse</p><p>carimbo servirá como modelo de outro carimbo que também gera a função…</p><p>Veja nas imagens a seguir que os dois carimbos claramente indicados em laranja geram o</p><p>gráfico de f!</p><p>2π</p><p>f(x) = sen(x)</p><p>MONOTONISMO DE FUNÇÕES</p><p>A terminologia monotonismo, quando aplicada a funções reais, refere-se ao comportamento de</p><p>seu gráfico, quanto ao crescimento ou decrescimento em determinado intervalo.</p><p>EXEMPLO 4</p><p>Observe o gráfico abaixo. Ele sugere que a função f possui um comportamento de crescimento</p><p>ou de decrescimento, dependendo do intervalo considerado:</p><p>Note que no intervalo:</p><p>Entre 2 e 3, à medida que x cresce, também cresce — dizemos então que a função</p><p>f é crescente nesse intervalo .</p><p>De até , o gráfico sugere que a função f também é crescente nesse intervalo.</p><p>, claramente o comportamento da função f é decrescente.</p><p>, a função não apresenta um monotonismo, ou seja, não é nem crescente nem</p><p>decrescente nesse intervalo.</p><p>f(x)</p><p>[2;  3]</p><p>−∞ −3/2</p><p>[−3/2;  2]</p><p>[0;  3]</p><p>NOTE ENTÃO A TERMINOLOGIA UTILIZADA, EM QUE I</p><p>É UM INTERVALO CONTIDO NO DOMÍNIO DE F.</p><p>DIZEMOS QUE F É:</p><p>• CRESCENTE NO INTERVALO I SE, DADOS</p><p>QUAISQUER EM I, .</p><p>• DECRESCENTE NO INTERVALO I SE, DADOS</p><p>QUAISQUER EM I, TIVERMOS .</p><p>Há ainda duas situações que alguns autores privilegiam. Dizemos que f é:</p><p>Não crescente no intervalo I se, dados quaisquer em I, tivermos</p><p>— ou seja, é constante ou decrescente.</p><p>Não decrescente no intervalo I se, dados quaisquer em I, tivermos</p><p>— ou seja, é constante ou crescente.</p><p>PARIDADE DE UMA FUNÇÃO</p><p>O conceito de paridade está relacionado a características de simetria de seu gráfico. Assim,</p><p>dizemos que uma função f é:</p><p>Par, se seu gráfico é simétrico com relação ao eixo vertical, ou seja, se para todo valor de</p><p>x de seu domínio vale a relação .</p><p>Ímpar, se seu gráfico é simétrico com relação à origem.</p><p>EXEMPLO 5</p><p>Veja a imagem ao lado, que ilustra essas situações.</p><p>x1 < x2 f(x1)< f(x1)</p><p>x1 < x2 f(x1)> f(x1)</p><p>x1 < x2 f(x1)≥ f(x2)</p><p>x1 < x2</p><p>f(x1)≤ f(x2)</p><p>f(x) =  f(−x)</p><p>A função em azul, uma função de R em R, é definida por e é claramente uma</p><p>função par. Na verdade, qualquer polinômio na variável x que só contenha expoentes pares</p><p>será uma função par.</p><p>Analogamente, a função em verde, também de R em R, é definida por . Note que</p><p>polinômios em que só ocorrem expoentes ímpares são funções ímpares.</p><p>Percebeu de onde vem essa nomenclatura?</p><p>EXEMPLO 6</p><p>Observe a imagem ao lado, que ilustra o gráfico das funções f, de R em R, tais que ,</p><p>em que n = 1 a 5.</p><p>Identifique “quem é quem” analisando o comportamento de para e para .</p><p>Perceba que, se , então quanto maior o valor de n, maior o resultado; se , quanto</p><p>maior o valor de n, maior o resultado!</p><p>f(x) =  x2</p><p>g(x) = 2x</p><p>f(x) = xn</p><p>xn x < 1 x > 1</p><p>x > 1 x > 1</p><p>EXEMPLO 7</p><p>Você concorda que e , em que x é um arco arbitrário</p><p>medido em radianos? Pois é. Adiantamos, então, que as funções de R em R definidas por</p><p>e são, respectivamente, ímpar e par. Veja a imagem a seguir:</p><p>Qual a cor do gráfico da função seno? Pense em quanto vale sen(0)…</p><p>QUAL A COR DO GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO?</p><p>sen(−x)= −sen(x) cos(−x) = cos(x)</p><p>f(x) = sen(x) g(x) = cos(x)</p><p>javascript:void(0)</p><p>A função seno é aquela que está na cor azul, e , como notamos no gráfico.</p><p>MÃO NA MASSA</p><p>TEORIA NA PRÁTICA</p><p>a) Mostre que a soma de duas funções periódicas cujos períodos valem 4 e 6 é,</p><p>necessariamente, uma função periódica.</p><p>b) A soma de duas funções periódicas é sempre periódica? Justifique.</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>SOMA DE FUNÇÕES PERIÓDICAS</p><p>sen(0)= 0</p><p>VERIFICANDO O APRENDIZADO</p><p>MÓDULO 2</p><p> Identificar os gráficos das funções trigonométricas básicas</p><p>RECONHECENDO O GRÁFICO DAS FUNÇÕES</p><p>TRIGONOMÉTRICAS</p><p>GRÁFICO DAS FUNÇÕES</p><p>TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS</p><p>GRÁFICO DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO</p><p>Vamos analisar as características gráficas das funções trigonométricas seno e cosseno.</p><p>Tais funções são definidas de R em R. Desse modo, se x é um número real, sen(x) e cos(x)</p><p>são, respectivamente, o seno e o cosseno do arco de medida x (interpretado como medido em</p><p>radianos).</p><p>O seno e o cosseno de um arco de medida x é definido pela ordenada e pela abscissa do</p><p>ponto extremidade P desse arco. A imagem ao lado ilustra essa situação, em que sen(x) e</p><p>cos(x) são, respectivamente, a medida dos segmentos orientados e .</p><p>−−→</p><p>QP</p><p>−−→</p><p>OQ</p><p> ATENÇÃO</p><p>Mas o seno e o cosseno de arcos côngruos são iguais. Então, é imediato perceber que essas</p><p>funções são cíclicas, ou seja, periódicas: de em radianos. Os arcos possuem mesma</p><p>extremidade e, portanto, os valores de seus senos e cossenos se repetem.</p><p>Logo, o gráfico das funções seno e cosseno possuem o aspecto indicado na imagem</p><p>(acompanhe no círculo trigonométrico, imaginando o ponto P se deslocando do ponto A, no</p><p>sentido trigonométrico, até atingir outra vez o ponto A, o que corresponde ao arco ).</p><p>Analisando o seno e o cosseno</p><p>dos arcos com extremidades nos pontos A, A’, B e B’ é simples</p><p>esboçar o gráfico desejado. Veja:</p><p>Observe que os dois gráficos possuem o mesmo aspecto, mas defasados horizontalmente.</p><p>Essa característica é facilmente justificada porque:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Logo, os valores do cosseno de um arco de medida x são iguais aos valores do seno do arco</p><p>que está na frente , ou seja, que lhe é superior em ...</p><p>Esse fato pode ser observado nas imagens a seguir, em que exibimos situações com x em</p><p>cada um dos quatro quadrantes:</p><p>2π 2π</p><p>2π</p><p>cos(x)= sen(x + )π</p><p>2</p><p>rdπ</p><p>2</p><p>rdπ</p><p>2</p><p>QUADRANTE 1</p><p>QUADRANTE 2</p><p>QUADRANTE 3</p><p>QUADRANTE 4</p><p>Na próxima imagem, destacamos, em verde, pontos correspondentes dos gráficos da função</p><p>seno e da função cosseno, ou seja, pontos para ressaltar o deslocamento ‘seno’ com relação</p><p>ao ‘cosseno’ de .π/2</p><p>EXEMPLO 1</p><p>Considere a função f, de R em R, definida por para a, variando de 0,5 até 3,</p><p>de 0,5 em 0,5. Para analisar os gráficos de f associados a cada um dos valores de a, é</p><p>interessante observar que tudo se passa como se “espichássemos” ou “contraíssemos” o</p><p>gráfico básico de</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>como se fosse um elástico e, como consequência, o período seria reduzido ou aumentado (a</p><p>escala do eixo sendo mantida). Se dispomos do gráfico de sen x e desejamos obter o gráfico</p><p>de sen ax, basta observarmos que estamos mudando a unidade u da escala do eixo x.</p><p>NA VERDADE, O PERÍODO DA FUNÇÃO DEFINIDA POR</p><p>SEN(AX) VALE , QUE É UMA SIMPLES</p><p>CONTRAÇÃO OU EXPANSÃO DO VALOR , VALOR</p><p>DO PERÍODO DE SEN(X): CONTRAÇÃO, SE É</p><p>MAIOR DO QUE 1; EXPANSÃO, SE É MENOR DO</p><p>QUE 1.</p><p>A animação ilustra as considerações realizadas. Perceba o carimbo, em verde, que sugere o</p><p>período para cada valor de a.</p><p>f(x) = sen(a.x)</p><p>f(x) = sen(x)</p><p>2/a</p><p>2π</p><p>|a|</p><p>|a|</p><p>GRÁFICO DAS FUNÇÕES TANGENTE E</p><p>COTANGENTE</p><p>O comportamento das linhas trigonométricas tangente e cotangente é essencial para</p><p>definirmos adequadamente as funções tangente e cotangente.</p><p>A próxima imagem exibe o círculo trigonométrico e os seguintes elementos:</p><p>Os eixos das tangentes e das cotangentes, que são tangentes ao círculo trigonométrico</p><p>nos pontos A e B.</p><p>Um arco x, cuja extremidade é o ponto P.</p><p>Os valores da tangente e cotangente do arco x, que são as medidas dos segmentos</p><p>orientados e , em que T e T’ são as interseções dos eixos das tangentes e das</p><p>cotangentes com o prolongamento do raio OP.</p><p>Assim, fica claro que não existe tangente de arcos com extremidade em B e B’ e não existe</p><p>cotangente de arcos com extremidade em A e A’.</p><p>¯̄¯̄̄ ¯AT ¯̄¯̄̄ ¯BT '</p><p>Como consequência, temos que o domínio da função:</p><p>Tangente, a ser definida pela linha trigonométrica tangente, não possui arcos da forma</p><p>, k inteiro.</p><p>Cotangente, a ser definida pela linha trigonométrica cotangente, não possui arcos da forma</p><p>, k inteiro.</p><p>Além disso, como arcos côngruos (de mesma extremidade) possuem as mesmas linhas</p><p>trigonométricas, fica claro que as funções tangente e cotangente serão periódicas e de período</p><p>.</p><p>Observando as próximas imagens, simultaneamente, com o círculo trigonométrico e o gráfico</p><p>indicado, percebe-se o seguinte comportamento, variando x de 0 a :</p><p>Aumentando o arco x a partir de 0 até , vai aumentando e, quando atinge o valor</p><p>, vale 1.</p><p></p><p>À medida que x cresce a partir de e vai se aproximando de , o valor da tangente vai</p><p>crescendo indefinidamente.</p><p></p><p>Repetindo a análise quando x varia de 0 até , o comportamento é análogo, com a</p><p>tangente assumindo valores negativos.</p><p>k + π/2</p><p>πk</p><p>π</p><p>π/2</p><p>π/4 tg(x)</p><p>π/4</p><p>π/4 π/2</p><p>−π/2</p><p>Então, como a linha trigonométrica tangente é cíclica, o gráfico da função possui o</p><p>aspecto indicado na imagem B, em que seu período vale π (ou seja, um carimbo de largura π</p><p>nos permitiria gerar o gráfico da função tangente).</p><p>Note que os ramos do gráfico da função tangente intersectam o eixo horizontal para valores de</p><p>x da forma , k inteiro.</p><p>tg(x)</p><p>kπ</p><p>Uma discussão análoga pode ser desenvolvida para a função cotangente. Como:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Segue-se que o gráfico da cotangente é o “simétrico” ao gráfico da tangente com relação ao</p><p>eixo das abscissas, deslocado de .</p><p>Veja na próxima imagem:</p><p>O gráfico de , em verde.</p><p>O gráfico de ,em azul, é o gráfico de deslocado para a direita de .</p><p>O gráfico de é o simétrico do gráfico de com relação ao eixo</p><p>horizontal e coincide com o gráfico de — em laranja: veja as setas com azul e</p><p>laranja, em gradiente de cor.</p><p>cotg(x)= tg( −  x)= − tg(x − )π</p><p>2</p><p>π</p><p>2</p><p>π/2</p><p>tg(x)</p><p>tg(x − )π</p><p>2</p><p>tg(x) π/2</p><p>− tg(x − )π</p><p>2</p><p>− tg(x − )π</p><p>2</p><p>cot(x)</p><p>EXEMPLO 2</p><p>Dadas as funções definidas por , e , perceba que</p><p>os gráficos de g e h possuem a mesma forma que o gráfico de f, a menos de uma contração</p><p>horizontal nas proporções 1: 2 e 1: 3. Isso significa que, se o gráfico de f tivesse sido</p><p>desenhado em um papel elástico, bastaria reduzir à metade e à terça parte a “largura” do</p><p>gráfico de f para obtermos os gráficos de g e de h.</p><p>Veja na imagem a seguir que, para certo valor de x que acarreta certo valor de , e</p><p>acarretariam o mesmo valor para e , respectivamente.</p><p>f(x) = tg(x) g(x) = tg(2x) h(x) = tg(3x)</p><p>f(x) x/2</p><p>x/3 g(x) h(x)</p><p>EXEMPLO 3</p><p>Analise o gráfico da função f, definida por . Imediato: basta rebater a parte</p><p>negativa de com relação ao eixo horizontal. Como consequência, a imagem ilustra o</p><p>gráfico solicitado, em que o está em verde, tracejado, e f, em laranja.</p><p>GRÁFICO DAS FUNÇÕES SECANTE E</p><p>COSSECANTE</p><p>Por serem, respectivamente, o inverso do cosseno e do seno, as linhas trigonométricas</p><p>secante e cossecante não são definidas onde cosseno e seno se anulam, respectivamente.</p><p>Logo, temos que a função:</p><p>SECANTE</p><p>A ser definida pela linha trigonométrica secante, não possui arcos da forma , k inteiro,</p><p>em seu domínio (arcos em que cosseno se anula).</p><p>f(x) =|tg(x)|</p><p>tg(x)</p><p>tg(x)</p><p>kπ + π/2</p><p>COSSECANTE</p><p>A ser definida pela linha trigonométrica cossecante, não possui arcos da forma , k inteiro, em</p><p>seu domínio (arcos em que seno se anula).</p><p>Podemos perceber a forma dos gráficos de secante e de cossecante de duas maneiras:</p><p>analisando as relações e ; ou, alternativamente,</p><p>analisando a definição geométrica de secante e cossecante. Observe as próximas imagens.</p><p>Em ambos os casos, é fácil observar que os gráficos das funções secante e cossecante</p><p>possuem o aspecto explicitado na imagem a seguir.</p><p>Note que, como seno e cosseno possuem valores entre -1 e +1, as funções secante (em</p><p>laranja) e cossecante (em verde), em módulo, só admitem valores maiores ou iguais a 1.</p><p>kπ</p><p>sec(x) = 1/ cos(x) cos sec(x) = 1/sen(x)</p><p>Naturalmente, a função secante é par e a função cossecante é ímpar, porque seus inversos –</p><p>cosseno e seno — o são, respectivamente.</p><p> ATENÇÃO</p><p>Note que, como , então , ou seja, o gráfico</p><p>da cossecante é deslocado horizontalmente do gráfico da secante em um valor .</p><p>EXEMPLO 4</p><p>Analise a função definida por e perceba que as seguintes</p><p>observações facilitam a obtenção de seu gráfico, quando o comparamos ao gráfico da função</p><p>secante:</p><p>Há uma expansão vertical por conta do fator multiplicativo 2.</p><p>Há um deslocamento horizontal considerando o argumento , em comparação com o</p><p>argumento x da função secante.</p><p>Assim, a próxima figura ilustra o gráfico de secante — em laranja —, e o de f — em azul.</p><p>Analise-os cuidadosamente:</p><p>sen(x)= cos(x − )π</p><p>2</p><p>cossec(x) = sec(x − π/2)</p><p>π/2</p><p>f(x) = 2. sec(x − π/3)</p><p>x − π/3</p><p>MÃO NA MASSA</p><p>TEORIA NA PRÁTICA</p><p>Dada a função definida de R em R por , esboce seu gráfico e informe se é</p><p>uma função periódica, justificando sua resposta.</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>f(x) = x. sen(x)</p><p>FUNÇÃO PERIÓDICA DE R EM R</p><p>VERIFICANDO O APRENDIZADO</p><p>MÓDULO 3</p><p> Identificar as funções trigonométricas inversas</p><p>AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS</p><p>FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS</p><p>CONCEITO DE FUNÇÃO INVERSA.</p><p>Considere a função representada, na imagem seguir, por seu diagrama de setas e por sua</p><p>representação</p><p>como máquina.</p><p>A interpretação de uma função como máquina nos instiga a perguntar: o que seria outra</p><p>máquina que funcionasse ao contrário de f, ou seja, que revertesse a ação de f? Imagine</p><p>como seria uma máquina que, nesse caso, transformasse p em a e q em d, por exemplo — ao</p><p>invés de transformar a em p, d em q etc.</p><p>Note que a definição de função exige uma condição fundamental: “A cada elemento do domínio</p><p>da função associamos um e apenas um elemento do contradomínio”.</p><p>Na situação aqui analisada, se revertermos a ação dessa função f, obteremos um diagrama</p><p>como o mostrado na imagem ao lado, que não atende à condição de “ser função” por duas</p><p>razões:</p><p>Há objetos de B (que agora é o domínio dessa máquina invertida) — por exemplo, s e t — não</p><p>associados a nenhum elemento de A (que agora é o contradomínio).</p><p>Há um elemento de B que está associado a dois objetos de A: por exemplo, r!</p><p>Essa análise sugere que inverter o funcionamento de uma máquina só faz sentido quando ela</p><p>for bijetora; pois, assim, situações como as descritas em I e II não ocorreriam.</p><p>COMO CONSEQUÊNCIA, DADA UMA FUNÇÃO DE A EM</p><p>B, BIJETORA, É POSSÍVEL DEFINIR UMA FUNÇÃO</p><p>QUE CHAMAREMOS DE FUNÇÃO INVERSA DE F, QUE</p><p>SERÁ REPRESENTADA POR E CUJO</p><p>FUNCIONAMENTO É ASSIM DEFINIDO: DADO UM X EM</p><p>B, EXATAMENTE QUANDO .</p><p>Interpretando intuitivamente: a imagem de um objeto x de B, que entra nessa máquina, é o</p><p>objeto y; tal que, se x entra na máquina f, sai y.</p><p>EXEMPLO 1</p><p>Considere a função f, de R em R, definida por .</p><p>Determine a função inversa de f, caso exista.</p><p>SOLUÇÃO</p><p>A primeira pergunta a ser respondida é: f é bijetora?</p><p>• Para ser injetora: é impossível dois argumentos diferentes terem mesma imagem pela</p><p>função f? Ou seja, exige que ?</p><p>• Para ser sobrejetora: dado um elemento y qualquer do contradomínio, sempre há algum x</p><p>do domínio cuja imagem seja y?</p><p>Nesse caso as respostas são afirmativas: pense na reta gráfico da sentença .</p><p>Mas qual seria uma estratégia simples para obter uma expressão para o funcionamento da</p><p>máquina ?</p><p>Na verdade, devemos determinar uma expressão que ligue um xis que entra máquina</p><p>inversão correspondente ípsilon que sai da máquina . Porém, se invertermos as letras x e</p><p>y na expressão original de f,quando explicitarmos o atual y (antigo x) em função do atual x</p><p>(antigo y), já obteremos a “associação entre entrada e saída da função inversa”.</p><p>Veja a imagem:</p><p>f−1</p><p>f −1(x)= y f(y) = x</p><p>f(x)= 3x + 1</p><p>f(x1) = f(x2) x1 = x2</p><p>y = 3x + 1</p><p>f−1</p><p>f−1</p><p>Assim, na expressão que define f, trocamos as letras x e y e explicitamos o próprio y, que será</p><p>a “saída” da máquina .</p><p>Eis os passos:</p><p>.</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Explicitando y, obtemos: . Ou seja, e .</p><p>EXEMPLO 2</p><p>Dada a função , definida por , restrinja o domínio e o contradomínio</p><p>de g a intervalos adequados, para que a função g seja inversível.</p><p>SOLUÇÃO</p><p>Analisando o gráfico da função seno, percebemos que qualquer um dos três retângulos</p><p>exibidos restringe o domínio e o contradomínio de maneira adequada para obtermos uma</p><p>função bijetora. Claro que poderíamos fazer escolhas ainda mais restritas, mas não haveria</p><p>grande utilidade.</p><p>Parece mais interessante, entretanto, por uma questão de simetria, escolhermos a região</p><p>laranja, ou seja, os intervalos e .</p><p>Nesse caso, designando por arcsen a função inversa dessa seno restrita (lê-se arcoseno),</p><p>temos:</p><p>f−1</p><p>f : y = 3x + 1 ⇒ f : x = 3y + 1 ⇒ f−1 : x = 3y + 1</p><p>y =</p><p>x−1</p><p>3</p><p>f−1 : R ⇒ R f−1(x)=</p><p>x−1</p><p>3</p><p>g : R ⇒ R g(x) = sen(x)</p><p>[−π;  π] [−1;  1]</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A pergunta “qual é o arco cujo seno vale ?” passa a fazer sentido, pois estamos restritos a</p><p>arcos entre e , ou seja, estamos pensando apenas em e podemos escrever</p><p>.</p><p>Então, a imagem mostra o gráfico de arcsen.</p><p>FUNÇÕES INVERSAS DE SENO, COSSENO</p><p>E TANGENTE</p><p>O exemplo anterior sugere que a estratégia de restringir o domínio das funções trigonométricas</p><p>usuais, em especial as funções seno, cosseno e tangente, permite obter a função inversa, cuja</p><p>utilidade é se referir ao arco cujo seno, cosseno ou tangente é um valor dado, sem</p><p>ambiguidade.</p><p>As imagens a seguir consolidam as restrições adequadas para definimos as funções arcsen,</p><p>arccos e arctgt.</p><p>Restrição de Seno</p><p>arcsen :  [−1;  1] ⇒ [−π;  π]</p><p>1/2</p><p>−π π x = π/6</p><p>arcsen(1/2) = π/6</p><p>[−π/2;  π/2]  ⇒  [−1;   + 1]</p><p>Arcsen</p><p>Restrição de Cosseno</p><p>Arccos</p><p>Restrição de Tangente</p><p>Arctg</p><p>Assim, sintetizando, os gráficos das funções arcsen, arccos e arctg estão esboçados nas</p><p>próximas imagens:</p><p>[−1;   + 1]  ⇒  [−π/2;  π/2]</p><p>[0;  π] ⇒ [−1;   + 1]</p><p>[−1;   + 1] ⇒ [−π/2;  π/2]</p><p>]−π/2,  π/2[⇒] − ∞;   + ∞[</p><p>]−1;   + 1[⇒] − π/2;  π/2[</p><p> Figura A</p><p> Figura B</p><p>MÃO NA MASSA</p><p>TEORIA NA PRÁTICA</p><p>Esboce o gráfico das funções definidas por</p><p>e</p><p>.</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>f(x) = arcsen(sen(x))</p><p>g(x) = sen(arcsen(x))</p><p>GRÁFICOS COM FUNÇÕES ARCO SENO E ARCO</p><p>COSSENO</p><p>VERIFICANDO O APRENDIZADO</p><p>CONCLUSÃO</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS</p><p>Aprendemos em nosso estudo os conceitos de função real, dentre os quais está o de função</p><p>inversa. Com esses conceitos, demos início ao entendimento das funções trigonométricas.</p><p>Vimos que, de acordo com a função trigonométrica, os gráficos plotados apresentam</p><p>características bem distintas: podem variar de -1 a 1, caso de funções seno e cosseno, por</p><p>exemplo; também podem variar de menos infinito a mais infinito, que é o caso de funções</p><p>tangente e cotangente, por exemplo. Por conta disso, verificamos a importância da análise do</p><p>domínio da função e a grande importância da análise do círculo trigonométrico. Todas essas</p><p>informações são essenciais para a modelagem de problemas periódicos nas ciências em geral.</p><p>AVALIAÇÃO DO TEMA:</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>CARMO M. P. do; MORGADO A. C.; WAGNER E. Trigonometria e números complexos. Rio</p><p>de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2005.</p><p>DANTE, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações. São Paulo: Ática, 2004</p><p>EXPLORE+</p><p>Uma fonte inestimável de consulta é o Portal da Matemática da OBMEP, no qual você</p><p>pode rever qualquer tema de seu interesse.</p><p>CONTEUDISTA</p><p>Carlos Eddy Esaguy Nehab</p>