AP1-C2-2014-2-Gabarito

Prévia do material em texto

Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
AP1 - CÁLCULO II - 2014/2 Gabarito 
�
�
������	
���
���
��
���������R �����	
�����
�������
�������
���� = = −
�� � � �� � � ������
����
�� � �
������ [ 1,2]x∈ − . 
�
�� ����������
���������	
�R 
�� ����������������������������	
�R �
�� ���������������
2
2
1
)(1 x dx
−
−∫ ������
�����
��
������
��
����
���
���������� �
�
���	
�
�
��� !�������
�������"	
� � ��
���
��#��
� −$ ���% �&��
�
���
���������������
�������
��������	
�R 
&��
�
���
��������������
����#��'��� ∪=
1 2
R RR onde��
1
R ���
2
R ��	
������
�
���������
(������� ��
� � � �
(�������� � � � � � (��������
�
��� )�������������	
�� ����
�������
�������
���� � ������
����
��
�� � ������ [ 1,2]x∈ − ��
�
�����
��������������&�������
���
�
− −
= + = −+ − = +−∫ ∫ ∫ ∫
� �
� �
� � � �
� � � �
� � � � � � � ��� �� � � � �� �� � � � � � �� �� �� ��� � � � � � �
�
−
 
+ − 
 
= −
� �
* *
� �
�
* *
� �
� �
�
−   
= − − − − + − − −      
� � �� + �
�� � � � � � �� � ��
* * * *
�
=
+
*
����������������� ��
,
�� '��� ��� � �&� �� ����� � ��� ����	
�R , ���� � �&� �� ����� � ��� ����	
� 1R ��� ���� � �&� �� ����� ���
����	
�� 2R �
�
�
������
�--� ).��/�0�����
� ���12� 
 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
��� �
−
−

−
− − − − − − = − + − = − =

= =∫
* *
�
�� *
� �
� � �� + �
�� � � � �� � � � � � � * * �
* * * **
�
�
��� �
�!����#��'���
2
2
1
0 )(1 x dx
−
= −∫ �
−
= ∫
�
�
� ���� � ���
���������
�����
�����
�
����������"�����
�������������������/���'������
�����
�
− −
= + − = −+ ==∫ ∫ ∫
� � �
� � � �
� � �
� � � �� � �� �� �� � � � � ��� �� �� � � � �� � � �� � � � � � � � �3��
�
!�����������4���� �� ��� �� ��	
������
�
���������(������� ��
�
����������"�����
�����
�&������
�������'����� =� �� �� �� � � � � �
�
�
�
������	
���
���
��
����)�5�� 
dy
dx
 ������
�'�� 
2
4
1
2
x
tg x t
y dt
+
= ∫ 
�
���	
��
,
�� '��� 
� ��
������
�
4
1
2 t+
�&� ���� ���"	
� �
�
6���� ����� 
�
� � �7���
� ������ ����� a �����
'����'����
2 2 2
4 4 4 4 4
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
x a x x
tg x tg x a at t t t t
y
a
tg x
dt dt dt dt dt+ = − +
+ + + + +
= =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ , � ��
)������
���8���
�����9��
�����
�:(���������������������������������
����
�
�
��
��
( )4 42
21 1
2 tg 2
[tg ] [ ]dy
dx x x
x x
 
 
 
+  +
 
− +′ ′= ���
�������
2
2
4 8 8 4
1 1 2 sec
2 tg 2 2 2 tg
[sec ] [2 ]dy x x
dx x x x x
x x
 
−  
+ + + + 
− + == . 
�
�
�
������	
���
���
��
����������������������
�����
�����������������
���������� 2
2 1
2
dx
xx
 
− 
 ∫
� � �������������� �
3 2
2
3
1
1x x
x
dx+ −∫ 
�
���	
��
��� 2
2 1
2
dx
xx
 
− 
 ∫
=
2 dx
x∫ − 2
1
2
dx
x∫ =
1
22 x dx
−
∫ 2
1
2
x dx−− ∫ = 2
1
2
1 2
x 11
2 1
Cx
− 
− + 
− 
 
= 4 x 1
2
C
x
+ + . 
���
3 2
2
3
1
1x x
x
dx+ −∫
33 2 2 1
2
2 2 2
1
3 3
1 1
1 ) 1
2 1
( x x x xx x
x x x
dx x dx
−
−

+ − + − + − 
− 
= = =∫ ∫ 
������
�--� ).��/�0�����
� ���12� 
 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
	
�
�
�
�
��
�
	
�
 
2 23 1 1 1 1 1 163 ) 1 ) 4 1 5
2 3 2 1 3 3 3
( (+ + − + + = + + = + == 
�
�
�
��������	
���
���
��
����
�����������;����
���
&�������������������	
�����������
4
3
1
x dx
x−
∫ . 
 
�
���	
��
(�"��������
�
��"	
��
2 2xu x du dx= ⇒ = 
������� 1
2
xdu dx= ��
( ) ( )2
4 4 2
3 3 3 33 arcsen arcsen
2 2 21 1 1
x dx x dx du
u C x C
x x u
= = = + = +
− − −
∫ ∫ ∫ . 
�������<��;����
���
&�����������������	
��
�������������
�
���� ( )2
2
1
lnx x dx∫ . 
�
���	
��
�����(�"��� ( )2 22 2ln xx dx dxx xu du == ⇒ = ��
2
2
xdv x dx v= ⇒ = �
�����)������
( ) ( ) ( )
22 22 2 2
2 2 2
11 1
2
1
2 1 3ln 2 ln 2 4ln 2 (2 ) 4 ln 2 .
2 2 2 2 2
ln x x xdx
x
x x dx x   = − = − − = − 
  
= − ∫∫ 
�
(c)�������;����
���
&������'���#
�=���5���
�#�����
��������� 4 3cos ( ) tg ( )x x dx∫ . 
�
���	
��
4
3
4 3 3
3cos )
sen ( )
cos ( ) tg ( ) ( cos ( ) sen ( )
cos ( )x dx
x
x x dx x x dx
x
= =∫∫ ∫ �3��
(�"��� sen ( ) cos( )u x du x dx= ⇒ = ����������� ������������33��
�
����
�
����
��33������3��
��
�� �
 
3
4 4sen ( )
4 4
u du u xC C= = + = +∫ . 
 
 
 
 �