EP01-C2-2022-1-Gabarito (1)

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Fundação CECIERJ – Vice-Presidência de Educação Superior a Distância 
 
 
Cálculo II – EP01 (2022/1) Gabarito 
A INTEGRAL DEFINIDA 
a 
 
(a) Observe na Figura 1.5  que  ( ) 0f x   em  [0,2], logo da definição 2.2 do caderno didático temos 
que     
2
0
( )f x dx =( Área  do  trapézio    de  base  maior  3  e  base  menor  1    e  altura  2  )=  
(3 1)2
4
2

 . 
 
Figura 1.5 
 
(b) Observe na Figura 1.6 que 
4 ( )
5 2 5
0 0 2
( ) ( ) ( ) 4
por a
f x dx f x dx f x dx     

 (Área do trapézio 
de base maior 3, base menor 1 e altura 3), pois    ( ) 0f x   em  [2,5] . Logo  
 
5
0
10
2
(3 1)34( )f x dx   
 
Figura 1.6 
Solução do Exercício 1. 
Cálculo II  EP01 – A Integral Definida ‐ Gabarito  2022/1 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
Pá
gi
na
2	
 
(c) Na Figura 1.7, observe que  ( ) 0f x  em  [5,7] . logo da definição 2.2 do caderno didático temos 
que neste caso 
7
5
( ) (f x dx  Área do triangulo retângulo de base 2 e altura 3).  Logo 
7
5
2
2.3
3( )f x dx     
 
 
Figura 1.7 
 
 
(d) Na Figura 1.8, observe que   ( ) 0f x   em  [7,9]  e 
3 por( )10 por( )
9 5 7 9
5 70 0
( ) ( ) ( ) ( ) 10 3 (
cb
f x dx f x dx f x dx f x dx

         

 Área do trapézio de 
base maior 3, base menor  2 e altura 2 ) 2
2
(3 2)27   . 
 
 
Figura 1.8  
s 
 
(a) 
0
8
( )f x dx

  
Solução do Exercício 2 
Cálculo II  EP01 – A Integral Definida ‐ Gabarito  2022/1 
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Pá
gi
na
3	
O gráfico de  f  no  intervalo   [ 8,0]  é mostrado na Figura 1.9. Mostramos também a região sob 
gráfico de f  e acima do eixo   x no intervalo dado. 
 
Figura 1.9 
 
Observe  que    ( ) 0f x   em    [ 8,0]  logo  da  definição  2.2  do  caderno  didático  temos  que 
0
8
( )f x dx

 Área  de R. Por  outro  lado observe  que  a  região R pode  ser  dividida  em  2 
regiões  R1 e R2  como mostra a Figura 1.10.  
 
Figura 1.10 
Logo podemos afirmar que 
0
8
( )f x dx

 Área de R1+ Área de R2 (1) 
Observe que R1 é um trapézio de base maior  5B   de base menor  3b   e altura  3h  , portanto  
Área de R1
( ) (5 3)3
12
2 2
B b h 
   (2)
 
Do  enunciado  do  exercício  sabemos  também  que  no  intervalo [ 3,0]  a  função  f    é  a  quarta 
parte de uma  circunferência, assim a  região R2 é a quarta parte de um  círculo de  raio 3  logo,    
          Área de R2 
2(3) 9
4 4
 
  (3) 
Substituindo (2) e (3) em (1) temos que  
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Pá
gi
na
4	
0
8
9
( ) 12
4
( )f x dx A R 

   (4) 
 
Note que uma forma equivalente de resolver esta questão poderá ser feita se dividimos a região R 
em 3 regiões como mostra a figura 1.11. Deixamos os detalhes para o leitor. 
 
Figura 1.11 
 
 
(b) 
3
0
( )f x dx  
 
O  gráfico de  f  no  intervalo   [0,3]  é mostrado na  Figura 1.12. Mostramos  também  a  região S 
acima do gráfico de f  e abaixo do eixo   x no intervalo dado. 
 
 
Figura 1.12 
 
Observe  que    ( ) 0f x   em    [0,3]   logo  da  definição  2.2  do  caderno  didático  temos  que 
3
0
( )f x dx  Área de S. Note que  S é um triângulo de base 3 e altura 3, portanto   
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Pá
gi
na
5	
Área de S
. (3).(3) 9
2 2 2
b h
   . 
 Logo 
3
0
9
( )
2
( )f x dx A S  . (5) 
 
(c)  
3
8
( )f x dx

  
O  gráfico  de  f  no  intervalo   [ 8,3]  é  mostrado  na  Figura  1.13.  Lembre  que    como  foi  visto 
anteriormente    ( ) 0f x   em  [ 8,0] e   ( ) 0f x   em  [0,3] .  
 
Figura 1.13 
 
 Observe que pela proposição 2.2 do caderno didático temos que   
3 0 3
8 8 0
( ) ( ) ( )f x dx f x dx f x dx
 
    (6) 
Usando a definição 2.2 do caderno citado no segundo membro de (6)  temos que 
3
8
( )f x dx

 Área de R + (Área de S ) 
Ou melhor, ainda 
3
8
( )f x dx

  Área de R Área de S (7) 
 
Note que neste caso a  integral definida é uma diferença   de áreas:  isto é, a área da região R  sob o 
gráfico  de   f  e acima do eixo  x , menos a área da região  S  acima do gráfico de  f e abaixo do eixo 
x . Claramente da Figura 1.13 vemos que a área da região R   é maior que a área da região S   assim 
aqui essa diferença será um numero positivo. 
 
  Com efeito, substituindo em (7) os valores achados em (4) e (5) temos que  
  

Area deArea de
3
8
9 9 15 9 30 9
12 )
4 2 2 4 4
( ) (
SR
f x dx   


      . (8) 
 
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Pá
gi
na
6	
 
(d)  
12
3
( )f x dx
 
O gráfico de  f  no intervalo  [3,12] é mostrado na Figura 1.14. Observe que neste caso    ( ) 0f x   em  
[3,7] e   ( ) 0f x   em  [7,12] .  
 
 
Figura 1.14 
Observe que pela proposição 2.2 do caderno didático temos que   
12 7 12
73 3
( ) ( ) ( )f x dx f x dx f x dx    (9) 
Usando a definição 2.2 do caderno didático no segundo membro de (9) temos que 
12
3
( )f x dx  Área de T + (Área de U) 
Ou melhor, ainda 
12
3
( )f x dx   Área de T Área de U (10) 
 
Note que neste caso a  integral definida é uma diferença   de áreas:  isto é,   a área da região T sob o 
gráfico  de   f  e acima do eixo  x , menos a área da região U  acima do gráfico de  f e abaixo do eixo 
x . Claramente da Figura 1.14 vemos que a área da região U   é maior que a área da região T  assim 
aqui essa diferença será um numero negativo. 
 
Observe que T é um trapézio de base maior  4B   de base menor  2b   e altura  2h  , portanto  
Área de T ( ) (4 2)2 6
2 2
B b h 
   (11) 
Por outro lado, U é um trapézio de base maior  5B   de base menor  1b   e altura  4h  , portanto  
Área de U ( ) (5 1)4 12
2 2
B b h 
   (12) 
 Substituindo em (10 )os valores achados em (11) e (12) temos que  
  
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Pá
gi
na
7	
 
Area deArea de
12
3
6 12 6( )
UT
f x dx    . (13) 
 
 
(e)
 
20
12
( )f x dx
 
O  gráfico  de  f  no  intervalo   [12,20]  é  mostrado  na  Figura  1.15.  Observe  que  neste  caso   
( ) 0f x   em  [12,16] e   ( ) 0f x   em  [16,20] .  
 
 
Figura 1.15 
 
  Observe que pela proposição 2.2 do caderno didático temos que   
20 16 20
12 12 16
( ) ( ) ( )f x dx f x dx f x dx    (14) 
Usando no segundo membro de (14)  a definição 2.2 do caderno didático temos que 
20
12
( )f x dx  Área de V + (Área de W) 
Ou melhor, ainda 
20
12
( )f x dx   Área de V Área de W (15) 
 
Note que neste caso a integral definida é uma diferença   de áreas: isto é,   a área da região V  sob o 
gráfico   de    f  e  acima do  eixo  x , menos  a  área W   acima do  gráfico de  f e  abaixo do  eixo  x .  
Claramente da Figura 1.15 vemos que a área da região V  é igual que a área da região W   assim aqui 
essa diferença será nula.  
 
Com efeito, observe que V é um semicírculo de raio 2 , portanto  
Área de V 
2 22
2
2 2
r     (16) 
Analogamente W é um semicírculo de raio 2 , portanto  
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Pá
gi
na
8	
Área de W 
2 22
2
2 2
r     (17) 
 Substituindo em (15) os valores achados em (16) e (17) temos que  
  
 
Area de Area de
20
12
2 2 0( )
V W
f x dx    . (18) 
   
 
(f)
 
20
8
( )f x dx


 
 
O gráfico de  f  no intervalo  [ 8,20]  é mostrado na Figura 1.16. Observe que neste caso    ( ) 0f x   em  
[ 8,0] , [3,7] e [12,16] e   ( ) 0f x   em [0,3], [7,12] e  [16,20] .  
 
 
Figura 1.16 
Observe que pela proposição 2.2 do caderno didático podemos expressar a  integral dada como diversas 
somas, por exemplo, paraaproveitar os resultados anteriormente achados podemos dizer que: 
 
20 3 12 20
8 8 3 12
( ) ( ) ( ) ( )f x dx f x dx f x dx f x dx
 
                 (19) 
Substituindo em (19) os valores achados em (8), (13) e (18) temos que 
20
8
30 9 6 9
6
4 4
( ) 0f x dx  

 
    .              (20) 
 
Note que outra forma de expressar a integral dada é 
20 0 3 7 12 16 20
78 8 0 3 12 16
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
 
            
(21) 
 
Assim usando no segundo membro de (21) a definição 2.2 do caderno didático temos que 
 
Cálculo II  EP01 – A Integral Definida ‐ Gabarito  2022/1 
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Pá
gi
na
9	
20
8
( )f x dx

  Área de R + (Área de S) + Área de T + (Área de U) + Área de V Área de W 
 
Isto é,    
 
20
8
( )f x dx

  (Área de R + Área de T + Área de V)  (Área de S + Área de U  Área de W) 
 
Note que neste caso, também  a integral definida é  uma diferença  de áreas: isto é, a soma das áreas das 
regiões  sob o gráfico de   f  e acima do eixo x   menos a soma das  áreas das regiões  acima do gráfico de 
f  e abaixo do eixo  x . Claramente da Figura 1.16  vemos que  a  soma das áreas das regiões sob o gráfico 
de    f  (isto é, a soma das  regiões R, T e W que estão acima do eixo  x ,) é maior que a      soma das 
áreas das  regiões acima o gráfico de    f  (isto é, as  regiões     S, U   e W que estão abaixo do eixo  x ) 
assim essa diferença é o número positivo 
6 9
4

como foi visto em (20). 
 
 
(g)
 
20
8
| ( ) |f x dx


 
 
Do  pré‐cálculo  ou  do  apêndice  1  sabemos  que  para  obter  o  gráfico  de  | ( ) |y f x devemos  refletir  os 
pontos do gráfico de  ( )y f x  com ordenada negativa em torno do eixo  x . Fazendo  isto na figura 1.16 
obtemos a Figura 1.17. Observe também que neste caso todas as regiões estão sob o gráfico de f  e acima 
do eixo   x no intervalo dado. 
 
 
 
Figura 1.17 
Observe que pela proposição 2.2 do caderno didático podemos expressar a  integral dada como diversas 
somas, por exemplo, para aproveitar os resultados anteriormente achados podemos dizer que: 
 
20 0 3 7 12 16 20
78 8 0 3 12 16
| ( ) | | ( ) | | ( ) | | ( ) | | ( ) | | ( ) | | ( ) |f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
 
            
 
Cálculo II  EP01 – A Integral Definida ‐ Gabarito  2022/1 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
Pá
gi
na
10
	
Usando a definição de  f   e de valor absoluto resulta que 
 
20 0 3 7 12 16 20
78 8 0 3 12 16
)( )| ( ) | ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )f xf x dx f x dx dx f x dx f x dx f x dx f x dx
 
               
Usando a definição 2.2 do caderno didático no segundo membro da igualdade anterior temos que  
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
20 0 3 7 12 16 20
78 8 0 3 12 16
( ( (| ( ) | ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) )
A U A VA R A S A T A W
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
 
             
    
 (22) 
Substituindo no segundo membro de (22) os valores achados em (4), (5), (11), (12), (16) e (17) temos 
                         
20
8
9 9 138 25
6 12 2 2
4 2 4
| ( ) | 12f x dx   


       (23)
  
Atenção!!!  Veja que as respostas dos itens (f) e (g) são diferentes, assim claramente 
 
      
20 20
8 8
( ) | ( ) |f x dx f x dx
 
 
 
 
Observe também que 
 
20 20
8 8
( ) | ( ) |f x dx f x dx
 
   
 
 (h)  Calcule a áreaA da região limitada pelo gráfico de  f   e pelo eixo  x  
 
A figura 1.16 serve também para mostrar a região limitada pelo  gráfico de  f e pelo eixo   x . 
 
A  área A da região solicitada é a soma das áreas das regiões  R , S , T , U, V e W 
 
Logo usando os valores das áreas achadas em   (4), (5), (11), (12), (16) e (17) resulta 
 
A 9 9 138 256 12 2 2
4 2 4
12           unidades de área.        (24) 
Atenção!!!  Observe que  
 
A
20
8
| ( ) |f x dx

  . 
 
 
 
 
Solução 
 
Solução do Exercício 3 
Cálculo II  EP01 – A Integral Definida ‐ Gabarito  2022/1 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
Pá
gi
na
11
	
(a) 
4
5
(4 ) dx

  
Note que    ( ) 4f x c     é uma  constante em [ 5,4]   assim pelo exemplo 2.2 do  caderno 
didático:  ( ) ( )
b
a
f x dx c b a  . Logo 
4
5
(4 ) (4 )(4 ( 5)) (4 )9 36 9dx   

         . 
 
OBSERVAÇÃO. Outra forma de calcular a integral dada, porém sem usar as propriedades básicas da 
integral definida é a seguinte: 
O  gráfico da função constante   ( ) 4f x    no intervalo  [ 5,4]  e  a região sob gráfico de f  e 
acima do eixo   x no intervalo dado é mostrado na Figura 1.18. Observe que neste caso    ( ) 0f x   
em   [ 5,4] , logo
4
5
(4 ) dx

 é igual à área da região dada que sendo um retângulo é igual ao 
produto da base 4 ( 5) 9b     pela altura que é 4h   . Assim  
4
5
(4 ) 9(4 ) 36 9dx  

     . 
 
Figura 1.18 
 
(b) 
3
1
2x dx
 
Observe que pela proposição 2.1 (b) do caderno didático:  ( ) ( )
b b
a a
f x dx f x dx   . Logo 
3 3
1 1
2 2x dx x dx  (25) 
 
Assumindo que 2 2
1
( )
2
b
a
b ax dx   resulta que   2 2
3
1
1 1
(3 1 ) (9 1) 4
2 2
x dx    
 
 (26)
 
Substituindo (26) em (25) resulta  
Cálculo II  EP01 – A Integral Definida ‐ Gabarito  2022/1 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
Pá
gi
na
12
	
3
1
2(4) 82x dx   . 
 
OBSERVAÇÃO. Outra forma de calcular a integral dada, porém sem usar as propriedades básicas da integral 
definida é a seguinte: 
O  gráfico da  função  ( ) 2f x x  no  intervalo   [1,3]  é o  segmento de  reta mostrado na  Figura 1.19. 
Mostramos também a região sob o gráfico de f  e acima do eixo   x no intervalo dado. Observe que neste 
caso      ( ) 0f x   em   [1,3], logo
3
1
2x dx é  igual  ao  valor  numérico  da  área  da  região  dada  que  é  um 
trapézio de base maior  6B   de base menor  2b   e altura  2h  , portanto  
3
1
2x dx
( ) (6 2)2
8
2 2
B b h 
   .
 
 
Figura 1.19 
(c) 
1
2
2
)(4 x dx


 
Observe que pela proposição 2.1 (c) do caderno didático: 
  ( ))( ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
g xf x dx f x dx g x dx     . 
 Logo pelo exemplo 2.2 e pela proposição 2.1 (b) do caderno didático resulta 
3
1 1 1 1 1
2 2 2 2
2 2 2 2 2
) )(4 4 ( 4(1 ( 2)) 12x dx dx x dx x dx x dx
    
              (27) 
Assumindo que  2 3 3
1
( )
3
b
a
b ax dx  resulta que   2 3 3
1
2
1 1
(1 ( 2) ) (1 8) 3
3 3
x dx

         (28) 
Substituindo (28) em (27) temos que  
 
1
2
2
)(4 12 3 9x dx

    . 
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Pá
gi
na
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OBSERVAÇÃO.  Se  quisermos  resolver  a  integral  dada  usando  áreas,  fazendo  uso  do  apêndice  1, 
observamos que  24y x   é obtido a partir da parábola  2y x  se   fazemos uma reflexão em torno do 
eixo  x  obtendo  2y x   e depois  fazemos um deslocamento vertical para cima de 4 unidades   obtendo 
2 24 4y x x      que é a parábola de vértice em  (0, 4)  que abre para baixo. Veja na Figura 1.20 o 
gráfico  resultante  no  intervalo  [ 2,1] .  Note  que  neste  caso      ( ) 0f x   em    [ 2,1] ,  assim 
1
2
2
)(4 x dx

  Área da região sombreada. 
 Observe que neste  caso a  região dada não é nenhuma  figura geométrica de área  conhecida, 
assim não temos condições de calcular essa área como fizemos nos exercícios 1 e 2   deste EP, 
portanto aqui   é necessário calcular a integral definida  seguindo (27) e (28). 
 
 
Figura 1.20 
 
 
4
2
1
( ) 6 8)(d xx dx  
 
Observe que pela proposição 2.1 (c) do caderno didático temos que 
4 4 4 4
2 2
1 1 1 1
6 8)( 6 8x xx dx x dx dx dx        
Assumindo que 
  2 3 3
1
( )
3
b
a
b ax dx 
 
então   2 3 3
4
1
1 1 63
(4 (1) ) (64 1) 21
3 3 3
x dx      
2 21 ( )
2
ba
b ax dx   então   2 2
4
1
1 1 15
(4 (1) ) (16 1)
2 2 2
x dx    
 
E das propriedades de integrais sabemos que 
( )
b
a
b adx 
 
 então  
4
1
(4 1) 3x dx  
 
Assim resulta que 
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4 4 4 4
2 2
1 1 1 1
6 8)( 6 8x xx dx x dx dx dx       
15
21 6 8(3) 21 45 24 21 21 0
2
          
  
 
 
OBSERVAÇÃO.  Se  quisermos  resolver  a  integral  dada  usando  áreas  vemos  que 
2 2 26 8 ( 6 9) 9 8 ( 3) 1x x xy x x          ,  assim,  fazendo  uso  do  apêndice  1,  temos  que  o 
gráfico de  2( 3) 1xy     é obtido a partir do gráfico  de  2xy   por um deslocamento horizontal de 
3  unidades  para  a  direita  e  logo    um  deslocamento  vertical  de  1  unidade  para  baixo,  assim  o 
gráfico da função dada é a parábola com vértice em (3,‐1) que abre para cima, mostrada  na Figura 
1.21. Note   que  ( ) 0f x   em  [1,2]  e  ( ) 0f x   em  [2,4] . Assim a integral definida neste caso é uma 
diferença de áreas: isto é, 
4
2
1
6 8)( xx dx    A área da  região   sob o gráfico de    f  e acima do eixo  x   menos a área da  região  
acima do gráfico de  f  e abaixo do eixo  x . A resposta foi zero devido a que a área da região sombreada 
que esta acima do eixo  x  é igual à área da região sombreada que esta abaixo do eixo  x . 
 Note‐se também que a região dada não é nenhuma figura geométrica de área conhecida assim 
não temos condições de calcular essa área da forma feita nos exercícios 1 e 2 deste EP a não ser   
da forma que foi feita linhas acima.
 
 
Figura 1.21 
 
(e) 
4
0
( )f x dx
 
22 para 0 2
onde ( )
4 para 2 4
x x
f x
x x
  
 
 
 
 
Observe que  f é uma função contínua definida por partes. Pela proposição 2.2 do caderno didático 
2
4 2 4 2 4
0 0 2 0 2
( ) ( ) ( ) 2 4f x f x f x x xdx dx dx dx dx        
2
4 2 4
0 0 2
( ) 2 4f x x xdx dx dx     
Assumindo que  
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Pá
gi
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2 21 ( )
2
b
a
b ax dx   , ∙ 2 3 3
1
( )
3
b
a
b ax dx 
 
Resulta que 
2 2
4
2
1 1
(4 2 ) (16 4) 6
2 2
x dx     , 2 3 3
2
0
1 8
(2 0 )
3 3
x dx   
Logo 
4
0
8 16 16 72 88
( ) 6) 24
3 3 3 3
( )2 4(f x dx      . 
 
OBSERVAÇÃO. Novamente neste caso se queremos  resolver a  integral dada usando áreas veja na Figura 
1.22,   aqui    ( ) 0f x   em  [0,4] , assim 
4
0
)(f x dx  Área da região sombreada. Porém, observe que a 
região compreendida no  intervalo [0,2]  não é nenhuma  figura geométrica de área conhecida assim não 
temos  condições de  calcular essa área a não  ser da  forma que  foi  feita  linhas acima Note que a  região 
compreendida no intervalo [2,4]é um trapézio cuja área pode ser calculada facilmente. 
 
Figura 1.22   
Solução  
  
(a) Esboce a região T compreendida entre o gráfico da função   ( )y f x= e o eixo  x . 
Observe que como já foi visto no exercício 1(c),  24y x= -  isto é uma parábola de vértice em  (0, 4)  
que abre para baixo e corta o eixo   x  nos pontos  2x=  e  2x=- . 
Por outro lado  2 2 26 8 ( 6 9) 8 9 ( 3) 1y x x x x x= - + = - + + - = - -  é uma parábola de vértice em 
(3, 1)-  que abre para cima e corta o eixo   x  nos pontos  2x=  e  4x= . 
Na Figura 1.23 mostramos a  função  f  e na Figura 1.24 mostramos a  região  compreendida entre o 
gráfico da função  ( )y f x= e o eixo  x . Neste caso definimos T = R U S. 
Solução do Exercício 4. 
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Figura 1.23            Figura 1.24 
 
(b) Calcule a área da região T.  
 
Área de T = Área de R + Área de S 
 
Por  outro  lado ( ) 0f x   no  intervalo [ 2,2] logo  pela  definição  2.2  do  caderno  didático,  utilizando  as 
propriedades básicas da integral definida e assumindo que  2 3 3
1
( ),
3
b
a
b ax dx    temos que 
Área de R
 
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
)( ) (4 4f x dx x dx dx x dx
- - - -
= = - = -ò ò ò ò 
 
3 32 ( 2) 8 8 32
2 ( 2)] 4(4)
3 3 3
4[
æ ö æ ö- - +÷ç ÷ç÷= - - = - =÷ç ç÷ ÷÷ç ç÷ç è øè ø
- (29) 
Analogamente  ( ) 0f x   no  intervalo [2,4]  logo  pela  definição  2.2  do  caderno  didático,  utilizando  as 
propriedades básicas da integral definida e assumindo que  2 3 3
1
( ),
3
b
a
b ax dx    temos que  
Área de S
 
4 4 4 4 4
2 2
2 2 2 2 2
6 8)( ) ( 6 8xf x dx x dx x dx x dx dx=- - +=- =- + -ò ò ò ò ò 
 
 ( )
3 3
2 24 2 4(4 2 ) [4 2]
3 3
3 8
æ ö- ÷ç ÷= - - =ç ÷ç ÷çè ø
- + - (30) 
Assim 
Área de T 
32 4
12
3 3
= + = unidades de área. (31) 
(c)   Calcule também 
4
2
( )f x dx
-
ò .  
Utilizando  as  propriedades  básicas  da  integral  definida  e  assumindo  que 2 2
1
( )
2
b
a
b ax dx     e 
2 3 31 ( ),
3
b
a
b ax dx    temos que  
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4 2 4 2 4
2 2
2 2 2 2 2
6 8( ) ( ) ( ) (4 ) ( )xf x dx f x dx f x dx x dx x dx
- - -
- += + = - +ò ò ò ò ò (32) 
 
4 2 2 4 4 4
2 2
2 2 2 2 2 2
6 8( ) 4 xf x dx dx x dx x dx dx dx
- - -
- += - +ò ò ò ò ò ò (33) 
 
4 3 3 3 3 2 2
2
2 ( 2) 4 (2) 4 (2) 28
2 ( 2)] 6 ] 8 4 (2)]
3 3 2 3
( ) 4[ [ [f x dx
-
æ ö æ ö- - - -÷ ÷ç ç÷ ÷- - - + - =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
= - +ò . 
 
Outra forma de calcular 
4
2
( )f x dx
-
ò  é notar que  ( ) 0f x   em   [ 2,2] ,   e  ( ) 0f x   em   [2,4] ,  logo 
da proposição 2.2 e da  definição 2.2 do caderno didático temos que  
 
4 2 4
2 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
A R A S
f x dx f x dx f x dx
- -
-
= + =ò ò ò
 
 Área de R  Área de S  32 4 28
3 3 3
  . 
Note novamente que a integral definida é neste caso uma diferença   de áreas: isto é, a área da 
região  R sob o gráfico de   f  e acima do eixo  x   menos a área da região T  acima do gráfico de  f  
e abaixo do eixo  x  
 
Solução  
     
(a) 
3
4
1
2
0
1
x
x
dx
 
 
  
 
    
Observe  que  o  integrando  é  o  quociente  de    x   e  (1 )x . Lembre  que  da  matemática  elementar 
sabemos que:    ( +)/(+)  dá ( +);   (+)/( )  dá (  );  (  )/(+ ) dá  ( )  e  finalmente ( )/( )  dá ( +). 
Intervalos  0 1x    1 x    
x        
1 x       
1
x
x
 
+  
   
Assim para  
1 3
2 4
x     temos que   0
1
x
x


, logo do exemplo 2.5 do caderno didático temos que  
3 3
4 4
1 1
2 2
0
1
0x
x
dx dx

 

  então 
3
4
1
2
0
1
x
x
dx
 
 
  
 
 . Portanto a afirmação (a) é verdadeira. 
 
  (b) 
23
0
2 cos
0
x
x
dx
 
 
 
 

 
Solução do Exercício 5. 
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Observe que o integrando é o quociente de  2x  e  (2 cos )x . 
Note que  2 0x    para todo  x , em particular  2 0x    para todo  [0,3]x  
Por outro lado,   1 cos 1x    para todo  x ,  logo  
 
1 cos 1 2 1 2 cos 2 1 3 2 cos 1x x x               
Assim podemos afirmar que  2 cos 0x   para todo  x . 
Em particular 
2
0
2 cos
x
x


   para todo  [0,3]x . Assim do exemplo 2.5 do caderno didático temos que  
2
0
3
0
3
0
2 cos
0x
x
dxdx

 

,    logo 
23
0
2 cos
0
x
x
dx
 
 
 
 
 . Portanto a afirmação (b) é falsa.