Distribuicao Binomial e Normal

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Capítulo 10
Distribuições Binominal e Normal
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Capítulo 10
Distribuições binomial e normal
 10.1 Variável aleatória
Suponhamos um espaço amostral S e que a cada ponto amostral seja atribuído um número. Fica, então, definida uma função chamada variável aleatória, indicada por uma letra maiúscula, sendo seus valores indicados por letras minúsculas.
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Distribuições binomial e normal
 10.1 Variável aleatória
Assim, se o espaço amostral relativo ao “lançamento simultâneo de duas moedas” é S={(Ca,Ca),(Ca,Co), (Co,Ca),(Co,Co)} e se X representa “o número de caras” que aparecem a cada ponto, amostral podemos associar um número para X, de acordo com a tabela que segue:
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 10.2 Distribuição de probabilidade
Consideremos a distribuição de frequências relativa ao número de acidentes diários em um estacionamento:
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 10.2 Distribuição de probabilidade
Em um dia, a probabilidade:
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 10.2 Distribuição de probabilidade
Esta tabela é denominada distribuição de probabilidade. 
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 10.2 Distribuição de probabilidade
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 10.2 Distribuição de probabilidade
Ao definir a distribuição de probabilidades, estabelecemos uma correspondência unívoca entre os valores da variável aleatória X e os valores da variável P. 
Esta correspondência define uma função; os valores xi (i=1,2,3,...,n) formam o domínio da função e os valores pi (i=1,2,3,...,n), o seu conjunto imagem. 
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 10.2 Distribuição de probabilidade
Essa função, assim definida, é denominada função probabilidade e representada por:
A função P(X=x) determina a distribuição de probabilidade da variável aleatória X.
Assim, ao lançarmos um dado, a variável X, definida por “pontos de um dado” pode tomar os valores 1,2,3,...,6.
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 10.2 Distribuição de probabilidade
Como a cada um destes valores está associada uma e uma só probabilidade de realização e , fica definida uma função de probabi-lidade, da qual resulta a distribuição de probabilidades que segue:
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 10.3 Distribuição binomial
Vamos, neste item, considerar experimentos que satisfaçam as seguintes condições:
O experimento deve ser repetido, nas mesmas condições, um número finito de vezes (n);
As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma não deve afetar os resultados das sucessivas;
Em cada prova deve aparecer um dos dois possíveis resultados;
No decorrer do experimento, a probabilidade de sucesso e de insucesso manter-se-ão constantes.
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 10.3 Distribuição binomial
Resolveremos problemas do tipo: determinar a probabilidade de se obter k sucessos em n tentativas.
Sabemos que, quando da realização de um experimento qualquer em uma única tentativa, se a probabilidade de realização de um evento (sucesso) é p, a probabilidade de não-realização desse mesmo evento é 1-p=q.
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 10.3 Distribuição binomial
Suponhamos que realizemos a mesma prova n vezes sucessivas e independentes. A probabilidade de que um evento se realize k vezes nas provas é dada pela função:
Essa função define a distribuição binomial
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 10.3 Distribuição binomial
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 10.4 Distribuição normal e curva normal
Entre as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, uma das mais empregadas é a distribuição normal. 
O aspecto gráfico de uma distribuição normal é como segue:
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 10.4 Distribuição normal e curva normal
Propriedades:
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 10.4 Distribuição normal e curva normal
Quando temos em mãos uma variável com distribuição normal, nosso principal interesse é obter a probabilidade de essa variável aleatória assumir um valor em um determinado intervalo. 
Seja X a variável aleatória que representa os diâmetros dos parafusos produzidos por certa máquina. Vamos supor que essa variável tenha distribuição normal com média igual a 2 e desvio padrão igual a 0,04cm. 
Pode haver interesse em conhecer a probabilidade de um parafuso ter um diâmetro com valor entre 2 e 2,05cm. 
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 10.4 Distribuição normal e curva normal
É fácil notar que essa probabilidade, indicada por P(2<X<2,05) corresponde à área hachurada na figura:
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 10.4 Distribuição normal e curva normal
Se X é uma variável aleatória com distribuição normal com média e desvio padrão s, então a variável:
tem distribuição normal reduzida, isto é, tem distribuição normal de média 0 e desvio padrão 1.
As probabilidades associadas à distribuição normal padronizada são encontradas em tabelas. 
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 10.4 Distribuição normal e curva normal
Temos, então, que se X é uma variável aleatória com distribuição normal de média e desvio padrão s, podemos escrever:
Com 
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 10.4 Distribuição normal e curva normal
No nosso exemplo, queremos calcular P(2<X<2,05). Para obter essa probabilidade, precisamos, em primeiro lugar, calcular o valor de z, que corresponde a x=2,05. Temos, então:
Procurando o valor z=1,25 na tabela da distribuição normal com média 0 e desvio padrão 1, encontramos que P(Z) =0,3944. Assim, a probabilidade de um parafuso fabricado por essa máquina apresentar um diâmetro entre a média (2) e o valor 2,05 é 0,3944.