PROC_EST_MÓDULO_02

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PROCESSOS ESTOCÁSTICOS - MÓDULO-02 MANUEL 1 
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS 
 
MÓDULO-02 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS e DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 
 
 
Variáveis Aleatórias 
 
No capítulo anterior estudamos as probabilidades de ocorrência de eventos do espaço amostral 
correspondente ao experimento aleatório considerado. O que vamos ver agora é uma maneira mais 
conveniente de tratar tais eventos, o que será feito a partir da associação de “valores” aos pontos do 
espaço amostral. 
 
Variável Aleatória  é a função que associa a cada elemento do espaço amostral S de um 
experimento aleatório, um número. As variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas. 
 
Exemplo: Considere o experimento aleatório que consiste no lançamento simultâneo de duas 
moedas. O espaço amostral (S) correspondente a esse experimento aleatório é: 
S = { (Ca,Ca), (Ca,Co), (Co,Ca), (Co,Co) }. 
 
Podemos definir a variável aleatória X como a que corresponde ao número de caras obtidas e Y 
como a variável aleatória que corresponde ao número de coroas. Dessa maneira cada ponto do 
espaço amostral corresponderá a valores das variáveis X e Y, como mostrado na tabela abaixo. 
 
Ponto Amostral 
X 
(nº caras) 
Y 
(nº coroas) 
(Ca,Ca) 2 0 
(Ca,Co) 1 1 
(Co,Ca) 1 1 
(Co,Co) 0 2 
 
 
Qual seria a probabilidade de no lançamento simultâneo de duas moedas se obter duas caras (X = 2) ? 
 
Temos: P(X=2) = 1/4. 
 
Qual a probabilidade de se obter pelo menos uma cara (X=1 ou X=2) ? 
 
Temos: P(X =1 ou X=2) = 3/4. 
 
Qual a probabilidade de se obter exatamente uma coroa (Y=1) ? 
 
Temos: P(Y=1) = 2/4 = 1/2. 
 
 
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS - MÓDULO-02 MANUEL 2 
Distribuição de Probabilidade 
 
Para uma variável aleatória discreta é uma tabela especificando a probabilidade de que a variável 
aleatória assuma cada um dos valores possíveis. Para uma variável aleatória contínua é uma função 
especificando a probabilidade de que a variável aleatória assuma um valor em cada um dos 
intervalos de variação possíveis para a variável considerada. Assim distribuição de probabilidade 
de uma variável aleatória discreta X é a função P (X = x), ou seja, é a função que determina a 
probabilidade de X assumir o valor x. Para uma variável aleatória contínua é a função que determina 
a probabilidade de X assumir valores em um determinado intervalo, por exemplo, P(a ≤ X ≤ b). 
 
Distribuição de Probabilidade Discreta 
 
Se uma variável X pode assumir um conjunto discreto de valores X1, X2, ..., Xk, com as 
probabilidades P1 , P2 , ... , Pk, respectivamente, sendo P1 + P2 + ... + Pk = 1, diz-se que está definida 
uma distribuição de probabilidade discreta. 
 
Exemplo-1 - Considere o experimento aleatório do exemplo anterior que consiste no lançamento 
simultâneo de duas moedas. Considere também que X é a variável aleatória que mede o número de 
caras obtidas no lançamento. A distribuição de probabilidade correspondente a variável aleatória X é 
dada pela tabela: 
 
 
 
 
 
Assim, a probabilidade de não sair nenhuma cara é P(X=0) = ¼. 
Observe que o evento “não sair nenhuma cara” corresponde ao ponto amostral (Co,Co), cuja 
probabilidade de ocorrência é ¼, ou seja 1 em 4. 
A probabilidade de sair uma cara é P(X=1) = ½. 
Aqui temos duas chances em 4 de sair cara que são (Ca,Co) e (Co,Ca). 
 
Qual a probabilidade de X ser menor do que 2 [P(X<2)] ? 
 
Exemplo-2 - Suponha o experimento aleatório correspondente ao lançamento de um dado honesto e 
que X represente o ponto obtido. 
 
Então a distribuição de probabilidade de X é dada pela tabela: 
 
X 1 2 3 4 5 6 
P( X ) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6  P(X) = 1 
 
Assim, a probabilidade de sair 4 no lançamento de um dado, ou seja, é P(X=4) = 1/6. 
 
A probabilidade de sair um número menor ou igual a 4 (X ≤ 4) é: 
 
P( X ≤ 4 ) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 1/6+1/6+1/6+1/6 = 4/6 = 2/3. 
X 0 1 2 
P(X) 1/4 1/2 1/4 onde  P(X) = 1 
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS - MÓDULO-02 MANUEL 3 
Distribuição de Probabilidade Contínua 
 
Se X é uma variável aleatória contínua a função P(X) é denominada função de densidade de 
probabilidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 FIGURA 2.1 
A área total limitada por essa curva e pelo eixo dos x é igual a 1 (ou seja, é igual a soma de todas as 
probabilidades) e a área compreendida entre X = a e X = b dá a probabilidade de X estar entre a e b, 
ou seja, P(a X b). 
 
Valor Esperado 
 
Suponhamos que a variável aleatória X assuma um dos valores x1, x2, ..., xk, com as respectivas 
probabilidades p(x1), p(x2), ... , p(xk), onde p(x1) + p(x2) +...+ p(xk) = 1. Então o valor esperado desta 
variável aleatória é definido por: 
 
E (X) =  xi . p(xi) 
 
Exemplo: Suponha um jogo disputado com um dado honesto, em que um jogador ganha R$ 20,00 
se o resultado é 2, R$ 40,00 se o resultado é 4, perde R$ 30,00 se o resultado é 6, e não ganha nem 
perde se aparecer qualquer das outras faces. Determine seu ganho esperado. 
 
Seja X a variável aleatória que representa a quantia ganha em uma jogada qualquer. 
Resultado 1, 3 ou 5 2 4 6 
Xi R$ 0,00 + R$ 20,00 + R$ 40,00 - R$ 30,00 
P(Xi) 3/6 1/6 1/6 1/6 
 
O valor esperado E(X) da variável X é dado por: E (X) =  xi . p(xi) 
 
5
6
1
30
6
1
40
6
1
20
6
3
0)( XE 
Então em uma jogada o jogador pode esperar ganhar R$ 5,00. 
 
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS - MÓDULO-02 MANUEL 4 
Distribuições Discretas 
 
Distribuição Binomial 
 
Utiliza-se esse tipo de distribuição para designar (modelar) situações em que os dados podem ser 
grupados em duas classes ou categorias como, por exemplo: respostas a um teste do tipo V ou F, 
respostas do tipo “sim” ou “não” a um questionário, produtos com ou sem defeito, pessoas 
vacinadas ou não vacinadas, datagramas transmitidos com erro ou sem erro, etc. 
 
Seja p a probabilidade de um evento ocorrer em uma única tentativa (probabilidade de sucesso) e 
q = 1 - p a probabilidade dele não ocorrer. Então a probabilidade do evento ocorrer exatamente x 
vezes em n tentativas é dada por: 
 
xnxx
n qpCxXP
 )( 
 
Observação: Os experimentos que seguem esta distribuição devem satisfazer as seguintes 
condições: 
 O experimento deve ser repetido, nas mesmas condições, um número finito de vezes (n). 
 As tentativas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma não deve afetar os 
resultados das seguintes. 
 Em cada tentativa deve aparecer um dos dois possíveis resultados: sucesso ou insucesso. 
 No decorrer do experimento, a probabilidade p de sucesso e a probabilidade q de insucesso 
deverão permanecer constantes. 
 
Exemplo-1- Qual a probabilidade de se obter exatamente 2 caras em 6 lances de uma moeda não 
viciada. 
Temos: 
n = 6  número de jogadas 
x = 2  número de ocorrências do evento desejado 
p = ½  probabilidade de ocorrência do evento desejado (sucesso) - dar cara 
q = ½  probabilidade de não ocorrência do evento desejado (insucesso) - não dar cara 
 
 
Usando a fórmula acima obtemos: 
 
64
15
2
1
!4 !2
!6
2
1
2
1
)2(
642
2
6 



















 CXP 
 
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS - MÓDULO-02 MANUEL 5 
Exemplo-2 - Qual a probabilidade de se obter pelo menos 4 caras em 6 lances de uma moeda não 
viciada. 
 
Solução: Aqui como é pedida a probabilidade de se obter pelo menos 4 caras, temos que somar as 
probabilidades de se obter 4, 5 ou 6 caras. 
Assim P(X ≥ 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) 
 
Temos então: 
n = 6  número de jogadas 
x = 4, 5 ou 6  número de ocorrências do evento desejado (4, 5 ou 6 caras) 
p = ½  probabilidade de ocorrência do evento desejado (sucesso) - dar cara 
q = ½  probabilidade de não ocorrência do evento desejado (insucesso) - não dar cara 
 
Escrevendo as fórmulas obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades da distribuição Binomial 
 
Média pn 
Variância qpn 2 
Desvio Padrão qpn  
 
 
Exemplo: Calcular a média (o número esperado) de caras em 100 lançamentosde uma moeda não 
viciada. 
Temos: 
n = 100 p = ½ (probabilidade de ocorrer cara) - sucesso 
 = 100 × 1/2 = 50. (Esse é o valor que responderíamos intuitivamente !!!!) 
A variância e o desvio padrão são dados por: 
Variância 

 = 100 × ½ × ½ = 25 
Desvio padrão 525  
Distribuição de Poisson 
06
6
6
15
5
6
24
4
6
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)6()5()4( 



































 CCCXPXPXP
061524
2
1
2
1
!0!6
!6
2
1
2
1
!1!5
!6
2
1
2
1
!2!4
!6
)6()5()4( 









































 XPXPXP
64
22
64
1
64
6
64
15
)4( XP
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS - MÓDULO-02 MANUEL 6 
 
No caso da distribuição Binomial a variável de interesse era o número de sucessos em um intervalo 
de tempo discreto (n provas). Muitas vezes, entretanto estamos interessados no número de 
ocorrências em um intervalo contínuo como, por exemplo, número de chamadas telefônicas por 
minuto, quantidade de erros de impressão por página impressa, número de partículas emitidas por 
uma substância radioativa, número de acessos a um site em um intervalo de tempo, etc. 
A distribuição de Poisson é definida como se segue: 
!
)(
x
e
xXP
x  
 e = 2,71828... (número de Euler) 
onde, x = 0,1,2,3,4.... é o número de ocorrências (x  0) que se deseja calcular a probabilidade e 
 > 0 é o número médio dessas ocorrências (sucessos) no intervalo ou região considerada. 
 
Propriedades da distribuição de Poisson 
 
 os eventos em um determinado intervalo são independentes. 
 a probabilidade de ocorrência em um intervalo é proporcional ao tamanho do intervalo. 
 a probabilidade de ocorrência de mais de um sucesso em um intervalo muito pequeno é 
desprezível. 
A média a variância e o desvio-padrão são dados por: 
 
Média   
Variância  2 
Desvio Padrão   
 
Exemplo-01- Suponhamos que 300 erros de impressão sejam distribuídos aleatoriamente em um 
livro com 500 páginas. Qual a probabilidade de cada página conter exatamente 2 erros. 
Temos: 
n = 300 (há 300 erros de impressão) 
A probabilidade de um erro ocorrer em cada página é p = 1/500 (o livro tem 500 páginas). 
A média de erros por página () é dada por:  = n ×p = 300 ×1/500 = 0,6. 
Agora podemos utilizar Poisson para calcular a probabilidade desejada onde x = 2 e  = 0,6. 
!2
6,0
)2(
6,02 

e
XP = 1,00988,0
21
71828,236,0 6,0


 
 
OBS. Se quiser pode utilizar a função POISSON no MS EXCEL para fazer os cálculos com os 
seguintes parâmetros: = POISSON( x ; ; CUMULATIVO) onde: 
x = 2 (número de sucessos)  = 0,6 (média) 
CUMULATIVO=FALSO (significa que queremos o valor para x=2. Se CUMULATIVO for 
VERDADEIRO ela fará o cálculo para x=0, x=1 e x=2 e dará como resultado a soma desses 
valores). 
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS - MÓDULO-02 MANUEL 7 
Distribuições Contínuas 
 
Distribuição Normal - Um dos mais importantes exemplos de distribuição de probabilidade 
contínua é a chamada distribuição normal. Muitas das variáveis analisadas especialmente em 
pesquisas econômicas seguem essa distribuição ou dela se aproximam, sendo aplicada em 
inúmeros fenômenos e utilizada para o desenvolvimento teórico da Estatística. Uma distribuição 
normal é representada graficamente como abaixo. 
 
 FIGURA 2.2 
Assim, dizemos que uma variável aleatória X que pode ser representada por um gráfico como o da 
figura acima tem distribuição Normal com média e desvio padrão , e representamos da 
seguinte maneira X N (). Ou seja, X é uma Normal com média  e desvio padrão  
A equação da curva Normal é dada pela expressão abaixo, onde x é o valor da variável aleatória 
considerada e  e  são parâmetros conhecidos da variável, ou seja, média e desvio padrão. 
 
2
2
2e.
2
1
)( 




x
xf , onde π = 3.14159 e e = 2.71828 
Assim, a curva normal é uma distribuição que possibilita determinar probabilidades associadas a 
todos os pontos da linha de base (valores de x), ou seja, é uma distribuição de freqüências, sendo a 
freqüência total sob a curva (soma das probabilidades) igual a 100%. 
Propriedades da Normal 
Uma curva Normal tem forma de sino, é simétrica (Média = Moda = Mediana) e Unimodal. 
Adicionalmente são válidos os valores de probabilidades exibidos na figura e tabela abaixo. 
Intervalo Probabilidade (%) 
 ± 1  68,26% 
 ± 2  95,45% 
 ± 3  99,73% 
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS - MÓDULO-02 MANUEL 8 
Normal Padrão 
Dizemos que a variável aleatória Z tem distribuição normal padrão quando = 0 e  = 1, isto é, 
Z N(0,1). 
Toda variável X N(,) pode ser reduzida a uma variável com distribuição normal padrão (Z) 
através da seguinte transformação: 



X
Z , onde X N(,) e Z N( 0, 1) 
 
Ou seja , a variável Z é obtida subtraindo-se de cada valor observado de X sua média  e em 
seguida dividindo-se pelo seu desvio padrão . As probabilidades associadas à distribuição normal 
padrão (Z) são encontradas em tabelas (final do módulo), não sendo necessário realizar cálculos 
para determiná-las. 
 
Observações 
 
 A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real. 
 A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em formato de sino, simétrica em 
relação à média (. Tal representação recebe o nome de Curva Normal ou Curva de Gauss 
(FIGURA 2.3). 
 A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que essa área 
corresponde à probabilidade da variável aleatória X assumir qualquer valor real entre 
(- e + ). 
 Como a curva é simétrica em torno de  , a probabilidade de ocorrer um valor maior do que a 
média é igual a probabilidade de ocorrer um valor menor do que a média, isto é, 
P( X > ) = P( X < ) = 0,5 = 50%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 2.3 
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS - MÓDULO-02 MANUEL 9 
Exemplo-01: Seja X a variável aleatória que representa os diâmetros de parafusos produzidos por 
determinada máquina. Suponha que essa variável tenha distribuição normal com média  = 2 cm e 
desvio padrão  = 0,04 cm. Calcular a probabilidade de um parafuso produzido pela máquina ter um 
diâmetro com valor entre 2,0 cm e 2,05 cm. 
Temos: X ~ N( 2; 0.04) 
Queremos calcular P( 2,0 < x < 2,05 ). 
Para poder utilizar os valores tabelados da distribuição normal padrão precisamos transformar os 
valores da variável X em valores da variável Z utilizando a transformação: 



X
Z 
Temos então: 
x1 = 2,0 x2 = 2,05  = 2 e  = 0,04 
0
04,0
22
1 

z 25,1
04,0
205,2
2 

z 
Então P( 2,0 < X < 2,05 ) = P( 0 < Z < 1,25) 
 
Da tabela NORMAL obtemos que P( 0 < z < 1,25) = 0,3944 = 39,44%. 
 
Propriedades da distribuição Normal 
 
Média  
Variância 2 
Desvio Padrão  
 
 
Relação entre as distribuições Binomial e Normal 
 
Se N (número de observações) for grande, e se nem p nem q estiverem muito próximos de zero, a 
distribuição Binomial pode ser aproximada por uma distribuição Normal, cuja variável reduzida 
será dada por: 
Npq
NpX
Z

 
 
Na prática, a aproximação é muito boa, quando tanto N×p quanto N×q são superiores a 5. 
Ao utilizar uma distribuição contínua como aproximação de uma distribuição discreta, é 
conveniente o uso da correção de continuidade, que consiste em adicionar ou subtrair 0,5 de 
acordo com a forma da probabilidade solicitada: 
 Subtrair 0,5 de x quando é solicitado P( X  x ) 
 Subtrair 0,5 de x quando é solicitado P( X > x ) 
 Adicionar 0,5 a x quando é solicitado P( X  x) 
 Adicionar 0,5 a x quando é solicitado P( X < x) 
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS - MÓDULO-02 MANUEL 10 
Exemplo: Determinar a probabilidade de se obter entre 3 e 6 caras, inclusive, em 10 lances de uma 
moeda honesta, utilizando (a) distribuição binomial; (b) aproximação normal. 
Solução 
 
(a)Utilizando distribuição Binomial 
 
Nesse caso será necessário calcular: 
 
P( 3 X 6) = P( X = 3 ) + P( X = 4 ) + P( X = 5 ) + P( X = 6 ) 
 
Temos então: 
n = 10 (número de lances - lançamentos da moeda) 
x = 3, 4, 5 ou 6 (resultados desejados 3, 4, 5 ou 6 caras) 
p = ½ (probabilidade de sair cara - sucesso !) 
q = ½ (probabilidade de não sair cara - insucesso !) 
 
Fórmula da Binomial 
xnxx
n qpCxXP
 )( 
 
 
 
 
P(3 X 6) = 0,7734 (77,34%). 
 
(b) Utilizando aproximação Normal 
Para usar a aproximação pela Normal deveremos utilizar a correção de continuidade e calcular P(2,5 
X 6,5). Ou seja, como é P(X 3) subtraímos 0,5 de 3 o que resulta 2,5 e como é P(X 6) 
adicionamos 0,5 o que resulta em 6,5. 
A variável X será aproximada por uma distribuição Normal com: 
Média:  = n×p = 10 × ½ = 5 
Desvio Padrão: 58,15,2
2
1
2
1
10  npq 
 
Então X é uma Normal com média = 5 e desvio padrão =1,58, ou seja X ~ N(5 ; 1,58). 
Normalizando os valores de X (2,5 e 6,5) para obter uma Normal padronizada Z ~ (0,1) temos: 
58,1
58,1
55,2
1 

z 95,0
58,1
55,6
2 

z 
 
Logo P(2,5 X 6,5) = P(-1,58  Z  
 
Da tabela NORMAL obtemos os seguintes valores: 
 
P(-1,58) = P(1,58) = 0,4429 
 
P(0,95) = 0,3289 
 
Logo a probabilidade desejada equivale a P(-1,58 Z 0,95 ) = 0,4429 + 0,3289 = 0,7718 (77,18%). 
Perceba a diferença entre a solução utilizando a Binomial e a solução utilizando a aproximação pela 
Normal (0,7734 - 0,7718) = 0,0016. 
46
6
10
55
5
10
64
4
10
73
3
10
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)63( 















































 CCCCXP