Cálculo Multivariável

Prévia do material em texto

Máximos e Mínimos
Extremos Relativos
Se f tiver um extremo relativo em um ponto (x0,y0) e se 
as derivadas parciais de primeira ordem de f existirem 
nesse ponto, então
fx(x0,y0)=0 e fy(x0,y0)=0
Um ponto (x0,y0) no domínio de uma função f (x,y) é 
denominado ponto crítico da função se fx(x0,y0)=0 e 
fy(x0,y0)=0 ou se ambas derivadas parciais não existirem 
em (x0,y0).
fx(x,y)=-2x fy(x,y)=2y
fx(0,0)=0 fy(0,0)=0
(0,0) ponto de sela
Uma superfície z=f(x,y) tem um ponto de sela em 
(x0,y0), se houver dois planos verticais distintos que 
passam nesse ponto, tais que o traço da superfície em 
um dos planos tem um máximo relativo em (x0,y0)e o 
traço no outro tem um mínimo relativo em (x0,y0)
Teste da segunda Derivada
yyyx
xyxx
ff
ff
Dyxfz == ),(
Para um ponto (x0,y0):
a) Mínimo relativo D>0 e fxx>0 
b) Máximo relativo D>0 e fxx<0 
c)Ponto de sela D<0 
d)Nada pode ser dito D=0
Exemplo
Analise os pontos críticos de 
Os pontos críticos de f(x,y) satisfazem:
8
22
26
=
−
−
==
yyxy
xyxx
ff
ff
D
No ponto (2,6)
D>0 e fxx>0
Exemplo
Localize todos os extremos relativos e os 
pontos de sela de
Exemplo
Determine as dimensões de uma caixa 
retangular aberta no topo, com um volume de 
32 pés3 e cuja construção requeira um 
quantidade mínima de material
Para determinar os pontos Sx=0 e Sy=0
),( yxfu =Calcular os máximos e os mínimos da função
Condicionada a restrição 0),( =yxϕ
→
∂
∂
+
∂
∂
=
xd
yd
y
f
x
f
xd
ud
No ponto extremo
0=
∂
∂
+
∂
∂
xd
yd
y
f
x
f
adicionalmente 0=
∂
∂
+
∂
∂
xd
yd
yx
ϕϕ
0)( =
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
xd
yd
yxxd
yd
y
f
x
f ϕϕλ
0)( =
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
xd
yd
yxxd
yd
y
f
x
f ϕϕλ
0=





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
xd
yd
yy
f
xx
f ϕλϕλ
A igualdade é valida para todos os pontos 
extremos de ),( yxfu =
Escolhemos de modo que λ 0=





∂
∂
−
∂
∂
yy
f ϕλ
Logo, 0=





∂
∂
−
∂
∂
xx
f ϕλ
0),( =
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
yx
yy
f
xx
f
ϕ
ϕλ
ϕλ
0),( =yxϕ
Os pontos extremos são obtidos resolvendo:
ϕλ∇=∇f
),(),(),,( yxyxfyxF λϕλ −=
Exemplo
Determine as dimensões de uma caixa 
retangular aberta no topo, com um volume de 
32 pés3 e cuja construção requeira um 
quantidade mínima de material
),,(),,(),,,( zyxzyxfzyxF λϕλ −=
)32(22),,,( −−++= xyzyzxzxyzyxF λλ
Pontos críticos
0000 =
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
λ
F
z
F
y
F
x
F
3222
22
−=
∂
∂
−+=
∂
∂
−+=
∂
∂
−+=
∂
∂
xyzFxyyx
z
F
xzzx
y
Fyzzy
x
F
λλ
λλ
032022
0202
=−=−+
=−+=−+
xyzxyyx
xzzxyzzy
λ
λλ
03222
22
=−=
+
=
+
=
+
xyz
xy
yx
xz
zx
yz
zy
λ
λλ
yxzxyzyx
xz
zx
yz
zy
=→+=+→
+
=
+ )2()2(22
2
42222 y
z
yy
y
yz
zy
xy
yx
yz
zy
=→=
+
→
+
=
+
432)
2
)((032 =→=→=−=
∂
∂ yyyyxyzFλ
2
2
;4 === yzx
Determine os pontos extremos de 
f(x, y) = x y tais que x2 + y2 = 1
Utilizando o método de Lagrange
f(x, y) = x y 
Determine os pontos da esfera x2+y2+z2=4 que 
estão mais próximos e mais distantes do ponto 
(3,1,-1)
Determine os pontos extremos de 
f(x, y, z) = x2+y2+z2 tais que 3 x-2 y+z-4 =0