Cálculo de Derivadas Parciais

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25/08/2014
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Limites
Calcular
22
44
)0,0(),(
lim
yx
yx
yx +
−
→
Ex.
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2
=
+
−
→ 22
44
)0,0(),(
lim
yx
yx
yx
=
+
−+
→ 22
2222
)0,0(),(
))((lim
yx
yxyx
yx
0)(lim 22
)0,0(),(
=−
→
yx
yx
)1ln(lim
)1,2(),(
−
→
xy
yx
Ex
)1ln(lim
)1,2(),(
−
→
xy
yx





−=
→
)1(limln
)1,2(),(
xy
yx
11)1(2)1(lim
)1,2(),(
=−=−
→
xy
yx
( ) 01ln ==
Continuidade
O significado intuitivo de continuidade é que, 
se o ponto (x,y) varia de uma pequena 
quantidade, o valor de f(x,y) variará também de 
uma pequena quantidade
Isso quer dizer que a superfície que 
corresponde ao gráfico de uma função contínua 
não tem buracos ou ruptura.
Uma função f(x,y) é contínua no ponto (x0,y0) se:
1. f for definida em (x0,y0) 
2. 
3. 
Existeyxf
yxyx
),(lim
),(),( 00→
),(lim 00),(),( 00 yxfyxyx →
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DerivadasDerivadasDerivadasDerivadas
DerivadasDerivadasDerivadasDerivadas
Derivadas Parciais h
yxfyhxf
x
f
h
yx
),(),(lim 0000
0
),( 00
−+
=
∂
∂
→
h
yxfhyxf
y
f
h
yx
),(),(lim 0000
0
),( 00
−+
=
∂
∂
→
Nomenclatura
),(),( 0000 yxfyxy
f
y∂
∂
yfy
f
∂
∂ )3,1(
)3,1(
y
x
f
fEx. Determinar
xyyxyxf 422),( 23 ++=
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)(),( xysenyyxf =
Determinar fyEx.
)(),( xysenyyxf =Determinar fy
)cos()(
)]([)()(
)]([
xyxyxysen
y
f
xysen
y
yy
y
xysen
y
f
xyseny
yy
f
+=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
Ex.
fx(x,y0) pode ser 
interpretada como a 
taxa de variação de z em 
relação a x ao longo da 
curva C1
Derivadas Parciais vistas como Taxa de variação 
Geometricamente, fx(x0 ,y0) 
pode ser vista como a 
inclinação da reta tangente à 
curva C1 no ponto (x0 ,y0).
Diremos que fx(x0 ,y0) é a 
inclinação da superfície 
na direção x em (x0 ,y0) 
32 5),( yyxyxfSeja +=
a) Determine a inclinação da superfície na 
direção x no ponto (1,-2)
),( yxfz =
b) Determine a inclinação da superfície na 
direção y no ponto (1,-2)
),( yxfz =
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4)2,1(2),( −=−= xx fxyyxf
Solução (a)
z está decrescendo a uma taxa de 4 unidades a cada 
unidade de crescimento de x
Solução (b)
61)2,1(15),( 22 =−+= yy fyxyxf
z está crescendo a uma taxa de 61 unidades a cada unidade 
de crescimento de y
Ex. A lei de um gás ideal confinado é PV=8T, onde P á a pressão em 
N/cm2, V é o volume em cm3 e T é a temperatura em graus. Se o 
volume do gas é de 150 cm3 e a temperatura é de 100o , determinar:
a)A taxa de variação da pressão em relação à temperatura para o 
volume fixo de 150 cm3.
b)A taxa de variação do volume em relação à pressão para a 
temperatura fixa de 100o .
Solução
T
V
V
T
T
P
V
88
8 2
2
−
=






−
=
∂
∂
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DERIVADAS PARCIAIS DE ORDENS SUPERIORES
Determine as derivadas parciais de segunda ordem
Seja 
Determine
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Exercícios 
Ex.
Resposta.
Resposta.
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8
Solução
Solução
Solução Solução
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9
Solução