matematica financeira UNIDADE 3

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109
UNIDADE 3
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir desta unidade, você será capaz de:
• compreender como funciona o regime de capitalização composta; 
• conseguir efetuar cálculos envolvendo juros compostos, prestações e 
amortização;
•	 dominar	boa	parte	das	funções	da	calculadora	financeira.	
Esta	unidade	está	dividida	em	três	tópicos.	Neles,	você	encontrará	exercícios	
para	fixação	dos	conceitos	adquiridos.
TÓPICO 1 – JUROS COMPOSTOS
TÓPICO	2	–	SÉRIES	DE	PAGAMENTOS	OU	PRESTAÇÕES
TÓPICO	3	–	SISTEMAS	DE	AMORTIZAÇÃO
Assista ao vídeo 
desta unidade.
110
111
TÓPICO 1
JUROS COMPOSTOS
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Você	já	estudou	o	regime	de	capitalização	simples,	no	qual		o	juro	produzido	
por	um	capital	é	sempre	o	mesmo,	qualquer	que	seja	o	período	de	 tempo,	pois	
ele	é	sempre	calculado	sempre	sobre	o	capital	inicial.	No	regime	de	Capitalização	
Simples,	os	Juros	não	geravam	novos	juros.
Agora você estudará o	Regime	de	Capitalização	Composta,	que	é	o	regime	
ou	sistema	mais	utilizado	atualmente.	Nesse	regime	o	juro,	a	partir	do	segundo	
período,	é	calculado	sobre	o	montante	do	período	anterior.	Diante	disso,	podemos	
dizer	que	neste	regime	os	juros	também	rendem	juros.
 
Os juros compostos são popularmente chamados de juros sobre juros, ou 
regime	de	juros	sobre	juros.	
Se	o	período	de	capitalização	for	mês,	dizemos	que	é	capitalização	mensal;	
se	o	período	de	capitalização	for	dia,	dizemos	que	a	capitalização	é	diária,	e	assim	
por	diante.		
Assim,	um	capital	de	R$	500,00	aplicado	à	taxa	de	3%	ao	mês	tem	a	seguinte	
evolução no regime de juros compostos:
Mês Juro Montante
0 - 500,00
1													500,00		.			0,03	.	1									515,00
2													515,00		.			0,03	.	1									530,45
3													530,45		.			0,03	.	1									546,36
Note a evolução do capital com os juros. Se fossem juros simples teríamos, no 
final do mês 3, um montante de R$ 545,00; em juros compostos o montante é R$ 546,36.
IMPORTANT
E
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
112
2 CÁLCULO DO VALOR FUTURO OU MONTANTE  FV
Através da fórmula do montante calculamos o capital mais os juros 
acumulados	de	um	investimento	ou	empréstimo.	Se	quisermos	somente	os	juros,	
aplicamos	a	mesma	fórmula	que	segue	e,	no	final,	descontamos	o	capital	(PV).
Fórmula: 
FV	=	PV	•	(1	+	i)n
FV = Montante ou Valor Futuro; 
PV = Capital ou Valor Presente; 
i	=	taxa;	
n	=	período(s)	de	capitalização(ões)	ou	tempo.			
O fator ( 1 + i )n é denominado fator de capitalização ou fator de acumulação 
de capital.
No regime de Juros Compostos o tempo deve ser lançado conforme a taxa, ou seja, se a taxa 
estiver em mês, o tempo deve ser colocado em meses também. Isso deve ser seguido, pois 
nesse sistema, como os juros rendem juros, ao lançar a taxa e o tempo em períodos diferentes, 
o resultado não sairá certo.
Exemplo 1:
Calcule	 o	 montante	 que	 será	 produzido	 se	 aplicarmos	 o	 capital	 de	 R$	
2.000,00	a	uma	 taxa	de	5%	ao	mês	em	 Juros	Compostos,	durante	o	 tempo	de	2	
meses.
Solução pela fórmula:
FV	=	PV	•	(1	+	i)n
FV	=	2.000	•	(1	+	0,05)2
FV	=	2.000	•	1,1025
FV	=	2.205,00
Note que como a taxa foi fornecida em meses e o tempo também, não houve 
necessidade de ajuste. Somente foi preciso dividir a taxa por 100 para tirar da forma percentual 
e colocar na fórmula como decimal.
DICAS
IMPORTANT
E
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
113
Solução	pela	fórmula	(função	algébrica)	na	calculadora	financeira	HP	12C:
5 ENTER
100 ÷
1 + 
2 yX
2.000 X
Primeiro deve-se dividir a taxa por 100. Depois é preciso somar 1 ao 0,05 para, 
posteriormente, elevar a 2 e, por fim, esse último resultado, multiplicar pelo capital para obter 
o montante, ou seja, o capital mais os juros.
2.1 SOLUÇÃO PELA HP 12C UTILIZANDO AS TECLAS 
FINANCEIRAS
Antes	de	efetuar	o	cálculo	na	sua	HP,	você	precisa	colocar	a	letra	C no visor 
da	 sua	 calculadora	financeira.	Essa	 letra	 aparecendo	no	visor	 fará	 com	que	 sua	
calculadora	“saiba”	que	todo	o	período	lançado	na	tecla	n será aplicado em juros 
compostos.
Para inserir a letra C no visor da calculadora, pressione a tecla STO e em 
seguida a tecla EEX .	Caso	 sua	 calculadora	não	 tenha	a	 letra	C no visor e você 
esteja	efetuando	um	cálculo	de	 juros	compostos	através	das	teclas	financeiras,	o	
resultado	diverge	do	correto	somente	nos	casos	em	que	o	tempo	está	“quebrado”,	
ou	seja,	com	várias	casas	decimais	após	a	vírgula.
Por	exemplo,	se	a	taxa	estivesse	em	meses,	teríamos	que	colocar	o	tempo	
em	meses	na	calculadora	para	resolvermos	corretamente	o	cálculo.	Supondo	que	o	
tempo	fosse	48	dias	e	quiséssemos	passar	esse	tempo	em	dias	para	mês,	teríamos	
que	dividir	48	dias	por	30	dias,	que	é	a	quantidade	de	dias	que	tem	um	mês,	o	que	
resultaria	em	1,6	meses.	
Se	fosse	lançado	1,6	na	tecla	n	da	calculadora,	sem	que	a	letra	C esteja no 
visor, a resposta não sai correta, pois a calculadora efetua o cálculo da seguinte 
forma: 
O	 valor	 que	 está	 anterior	 à	 vírgula,	 ou	 seja,	 o	 número	 1,	 a	 calculadora	
entende	 como	 juros	 compostos	 e	 o	 valor	 posterior	 à	 vírgula,	 o	 6,	 como	 juros	
simples,	gerando	um	resultado	divergente	do	correto.
DICAS
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
114
Estando a calculadora com a letra C no	visor,	ela	interpreta	todo	o	período	
lançado	na	letra	n	como	juros	compostos.	Portanto,	deixe	sempre	a	letra	C	no	visor	
da	máquina	em	todos	os	cálculos.			
Outra informação importante para você:
No	 visor	 da	 calculadora	 também	 devem	 aparecer	 as	 letras	 D.MY,	 que	
significa	que	está	sendo	usado	o	calendário	brasileiro	no	cálculo	de	datas.	Assim,	
quando	 você	 efetuar	 algum	 cálculo	 envolvendo	 datas,	 a	 calculadora	 não	 gera	
mensagem	de	erro.	
Para inserir o D.MY	no	visor	da	máquina	pressione	a	tecla	g e em seguida 
a	tecla	do	número	4 .
Se precisar retirar o D.MY deve pressionar a tecla g , em seguida a tecla do 
número	5 . Ao comandar essas teclas, a calculadora retira o D.MY	do	visor	e	fica	
preparada para efetuar cálculos envolvendo datas pelo sistema americano, ou seja, 
mês/dia/ano.
Mas	você	pode	deixar	sempre	a	sua	calculadora	com	o	D.MY	no	visor	que	
não	atrapalha	em	nada;	aliás,	ela	fica	preparada	para	cálculos	com	datas	conforme	
o	nosso	calendário.
Na	HP	não	será	mais	utilizado	o	tempo	em	dia	e	a	taxa	em	ano,	como	na	
capitalização	simples.	Veja	a	seguir:
f CLX  Comando para limpar as memórias e registradores. 
2000 CHS PV  Capital inserido com o CHS que deixa ele negativo.
2 n  Tempo lançado em meses.
5 i  Taxa lançada de forma mensal.
FV  No visor aparecerá 2.205,00, que é a resposta correta. 
Agora, nos juros compostos, o tempo deve ser lançado conforme o tempo 
da	taxa.
Fazendo o cálculo anterior pela parte financeira da calculadora não há necessidade 
de fazer a digitação fiel como apresentado. Como essas teclas financeiras são independentes, 
os dados podem ser digitados de maneira aleatória.
Como é demonstrado a seguir:
DICAS
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
115
 f CLX 
 5 i
 2 n 
2.000 CHS PV 
FV 
 
Exemplo 2:
Calcule	o	montante	que	será	gerado	se	aplicarmos	o	capital	de	R$	5.000,00	
a	uma	taxa	de	1,5%	ao	mês	em	juros	compostos,	durante	o	tempo	de	2	anos.	
Solução pela fórmula:
FV	=	PV	•	(1	+	i)n
FV	=	5.000	•	(1	+	0,015)24
FV	=	5.000	•	1,429502812
FV	=	7.147,51
Note que, como a taxa foi fornecida em meses e o tempo em anos, houve a 
necessidade de ajuste, em que foi modificado o tempo de 2 anos para 24 meses, ou seja, 2 
anos x 12 meses = 24 meses. Na fórmulatambém a taxa foi dividida por 100 para tirar da forma 
percentual e colocar de forma decimal.
Importante:
Solução	pela	fórmula	na	calculadora	financeira	HP	12C:
1,5 ENTER
100 ÷
1 + 
24 yX
5.000 X
Primeiro deve-se dividir a taxa por 100, depois é preciso somar 1 ao 0,015 para, 
posteriormente, elevar a 24 e, por fim, esse último resultado, multiplicar pelo capital para obter 
o montante, ou seja, o capital mais os juros.
IMPORTANT
E
DICAS
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
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Solução	pela	HP	12C	utilizando	as	teclas	financeiras:
f CLX  Comando para limpar as memórias e registradores. 
5.000 CHS PV  Capital inserido com o CHS que deixa ele negativo.
24 n  Tempo lançado em meses.
1,5 i  Taxa lançada de forma mensal.
FV  No visor aparecerá 7.147,51, que é a resposta correta. 
 
Agora,	nos	juros	compostos	o	tempo	deve	ser	lançado	conforme	o	período	
de	tempo	da	taxa.
AUTOATIVIDADE
Agora	é	a	sua	vez,	exercite	um	pouco!!!
1	Uma	pessoa	investe	o	capital	de	R$	5.000,00	a	uma	taxa	de	juros	compostos	de	
3%	ao	mês,	pelo	prazo	de	10	meses.	Calcule		o	montante	resgatado	ao	final	
dos	10	meses.
2	Calcule	o	montante	gerado	se	pegarmos	o	capital	de	R$	20.000,00	e	aplicarmos	
à		taxa	de	juros	compostos	de	3,5%	ao	mês,	durante	35	meses.
3	 Qual	 é	 o	 montante	 resultante	 de	 uma	 aplicação	 de	 R$	 50.000,00	 a	 juros	
compostos,	pelo	prazo	de	2	anos	a	uma	taxa	de	2%	ao	mês?
4	Um	capital	de	R$	8.000,00	foi	aplicado	a	juros	compostos	durante	um	ano	e	
meio	a	uma		taxa	de	2,5%	ao	mês.	Calcule	o	montante	resgatado	no	período.		
 
5	Calcule	o	montante	resgatado	se	aplicarmos	o	capital	de	R$	8.200,00	por	um	
período	de	60	dias	a	uma	taxa	de	juros	compostos	de	1,5%	ao	mês.
6	Calcule	o	montante	produzido	pela	aplicação	de	um	capital	de	R$	75.000,00	
aplicado	a	uma	taxa	de	2,75%	ao	mês	em	juros	compostos,	por	48	dias.
 
7	Qual	é	o	montante	produzido	pela	aplicação	de	R$	12.000,00	após	um	período	
de	aplicação	de	4	anos	a	uma	taxa	de	2%	ao	mês	em	juros	compostos?	
8	 	 Um	 capital	 de	 R$	 89.300,00	 foi	 aplicado	 em	 01/03/2011	 até	 29/09/2011	 a	
uma	taxa	de	1,34%	ao	mês.	Sabendo	essas	informações,	calcule	o	montante	
resgatado.
9	Uma	aplicação	de	R$	100.000,00	 foi	efetuada	de	05/03/2011até	30/10/2011	a	
uma	 taxa	de	 1,12%	ao	mês	no	 regime	de	 juros	 compostos.	 Sabendo	 essas	
informações,	calcule	o	valor	resgatado	no	final	do	período.
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
117
Agora que você já exercitou o valor futuro, vamos estudar o capital. Mas caso 
você já esteja estudando há mais de uma hora, dê uma paradinha, descanse e volte depois, 
mais tranquilo.
3 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE OU CAPITAL  PV
O cálculo para descobrir o valor do capital ou valor presente é efetuado 
quando	o	objetivo	é	descobrir	o	valor	inicial	que	foi	aplicado,	ou	seja,	o	exercício	
informa	o	valor	do	montante	(valor	futuro),	a	taxa	e	o	tempo	decorrido	e	é	preciso	
descontar	os	juros	do	período	para	encontrar	o	valor	inicial.
 
Fórmula para encontrar o valor do capital: 
FV	=	PV	•	(1	+	i)n
Perceba que a fórmula é a mesma utilizada para calcular o montante.
Exemplo 1: 
Calcule	o	capital	inicial	que,	aplicado	durante	05	meses	e	a	uma	taxa	de	3%	
ao	mês	em	juros	compostos,	produz	o	montante	de	R$	4.058,00.	
Solução pela fórmula:
DICAS
UNI
( )
( )
n
5
FV PV 1 i
4.058 PV 1 0,03
4.058 PV 1,159274074
4.058PV 3.500,47
1,159274074
= ⋅ +
= ⋅ +
= ⋅
= =
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
118
Solução	pela	HP	12C	através	da	função	financeira			
F CLX  Comando de limpeza de memórias 
4058 CHS FV  Montante sendo lançado no FV com sinal negativo (CHS) 
5 n  Número de meses lançado no N
3 i  Taxa mensal lançada no I
PV Visor  3.500,47
Agora	o	valor	informado	é	o	FV	e,	por	último,	buscamos	o	PV,	que	é	o	capital.
Para elevar um número a um expoente positivo na HP fazemos assim:
Exemplo: (1,03)5  1,03 enter 5 Yx  1,159274074
Exemplo 2: 
Calcule	o	capital	que,	aplicado	durante	2	anos	a	uma	taxa	de	1,12%	ao	mês	
em	juros	compostos,	produz	o	montante	de	R$	200.000,00.
Solução pela fórmula:
Note que, como a taxa foi informada de forma mensal, o tempo foi alterado para 
meses também e, portanto, 2 anos são 24 meses.
F CLX  Comando de limpeza de memórias 
200.000 CHS FV  Montante sendo lançado no FV com sinal negativo (CHS)
24 n  Número de meses lançado no N
1,12 i  Taxa mensal lançada no I
PV Visor  153.087,78
IMPORTANT
E
UNI
Solução	pela	HP	12C	através	da	função	financeira
( )
( )
n
24
FV PV 1 i
200.000 PV 1 0,0112
200.000 PV 1,306439981
200.000PV 153.087,78
1,306439981
= ⋅ +
= ⋅ +
= ⋅
= =
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
119
AUTOATIVIDADE
Exercite	um	pouco	o	que	aprendeu...
1	Sabendo	que	um	capital	aplicado	à	 taxa	de	2,2%	ao	mês,	durante	4	meses,	
rendeu	 um	montante	 de	 R$	 79.000,00,	 calcule	 qual	 foi	 o	 valor	 do	 capital	
aplicado	no	regime	de	juros	compostos.
2		Determine	qual	capital	que,	aplicado	a	juros	compostos	à	taxa	de	3,5%	ao	mês	
durante	o	tempo	de	2	anos	e	3	meses,	rendeu	um	montante	de	R$	19.752,00.
3		Calcule	qual	capital	será	necessário	para	formar	um	montante	de	R$	50.000,00	
daqui	a	24	meses,	sabendo	que	a	taxa	de	aplicação	é	de	4%	ao	bimestre	em	
juros	compostos.	
4		João	aplicou	um	capital	em	um	banco	que	remunera	a	aplicação	a	uma	taxa	
de	1,25%	ao	mês	em	juros	compostos.	Após	13	meses,	formava	um	montante	
de	R$	63.000,00.	Sabendo	esses	dados,	calcule	o	valor	aplicado	inicialmente.
5		Sabendo	que	uma	aplicação	foi	efetuada	em	01/03/2010	e	que	em	15/11/2010	
foi	resgatado	o	montante	de	R$	45.280,36,	calcule	o	capital	aplicado.	Sabe-se	
que	a	taxa	mensal	de	aplicação	foi	de	1,28%	ao	mês,	em	juros	compostos.
6	Um	cliente	do	Banco	Fomento	efetuou	uma	aplicação	e,	passados	2	anos	e	
5	meses,	 retirou	o	montante	de	R$	 50.000,00.	Calcule	 o	valor	 inicialmente	
aplicado,	sabendo	que	a	taxa	mensal	dessa	aplicação	foi	de	1,48%	ao	mês,	em	
juros	compostos.
7		Calcule	 o	 capital	 que	 produz	 um	 montante	 de	 R$	 6.300,00	 se	 a	 taxa	 de	
aplicação	for	de	1,28%	ao	bimestre	e	o	tempo	de	aplicação	12	meses.	
8		Simão	 aplicou	 uma	 determinada	 quantia	 em	 um	 banco	 que	 remunera	
a	aplicação	a	uma	 taxa	de	1,03%	ao	mês	em	 juros	 compostos.	Após	3	anos	
formava	um	montante	de	R$	201.201,00.	Calcule	o	valor	aplicado	inicialmente.
9		Uma	aplicação	foi	efetuada	em	uma	determinada	data	e,	passados	5	anos,	foi	
retirado	o	montante	de	R$	30.000,00.	Calcule	o	capital	aplicado,	sabendo	que	
a	taxa	mensal	de	aplicação	foi	de	0,68%	ao	mês,	em	juros	compostos.
10	O	 	Banco	Fomento	 informa	que	está	pagando	uma	 taxa	de	1,07%	ao	mês	
em	 suas	 aplicações.	 Supondo	 que	 você	 aplique	 o	 valor	 de	 R$	 100.000,00	
nesse	banco	por	um	período	de	2,5	anos,	que	montante	vai	retirar	ao	final	do	
período	de	aplicação?
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
120
Agora que você terminou os exercícios de montante, aprenderá como calcular a 
taxa. Vamos lá, então!!!
4 CÁLCULO DA TAXA  I
Utiliza-se	o	cálculo	da	taxa	para	saber	qual	é	a	taxa	que	está	sendo	paga	em	
uma	aplicação	financeira	ou	a	taxa	que	está	sendo	cobrada	em	um	empréstimo,	
por	exemplo.
Agora,	nos	exercícios	 será	o	valor	do	capital,	o	valor	 futuro,	o	 tempo.	E	
você	ainda	vai	calcular	a	taxa	do	período.	
Fórmula	para	o	cálculo	da	taxa:
Ajuste sempre o tempo em função dataxa. Se a taxa for pedida em mês, ajuste 
o tempo para mês; se pedir a taxa em ano, passe o tempo para ano, e assim sucessivamente.
Exemplo 1:
O	capital	de	R$	1.000,00	produziu	um	montante	de	R$	1.331,00	durante	3	
meses.	Calcule	a	taxa	de	aplicação	mensal	em	juros	compostos.
UNI
ATENCAO
( ){ }
{ }
1
N
1
3
0,333333333
FVi 1 100
PV
1.331i 1 100
1.000
i 1,331 1 100
i 1,10 1 100
i 0,10 100
i 10% ao mês
 
  = − ⋅  
   
 
  = − ⋅  
   
= − ⋅
= − ⋅
= ⋅
=
1
NFVi 1 100
PV
 
  = − ⋅  
   
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
121
4 CÁLCULO DA TAXA  I
Note que o resultado 0,10 foi multiplicado por 100 para transformar a taxa em 
percentual. Portanto, sempre multiplique o resultado encontrado por 100 quando estiver 
calculando a taxa.
Outra coisa: se o exercício pedir a taxa em mês, deve colocar o tempo mês no exercício.
Solução	utilizando	a	calculadora	HP	12C	através	das	teclas	financeiras:
 
F CLX  Comando para limpar as memórias
1331 FV  Valor do montante lançado no FV
1000 CHS PV  Valor do capital lançado no PV com sinal negativo
3 n  Tempo lançado no N
i  Visor 10, ou seja, 10% ao mês 
 
E	para	resolver	na	HP	pela	fórmula	deve-se	comandar	assim:
1.331 ENTER
1.000 ÷
3 1/X YX
1 –
100 X
Primeiro divide-se o valor do FV pelo valor do PV e, em seguida, digita-se o valor 
do expoente (3). Ao pressionar a tecla 1/x a calculadora faz o seguinte cálculo: divide 1 pelo 
valor que foi digitado anteriormente, ou seja, o número 3. Seguindo o cálculo, é digitada a tecla 
de expoente Yx . Em seguida é diminuído o número 1 do resultado encontrado e multiplicado, 
o resultado, por 100.
Exemplo 2:
O	capital	de	R$	5.000,00	produziu	um	montante	de	R$	6.400,00	durante	2	
anos.	Calcule	a	taxa	de	aplicação	anual	em	juros	compostos.
UNI
DICAS
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
122
Solução	utilizando	a	calculadora	HP	12C	através	das	teclas	financeiras:
 
F CLX  Comando para limpar as memórias
6.400 CHS FV  Valor do montante lançado no FV
5.000 PV  Valor do capital lançado no PV com sinal negativo
2 n  Tempo em ano lançado no N
i  Visor 13,14 
Como o exercício pedia a taxa em ano, o tempo foi inserido em ano para chegar 
ao resultado anual.
AUTOATIVIDADE
Agora	é	sua	vez!!!	Exercite	um	pouco.
1	 Uma	pessoa	recebe	uma	proposta	de	investir	hoje	a	quantia	de	R$	12.000,00	
para	receber	o	montante	de	R$	16.127,00	daqui	a	10	meses.	Calcule	a	 taxa	
mensal	desse	investimento	no	regime	de	juros	compostos.
2		Um	capital	de	R$	20.000,00	foi	aplicado	a	juros	compostos	durante	7	meses	e	
rendeu	o	montante	de	R$	23.774,00.	Determine	a	taxa	mensal	dessa	aplicação	
no	regime	de	juros	compostos.
3		O	capital	de	R$	12.000,00	foi	aplicado	durante	8	meses	e	elevou-se	no	final	desse	
prazo	ao	montante	de	R$	15.559,00.	Calcule	a	taxa	de	juros	mensal	dessa	aplicação.
IMPORTANT
E
( ){ }
{ }
1
N
1
2
0,5
FVi 1 100
PV
6.400i 1 100
5.000
i 1,28 1 100
i 1,131370850 1 100
i 0,131370850 100
i 13,13708499 % ao ano
arredondado = 13,14% ao ano
 
  = − ⋅  
   
 
  = − ⋅  
   
= − ⋅
= − ⋅
= ⋅
=
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
123
4		Um	cliente	aplicou	o	valor	de	R$	40.000,00	em	uma	aplicação	bancária	e	após	
2,5	anos	recebeu	o	montante	de	R$	55.222,44.	Calcule	a	taxa	mensal	dessa	
aplicação	em	juros	compostos.	
5	Um	capital	de	R$	22.250,00	ficou	aplicado	durante	180	dias.	Sabe-se	que	o	
montante	resgatado	foi	R$	25.250,00.	Calcule	a	taxa	mensal	de	aplicação	em	
juros	compostos.
6		Sabendo	 que	 uma	 aplicação	 de	 R$	 18.000,00	 gerou	 um	 montante	 de	 R$	
21.835,58	durante	6	bimestres,	calcule	a	taxa	mensal	dessa	aplicação.
7	Calcule	a	taxa	mensal	que	faz	com	que	um	capital	de	R$	4.300,00	gere	um	
montante	de	5.800,00	durante	6	trimestres.		
8	O	capital	de	R$	200.000,00	foi	aplicado	durante	3	anos.	Sabe-se	que	o	montante	
resgatado	 foi	 R$	 222.500,00.	 Calcule	 a	 taxa	 mensal	 de	 aplicação	 em	 juros	
compostos.
9		Sabendo	 que	 uma	 aplicação	 de	 R$	 40.000,00	 gerou	 um	 montante	 de	 R$	
60.000,00	durante	8	trimestres,	calcule	a	taxa	mensal	dessa	aplicação.
10	Calcule	a	taxa	anual	que	faz	com	que	um	capital	de	R$	90.000,00	gere	um	
montante	de	99.800,00	durante	36	meses.
Que bom que você fez os exercícios! Assim você está mais preparado para seguir 
em frente... Vamos lá!!!
O	cálculo	do	tempo	é	utilizado	para	calcular	a	quantidade	de	dias,	meses,	
bimestres,	trimestres,	semestres	ou	anos,	por	exemplo,	em	que	um	determinado	
capital	deverá	ficar	aplicado	ou	emprestado	para	gerar	um	determinado	montante,	
e	a	uma	taxa	também	determinada.
Agora	você	calculará	o	tempo	e,	para	isso,	fará	uso	dos	logaritmos	quando	
utilizar	as	fórmulas.
	Você	utilizará	o	Logaritmo	Natural	(LN)	para	poder	resolver	os	exercícios.
	Na	calculadora	científica	o	LN	fica	ao	lado	da	tecla	LOG.
5 CÁLCULO DO TEMPO  N
UNI
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
124
 Na HP 12C a função utilizada para cálculo dos logaritmos (LN) está 
localizada na tecla %T e a função LN é utilizada pressionando antes da tecla 
%T a tecla g .
Fórmula para o cálculo do tempo:
Exemplo 1:
Calcule	 em	 quantos	 meses	 uma	 aplicação	 de	 R$	 1.000,00	 produz	 um	
montante	de	R$	3.000,00	se	a	taxa	de	juros	for	4,8%	ao	mês,	em	juros	compostos.
Utilizando	a	calculadora	financeira	HP	12C	através	das	teclas	financeiras:
F CLX  Comando para limpar as memórias
3.000 FV  Valor do Montante lançado no FV
1000 CHS PV  Valor do Capital lançado no PV com sinal negativo
4,8 i  Taxa lançada no i 
n  Visor 24, ou seja, 24 meses
( )
FVIn
PVn
In 1 i
   
      =   +     
( )
( )
( )
( )
FVIn
PVn
In 1 i
3.000In
1.000n
In 1 0,048
In 3
n
In 1,048
1,0986122289n
0,046883586
n 23,43 meses
   
      =   +     
   
      =   +     
   =       
  
=   
  
=
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
125
A HP 12C sempre arredonda a resposta para o próximo período inteiro. Para ela 
não existe tempo “quebrado” ou meses quebrados. No exemplo, a resposta pela fórmula é 23,43 
meses, mas para a calculadora será 24 meses.
Solução	utilizando	a	HP12c	pela	fórmula:
3000 ENTER
1000 ÷
g Ln
enter
1,048 g Ln 
÷
Primeiro é dividido o Montante pelo Capital e diante desse resultado já aplicamos 
o Logaritmo Natural; digita-se após 1,048 e as teclas g Ln para descobrir o segundo logaritmo 
e pressionamos a tecla dividido, onde a máquina divide os dois valores, mostrando a resposta 
final, ou seja, o tempo.
Exemplo 2:
Calcule	em	quantos	dias	um	capital	de	R$	20.000,00	produz	um	montante	
de	R$	24.500,00	se	a	taxa	de	juros	for	1,02%	ao	mês	em	juros	compostos.
Solução pela fórmula:
IMPORTANT
E
DICAS
( )
( )
FVIn
PVn
In 1 i
24.000In
20.000n
In 1 0,0102
   
      =   +     
   
      =   +     
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
126
Porém,	como	o	exercício	pede	a	resposta	em	dias,	é	preciso	multiplicar	o	
resultado	encontrado	por	30	para	achar	o	total	de	dias.
Logo 20 x 30 = 600 dias
Solução	pela	calculadora	financeira	HP	12C	através	das	teclas	financeiras:
F CLX  Comando para limpar as memórias
20.000 CHS PV  Valor do Capital lançado no PV com sinal negativo
24.500 FV  Montante lançado no FV
1,02 i  Taxa lançada no i em meses
n  Visor 20, ou seja, 20 meses
30 X Visor  600, ou seja, multiplicando 20 por 30 dias para 
 achar o tempo em dias. 
A taxa deve ser inserida da maneira como é informada no exercício, assimo 
tempo vai sair no mesmo período da taxa e, se preciso for, no final é feito o ajuste do tempo.
AUTOATIVIDADE
1	Um	capital	de	R$	 40.000,00	 foi	 aplicado	a	 2%	ao	mês	 em	 juros	 compostos	
e	produziu	um	montante	de	R$	58.396,40.	Calcule	por	quantos	meses	esse	
capital	ficou	aplicado.	
2	Uma	pessoa	aplicou	o	capital	de	R$	500.000,00	e	após	algum	tempo	recebeu	
o	montante	de	R$	606.627,10.	Sabendo	que	a	taxa	foi	2,2%	ao	mês	em	juros	
compostos,	calcule	por	quantos	meses	o	capital	ficou	aplicado.
3	Por	quantos	meses	ficou	aplicado	um	capital	de	R$	1.200,00	para	formar	um	
montante	de	R$	3.200,00	se	aplicado	a	uma	taxa	de	1,59%	ao	mês	em	juros	
compostos?
DICAS
( )
( )
In 1,225
n
In 1,0102
0,202940844n
0,010148331
n 20 meses
   =       
  
=   
  
=
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
127
4	 Um	 capital	 de	 R$	 450,00	 foi	 aplicado	 à	 taxa	 de	 1,52%	 ao	 mês	 em	 juros	
compostos	e	rendeu	um	montante	de	1.282,01.	Calcule	por	quantos	meses	
este	capital	ficou	aplicado.
5		Um	capital	de	R$	6.535,00	foi	aplicado	a	uma	taxa	de	juros	de	1,28%	ao	mês	
em	 juros	compostos,	em	que	gerou	um	montante	de	R$	8.325,45.	Sabendo	
essas	informações,	calcule	por	quantos	meses	esse	capital	ficou	aplicado.
6		Carlos	vendeu	seu	veículo	por	R$	45.000,00	e	aplicou	o	dinheiro	em	um	banco,	
recebendo	 uma	 taxa	 mensal	 de	 1,38%	 ao	 mês	 por	 determinado	 período.	
Sabendo	ainda	que	após	esse	período	resgatou	o	montante	de	R$	56.435,00,	
calcule	por	quantos	meses	ficou	aplicado	esse	recurso.
7		Um	capital	de	R$	100.000,00	foi	aplicado	a	uma	taxa	de	1,12%	ao	mês	em	juros	
compostos	 e	 rendeu	 um	montante	 de	 R$	 112.300,00.	 Calcule	 por	 quantos	
meses	este	capital	ficou	aplicado.
8	Um	capital	de	R$	1.035,00	foi	aplicado	a	uma	taxa	de	juros	de	0,88%	ao	mês	
em	juros	compostos,	onde	gerou	um	montante	de	R$	1.120,00.	Sabendo	essas	
informações,	calcule	por	quantos	dias	esse	capital	ficou	aplicado.
9	Saul	vendeu	sua	casa	por	R$	154.000,00	e	aplicou	o	dinheiro	em	um	banco,	
recebendo	uma	taxa	mensal	de	0,67%	ao	mês.	Sabendo	ainda	que	após	esse	
período	Saul	resgatou	o	montante	de	R$	165.340,00,	calcule	por	quantos	dias	
ficou	aplicado	esse	recurso.
Já que você terminou de resolver mais estes exercícios, descanse um pouco e volte 
a estudar mais tarde! Quando você voltar, vamos dar sequência à matéria e estudar as taxas.
Bom,	até	agora	você	aprendeu	como	calcular	o	FV	depois	o	PV,	em	seguida	
a	taxa	e	por	fim	o	tempo.	Mas	sempre	você	calculava	com	a	taxa	informada,	sem	
alterá-la,	e	mexia	no	tempo	quando	era	preciso.	Agora	você	aprenderá	a	alterar	o	
período	de	tempo	das	taxas,	ou	seja,	passá-las	de	mês	para	dia,	de	mês	para	ano	e	
outros	tempos	mais.
É	importante	salientar	que,	em	juros	compostos,	não	é	correto	ajustar	a	taxa	
por	proporcionalidade,	ou	seja,	passar	um	taxa	de	12%	ao	ano	para	uma	taxa	de	1%	
ao	mês.	Logo	mais	você	aprenderá	a	mudar	uma	taxa	de	um	período	para	outro.	
UNI
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
128
6 ESTUDO DAS TAXAS
6.1 TAXA NOMINAL
Até	 agora,	 você	 vinha	 ajustando	 o	 tempo	 em	 função	 da	 taxa.	 E	 ainda	
trabalhava	 na	 maioria	 dos	 exemplos	 e	 exercícios	 com	 a	 taxa	 sendo	 fornecida	
em	mês.	Agora	você	vai	aprender	outros	tipos	de	taxas	e	a	fazer	mudanças	nos	
períodos	de	tempo	da	taxa.		
É	uma	taxa	apresentada	em	tempo	diferente	do	período	de	capitalização,	
servindo	apenas	para	saber,	através	da	proporcionalidade	de	taxas,	qual	é	a	taxa	
aplicada	ao	capital	no	período	de	capitalização.
A taxa nominal é, em geral, uma taxa anual.
Exemplo: 
Juros de 48% ao ano, capitalizados semestralmente.
Juros de 36% ao ano, capitalizados mensalmente.
6.2 TAXA PROPORCIONAL
A	proporcionalidade	das	taxas	é	realizada	como	se	estivéssemos	tratando	
de	juros	simples.
De	posse	da	taxa	nominal,	podemos	calcular	a	taxa	proporcional.	
De	posse	da	 taxa	nominal,	 é	dividida	pelo	número	de	 capitalizações	do	
período.	
Exemplo 1:
Se	tivermos	uma	taxa	nominal	de	24%	ao	ano,	capitalizada	trimestralmente:
Solução:
Um	ano	tem	4	trimestres,	então	dividimos	a	taxa	anual	por	4	e		temos	a	taxa	
trimestral	proporcional,	que	é		6%	ao	trimestre.
Exemplo 2:
Se	tivermos	uma	taxa	nominal	de	36%	ao	ano,	capitalizada	bimestralmente:	
Solução:
Um	 ano	 tem	 6	 bimestres.	 Dividimos	 a	 taxa	 anual	 por	 6	 e	 temos	 a	 taxa	
bimestral	proporcional,	que	é		6%	ao	bimestre.
Exemplo 3:
Se	tivermos	uma	taxa	nominal	de	30%	ao	ano,	capitalizada	mensalmente:	
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
129
6 ESTUDO DAS TAXAS
6.1 TAXA NOMINAL
6.2 TAXA PROPORCIONAL
Solução:
Um	ano	tem	12	meses,	então	dividimos	a	taxa	anual	por	12	e	temos	a	taxa	
mensal		proporcional,	que	é		2,5%	ao	mês.
Exemplo 4:
Se	tivermos	uma	taxa	nominal	de	25%	ao	ano,		capitalizada	mensalmente:	
Solução:
Um	ano	tem	12	meses,	então	dividimos	a	taxa	anual	por	12	e		temos	a	taxa	
mensal		proporcional,	que	é		2,083333333%	ao	mês.
Agora você aprenderá como resolver um exercício completo envolvendo 
taxa proporcional. Veja o exemplo a seguir:
 
Exemplo 1:
Calcule	o	montante	que	será	gerado	se	aplicarmos	um	capital	de	R$	5.000,00	
por	2	anos,	com	uma		taxa	de	juros	de	24%	ao	ano,	capitalizados	trimestralmente,	
em	juros	compostos.
Solução pela fórmula:
PV	=	5.000
i	=	24%	ao	ano,	capitalizado	trimestralmente	
n = 2 anos
FV=	?				
O	primeiro	passo	 é	 ajustar	 a	 taxa,	 ou	 seja,	 o	 exercício	 fornece	uma	 taxa	
nominal.	É	preciso	achar	a	taxa	proporcional	em	trimestre.	
Um	ano	tem	4	trimestres.	Se	dividir	a	taxa	anual	de	24%	por	4	trimestres	
você	encontrará	a	taxa	trimestral	proporcional:
	24	÷	4	=	6%	ao	trimestre
Depois	que	foi	encontrada	a	taxa	proporcional,	é	preciso	ajustar	o	tempo	
para	trimestres	também.	
Então,	em	um	período	de	2	anos	existem	quantos	trimestres?
Se	 em	um	ano	 existem	 4	 trimestres,	 logo,	 em	 2	 anos	 serão	 8	 trimestres,	
certo?
 
Então	os	dados	ficaram	assim:
Capital 	5.000,00
Tempo	8	trimestres
Taxa			6%	ao	trimestre
Montante	?
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
130
Agora	é	possível	aplicar	na	fórmula	e	descobrir	o	valor	do	montante.
Solução pela fórmula:
FV	=	PV	•	(1	+	i)n
FV	=	5.000	•	(1	+	0,06)8
FV	=	5.000	•	1,593848075
FV	=	7.969,24
Solução pela HP 12C, utilizando as teclas financeiras:
Exemplo 2:
Calcule	o	montante	que	será	gerado	se	aplicamos	um	capital	de	R$	25.000,00	
por	 3	 anos,	 com	 uma	 	 taxa	 de	 juros	 compostos	 de	 24	%	 ao	 ano,	 capitalizados	
mensalmente.			
Solução pela fórmula:
PV	=	25.000
i	=	24%	ao	ano,	capitalizado	bimestralmente	
n = 3 anos
FV=?				
O	primeiro	passo	 é	 ajustar	 a	 taxa,	 ou	 seja,	 o	 exercício	 fornece	uma	 taxa	
nominal	e	é	preciso	achar	a	taxa	proporcional	ao	mês.									
 
Um	ano	tem	12	meses,	então,	se	dividir	a	taxa	anual	de	24%	por	12	meses,	
você	encontrará	a	taxa	mensal	proporcional;
	24	÷	12	=	2%	ao	mês
Depois	que	foi	encontrada	a	taxa	proporcional,	é	preciso	ajustar	o	tempo	
para	mês	também.
Então,	em	um	período	de	3	anos	existem	quantos	meses?
Se	em	um	ano	existem	12	meses,	logo,	em	3	anos	serão	36	meses,	certo?
 
Então	os	dados	ficaram	assim:
Capital 	25.000,00
Tempo	36	meses
Taxa			2%	ao	mês
f CLX  Comando para limpar as memórias e registradores. 
5.000 CHS PV  Capital inserido com o CHS que deixa ele negativo.
8 n  Tempo lançado em trimestres.
6 i  Taxa lançada de forma trimestral.
FV  No visor aparecerá 7.969,24, que é a resposta correta
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
131
Montante	?
Agora	é	possível	aplicar	na	fórmula	e	descobrir	o	valor	do	montante.	
Solução pela fórmula:
FV	=	PV	•	(1	+	i)n
FV	=	25.000	•	(1	+	0,02)36	
FV	=	25.000	•	2,039887344
FV	=	50.997,18		
Solução pela HP 12C utilizando as teclas financeiras:
fCLX  Comando para limpar as memórias e registradores. 
25.000 CHS PV  Capital inserido com o CHS que deixa ele negativo.
36 n  Tempo lançado em meses.
2 i  Taxa lançada de forma mensal.
FV  No visor aparecerá 50.997,18 que é a resposta correta. 
Agora	você	exercitará	um	pouco	esse	conhecimento.
AUTOATIVIDADE
1	Um	banco	emprestou	o	valor	de	R$	35.000,00	para	o	cliente	devolver	em	uma	
única	 parcela	 em	dois	 anos.	 Sabendo	 que	 o	 banco	 cobra	 taxa	 nominal	 de	
36%	ao	ano,	com	capitalização	trimestral	em	juros	compostos,	calcule	qual	o	
montante	a	ser	devolvido	pelo	cliente	ao	final	dos	dois	anos.
2	O	 valor	 de	R$	 10.000,00	 foi	 aplicado	 a	 uma	 taxa	 nominal	 de	 30%	 ao	 ano,	
com	capitalização	mensal,	durante	um	ano.	Sabendo	esses	dados,	calcule	o	
montante	resgatado	em	juros	compostos.
3	O	capital	de	R$	18.000,00	foi	aplicado	durante	2	anos		à		taxa	nominal	de	20%	
ao	ano,	com	capitalização	bimestral	em	juros	compostos.	Calcule	o	montante	
gerado.
4	Um	 banco	 faz	 empréstimos	 à	 taxa	 nominal	 de	 5%	 ao	 ano,	mas	 adotando	
capitalização	 semestral,	 em	 juros	 compostos.	 Sabendo	 essas	 informações,	
calcule	qual	será	o	montante	pago	por	um	empréstimo	de	R$	10.000,00	a	ser	
devolvido	em	36	meses.
5	Um	capital	de	R$	1.000,00	foi	emprestado	por	3	anos	a	uma	taxa	nominal	de	
10%	ao	ano,	com	capitalização	semestral.	Calcule	o	montante	da	operação	ao	
final	do	período.
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
132
6	O	valor	de	R$	100.000,00	 foi	 aplicado	a	uma	 taxa	nominal	de	40%	ao	ano,	
com	capitalização	mensal,	durante	um	ano.	Sabendo	esses	dados,	calcule	o	
montante	resgatado	em	juros	compostos.
7	O	capital	de	R$	180.000,00	foi	aplicado	durante	5	anos	à	taxa	nominal	de	12%	
ao	ano,	com	capitalização	bimestral	em	juros	compostos.	Calcule	o	montante	
gerado.
Foi difícil? Acho que não, certo? Só precisa bastante atenção nos ajustes da taxa 
e do tempo.
As taxas nominais e proporcionais que você estava estudando são pouco utilizadas atualmente. 
Normalmente as taxas já são fornecidas em meses. Mas é importante esse conhecimento. 
A seguir você aprenderá a mudar as taxas de período através da capitalização e descapitalização 
de taxas.
6.3 TAXAS EQUIVALENTES
Taxas	equivalentes	são	aquelas	que,	referindo-se	a	períodos	de	tempo	de	
capitalização	 diferentes,	 fazem	 com	 que	 um	mesmo	 capital	 produza	 o	mesmo	
montante	durante	o	mesmo	tempo.	
No	mercado	financeiro	é	comum	a	aplicação	das	taxas	equivalentes	para	
comparar	diferentes	opções	de	 investimentos.	Existem	 taxas	que	 são	 fornecidas	
anuais	 e	 precisamos	 passá-las	 para	 meses	 para	 comparar	 com	 outras	 opções.	
É	 o	 caso	 de	 algumas	 aplicações	 financeiras	 em	 CDB	 (Certificado	 de	 Depósito	
Bancário),	 por	 exemplo,	 em	que	 sua	 taxa	 é	 fornecida	de	 forma	 anual.	 Também	
existem	algumas	aplicações	cuja	rentabilidade	está	lastreada	por	CDI	(Certificado	
de	Depósito	Interbancário),	em	que	também	é	preciso	passar	a	taxa	para	mês	para	
ver essa rentabilidade e comparar com a rentabilidade de uma poupança, por 
exemplo,	para	ver	o	que	está	rendendo	mais	em	determinado	momento.	
Para	 o	 cálculo	 das	 taxas	 equivalentes	 são	 utilizadas	 as	 fórmulas	 da		
capitalização e também da descapitalização.
Mas,	o	que	é	uma	capitalização	de	taxa	e	uma	descapitalização	de	taxa?
Bom,	a	capitalização de	uma	taxa	é	o	procedimento	utilizado	para	encontrar	
uma	taxa	equivalente	referente	a	um	período	maior	em	relação	à	taxa	que	temos.
Por	exemplo:
Sabendo que a taxa mensal é 0,6%, calcule a taxa equivalente ao ano. 
UNI
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
133
Note	 que	 no	 exemplo	 foi	 informada	 uma	 taxa	 de	 0,6%	 ao	 mês	 e	 está	
solicitando	a	 taxa	equivalente	em	ano,	ou	 seja,	 em	um	período	maior	do	que	o	
que	foi	informado	(mês).	Para	solucionar	esse	exercício	é	utilizado	o	processo	de	
capitalização	de	taxa.
Se	 fosse	em	 juros	 simples,	 seria	 somente	multiplicar	0,6%	por	12	e	 seria	
encontrada	a	taxa	em	ano.
Mas	em	juros	compostos	não	pode	ser	feito	assim.
Já a descapitalização	 de	 uma	 taxa	 é	 o	 procedimento	 contrário	 ao	 da	
capitalização,	ou	seja,	é	 informada	uma	taxa	em	um	período	e	o	que	se	busca	é	
uma	taxa	equivalente	em	um	período	menor.
Por	exemplo:
Sabendo que a taxa anual é 7,44% ao ano, calcular a taxa equivalente ao 
mês. 
Note	que	no	exemplo	acima	foi	informada	uma	taxa	de	7,44%	ao	ano	e	está	
solicitando	a	taxa	equivalente	em	mês,	ou	seja,	em	um	período	menor	do	que	o	
que	foi	informado	(ano).	Para	solucionar	esse	exercício	é	utilizado	o	processo	de	
descapitalização	de	taxa.
Se	 fosse	 em	 juros	 simples,	 seria	 somente	 dividir	 	 7,44%	 por	 12	 e	 seria	
encontrada	a	taxa	em	mês.
Mas	em	juros	compostos	não	pode	ser	feito	assim.
Acredito	que	esse	negócio	de	capitalização	e	descapitalização	ainda	deve	
estar	um	pouco	confuso,	certo?
Então	vamos	trabalhar	isso	melhor	e	separadamente.
Primeiro	 você	 vai	 exercitar	 a	 capitalização	 e	 depois	 a	 descapitalização.	
Vamos	lá!!!
6.3.1 Capitalização 
O	processo	de	 capitalização	de	uma	 taxa	 é	utilizado	quando	possuímos	
uma	taxa	referente	a	um	período	de	tempo	menor	e	o	objetivo	é	achar	uma		taxa	
equivalente	referente	a	um	período	maior	do	que	a	que	foi	informada.
Fórmula da Capitalização:
Ic	=	{(1	+	i)n – 1} • 100
Exemplo 1:
Calcular	a	taxa	anual	equivalente	a	uma	taxa	de	2%	ao	mês.		
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
134
Solução pela fórmula:
Ic	=	{(1	+	i)n – 1} • 100
Ic	=	{(1	+	0,02)12 – 1} • 100
Ic	=	{(1,002)12 – 1} • 100
Ic	=	{1,268241795	–	1}	•	100
Ic	=	0,268241795	•	100
Ic	=	26,82417950%	ao	ano
O Ic	 significa	a	 taxa	capitalizada.	O	expoente	12	 foi	utilizado	porque	foi	
informada	uma	taxa	em	mês	e	foi	pedida	em	ano.	O	expoente	é	encontrado	em	
relação	ao	tempo	da	taxa	informada	e	o	tempo	da	taxa	procurada.	Nesse	caso,	para	
descobrir	o	expoente	foi	feita	a	seguinte	pergunta:	Quantos	meses	tem	um	ano?	E	
a	resposta	foi	12.	
E na HP? Bom, como não foi informado um capital, para poder calcular 
pela função financeira é utilizado um capital fictício, que é o 100.
Ah, aumente as casas decimais de sua calculadora para 9 casas. Dê os 
comandos a seguir:
Pressione a tecla F e em seguida a tecla do número 9 .
Solução pela calculadora HP 12C, pelas teclas financeiras:
F CLX
100 CHS PV  Capital fictício com sinal negativo
2 i  Taxa informada em mês
12 n  Tempo entre a taxa informada e a procurada
FV  Montante apresentado no visor 126,82417950 
100 –  Retirando o valor 100, o resultado é a taxa 
 equivalente em ano, ou seja, 26,82417950% ao ano. 
Inserimos o 100 como capital fictício, a taxa que temos no i e no n os 
períodos de capitalização. Buscamos o FV e no final retiramos o 100 do capital.
Solução pela calculadora HP12c pela fórmula:
Caso	 queira	 efetuar	 o	 cálculo	 pela	 fórmula	 em	 sua	 HP,	 faça	 conforme	
apresentamos a seguir: 
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
135
2 ENTER
100 ÷
1 +
12 YX 
1 –
100 X Visor da calculadora  26,82417950 ou 26,82417950% ao ano. 
Exemplo 2:
Calcular	a	taxa	mensal		equivalente	a	uma	taxa	de	0,3%	ao	dia.				
Solução pela fórmula:
Ic	=	{(1	+	i)n – 1} • 100
Ic	=	{(1	+	0,003)30 – 1} • 100
Ic	=	{(1,003)12 – 1} • 100
Ic	=	{1,094026875	–	1}	•	100
Ic	=	0,094026875	•	100
Ic	=	9,402687500%	ao	mês
Foi	 	 utilizado	 como	 expoente	 o	 30,	 porque	 foi	 informada	 uma	 taxa	 em	
dia	e	foi	pedida	em	mês.	O	expoente	é	encontrado	em	relação	ao	tempo	da	taxa	
informada	e	o	tempo	da	taxa	procurada.	Nesse	caso,	para	descobrir	o	expoente	foi	
feita	a	seguinte	pergunta.	Quantos	dias	tem	um	mês?	E	a	resposta	foi	30.	
Solução pela calculadora HP 12C pelas teclas financeiras:
F CLX
100 CHS PV  Capital fictício com sinal negativo
0,3 i  Taxa informada emdia
30 n  Tempo entre a taxa informada e a procurada
FV  Montante apresentado no visor 109,402687500 
100 –  Retirando o valor 100, o resultado é a taxa 
 equivalente em mês, ou seja, 9,402687500 % ao mês. 
Inserimos	o	100	como	capital	fictício,	a	taxa	que	temos	no	i	e	no	n	os	períodos	
de	capitalização.	Buscamos	o	FV	e	no	final	retiramos	o	100	do	capital.
Solução pela calculadora HP 12C pela fórmula:
Caso	 queira	 efetuar	 o	 cálculo	 pela	 fórmula	 em	 sua	 HP,	 faça	 conforme	
apresentamos no modelo a seguir: 
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
136
0,3 ENTER
100 ÷
1 +
30 YX 
1 –
100 X Visor da calculadora  9,402687500 ou 9,402687500% ao mês. 
Exemplo 3:
Calcular	a	taxa	semestral	equivalente	a	uma	taxa	de	0,75%	ao	mês.		
Solução pela fórmula:
Ic	=	{(1	+	i)n – 1} • 100
Ic	=	{(1	+	0,0075)6 – 1} • 100
Ic	=	{(1,0075)6 – 1} • 100
Ic	=	{1,045852235	–	1}	•	100
Ic	=	0,045852235	•	100
Ic	=	4,585223500%	ao	semestre
O	expoente	6	 foi	utilizado	porque	 foi	 informada	uma	 taxa	em	mês	e	 foi	
pedida	 em	 semestre.	 O	 expoente	 é	 encontrado	 em	 relação	 ao	 tempo	 da	 taxa	
informada	e	o	 tempo	da	 taxa	procurada.	Nesse	caso,	para	descobrir	o	expoente	
foi	feita	a	seguinte	pergunta:	Quantos	meses	tem	um	semestre?	E	a	resposta	foi	6.	
Solução	pela	calculadora	HP	12C,	pelas	teclas	financeiras:
F CLX
100 CHS PV  Capital fictício com sinal negativo
0,75 i  Taxa informada em mês
6 n  Tempo entre a taxa informada e a procurada
FV  Montante apresentado no visor 104,585223500 
100 –  Retirando o valor 100, o resultado é a taxa 
 equivalente em ano, ou seja, 4,585223500% ao semestre. 
Solução pela calculadora HP 12C pela fórmula:
Caso	 queira	 efetuar	 o	 cálculo	 pela	 fórmula	 em	 sua	 HP,	 faça	 conforme	
apresentamos no seguinte modelo: 
0,75 ENTER
100 ÷
1 +
6 YX 
1 –
100 X Visor da calculadora  4,585223500% ao semestre. 
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
137
AUTOATIVIDADE
Agora	é	sua	vez!!!	Vamos	praticar?
1	Calcule	a	taxa	mensal	equivalente	a	uma	taxa	de	0,05%	ao	dia.	
2	Calcule	a	taxa	trimestral	equivalente	a	uma	taxa	de	1,3%	ao	mês.	
3	Calcule	a	taxa	anual	equivalente	a	uma	taxa	de	1,34%	ao	bimestre.	
4	Calcule	a	taxa	semestral	equivalente	a	uma	taxa	de	0,89%	ao	mês.
5	Calcule	a	taxa	trimestral	equivalente	a	uma	taxa	de	0,03%	ao	dia.	
6	Calcule	a	taxa	semestral	equivalente	a	uma	taxa	de	0,02%	ao	dia.	
7	Calcule	a	taxa	semestral	equivalente	a	uma	taxa	de	2,24%	ao	bimestre.	
8	Calcule	a	taxa	anual	equivalente	a	uma	taxa	de	3,45%	ao	trimestre.	
9	Calcule	a	taxa	semestral	equivalente	a	uma	taxa	de	3,99%	ao	trimestre.	
10	Calcule	a	taxa	anual	equivalente	à	taxa	de	0,06%	ao	dia.
Parabéns por ter terminado os exercícios de capitalização. Agora você já sabe 
capitalizar taxas e assim já pode seguir em frente. Certamente ficará mais fácil para entender 
como é o processo de descapitalização de uma taxa.
6.3.2 Descapitalização
O	processo	de	descapitalização	de	uma	taxa	é	utilizado	quando	possuímos	
uma	taxa	referente	a	um	período	de	tempo	e	o	objetivo	é	achar	uma		taxa	equivalente	
referente	a	um	período	menor		do	que	o	que	foi	informado.
Fórmula da Descapitalização:
Id	=	{(1	+	i)1/n – 1} • 100
Exemplo 1:
UNI
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
138
Calcule	a	taxa	mensal	equivalente	a	uma	taxa	de	26,8241795%	ao	ano.	
Solução pela fórmula:
Id	=	{(1	+	0,268241795)1/12 – 1} • 100
Id	=	{(1	+	0,268241795)0,083333333 – 1} • 100
Id	=	{(1,268241795)0,083333333 – 1} • 100
Id = {1,02 – 1} • 100
Id = 0,02 • 100
Id	=	2%	ao	mês
O Id	significa	a	taxa	descapitalizada.	O	expoente	12	foi	utilizado	porque	
foi	 informada	uma	taxa	em	ano	e	 foi	pedida	em	mês.	O	expoente	é	encontrado	
em	relação	ao	tempo	da	taxa	informada	e	o	tempo	da	taxa	procurada.	Nesse	caso,	
para	descobrir	o	expoente	foi	feita	a	seguinte	pergunta:	Quantos	meses	tem	um	
ano?	E	a	resposta	foi	12.	Como	na	fórmula	o	expoente	é	dividido	por	1,	ficou	1/12=	
0,083333333.	
E	 na	HP?	 Bom,	 como	 na	 capitalização,	 no	 exemplo	 da	 descapitalização	
também	não	foi	informado	um	capital.	Para	poder	calcular	pela	função	financeira	
é	utilizado	um	capital	fictício,	que	é	o	100.
Solução	pela	calculadora	HP	12C,	pelas	teclas	financeiras:
F CLX
100 CHS PV  Capital fictício com sinal negativo
26,8241795 i  Taxa informada em ano
12 1/x n  Tempo entre a taxa informada e a 
 procurada e a divisão por 1
FV  Montante apresentado no visor 102,00 
100 –  Retirando o valor 100, o resultado é a taxa 
 equivalente em mês, ou seja, 2% ao mês.
A tecla 1/x na calculadora é utilizada para dividir o número 1 pelo número 
digitado anteriormente no visor. 
Exemplo:
Para dividir 1 por 10 na calculadora financeira na forma tradicional é pressionado na HP
1 enter 10 ÷
A calculadora apresentará como resultado 0,10.
Mas se quiser utilizar a tecla 1/x como atalho para efetuar o cálculo na HP é só pressionar o 
número 10 e em seguida pressionar a tecla 1/x e a calculadora mostra o resultado de 1 dividido 
por 10.
DICAS
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
139
Uma	 segunda	 maneira	 para	 solucionar	 o	 mesmo	 exemplo	 pela	 HP,	
utilizando	também	as	teclas	financeiras	da	calculadora,	é:
F CLX  Comando para limpar as memórias e registradores 
 financeiros
100 CHS PV  Capital fictício de 100 lançado no PV com sinal 
 negativo.
126,82417950 FV  O valor de 100 + a taxa ano informada
12 n  Tempo entre a taxa informada e a taxa procurada
i  visor 1,999 ou, arredondando, 2% ao mês 
Inserimos o 100 como capital fictício no PV e 100 + a taxa no FV. No n colocamos 
o período de descapitalização, nesse caso 12, pois de ano para mês descapitaliza-se 12 períodos. 
Se fosse descapitalização de mês para dia o n seria 30, de bimestre para mês 2 e assim por diante.
É	possível	solucionar	o	exemplo	ainda	pela	calculadora	HP	12C	através	da	
fórmula:
26,82417950 ENTER
100 ÷
1 +
12 1/x YX 
1 –
100 X VISOR  1,999 ou 2% ao mês 
Em	seguida	você	encontrará	alguns	exercícios	de	descapitalização.	
AUTOATIVIDADE
1	Determine	a	taxa	diária	equivalente	a	uma	taxa	de	1,23%	ao	mês.
2	Determine	a	taxa	semestral	equivalente	a	45%	ao	ano.
3	Calcule	a	taxa	trimestral	equivalente	a	uma	taxa	de	14%	ao	ano.
4	Calcule	a	taxa	bimestral	equivalente	a	uma	taxa	de	8%	ao	semestre.
DICAS
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
140
5	Dada	a	taxa	de	juros	de	10%	ao	ano,	determine	a	taxa	diária	equivalente.		
6	Qual	a	diária	equivalente	à	taxa	de	4%	ao	bimestre?
7	Calcule	a	taxa	mensal	equivalente	a	uma	taxa	de	60%	ao	ano.
 
8	Calcule	a	taxa	diária	equivalente	a	uma	taxa	de	9%	ao	trimestre.
9	Calcule	a	taxa	semestral	equivalente	a	uma	taxa	de	24%	ao	ano.
Parabéns	por	ter	vencido	mais	essa	etapa!!!
Parabéns!!! Você venceu mais esta etapa. 
Se você quiser aprofundar seus conhecimentos em juros compostos, recomendamos a leitura 
do livro MATEMÁTICA FINANCEIRA, cujos autores são Washington Franco Mathias e José Maria 
Gomes, Editora Atlas, 3a edição.
Agora você vai estudar e aprender o que é uma taxa aparente e o que é uma taxa real.
6.4 TAXA APARENTE DE TAXA REAL
A	taxa	aparente	é	a	taxa	nominal	que	vigora	em	uma	operação	financeira.	
Já	a	taxa	real	é	a	taxa	encontrada	após	a	retirada	ou	expurgo	da	inflação.	
Caso	 a	 taxa	 aparente	 não	 tenha	 sido	 informada,	 a	 fórmula	 para	 o	 seu	
cálculo é:
Já	a	fórmula	para	o	cálculo	da	taxa	real	é:
Exemplo:
Uma	aplicação	de	R$	1.000,00	teve	um	rendimento	de	R$	345,00	em	1	ano.	
Se	 a	 inflação	do	período	 foi	 de	 30%,	 calcule	 a	 rentabilidade	 aparente	 e	 real	 da	
aplicação.
UNI
JurosTaxa aparente 100
AplicaçãoInicial
   = ⋅  
   
1 taxa aparenteTaxa real 100
taxa inflação
  + 
= ⋅  
  
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
141
Parabéns	por	ter	vencido	mais	essa	etapa!!!
6.4 TAXA APARENTE DE TAXA REAL
Solução pela fórmula:
PV	=	1.000,00
Inflação	=	30%
Rendimento(Juros)	=	345,00	
Ir(real)	=	?	
Iap(apar)	=	?
Taxa Aparente:
De	posse	da	taxa	aparente	é	possível	calcular	a	taxa	real:
Note que as taxas de inflação 30% foram divididas por 100 na fórmula.
UNI
1 taxa aparenteTaxa Real 100
taxa inflação
  + 
= ⋅  
  
JurosTaxa Aparente 100
Aplicação Inicial
   = ⋅  
   
345Taxa Aparente 100
1.000,00
  
= ⋅  
  
Taxa Aparente 0,345.100 34,50%= =
{ }
1 0,345Taxa Real 1 100
1 0,30
1,345Taxa Real 1 100
1,30
Taxa Real 1,034615385 1 100
Taxa Real 0,034615385 100 3,46%
  + 
= − ⋅  +  
  
= − ⋅  
  
=  −  ⋅ 
= ⋅ =
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
142
Solução pela calculadora financeira HP 12C:
Para	descobrir	a	taxa	aparente:
1.000  valor inicial
ENTER 
345  valor do juro (rendimento) 
%T  A resposta é a taxa aparente 34,50% 
Em	seguida	para	descobrir	a	taxa	real:
130  100+ taxa da inflação
ENTER 
134,5  100+ taxa aparente
∆%  O resultado é 3,46% que é a taxa real da operação. 
Exemplo 2:
Carlos	aplicou	o	valor	de	R$	50.000,00	a	juros	compostos	no	Banco	Delta.	
Sabendo	que	o	valor	ficou	aplicado	de	03/03/2010	a	10/12/2010,	que	a	taxa	aparente	
de	aplicação	do	período	foi	1,30%	ao	mês	e	que	a	inflação	do	período	da	aplicação	
foi	2,40%,	calcule:
a)	O	montante	resgatado.	
b)	a	taxa	aparente	e	a	taxa	real		dessa	aplicação	no	período.
Solução pela fórmula:
PV	=	50.000,00
Inflação	=	2,40%
Rendimento	(Juros)	=	?	
Ir(real)	=	?	
I	aparente	mensal	=	1,30%	ao	mês
Cálculo do tempo de aplicação: 03/03/2010 a 10/12/2010
Pela tabela de contagem de dias (diferença entre as datas) 
10/12/2010	344
03/03/2010 	62
Total de dias  282 dias
Como	a	taxa	está	em	mês,	o	tempo	deve	ser	passado	para	mês:
282/360	9,40	meses
Cálculo do Montante
FV	=	PV	•	(1	+	i)n
FV	=	50.000	•	(1	+	0,013)9,40
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
143
FV	=	50.000	•	1,129090586
FV	=	56.454,53
Logo,	 se	 o	 valor	 aplicado	 foi	 R$	 50.000	 e	 o	 montante	 resgatado	 foi	 R$	
56.345,53,	o	valor	dos	juros	é	a	diferença	entre	os	dois	valores.
Juros = Montante – Capital Inicial 
Juros	=	56.454,53	–	50.000,00
Juros	=		6.454,53
Cálculo	da	taxa	aparente:
TaxaAparente	=	0,129090586	•	100	=	12,90905860%	ou	arredondando	12,91%
De	posse	da	taxa	aparente	é	possível	calcular	a	taxa	real:
Taxa	Real	=	{[1,102636719	–	1]	• 100
Taxa	Real	=	0,103636719	•	100	=	10,26367190%	ou	arredondando	10,26%	no	
período.
JurosTaxa Aparente 100
Aplicação Inicial
   = ⋅  
   
6.454,53Taxa Aparente 100
50.000,00
  
= ⋅  
  
1 0,1291Taxa Real 1 100
1 0,0240
1,1291Taxa Real 1 100
1,0240
  + 
= − ⋅  +  
  
= − ⋅  
  
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
144
Solução pela calculadora financeira HP 12C:
Para descobrir os dias:
03.032010
Enter
10.122010
g 
EEX 	visor	282	ou	seja	282	dias		
 
Cálculo do montante:
50.000		CHS		PV
1,30 I
9,40		N
FV 	Visor		56.454,53
Cálculo dos juros:
56.454,53				 	  Montante
Enter
50.000,00						 	  Capital Inicial
– 	Visor	6.454,53	=	Juros
Cálculo da taxa aparente:
50.000	 	 	  valor Inicial
ENTER	
6.454,53	 	 	valor	do	juro	(rendimento)	
%T	 	 	 		A	resposta	é	a	taxa	aparente	12,91%		
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
145
AUTOATIVIDADE
Agora	é	a	sua	vez	de	praticar!!!
1		Um	 capital	 de	R$	 1.000,00	 foi	 aplicado	 e	 após	 8	meses	 gerou	 juros	de	R$	
96,80.	Sabendo	que	a	inflação	do	período	foi	2,5%,	calcule	a	taxa	aparente	e	a	
taxa	real	dessa	aplicação.
2		Um	capital	de	R$	5.000,00	foi	aplicado	e	gerou	um	rendimento	de	R$	650,00	
em	10	meses.	Sabendo	que	a	inflação	no	mesmo	período	foi	2,7%,	calcule	a	
taxa	aparente	e	a	taxa	real	do	período.	
3		O	valor	de	R$	 100.000,00	 foi	 aplicado	 a	 juros	 compostos	no	Banco	Mafra.	
Sabendo	que	 o	 valor	ficou	 aplicado	de	 01/05/2010	 a	 30/11/2010	 e	 sabendo	
ainda	que	a	 taxa	aparente	do	período	foi	1,5%	ao	mês	e	que	a	 inflação	do	
mesmo	período	da	aplicação	foi	1,20%,	calcule:
a)	O	montante	resgatado.	
b)	A	taxa	aparente	e	a	taxa	real		dessa	aplicação	no	período.
4		Um	capital	de	R$	15.000,00	foi	aplicado	e	gerou	um	rendimento	de	R$	987,00	
em	14	meses.	Sabendo	que	a	inflação	no	mesmo	período	foi	3,7%,	calcule	a	
taxa	aparente	e	a	taxa	real	do	período.	
5		O	valor	de	R$	 200.000,00	 foi	 aplicado	 a	 juros	 compostos	no	Banco	Mafra.	
Sabendo	que	o	valor	ficou	aplicado	por	180	dias	e	sabendo	ainda	que	a	taxa	
aparente	do	período	foi	1,12%	ao	mês	e	que	a	inflação	do	mesmo	período	da	
aplicação	foi	1,09%,	calcule:
Cálculo da taxa real:
102 	100	+	taxa	da	inflação
ENTER	
112,91	 	 	 	100	+	taxa	aparente
∆%	 	 	 	O	resultado	10,70%	é	a	taxa	real	da	operação	ou	
	 	 	 	ganho	real	no	período	de	282	dias.	
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
146
a)	O	montante	resgatado.	
b)	O	taxa	aparente	e	a	taxa	real		dessa	aplicação	no	período.
147
Maravilha!	Que	 bom	que	 você	 chegou	 até	 aqui!	 Foi	 um	grande	 avanço.	
Com	certeza,	você	aprendeu	muita	coisa	legal	neste	tópico.	Vamos	rever:
•	Você	aprendeu	que	 juros	compostos	 também	são	conhecidos	como	regime	de	
juros	sobre	juros.	
•	Aprendeu	também	que	montante	é	a	soma	do	capital	com	os	juros	do	período.		
• Compreendeu como calcular o capital ou valor presente, calcular o tempo e a 
taxa	em	juros	compostos.
•	Aprendeu	a	capitalizar	e	descapitalizar	taxas,	através	das	taxas	equivalentes.	
•	 E,	 por	 fim,	 compreendeu	 que	 a	 taxa	 real	 é	 a	 taxa	 nominal	menos	 os	 efeitos	
inflacionários.
Enfim,	a	essa	altura,	você	já	está	“expert”	em	juros	compostos.
RESUMO DO TÓPICO 1
148
1	Calcule	o	montante	de	uma	aplicação	de	R$	50.000,00	a	 juros	compostos,	
pelo	prazo	de	6	meses	e	a	uma	taxa	de	2%	ao	mês.
2	Obtenha	o	montante	das	aplicações	abaixo:
Capital (R$) taxa prazo 
a)	80.000,00												3,6%	ao	mês							2	anos							
b)	65.000,00										3%	ao	mês										12	meses				
c)	35.000,00									7%	ao	trimestre				18	meses		
3	João	aplicou	em	28.03.2010	a	quantia	de	R$	16.200,00	em	um	fundo	de	renda	
fixa.	Passados	dois	anos,	 João	 foi	 retirar	o	 seu	montante.	 Sabendo	que	o	
fundo	rendeu	uma	taxa	de	1,35%	ao	mês,	calcule	o	valor	retirado.		
4	Uma	pessoa	aplicou	R$	40.000,00	em	uma	aplicação	a	juros	compostos	e	a	
uma		taxa	de	2,6%	ao	mês.	Qual	será	o	montante	a	ser	resgatado	daqui	a	
seis	meses?		
5	Calcule	o	capital	que,	aplicado	a	uma	taxa	de	10%	ao	ano,	a	juros	compostos	
durante	9	anos,	produz	um	montante	de	R$	175.000,00.
6	Alberto	aplicou	R$	6.000,00	a	juros	compostos	e	à	taxa	de	2%	ao	trimestre	em	
juros	compostos.	Sabendo	que	o	valor	ficou	aplicado	por	19	meses,	calcule		
qual	é	o	montante.		
7	Durante	quantos	meses	um	capital	de	R$	5.000,00	deve	ser	aplicado	a	juros	
compostos	e	a	uma	taxa	de	1,8%	ao	mês,	para	gerar	um	montante	de	R$	
5.767,00?
AUTOATIVIDADE
Assista ao vídeo de
resolução da questão 1
149
8	 Calcule	 o	 montante	 de	 uma	 aplicação	 de	 R$	 10.000,00	 sob	 as	 seguintes	
hipóteses:
 taxa prazo
	a)		20%	ao	ano											5	anos																					
	b)	5%	ao	semestre					3	anos	e	meio										
	c)	2,5%	ao	mês										1	ano																																			
9	Apliquei	uma	determinada	quantia	e	após	3	anos	e	3	meses	de	aplicação	
possuía	o	montante	de	R$	75.000,00.	Sabendo	que	a	aplicação	rendeu	uma	
taxa	de	1,23%	ao	mês	em	juros	compostos,calcule	o	valor	aplicado	no	início	
dessa	aplicação.	
10	Calcule	 o	 montante	 de	 uma	 aplicação	 de	 R$	 85.000,00	 aplicado	 a	 juros	
compostos,	pelo	prazo	de	3	anos	e	a	uma	 taxa	de	1,2%	ao	mês	em	 juros	
compostos.
 
11	Um	capital	de	R$	17.000,00	foi	aplicado	a	juros	compostos	durante	1	ano	e	
meio	e	a	uma	taxa	de	3,5%	ao	mês	em	juros	compostos.	Calcule	o	montante	
obtido	ao	final	da	aplicação.
12	 Que	 capital	 aplicado	 a	 juros	 compostos	 durante	 2	 anos	 e	 4	 meses	 e	 a	
uma	taxa	de	10%	ao	mês	produz	um	montante	de	R$	175.000,00	em	juros	
compostos?
13	Alberto	aplicou	R$	16.000,00	a	juros	compostos	durante	um	ano	e	a	uma	
taxa	de	1,2%	ao	mês.	Qual	o	montante	ao	final	do	período?
14	Carlos	aplicou	R$	1.800,00	em	uma	aplicação	do	Banco	Alfa	e	após	2,5	anos	
retirou	o	montante	de	R$	3.000,00.	Calcule	a	taxa	de	aplicação	mensal	em	
juros	compostos.			
15	Um	capital	de	R$	 28.000,00	 foi	 aplicado	 à	 taxa	de	 1,32%	ao	mês	 e	 após	
algum	 tempo	 foi	 resgatado	 o	 montante	 de	 R$	 31.328,75.	 Sabendo	 essas	
informações,	calcule	por	quantos	meses	esse	recurso	ficou	aplicado.
150
16	Durante	 quantos	meses	 um	 capital	 de	R$	 15.000,00	deve	 ser	 aplicado	 a	
juros	compostos	e	a	uma	taxa	de	1,8%	ao	mês	para	gerar	um	montante	de	
R$	16.767,00	em	juros	compostos?
17	Durante	quantos	meses	um	capital	de	R$	6.750,00	deve	ser	aplicado	para	
render	um		montante	de	R$	8.850,00,	sabendo	que	a	taxa	mensal	de	aplicação	
é	de	1,55%	no	regime	de	juros	compostos?
18	A	que	taxa	mensal	deve	ser	aplicado	o	capital	de	R$	3.000,00	para	gerar	
um	montante	de	R$	5.500,00	após	12	meses	de	aplicação	no	regime	de	juros	
compostos?
19	Após	 24	meses	 de	 aplicação,	 João	 resgatou	 o	montante	 de	R$	 28.000,00	
de	seu	fundo	de	investimento.	Sabendo	que	a	taxa	de	rentabilidade	desse	
fundo	era	1,10%	ao	mês	no	regime	de	juros	compostos,	calcule	qual	foi	o	
capital	aplicado	no	fundo.
20	Calcule	a	taxa	mensal	equivalente	às	taxas	a	seguir,	em	juros	compostos:
a)	13%	ao	ano.
b)	4%	ao	trimestre.
c)	12%	ao	semestre.
d)	5	%	ao	bimestre.
21	Um	investidor	aplicou	a	importância	de	R$	25.000,00	em	uma	instituição	
que	pagava	uma	taxa	de	3%	ao	mês	no	regime	de	juros	compostos.	Após	
um	certo	período	de	tempo	o	investidor	retirou	o	montante	de	R$	35.644,02.	
Calcule	por	quantos	meses	o	dinheiro	ficou	aplicado.
22	Uma	aplicação	de	R$	10.000,00	teve	um	rendimento	de	R$	1.640,00	em	14	
meses.	Se	a	inflação	do	período	foi	de	3,4%,	calcule	a	rentabilidade	aparente	
e	real	da	aplicação.
23	Uma	aplicação	de	R$	4.200,00	 teve	um	rendimento	de	R$	1.043,45	em	2	
anos.	Se	a	inflação	do	período	foi	de	10%,	calcule	a	rentabilidade	aparente	
e	real	da	aplicação.	
24	Determine	a	taxa	diária	equivalente	a	uma	taxa	de	1,87%	ao	mês	em	juros	
compostos.	
151
Parabéns por ter feito todos esses exercícios. Sabemos que é um pouco cansativo, 
mas é muito importante fazê-los, para fixar bem os conhecimentos adquiridos.
Agora que terminou, dê uma paradinha, beba uma água, descanse um pouco e volte a estudar 
quando estiver mais relaxado.
Em seguida você estudará o assunto Prestações.
E por falar em prestações, podemos afirmar que a grande maioria das pessoas já fez ou fará, 
durante a vida, alguma compra em que pagará prestações mensais. Afinal, quem nunca fez 
uma “prestaçãozinha” durante sua vida?
Principalmente no Brasil, a população adora comprar bens a prazo e, na maioria das vezes, não 
analisa qual a taxa de juros que está sendo cobrada nesses parcelamentos. O que as pessoas 
analisam é se as prestações “cabem” no seu bolso. 
O correto é fazer uma programação de compra, poupar primeiro para comprar o bem à vista 
e poder “barganhar” o preço ou, na pior das hipóteses, parcelar, mas na menor quantidade de 
prestações possível, para pagar menos juros no total. Quando os parcelamentos são feitos em 
24 ou 36 vezes, é comum o valor total pago ser duas vezes ou mais o valor financiado.
25	Determine	 a	 taxa	 semestral	 equivalente	 à	 taxa	 de	 56,8%	 ao	 ano	 em	 juros	
compostos.	
26	Carlão	vendeu	sua	casa	por	R$	254.000,00	e	aplicou	o	recurso	em	um	banco,	
recebendo	uma	taxa	mensal	de	0,87%	ao	mês.	Sabendo	ainda	que	após	esse	
período	Carlão	resgatou	o	montante	de	R$	295.340,00,	calcule	por	quantos	
dias	ficou	aplicado	esse	recurso	em	juros	compostos.
UNI
152
153
TÓPICO 2
SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Nos	estudos	anteriores	você	viu	que	o	capital	era	pago	ou	recebido	de	uma	
única	vez.		Agora	você	estudará	o	pagamento	ou	recebimento	do	capital	através	de	
uma	sequência	de	pagamentos		ou	recebimentos.
Esse	 assunto	 é	muito	 interessante	 e	 importante,	 pois	 acreditamos	 que	 a	
maioria	das	pessoas	adquire	seus	bens,	principalmente	os	mais	caros,	como	casas,	
carros,	eletrodomésticos	em	geral,	fazendo	prestações	mensais.
Como	existem	muitos	modelos	de	prestações,	nesse	Caderno	de	Estudos	
você	aprenderá	a	calcular		apenas	os	principais	modelos	e	os	mais	utilizados.
Você	verá	a	seguir	as	prestações,	que	são,	simultaneamente:
TEMPORÁRIAS  com tempo determinado.
CONSTANTES  onde todas as parcelas serão iguais.
IMEDIATAS E POSTECIPADAS  prestações com entrada no ato e sem entrada 
no ato.
PERIÓDICAS  intervalo igual entre as parcelas.
E,	ainda,	que	a	taxa de juros seja referida ao mesmo período dos termos.
Na	parte	final	deste	Cadernos	de	Estudos	você	encontrará	outros	modelos	
que	julgamos	importantes	também,	porém	menos	comuns.
154
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
2 CLASSIFICAÇÃO DAS SÉRIES DE PAGAMENTOS OU 
PRESTAÇÕES 
As	prestações	podem	ter	várias	classificações.	Então	vamos	a	elas:	
 
a)		QUANTO	AO	PRAZO:
 
• Temporárias: Duração	limitada.	A	maioria	das	prestações	tem	duração	limitada.	
Como	 exemplo,	 citamos	 a	 compra	de	 um	 automóvel	 em	prestações	 que	 têm	
prazo	para	terminar.
• Perpétuas: Duração	ilimitada,	que	é	o	caso	dos	aluguéis,	por	exemplo.	Enquanto	
a	pessoa	viver	em	uma	casa	alugada,	pagará	uma	prestação	(que	é	o	aluguel).	
Outros	exemplos	são	o	plano	de	saúde	e	o	seguro	de	vida. 
b)	QUANTO	AO	VALOR	DAS	PRESTAÇÕES:
• Constante: Todos	 os	 termos	 iguais.	 Esse	 modelo	 é	 mais	 comum,	 onde	 as	
prestações	têm	o	mesmo	valor	mensal.	Como	exceção	temos	o	consórcio,	em	que	
as	parcelas	vão	aumentando,	e	o	financiamento	da	casa	própria,	no	qual,	pelo	
modelo	praticado	pela	Caixa	Econômica	Federal,	as	prestações	vão	reduzindo	
com	o	passar	do	tempo.
• Variável: Termos não iguais entre si.	É	o	caso	citado	há	pouco,	da	casa	própria	da	
Caixa	e	consórcios,	além	de	alguns	outros.
 
c)	QUANTO	À	FORMA	DE	PAGAMENTO	OU	RECEBIMENTO:
• Imediatas: Prestações	vencendo	a	partir	do	primeiro	período	(sem	carência), e 
estas ainda dividem-se em:
 Antecipadas: a	primeira	parcela	é	paga	no	ato	da	compra	(início	do	intervalo)	e,	
como	exemplo,	podemos	citar	a	compra	de	uma	televisão	em	1+9	prestações	de	
140,00. Note que existe uma entrada no ato do negócio. 
 Postecipadas: onde a	 primeira	 parcela	 é	 negociada	 para	 pagamento	 no	 fim	
do	intervalo,	ou	seja,	30	dias	após	a	compra	e,	como	exemplo,	podemos	citar	
a compra de uma televisão em 0+10	prestações	de	140,00. Note que não existe 
pagamento no ato do negócio e a primeira prestação vence em 30 dias.
 Diferidas: prestações	 exigíveis	 a	partir	de	uma	data	que	não	 seja	o	primeiro	
período.	Existe	uma	carência	para	os	pagamentos	das	prestações.	Atualmente	
é	 bem	 comum	 encontrarmos	 esse	 modelo	 de	 prestações	 e,	 como	 exemplo,	
podemos citar a compra de um automóvel novo, na qual o cliente começa a 
pagar a primeira prestação em 90 dias e depois as demais de 30 em 30 dias.
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
155
d)	QUANTO	À	PERIODICIDADE:
• Periódicas:	todos	os	períodos	são	iguais.	Pagamento	de	prestações	todos	os	meses.
• Não	periódicas:os	períodos	não	são	iguais	entre	si.	Menos	comuns	atualmente.	
Antigamente	eram	mais	aplicadas.	
Bem,	agora	que	você	leu	a	classificação	das	anuidades,	você	vai	aprender	a	
calcular	 os	 modelos	 mais	 utilizados	 no	 comércio	 atualmente.	 Principalmente	 os	
modelos	 em	que	 as	 prestações	 são	mensais,	 com	o	mesmo	valor,	 e,	 ainda,	 alguns	
modelos	sem	e	com	entrada	no	ato.				
Você	vai	 estudar	primeiro	o	modelo	 em	que	o	 cliente	não	paga	entrada	
no	ato	da	aquisição	do	produto	ou	mercadoria.	São	as	prestações	que	chamamos	
de postecipadas, pois o cliente paga a primeira prestação em 30 dias e as demais 
também	de	30	em	30	dias.	
Vamos	lá,	então!!!
3 PRESTAÇÕES POSTECIPADAS
Entendemos	 por	 prestações	 postecipadas	 as	 prestações	 que	 serão	 pagas	
pelos	clientes	em	30	dias	após	a	realização	do	negócio	ou	operação.	O	cliente	vai	
até à loja, compra o produto ou mercadoria, parcela a compra em prestações e 
começa	a	pagar	em	30	dias.	
Para quem for utilizar a HP 12C para efetuar os cálculos através das teclas 
financeiras, deve pressionar a tecla g e em seguida a tecla de número 8 . Comandando essas 
teclas, você estará acionando o modo END na calculadora, ou seja, através desse comando a 
HP entenderá que são prestações sem entrada.
3.1 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE  PV 
O cálculo do valor presente é utilizado para encontrar o valor atual em 
relação a uma compra parcelada, ou seja, os juros são retirados do valor das 
prestações	a	pagar.
 
Fórmula:
IMPORTANT
E
( ) n1 1 i
PV PMT
i
− − +
 = ⋅
 
 
156
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Onde:
PV = Valor presente ou valor à vista 
PMT = valor das prestações 
i	=	taxa
n	=	quantidade	de	prestações 
 
Exemplo 1:
João	comprou	um	carro	usado.	Vai	pagar	em	24	prestações	mensais	e	iguais	
de	R$	626,24	sem	entrada.	As	prestações	serão	pagas	a	partir	do	mês	seguinte	ao	
da	compra,	e	o	vendedor	afirmou	que	está	cobrando	uma	taxa	de	juros	compostos	
de	2%	ao	mês	no	parcelamento.	Sabendo	essas	informações,	calcule	qual	deveria	
ser	o	valor	do	carro	à	vista.
Solução pela fórmula:
PV	=	626,24	•	18,91392561
PV	=	11.844,66
Note que na fórmula a taxa de 2% é dividida por 100 e somada ao número 1. 
Em seguida, o resultado encontrado é elevado a -24.
Para elevar (1,02)-24 na sua HP comande conforme segue:
Primeiro deixe a HP com todas as casa decimais, comandando f 9 .
Agora que a calculadora está com 9 casas após a vírgula, faça conforme segue:
1,02 enter
24 CHS Yx
Visor  0,621721488
DICAS
( )
( )
n
24
1 1 i
PV PMT
i
1 1 0,02
PV 626,24
0,02
1 0,621721488PV 626,24
0,02
0,378278512PV 626,24
0,02
−
−
 − +
 = ⋅
 
 
 − +
 = ⋅
 
 
 − 
= ⋅  
 
 
= ⋅  
 
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
157
Solução pela HP 12C através da função financeira:
 
g 8  ativando o modo end, sem entrada 
f CLX  limpando as memórias e registradores 
 financeiros
626,24 CHS PMT  valor das prestações lançadas no PMT com sinal 
 negativo
24 n  número de prestações lançado no n 
2 i  taxa laçada no i
PV  Visor 11.844,66 
Note	que	na	HP	você	utilizou	uma	nova	 tecla,	o	PMT.	Nessa	 tecla	você	
insere	ou	busca	o	valor	das	prestações.	Lembre-se	de	que	as	teclas	financeiras	são	
independentes,	ou	seja,	você	não	precisa	seguir	a	ordem	informada.	
 
Exemplo 2:
Um	forno	elétrico	 foi	adquirido	de	 forma	parcelada.	O	cliente	vai	pagar	
12	prestações	mensais	e	iguais	de	R$	55,87	sem	entrada.	Sabendo	que	a	loja	que	
vendeu	o	bem	opera	com	uma	taxa	de	1,99%	ao	mês,	calcule	qual	deveria	ser	o	
valor	do	forno	à	vista.
Solução pela fórmula:
PV	=	55,87	•	10,58183889
PV	=	591,21
( )
( )
n
12
1 1 i
PV PMT
i
1 1 0,0199
PV 55,87
0,0199
1 0,789421406PV 55,87
0,0199
0,210578594PV 55,87
0,0199
−
−
 − +
 = ⋅
 
 
 − +
 = ⋅
 
 
 − 
= ⋅  
 
 
= ⋅  
 
158
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Solução pela HP 12C através das teclas financeiras: 
 
g 8  ativando o modo end, sem entrada 
f CLX  limpando as memórias e registradores 
 financeiros
55,87 CHS PMT  valor das prestações lançadas no PMT com sinal 
 negativo
12 n  número de prestações lançado no n 
1,99 i  taxa laçada no i
PV  Visor 591,21 que é o valor presente ou à vista.
AUTOATIVIDADE
Agora	é	a	sua	vez	de	exercitar	um	pouco!
Ao	ler	os	exercícios,	você	verá	que	são	situações	que	ocorrem	em	nosso	dia	a	
dia.
 
1	Um	eletrodoméstico	é	vendido	a	prazo	em	4	prestações	mensais	e	iguais	de	
R$	550,00,	vencendo	a	primeira	prestação	um	mês	após	a	compra.	Sabendo	
que	a	 loja	opera	com	uma	taxa	de	 juros	de	5%	ao	mês,	calcule	qual	o	seu	
preço	à		vista.
2	A	 empresa	 Piano	 10	 contratou	 empréstimo	 em	uma	 instituição	financeira.	
Deverá	pagar	15	prestações	mensais	de	R$	8.000,00	cada,	vencendo	a	primeira	
um	mês	após	a	contratação	da	operação.	Sabendo	que	a	taxa	utilizada		para	
o	 cálculo	 foi	 2%	 ao	 mês,	 calcule	 o	 valor	 do	 empréstimo	 contratado	 pela	
empresa.
Note que na fórmula a taxa de 1,99% é dividida por 100 e somada ao número 1. 
Em seguida, o resultado encontrado é elevado a -12.
Para elevar (1,0199)-12 na sua HP comande conforme segue:
1,0199 enter
12 CHS Yx
Visor  0,789421406
UNI
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
159
3	Um	televisor	pode	ser	adquirido	em	10	parcelas	mensais	e	iguais	de	R$	238,00,	sem	
entrada.	A	loja	informou	que	a	taxa	praticada	é	de	3,8%	ao	mês.	Sabendo	essas	
informações,	calcule	o	valor	do	aparelho	à	vista.			
4	Um	terreno	é	vendido	em	24	prestações	mensais	e	 iguais	de	R$	15.000,00,	
sendo	a	primeira	paga	dentro	de	30	dias	e	assim	sucessivamente.	Se	a	taxa	de	
juros	cobrada	no	parcelamento	é	de	4%	ao	mês,	calcule	o	valor	à	vista	desse	
terreno.	
5 Qual é o preço à vista de uma mercadoria cuja prestação mensal é de R$ 
300,00,	sendo	a	primeira	paga	um	mês	após	a	compra,	se	as	taxas	e	prazos	a	
seguir forem considerados: 
a)	3%	ao	mês	–	24	meses			
b)	4%	ao	mês	–	36	meses			
c)	5%	ao	mês	–	12	meses				
6	Uma	geladeira	duplex	 foi	 adquirida	de	 forma	parcelada	em	18	prestações	
mensais,	fixas	e	sem	entrada,	no	valor	de	R$	150,30.	Sabendo	que	a	loja	que	
vendeu	 o	 bem	 opera	 com	uma	 taxa	 de	 1,58%	 ao	mês,	 calcule	 o	 valor	 da	
geladeira	à	vista.
Agora que você fez todos os exercícios de valor presente, você vai aprender a 
calcular o valor das prestações.
3.2 CÁLCULO DO VALOR DAS PRESTAÇÕES  PMT
Agora você vai aprender como calcular o valor das prestações, ou seja, serão 
fornecidas	as	informações	do	preço	à	vista,	da	taxa,	da	quantidade	de	prestações.	
O	objetivo	será	calcular	o	valor	da	prestação	mensal	a	ser	paga.
Fórmula:
UNI
( ) n1 1 i
PV PMT
i
− − +
 = ⋅
 
 
160
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Na fórmula correta temos que isolar o PMT. Aqui, preferimos não alterar, para 
facilitar o seu aprendizado. Usando a mesma fórmula para calcular o PV e o PMT fica mais fácil 
para entender. Caso contrário, teríamos que criar mais uma fórmula.
Exemplo 1:
Um	 terreno	 que	 custa	 R$	 101.000,00	 à	 vista	 pode	 ser	 adquirido	 em	 60	
prestações	mensais	e	fixas,	sendo	a	primeira	paga	um	mês	após	a	compra.	Sabendo	
que	o	parcelamento	foi	efetuado	com	uma	taxa	de	1,99%	ao	mês,	calcule	o	valor	
das	prestações.
Solução pela fórmula:
Solução pela calculadora HP12c utilizando as teclas financeiras: 
f CLX  limpeza das memórias e registradores
101.000,00 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal negativo
60 n número de prestações lançado no n
1,99 I  taxa lançada no I 
PMT Visor  2.898,53 que é o valor das 60 prestações.
IMPORTANT
E
( ) 601 1 0,0199
101.000 PMT
0,0199
1 0,306580475101.000 PMT
0,0199
0,693419525101.000 PMT
0,0199
101.000 PMT 34,84520226
101.000PMT 2.898,53
34,84520226
− − +
 = ⋅
 
 
 − 
= ⋅  
 
 
= ⋅  
 
= ⋅   
= =
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
161
Solução pela calculadora HP12c utilizando as teclas financeiras: 
f CLX  limpeza das memórias e registradores
101.000,00 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal negativo
60 n  número de prestações lançado no n
1,99 I  taxa lançada no I 
PMT Visor  2.898,53 que é o valor das 60 prestações.
Nesse tipo de cálculo é muito importante sempre zerar as memórias da máquina 
antes de iniciá-los.
Note que agora é fornecido o valor à vista que é lançado no PV e, por fim, busca-se o PMT, que 
é o valor das prestações.
Exemplo 2:
Um	automóvel	novo	custa	à	vista	R$	53.400,00	e	pode	ser	adquirido	em	
36	prestações	mensais	 e	 iguais,	 sendo	a	primeira	paga	um	mês	após	a	 compra.	
Sabendo	que	o	parcelamento	foi	efetuado	com	uma	taxa	de	1,30%	ao	mês,	calcule	
o	valor	das	prestações.
Solução pela fórmula:
Solução pela HP12c utilizando as teclas financeiras:
f CLX  limpeza das memórias e registradores
53.400 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal negativo
36 n  número de prestações lançado no n
1,3 I  taxa lançada no I 
PM Visor  1.866,86, que é o valor a ser pago nas 36 prestações
UNI
( ) 361 1 0,0130
53.400 PMT
0,0130
1 0,062814508753.400 PMT
0,0130
0,37185491353.400 PMT
0,0130
53.400 PMT 28,60422411
− − +
 = ⋅
 
 
 − 
= ⋅  
 
 
= ⋅  
 
= ⋅   
53.400 1.866,86
ŶŶŶŶŶ
= =PMT
162
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
AUTOATIVIDADE
Agora	é	a	sua	vez,	exercite	um	pouco!!!	
Com	certeza,	é	um	assunto	legal	e	muito	importante	para	você.
 
1	 Um	automóvel	é	vendido	à	vista	por	R$	10.000,00,	mas	pode	ser	financiado	
em	12	prestações	mensais,	iguais	e	sem	entrada,	com	a	taxa	de	juros	de	2,2%	
ao	mês.	Sabendo	essas	informações,	obtenha	o	valor	de	cada	prestação.
2		Uma	máquina	é	vendida	por	R$	30.000,00	à	vista	ou	a	prazo	em	5	prestações	
mensais	iguais,	sem	entrada.	Calcule	o	valor	das	prestações	se	a	taxa	de	juros	
praticada	for	de	7%	ao	mês.
3		Um	automóvel	é	vendido	por	R$	16.000,00	à	vista,	mas		pode	ser	financiado	
a	uma	 taxa	de	 2,5%	ao	mês.	Calcule	 o	valor	das	prestações	nas	 seguintes	
condições	de	financiamento:
a)	12	prestações	mensais	iguais	sem	entrada.
b)	18	prestações	mensais	iguais	sem	entrada.
c)	24	prestações	mensais	iguais	sem	entrada.
4		Um	ventilador	é	vendido	à	vista	por	R$	90,00,	mas	pode	ser	financiado	em	12	
prestações	mensais,	iguais	e	sem	entrada,	com	taxa	de	juros	de	2,05%	ao	mês.	
Sabendo	essas	informações,	obtenha	o	valor	das	prestações.
5		Uma	calculadora	financeira	HP	12C	é	vendida	à	vista	por	R$	210,00	ou	a	
prazo	 em	 8	 prestações	mensais,	 iguais,	 sem	 entrada.	 Calcule	 o	 valor	 das	
prestações	se	a	taxa	de		juros	praticada	for	de	1,80%	ao	mês.
6	 Uma	 bicicleta	 elétrica	 é	 vendida	 à	 vista	 por	 R$	 1.900,00,	 mas	 pode	 ser	
comprada	em	18	prestações	mensais,	fixas	e	sem	entrada,	com	uma	taxa	de	
parcelamento	de	2,5%	ao	mês.	Calcule	o	valor	das	prestações	na	compra	a	
prazo.
Foram poucos exercícios, mas todos os produtos envolvidos são do nosso dia a 
dia e a maioria das pessoas compra-os de forma parcelada. No final desse tópico você terá a 
oportunidade de fazer mais algumas atividades para calcular o valor das prestações.
Vamos em frente!
UNI
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
163
3.3 CÁLCULO DO NÚMERO DE PRESTAÇÕES  N
O	objetivo	 agora	 é	 calcular	 a	quantidade	de	prestações	que	deverão	 ser	
pagas	no	caso	de		compras	parceladas.
Agora	as	informações	que	serão	fornecidas	são:		o	valor	à	vista,	o	valor	das	
prestações	e	a	taxa	de	parcelamento.															
Fórmula:
Exemplo:
Um	terreno	que	custa	à	vista	R$	50.000,00	foi	vendido	em	parcelas	mensais,	
iguais	 e	 sem	 entrada,	 no	 valor	 de	R$	 2.000,00.	 Sabendo	 que	 a	 taxa	 cobrada	 no	
parcelamento	é	de	2%	ao	mês,	calcule	o	número	de	prestações	negociadas.
Solução pela fórmula:
n	=	–35,00278878,	ou	seja,	35	prestações
( )
PVLn 1 i
PMT
n
Ln 1 i
   
− ⋅   
   =  
+ 
  
( )
( )
( )
( )
( )
PVLn 1 i
PMT
n
Ln 1 i
50.000Ln 1 0,02
2.000
n
Ln 1 0,02
Ln 1 25 0,02
n
Ln 1,02
Ln 1 0,50
n
Ln 1,02
Ln 0,50n
Ln 1,02
Ln 0,6941471n
   
− ⋅   
   =  
+ 
  
   
− ⋅   
   =  
+ 
  
  − ⋅  =  
  
  −   =  
  
 
=  
 
−
=
81
Ln 0,019802627
 
 
 
164
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Lembra que no cálculo do tempo em juros compostos você utilizou o Logaritmo 
Natural para efetuar os cálculos? No cálculo do número de prestações você precisa utilizar a 
mesma função. 
Veja: na fórmula, calculamos o Ln de 0,50 e de 1,02. No final do cálculo temos que desconsiderar 
a resposta negativa, pois fizemos aqui uma adaptação na fórmula para ela ficar mais fácil de 
resolver, e no final é só considerar positiva sua resposta.
Solução pela HP 12C através da teclas financeiras:
f CLX  limpeza das memórias e registradores
50.000 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal 
 negativo
2 I  taxa lançada no I 
2.000 PMT  valor das prestações lançadas no PMT
n Visor  35, que é o número de prestações 
 que devem ser negociadas.
A calculadora financeira HP 12C arredonda sempre para cima o resultado quando 
a resposta a ser encontrada é o número de prestações. Para a calculadora HP 12C não existe 
tempo “quebrado”. Você poderá encontrar resultados na fórmula que aparecem com casas 
após a vírgula, como, por exemplo: 5,77 prestações, mas na HP 12C, ao utilizar as teclas 
financeiras, ela apresenta a resposta como 6 prestações, pois ninguém pagaria 5,77 prestações.
Vamos a outro exemplo.
Exemplo 2:
Um	 automóvel	 que	 custa	 à	 vista	 R$	 30.000,00	 foi	 vendido	 em	 parcelas	
mensais,	iguais	e	sem	entrada,	no	valor	de	R$	700,00.	Sabendo	que	a	taxa	cobrada	
no	parcelamento	é	de	1,50%	ao	mês,	calcule	o	número	de	prestações	negociadas.	
IMPORTANT
E
IMPORTANT
E
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
165
Solução pela fórmula:
Solução utilizando as teclas financeiras da HP 12C
f CLX  limpeza das memórias e registradores
30.000 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal 
 negativo
1,5 I  taxa lançada no I 
700 PMT  valor das prestações lançadas no PMT
n Visor  70, que é o número de prestações que 
 devem ser negociadas.
( )
( )
( )
( )
( )
PVLn 1 i
PMT
n
Ln 1 i
30.000Ln 1 0,0150
700
n
Ln 1 0,0150
Ln 1 42,85714286 0,0150
n
Ln 1,0150
Ln 1 0,642857143
n
Ln 1,0150
Ln 0,357142n
   
− ⋅   
   =  
+ 
  
   
− ⋅   
   =  
+ 
  
  − ⋅  =  
  
  −   =  
  
=
857
Ln 1,0150
Ln 1,029619417n
Ln 0,014888612
n 69,15482673, ou seja, arredondando 70 prestações
 
 
 
 − 
=  
 
= −
166
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
AUTOATIVIDADE
1 Uma loja vende uma geladeira frost free	à	vista	por	R$	1.800,00,	mas	também	
pode	ser	adquirida	a	prazo,	com	prestações	mensais,	iguais	e	sem	entrada.	
Calcule	 quantas	 prestações	 serão	 negociadas,