PINOTTI_PROVA2_MecFlu6_UFMG

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Versão Setembro 2014
1 MecFlu6_UFMG
Considere estas Notas de Aula como um roteiro para estudo e acompanhamento das aulas de Mecânica 
dos Fluidos. O uso do livro texto é imprescindível para o aprendizado (conceitos, demonstrações e 
exercícios). Lembre-se de que estas Notas de Aula não substituem o livro texto. 
Ao longo do curso, serão valorizados exemplos práticos e os alunos serão estimulados a lerem artigos e 
textos adicionais, além do livro texto recomendado. Serão exploradas diversas aplicações da engenharia. 
Esta versão de 2014 traz um novo método intuitivo de aprendizado de Mecânica dos Fluidos. Os conceitos 
fundamentais serão apresentados e discutidos por meio das Notas de Aula, mas, no entanto, o conteúdo 
programático será estudado para a compreensão de dispositivos e equipamentos selecionados para 
auxiliar na tarefa didática. Procedendo desta forma, evita-se expor um conteúdo teórico aos alunos para 
depois encontrar exemplos práticos onde o conceito e/ou formulação se aplicam. No método intuitivo, que 
vamos trabalhar aqui, será apresentado um objeto, dispositivo ou equipamento e ao apresentar suas 
características e funcionamento, os conceitos e formulações da Mecânica dos Fluidos serão apresentados 
e estudados. Gostaria, assim, de dar chance aos alunos de Mecânica dos Fluidos de primeiro se 
aventurarem a elaborar hipóteses e buscar novos conhecimentos para compreenderem o funcionamento 
dos objetos a serem apresentados para somente depois ter os conceitos pertinentes devidamente 
formalizados. Neste contexto, vamos utilizar o Mapa de Aplicações e as Notas de Aula para este 
propósito. 
!
As imagens destas Notas de Aulas vieram de duas fontes: 
1. Elaboradas pelo autor e sua equipe (principalmente pela designer Cecília Berger e pela Maria 
Aparecida Fernandes); 
2.Capturadas da Internet.
2
Prof. Pinotti
Este arquivo é distribuído aos alunos da disciplina de Mecânica dos Fluidos do Curso de Graduação em 
Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Minas Gerais e não possui nenhuma finalidade 
comercial. 
O uso das imagens (elaboradas pelo autor e sua equipe) e do texto deste arquivo está autorizado desde 
que seja citada a fonte: 
!
“Pinotti, M. Notas de Aula de Mecânica dos Fluidos. Universidade Federal de Minas Gerais, 2014. 
MecFlu6_UFMG.pdf (consultado em: data da consulta). 
!
Em uma recente pesquisa no Google, encontrei versões mais antigas destas Notas de Aulas espalhadas 
em servidores das mais variadas instituições e universidades, de grupos de aerodesign a Petrobras. Isto 
significa que as informações aqui organizadas foram úteis a estudantes e profissionais. Além disso, já 
recebi mais de uma centena de emails de leitores espalhados pelo Brasil elogiando estas páginas. Isto me 
deixa muito feliz e aumenta minha responsabilidade na elaboração da versão 2014. Críticas e sugestões 
são sempre úteis para a contínua melhoria deste texto e devem ser endereçadas para o email do autor: 
pinotti@ufmg.br. Muito obrigado. 
!
Prof. Marcos Pinotti Barbosa 
Departamento de Engenharia Mecânica 
Escola de Engenharia - Universidade Federal de Minas Gerais - UFMG
3
Prof. Pinotti
Equações Básicas para um Volume de Controle
Equações Locais - Aplicam-se a cada ponto do domínio do fluido, definindo as 
condições locais do escoamento.
Equações Globais - Aplicam-se a certas regiões bem individualizadas do domínio 
fluido.
Equações Diferenciais - Aplicações de princípios gerais a trechos infinitesimais 
do domínio do fluido ou a variações infinitesimais de outros parâmetros. Podem 
estar sob forma de equações diferenciais ou de equações de derivadas parciais.
Equações Integrais - Integração das Equações diferenciais numa certa região 
ou num dado intervalo de variação dos parâmetros.
4
Equações de Balanço
Volume de Controle - Individualização de um espaço onde deseja-se aplicar as 
equações.
 
Dinâmica 25 
Equações de Conservação e Equação de Balanço 
 
Volume de Controle - V.C. 
 
Sistemas Fechados 
Para certas grandezas, o V.C. funciona como sistema fechado. 
Portanto, o valor global destas grandezas mantém-se invariável no 
interior dessas regiões. É possível escrever as Equações de 
Conservação da massa, da energia e da quantidade de movimento. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
Em Hidrologia, a Terra constitui um sistema fechado em relação à 
quantidade de água. 
Sistema 
fechado 
 
Dinâmica 25 
Equações de Conservação e Equação de Balanço 
 
Volume de Controle - V.C. 
 
Sistemas Fechados 
Para certas grandezas, o V.C. funciona como sistema fechado. 
Portanto, o valor global destas grandezas mantém-se invariável no 
interior dessas regiões. É possível escrever as Equações de 
Conservação da massa, da energia e da quantidade de movimento. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
Em Hidrologia, a Terra constitui um sistema fechado em relação à 
quantidade de água. 
Sistema 
fechado 
 
Dinâmica 26 
Sistemas Abertos 
Em outras ocasiões as regiões de controle (ou V.C.) funcionam, em 
termos das mesmas grandezas, como sistemas abertos, com 
entradas e saídas através de suas fronteiras. 
 
 
 
 
 
 
Equação de Balanço: 
 
O fluxo da grandeza G na saída (#S) menos o fluxo da grandeza G 
na entrada (#E) é igual à variação da grandeza G no volume de 
controle 
 
5
Equações de Balanço
Sistemas Fechados Para certas grandezas, o V.C. funciona como sistema 
fechado. Portanto, o valor global destas grandezas mantém-se invariável no 
interior dessas regiões. É possível escrever as Equações de Conservação da 
massa, da energia e da quantidade de movimento.
 
Dinâmica 25 
Equações de Conservação e Equação de Balanço 
 
Volume de Controle - V.C. 
 
Sistemas Fechados 
Para certas grandezas, o V.C. funciona como sistema fechado. 
Portanto, o valor global destas grandezas mantém-se invariável no 
interior dessas regiões. É possível escrever as Equações de 
Conservação da massa, da energia e da quantidade de movimento. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
Em Hidrologia, a Terra constitui um sistema fechado em relação à 
quantidade de água. 
Sistema 
fechado 
6
 
Dinâmica 4 
Sistemas Abertos 
Em outras ocasiões as regiões de controle (ou V.C.) funcionam, em 
termos das mesmas grandezas, como sistemas abertos, com 
entradas e saídas através de suas fronteiras. 
 
 
 
 
 
 
Equação de Balanço: 
 
O fluxo da grandeza G na saída (�S) menos o fluxo da grandeza G 
na entrada (�E) é igual à variação da grandeza G no volume de 
controle 
GES �����
7
Balanço de Massa
8
9
Equação de balanço de massa na forma integral
dM
dt
⎞
⎠⎟ sistema
= 0
Msistema = dm = ρd∀
∀
∫
M
∫
Escrevendo a variação da massa do sistema em função do tempo e 
utilizando a notação de volume de controle:
dM
dt
⎞
⎠⎟ sistema
= ∂
∂t ρd∀ + ρV
!"
SC
∫
VC
∫ .dA
!"
= 0
10
Equação de balanço de massa na forma integral
Escrevendo a variação da massa do sistema em função do tempo e 
utilizando a notação de volume de controle:
dM
dt
⎞
⎠⎟ sistema
= ∂
∂t ρd∀ + ρV
!"
SC
∫
VC
∫ .dA
!"
= 0
Considerando que a 
massa se conserva
11
∂
∂t ρd∀ = − ρ
!
V .d !A
SC
∫
VC
∫
SC1 SC3
SC2
SC4
Taxa de aumento 
de massa no VC
Taxa líquida de 
massa para dentro 
do VC
12
∂
∂t ρd∀ = − ρ
!
V .d !A
SC
∫
VC
∫
SC1 SC3
SC2
SC4
Taxa de aumento 
de massa no VC
Taxa líquida de 
massa para dentro 
do VC
Se o que entra é igual ao que sai através das superfícies de 
controle, então a forma do volume de controle permanece 
constante no tempo.
13
∂
∂t ρd∀ = − ρ
!
V .d !A
SC
∫
VC
∫
SC1 SC3
SC2
SC4
Taxa de aumento 
de massa no VC
Taxa líquida de 
massa para dentro 
do VC
Se o que entraé mais do que sai através das superfícies de 
controle, então o volume irá inchar ao longo do tempo.
14
∂
∂t ρd∀ = − ρ
!
V .d !A
SC
∫
VC
∫
SC1 SC3
SC2
SC4
Taxa de aumento 
de massa no VC
Taxa líquida de 
massa para dentro 
do VC
Se o que entra é menos do que sai através das superfícies de 
controle, então o volume irá murchar ao longo do tempo.
15
∂
∂t ρd∀ = − ρ
!
V .d !A
SC
∫
VC
∫Taxa de aumento de massa no VC
Taxa líquida de 
massa para dentro 
do VC
No caso de paredes não deformáveis e fluido 
compressível, há aumento de massa 
acumulada no interior do volume de controle. 
Se as paredes resistirem e dependendo da 
natureza do gás, pode-se armazenar o fluido 
a uma pressão que haja liquefação do gás, 
como é o caso do GLP.
16
∂
∂t ρd∀ = − ρ
!
V .d !A
SC
∫
VC
∫Taxa de aumento de massa no VC
Taxa líquida de 
massa para dentro 
do VC
No caso de paredes deformáveis haverá um 
aumento de volume do reservatório até o seu 
limite de rompimento. Neste caso, a energia 
necessária para introduzir mais fluido no 
reservatório será armazenada na forma de 
energia elástica nas paredes deformáveis do 
reservatório.
17
∂
∂t ρd∀ = − ρ
!
V .d !A
SC
∫
VC
∫Taxa de aumento de massa no VC
Taxa líquida de 
massa para dentro 
do VC
Pode-se aproveitar esta energia acumulada !
18
∂
∂t ρd∀ = − ρ
!
V .d !A
SC
∫
VC
∫Taxa de aumento de massa no VC
Taxa líquida de 
massa para dentro 
do VC
Pode-se aproveitar esta energia acumulada !
19
20
9/29/14, 20:03NASA Balloon Car Contest
Page 1 of 8http://www.balloonhq.com/balloon_car/balloon_car.html
featured sponsor: 
 
 
Balloon Car Contest at NASA's Jet Propulsion Laboratory
On December 18, 1998, a balloon car contest was held at the Jet Propulsion Laboratory in Pasadena,
California, USA. The details unfold below.
The Event
The Challenge
The Cars
The Results
The Winners
The Credits
Inflatable Technology at its Finest?
by Debbie Oisboid
It's a toy. It's a decoration. It's a... car?
The first ever JPL Balloon Car Contest was held on Friday, December 18, 1998. Despite the high winds
earlier in the week, the temperature was mild and the sky slightly overcast; perfect weather for racing. Except
these race cars were unlike anything you've ever seen before.
According to the rules, each entrant was allowed two "official" helium-style balloons. They could be
modified in any way as long as they provided the only propulsion. There were two main propulsion methods:
inflation and elastic. But from those two classifications sprung an amazing range of designs.
Some used twisted balloons to spin a propeller or wheel. Others wrapped the elastic around a wheel axle.
There were those whose inflated balloons blew a stream of air behind for mild jet-propulsion. Still other
inflated balloons blew on a pinwheel-style turbine wheel. Yet each one was unique from the others.
The contest was quite an occasion, and not only due to the unique qualities of the vehicles. Well over 200
people skipped lunch to watch the event, which featured 27 official entries from 24 registered contestants. It
was covered by the Pasadena Star News (12/19/98 edition) as well as the Valley Sun (12/24/98 edition).
http://www.balloonhq.com/balloon_car/balloon_car.html
21
1a Competição de bexiga’s car da UFMG
Regras: 
- Usar até 3 balões de aniversário fornecidos pelo professor; 
- Serão contabilizados o tempo e a distância percorrida no 
corredor do PCA 
- Grupos de no máximo 2 alunos.
Data: 13.outubro.2014 às 20:55
22
Exercícios Resolvidos
1
2
Sabendo-se que a vazão que passa pelo bocal da figura abaixo é 1050 L/min 
e que A1 = 0,2 m2 e A2 = 0,05 m2, determine as velocidades nas faces 1 e 2. 
Q = A.V
A1 [m2] A2 [m2] Q [L/min] Q [m3/s] V1 [m/s] V2 [m/s]
0.2 0.05 1050 0.017500 0.0875 0.350
23
Exercícios Resolvidos
Escoamento permanente. Vazamento em 4 (Q = 0,1 m3/s). A1 = A2 = 0,2 m2; A3 = 0,15 m2. Velocidades 
médias nas seções 1 e 3 são, respectivamente, V1 = 5 m/s e V3 = 12 m/s. Calcule a velocidade na seção 2.
∂
∂t ρd∀ = 0VC∫
Escoamento Permanente
ρV
!"
.dA
!"
=
SC
∫ V
!"
.A
!"
SC∑ = 0
Velocidades médias nas faces
/V2/ = 4,5 m/s
 
Dinâmica 29 
 
 
 
onde é o ângulo entre o vetor Velocidade e o vetor Área. 
 
 
 
Na entrada ( ); na saída ( ) 
 
Considerando a parede inferior (3) e a parede superior (4) como 
impermeáveis, pode-se resolver a integral da equação de balanço 
de massa, para as superfícies de controle, da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dA V 
dA 
V 
Entrada Saída 
2 
3 
4 
 
Dinâmica 29 
 
 
 
onde é o ângulo entre o vetor Velocidade e o vetor Área. 
 
 
 
Na entrada ( ); na saída ( ) 
 
Considerando a parede inferior (3) e a parede superior (4) como 
impermeáveis, pode-se resolver a integral da equação de balanço 
de massa, para as superfícies de controle, da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dA V 
dA 
V 
Entrada Saída 
2 
3 
4 
24
Tarefa a ser entregue na próxima segunda (06.out).
PROVA DE MECÂNICA DOS FLUIDOS – EMA091 
Data: 21.out.2009 Entrega: 28.out.2009 
 
NOME: ____________________________________ N. Matrícula:__________ 
 
Favor registrar horário de início e horário de término. NÃO FAZER EM GRUPO. É muito 
importante que faça a prova sozinho e que registre corretamente o tempo gasto para resolver 
a prova. 
 
QUESTÃO 1 
O modo mais comum de retirar petróleo de um poço é injetando água ou gás neste poço e 
coletando o petróleo que extravasa. Sabe-se que ao injetar fluido pressurizado no poço 
existe uma perda de petróleo devido à porosidade do solo. Nas figuras (a) e (b) abaixo estão 
representadas duas possibilidades de se injetar o fluido e de se coletar o petróleo. A perda 
para o solo está representada pela tubulação 3. Se esta perda (v3) é sempre 0,1 Vsaída e 
A1 = 2 A2 = 4 A3, determine qual das configurações de poço produzirá mais petróleo se a 
vazão de fluido injetado for constante e igual a Q. 
 
 
 
 
(a) (b) 
1 2 
3 
1 
2 
3 
25
 
Dinâmica 30 
Equação do Balanço de Massa para Escoamentos Incompressíveis 
 
 
 
A integral de é chamada de taxa de fluxo de volume ou vazão 
volumétrica 
 
Portanto, para um escoamento incompressível, a vazão volumétrica 
(Q) que entra no Volume de Controle deve ser igual à vazão 
volumétrica que sai do Volume de Controle. 
 
Definindo-se a vazão volumétrica (Q) passando por uma seção da 
Superfície de Controle de área A: 
 
 
 
Define-se a Velocidade Média: 
 
 
26
27
∂ρ
∂t = −2,34 [kg /m
3]
28
Equação de balanço da Quantidade de Movimento
!
F =
!
FS +
!
FB =
∂
∂t
!
Vρd∀ +
!
Vρ
!
V .d !A
SC
∫
VC
∫
Forças de superfície
Forças de campo
Integral a ser 
calculada para o 
Volume de Controle
Integral a ser calculada 
para cada face do Volume 
de Controle
29
 
Dinâmica 23 
 representa as Forças de Campo. 
 
 
Se a força da gravidade é a única força de campo atuante, então 
 e: 
 
 
 
 representa as Forças de Superfície. 
 
A Força de Superfície decorrente da pressão é dada por: 
 
 
 
30
 
Dinâmica 24 
A Equação do Balanço da Quantidade de Movimento é vetorial. 
Como tal, pode ser escrita na forma de três componentes 
cartesianas: 
 
Na direção x: 
 
 
Na direção y: 
 
 
Na direção z: 
 
 
31
 
Dinâmica 25 
Para se resolver o último termo à direita das equações mostradas 
anteriormente, é necessário tomar alguns cuidados. Note que a 
integral em questão é composta por dois termos distintos, um vetor 
eum produto escalar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vetor velocidade. Seu sinal depende 
do sistema de coordenadas definidas 
para o problema. 
Produto Escalar. Seu sinal depende da 
orientação do Vetor Velocidade em 
relação ao Vetor Área. 
 
Dinâmica 22 
Equação do Balanço da Quantidade de Movimento 
 
2.1 - Volume de Controle Inercial 
 
 
onde a quantidade de movimento do sistema, P , é dada por, 
 
 
 
Utilizando a formulação da Segunda Lei de Newton a um Volume de 
Controle não submetido à aceleração: 
 
 
32
Exercício Resolvido. Determinar a força necessária para manter a pá estável.
5.2 Newton’s Second Law—The Linear Momentum and Moment-of-Momentum Equations ■ 223
the acceleration components involved 1for example, translation acceleration, Coriolis accel-
eration, and centrifugal acceleration2 require consideration.
The forces involved in Eq. 5.22 are body and surface forces that act on what is con-
tained in the control volume. The only body force we consider in this chapter is the one as-
sociated with the action of gravity. We experience this body force as weight. The surface
forces are basically exerted on the contents of the control volume by material just outside
the control volume in contact with material just inside the control volume. For example, a
wall in contact with fluid can exert a reaction surface force on the fluid it bounds. Similarly,
fluid just outside the control volume can push on fluid just inside the control volume at a
common interface, usually an opening in the control surface through which fluid flow oc-
curs. An immersed object can resist fluid motion with surface forces.
The linear momentum terms in the momentum equation deserve careful explanation.
We clarify their physical significance in the following sections.
5.2.2 Application of the Linear Momentum Equation
The linear momentum equation for an inertial control volume is a vector equation 1Eq. 5.222.
In engineering applications, components of this vector equation resolved along orthogonal
coordinates, for example, x, y, and z 1rectangular coordinate system2 or r, and x 1cylindri-
cal coordinate system2, will normally be used. A simple example involving steady, incom-
pressible flow is considered first.
u,
EXAMPLE5.10
As shown in Fig. E5.10a, a horizontal jet of water exits a nozzle with a uniform speed of
strikes a vane, and is turned through an angle Determine the anchoring force
needed to hold the vane stationary. Neglect gravity and viscous effects.
u.V1 ! 10 ft"s,
Both surface and
body forces act on
the contents of the
control volume.
Nozzle
A1 = 0.06 ft2 Vane
V1
(a)
Nozzle
V1
Control
volume
(c)(b)
z
x
(2)
FAx
FAz
V1
V2
θ
θ
(1)^
n^2
n1
■ F I G U R E E 5 . 1 0
SOLUTION
We select a control volume that includes the vane and a portion of the water 1see Figs.
E5.10b,c2 and apply the linear momentum equation to this fixed control volume. The x and
z components of Eq. 5.22 become
V5.4 Force due to a
water jet
7708d_c05_204-297 7/23/01 9:56 AM Page 223
5.2 Newton’s Second Law—The Linear Momentum and Moment-of-Momentum Equations ■ 223
the acceleration components involved 1for example, translation acceleration, Coriolis accel-
eration, and centrifugal acceleration2 require consideration.
The forces involved in Eq. 5.22 are body and surface forces that act on what is con-
tained in the control volume. The only body force we consider in this chapter is the one as-
sociated with the action of gravity. We experience this body force as weight. The surface
forces are basically exerted on the contents of the control volume by material just outside
the control volume in contact with material just inside the control volume. For example, a
wall in contact with fluid can exert a reaction surface force on the fluid it bounds. Similarly,
fluid just outside the control volume can push on fluid just inside the control volume at a
common interface, usually an opening in the control surface through which fluid flow oc-
curs. An immersed object can resist fluid motion with surface forces.
The linear momentum terms in the momentum equation deserve careful explanation.
We clarify their physical significance in the following sections.
5.2.2 Application of the Linear Momentum Equation
The linear momentum equation for an inertial control volume is a vector equation 1Eq. 5.222.
In engineering applications, components of this vector equation resolved along orthogonal
coordinates, for example, x, y, and z 1rectangular coordinate system2 or r, and x 1cylindri-
cal coordinate system2, will normally be used. A simple example involving steady, incom-
pressible flow is considered first.
u,
EXAMPLE5.10
As shown in Fig. E5.10a, a horizontal jet of water exits a nozzle with a uniform speed of
strikes a vane, and is turned through an angle Determine the anchoring force
needed to hold the vane stationary. Neglect gravity and viscous effects.
u.V1 ! 10 ft"s,
Both surface and
body forces act on
the contents of the
control volume.
Nozzle
A1 = 0.06 ft2 Vane
V1
(a)
Nozzle
V1
Control
volume
(c)(b)
z
x
(2)
FAx
FAz
V1
V2
θ
θ
(1)^
n^2
n1
■ F I G U R E E 5 . 1 0
SOLUTION
We select a control volume that includes the vane and a portion of the water 1see Figs.
E5.10b,c2 and apply the linear momentum equation to this fixed control volume. The x and
z components of Eq. 5.22 become
V5.4 Force due to a
water jet
7708d_c05_204-297 7/23/01 9:56 AM Page 223
bocal
m2 pá
Fax = −u1ρV1A1 + u2ρV2A2
Fax = −VρVA +V cosθρVA Fax = ρV 2A cosθ −1( )
V1 =V2 =V
A1 = A2 = A
u1 =V
u2 =V cosθ
33
Exercício Resolvido. Determinar a força necessária para manter a pá estável.
5.2 Newton’s Second Law—The Linear Momentum and Moment-of-Momentum Equations ■ 223
the acceleration components involved 1for example, translation acceleration, Coriolis accel-
eration, and centrifugal acceleration2 require consideration.
The forces involved in Eq. 5.22 are body and surface forces that act on what is con-
tained in the control volume. The only body force we consider in this chapter is the one as-
sociated with the action of gravity. We experience this body force as weight. The surface
forces are basically exerted on the contents of the control volume by material just outside
the control volume in contact with material just inside the control volume. For example, a
wall in contact with fluid can exert a reaction surface force on the fluid it bounds. Similarly,
fluid just outside the control volume can push on fluid just inside the control volume at a
common interface, usually an opening in the control surface through which fluid flow oc-
curs. An immersed object can resist fluid motion with surface forces.
The linear momentum terms in the momentum equation deserve careful explanation.
We clarify their physical significance in the following sections.
5.2.2 Application of the Linear Momentum Equation
The linear momentum equation for an inertial control volume is a vector equation 1Eq. 5.222.
In engineering applications, components of this vector equation resolved along orthogonal
coordinates, for example, x, y, and z 1rectangular coordinate system2 or r, and x 1cylindri-
cal coordinate system2, will normally be used. A simple example involving steady, incom-
pressible flow is considered first.
u,
EXAMPLE5.10
As shown in Fig. E5.10a, a horizontal jet of water exits a nozzle with a uniform speed of
strikes a vane, and is turned through an angle Determine the anchoring force
needed to hold the vane stationary. Neglect gravity and viscous effects.
u.V1 ! 10 ft"s,
Both surface and
body forces act on
the contents of the
control volume.
Nozzle
A1 = 0.06 ft2 Vane
V1
(a)
Nozzle
V1
Control
volume
(c)(b)
z
x(2)
FAx
FAz
V1
V2
θ
θ
(1)^
n^2
n1
■ F I G U R E E 5 . 1 0
SOLUTION
We select a control volume that includes the vane and a portion of the water 1see Figs.
E5.10b,c2 and apply the linear momentum equation to this fixed control volume. The x and
z components of Eq. 5.22 become
V5.4 Force due to a
water jet
7708d_c05_204-297 7/23/01 9:56 AM Page 223
5.2 Newton’s Second Law—The Linear Momentum and Moment-of-Momentum Equations ■ 223
the acceleration components involved 1for example, translation acceleration, Coriolis accel-
eration, and centrifugal acceleration2 require consideration.
The forces involved in Eq. 5.22 are body and surface forces that act on what is con-
tained in the control volume. The only body force we consider in this chapter is the one as-
sociated with the action of gravity. We experience this body force as weight. The surface
forces are basically exerted on the contents of the control volume by material just outside
the control volume in contact with material just inside the control volume. For example, a
wall in contact with fluid can exert a reaction surface force on the fluid it bounds. Similarly,
fluid just outside the control volume can push on fluid just inside the control volume at a
common interface, usually an opening in the control surface through which fluid flow oc-
curs. An immersed object can resist fluid motion with surface forces.
The linear momentum terms in the momentum equation deserve careful explanation.
We clarify their physical significance in the following sections.
5.2.2 Application of the Linear Momentum Equation
The linear momentum equation for an inertial control volume is a vector equation 1Eq. 5.222.
In engineering applications, components of this vector equation resolved along orthogonal
coordinates, for example, x, y, and z 1rectangular coordinate system2 or r, and x 1cylindri-
cal coordinate system2, will normally be used. A simple example involving steady, incom-
pressible flow is considered first.
u,
EXAMPLE5.10
As shown in Fig. E5.10a, a horizontal jet of water exits a nozzle with a uniform speed of
strikes a vane, and is turned through an angle Determine the anchoring force
needed to hold the vane stationary. Neglect gravity and viscous effects.
u.V1 ! 10 ft"s,
Both surface and
body forces act on
the contents of the
control volume.
Nozzle
A1 = 0.06 ft2 Vane
V1
(a)
Nozzle
V1
Control
volume
(c)(b)
z
x
(2)
FAx
FAz
V1
V2
θ
θ
(1)^
n^2
n1
■ F I G U R E E 5 . 1 0
SOLUTION
We select a control volume that includes the vane and a portion of the water 1see Figs.
E5.10b,c2 and apply the linear momentum equation to this fixed control volume. The x and
z components of Eq. 5.22 become
V5.4 Force due to a
water jet
7708d_c05_204-297 7/23/01 9:56 AM Page 223
bocal
m2 pá
Fay = v2ρVA
Fay = ρV 2Asenθ
v1 = 0
v2 =Vsenθ
34
 
Dinâmica 2 
 
 
 
 
Departamento de Engenharia Mecânica - UFMG 26 
Conservação da Energia Mecânica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para um ponto material: 
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)
*
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Para um fluido é mais conveniente expressar a equação da 
conservação da Energia por unidade de peso (Carga). 
 
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0
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0
1
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h 
V 
m 
1 
2 
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)
*
&+% 
De onde veio este termo? 
35
 
Dinâmica 3 
Equação de Bernoulli em Termos da Carga 
 
Carga é definida como Energia por unidade de peso. A Equação de 
Bernoulli pode ser expressa em função da carga dividindo-se a 
equação anterior por g : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta equação é conveniente para muitas aplicações em Engenharia, 
pois as dimensões de cada componente são dadas diretamente em 
altura de coluna de fluido. 
 
Carga de 
Velocidade 
Carga de Pressão Carga de 
Posição 
36
Equações de Balanço
Balanço de massa - Equação que contabiliza, em um volume de controle, o balanço de massa que 
entrou, saiu e que se acumulou (ou se consumiu).
 
dM
dt Sistema
= 0 = ∂
∂t ρd∀VC∫
+ ρV
!"
.
SC
∫ dA
!"
ρ1A1V1 = ρ2A2V2
dV
dA < 0Para fluido incompressível
37
Equações de Balanço
Balanço de energia (Bernoulli) - Equação que contabiliza, em um volume de controle, o balanço de 
energia que entrou, saiu e que se acumulou (ou se consumiu).
P1
ρ1g
+
V12
2g + z1 =
P2
ρ2g
+
V22
2g + z2
ρ1A1V1 = ρ2A2V2Geralmente, esta equação está acoplada com o balanço de massa
Equação para fluido ideal
38
 
Dinâmica 5 
 Comentários Importantes 
Antes de aplicar esta equação a um problema real, lembre-se das 
simplificações que foram necessárias para se obter a Equação de 
Bernoulli: 
 
- Viscosidade nula; 
- Densidade constante; 
- Escoamento Permanente; 
- Pode ser aplicada apenas ao longo de linhas de corrente. 
 
Em termos da prática de Engenharia estas simplificações podem ser 
re-escritas da seguinte forma: 
 
 
- Viscosidade desprezível; 
- Densidade sem variação significativa com a pressão; 
- Escoamento considerado Permanente para o intervalo de tempo 
de análise do fenômeno; 
- Pode ser aplicada apenas ao longo de linhas de corrente. 
 
 
Condições Ideais 
Condições Aceitáveis 
39
Linha Piezométrica - Equação de Bernoulli
Noções Básicas de Mecânica dos Fluidos
P1
ρ1g
+
V12
2g + z1 =
P2
ρ2g
+
V22
2g + z2 ρ1A1V1 = ρ2A2V2
P
ρg
V 2
2g
V 2
2g
P
ρg
40
 
Dinâmica 6 
 Teorema de Torricelli 
 
 
 
 
 
Considerações: 
1. V1 = 0; Reservatório grande o suficiente para que a influência 
da vazão em 2 seja desprezível na variação do nível da água. 
2. P1=0; O reservatório está aberto para a atmosfera; 
3. P2=0; O orifício descarrega na atmosfera; 
 
 
 
41
 
Dinâmica 8 
Tubo de Venturi 
 
 
 
Escrevendo a vazão em função das pressões na entrada (P1) e na 
garganta (P2): 
 
 
 
onde, 
 
 
 
P1
ρ1g
+
V12
2g + z1 =
P2
ρ2g
+
V22
2g + z2
Q = V1A1 = V2A2
P1
ρ1g
+
Q2
2gA12
+ z1 =
P2
ρ2g
+
Q2
2gA22
+ z2
Q2 12gA22
−
1
2gA12
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= z2 − z1( ) +
P1 − P2( )
ρg
42
 
QUESTÃO 4 
Considerando que o reservatório da figura a seguir é grande o suficiente para que o seu nível não 
varie de maneira perceptível caso haja descarga de água, responda: 
 
a) Qual é a velocidade de saída da água? 
b) Se a área de saída da água é de 0,003 m2, qual é a vazão que o reservatório descarrega na 
atmosfera? 
c) Qual deve ser a constante da mola que está conectada à pá defletora (cuja massa total 
com os acessórios é de 550 g) para que se observe uma deformação de 0,1 m (em regime 
permanente)? 
 
Dados: 
 
A mola obedece a Lei de Hooke: 
 
Onde, k é a constante da mola [N.m-1] e x é a deformação [m] 
 
 
20 m 
45o 
V = 2gh = 2.10.20 = 20 [m / s]a)
Q =V .A = 20.0,003= 0,06 [m3s−1]b)
Fy − 0,55g = ρV 2ASenθ
−kx = Fy = 0,55g + ρV 2ASenθ
k = 0,55g + ρV
2ASenθ
x = 8540,28 [Nm
−1]
c)
Exercício Resolvido
43
D1 [m] A1 [m2] D2 [m] A2 [m2]
0.04 0.001256637061436 0.005 0.0000196349541
g [m/s2] Numerador Denominador Q [m3/s]
10 5581.39534883721 2,593,189,043.8461 0.00147
PROVA DE MECÂNICA DOS FLUIDOS – EMA091
Data: 30.maio.2011
(Valor Total: 25 pontos).
NOME: _________________________________________ N. Matrícula:__________
Questão 1
Um sistema de nebulizador de um anestésico líquido (!an = 1200 kg/m3) opera utilizando o 
princípio de Venturi (como mostrado na Figura). A pressão absoluta na entrada do tubo de 
Venturi é de 105 Pa. O diâmetro de entrada é de 40 mm e o diâmetro da garganta é de 5 mm. 
Qual deverá ser a vazãomínima de ar comprimido (!ar = 1,29 kg/m3) para que o anestésico 
seja introduzido na corrente de ar que vai para o paciente se o desnível entre a garganta do 
tubo de Venturi e o anestésico é de 30 cm?
QUESTÃO 3 
Um sistema de nebulizador de um anestésico líquido (!an = 1200 kg/m
3) opera utilizando o 
princípio de Venturi (como mostrado na Figura). A pressão absoluta na entrada do tubo de Venturi 
é de 105 Pa. O diâmetro de entrada é de 40 mm e o diâmetro da garganta é de 5 mm. Responda: 
A) Qual deverá ser a vazão mínima de ar comprimido (!ar = 1,29 kg/m
3) para que o anestésico 
seja introduzido na corrente de ar que vai para o paciente se a altura entre a garganta do 
tubo de Venturi e o nível do anestésico for de 30 cm? 
B) Se houver perda de carga no tubo que liga o reservatório de anestésico à garganta do tubo 
de Venturi, a vazão de ar deverá ser maior ou menor do que aquela calculada no item A? 
Explique tua resposta. 
 
 
 
 
QUESTÃO 4 
Uma canalização de diâmetro de 0,6 m, cuja rugosidade aparente é igual a 0,03 mm e cuja 
extensão é igual a 5 quilômetros, deverá transportar água por gravidade. Sabendo-se que o 
desnível existente entre suas extremidades de montante e jusante é igual a 80 m, e desprezando-
se as perdas de carga localizadas, determine a vazão de água transportada por esta canalização. 
 
 
 
 
 
 
30 cm 
105 Pa 
Questão 2
Imagine você em um plano inclinado, como na figura abaixo, sobre um bloco de madeira de 
10 m2 de área. Desprezando o atrito com o ar, responda:
a) Qual velocidade você viajaria nesta situação (considere que a espessura do fluido é de 
1 milímetros);
b) Se a área do bloco de madeira fosse diminuída para 4 m2 o que acontecerá com a velocidade 
de descida, vai aumentar ou diminuir? Explique tua resposta.
PROVA DE MECÂNICA DOS FLUIDOS – EMA091 
Data: 04.nov.2009 
 
NOME: ____________________________________ N. Matrícula:__________ 
 
QUESTÃO 1 
Para o escoamento de água descrito na figura a seguir responda: 
 
a) Determinar a vazão Q1 sabendo que Q5 = 0,5 Litro/s, d4 = 100 mm e V4 = 0,2 m/s; 
b) Sabendo-se que o bocal descarrega o fluido na atmosfera e que d5 = 400 mm, d1 = 20 mm. 
Determine as velocidades nas seções 1 e 2, além de calcular a pressão em 2; 
c) Determine a força necessária para manter o bocal preso na tubulação; 
 
 
ATENÇÃO: As direções do fluxo de massa na figura coincidem com a realidade. 
 
QUESTÃO 2 
Imagine você em um plano inclinado, como na figura abaixo, sobre um bloco de madeira de 
5,5 m2 de área. Desprezando o atrito com o ar, responda: 
a) Qual velocidade você viajaria nesta situação (considere que a espessura do fluido é de 
3 milímetros); 
b) Se a área do bloco de madeira fosse aumentada para 8 m2 o que acontecerá com a velocidade 
de descida, vai aumentar ou diminuir? Explique tua resposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q1 
Q4 
Q5 
1 2 
V ? 
µ = 0,1 N.s.m-2 
! = 20° 
P1
!
+
V12
2g =
P2
!
+
V22
2g
105
1,29.10 +
Q2
A12 2g
=
105 !1200.g.0, 3( )
1,29.10 +
Q2
A22 2g
105 ! 105 !1200.g.0, 3( )
1,29.10 =
Q2
2g
1
A22
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1
A12
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Q =
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-
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1
2
Exercício Resolvido
D1 [m] A1 [m2] D2 [m] A2 [m2]
0.04 0.001256637061436 0.005 0.0000196349541
g [m/s2] Numerador Denominador Q [m3/s]
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PROVA DE MECÂNICA DOS FLUIDOS – EMA091
Data: 30.maio.2011
(Valor Total: 25 pontos).
NOME: _________________________________________ N. Matrícula:__________
Questão 1
Um sistema de nebulizador de um anestésico líquido (!an = 1200 kg/m3) opera utilizando o 
princípio de Venturi (como mostrado na Figura). A pressão absoluta na entrada do tubo de 
Venturi é de 105 Pa. O diâmetro de entrada é de 40 mm e o diâmetro da garganta é de 5 mm. 
Qual deverá ser a vazão mínima de ar comprimido (!ar = 1,29 kg/m3) para que o anestésico 
seja introduzido na corrente de ar que vai para o paciente se o desnível entre a garganta do 
tubo de Venturi e o anestésico é de 30 cm?
QUESTÃO 3 
Um sistema de nebulizador de um anestésico líquido (!an = 1200 kg/m
3) opera utilizando o 
princípio de Venturi (como mostrado na Figura). A pressão absoluta na entrada do tubo de Venturi 
é de 105 Pa. O diâmetro de entrada é de 40 mm e o diâmetro da garganta é de 5 mm. Responda: 
A) Qual deverá ser a vazão mínima de ar comprimido (!ar = 1,29 kg/m
3) para que o anestésico 
seja introduzido na corrente de ar que vai para o paciente se a altura entre a garganta do 
tubo de Venturi e o nível do anestésico for de 30 cm? 
B) Se houver perda de carga no tubo que liga o reservatório de anestésico à garganta do tubo 
de Venturi, a vazão de ar deverá ser maior ou menor do que aquela calculada no item A? 
Explique tua resposta. 
 
 
 
 
QUESTÃO 4 
Uma canalização de diâmetro de 0,6 m, cuja rugosidade aparente é igual a 0,03 mm e cuja 
extensão é igual a 5 quilômetros, deverá transportar água por gravidade. Sabendo-se que o 
desnível existente entre suas extremidades de montante e jusante é igual a 80 m, e desprezando-
se as perdas de carga localizadas, determine a vazão de água transportada por esta canalização. 
 
 
 
 
 
 
30 cm 
105 Pa 
Questão 2
Imagine você em um plano inclinado, como na figura abaixo, sobre um bloco de madeira de 
10 m2 de área. Desprezando o atrito com o ar, responda:
a) Qual velocidade você viajaria nesta situação (considere que a espessura do fluido é de 
1 milímetros);
b) Se a área do bloco de madeira fosse diminuída para 4 m2 o que acontecerá com a velocidade 
de descida, vai aumentar ou diminuir? Explique tua resposta.
PROVA DE MECÂNICA DOS FLUIDOS – EMA091 
Data: 04.nov.2009 
 
NOME: ____________________________________ N. Matrícula:__________ 
 
QUESTÃO 1 
Para o escoamento de água descrito na figura a seguir responda: 
 
a) Determinar a vazão Q1 sabendo que Q5 = 0,5 Litro/s, d4 = 100 mm e V4 = 0,2 m/s; 
b) Sabendo-se que o bocal descarrega o fluido na atmosfera e que d5 = 400 mm, d1 = 20 mm. 
Determine as velocidades nas seções 1 e 2, além de calcular a pressão em 2; 
c) Determine a força necessária para manter o bocal preso na tubulação; 
 
 
ATENÇÃO: As direções do fluxo de massa na figura coincidem com a realidade. 
 
QUESTÃO 2 
Imagine você em um plano inclinado, como na figura abaixo, sobre um bloco de madeira de 
5,5 m2 de área. Desprezando o atrito com o ar, responda: 
a) Qual velocidade você viajaria nesta situação (considere que a espessura do fluido é de 
3 milímetros); 
b) Se a área do bloco de madeira fosse aumentada para 8 m2 o que acontecerá com a velocidade 
de descida, vai aumentar ou diminuir? Explique tua resposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q1 
Q4 
Q5 
1 2 
V ? 
µ = 0,1 N.s.m-2 
! = 20° 
P1
!
+
V12
2g =
P2
!
+
V22
2g
105
1,29.10 +
Q2
A12 2g
=
105 !1200.g.0, 3( )
1,29.10 +
Q2
A22 2g
105 ! 105 !1200.g.0, 3( )
1,29.10 =
Q2
2g
1
A22
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1
A12
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Q =
2g 1200.0,3( )1,29
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1
2
D1 [m] A1 [m2] D2 [m] A2 [m2]
0.04 0.001256637061436 0.005 0.0000196349541
g [m/s2] Numerador Denominador Q [m3/s]
10 5581.39534883721 2,593,189,043.8461 0.00147
PROVA DE MECÂNICA DOS FLUIDOS – EMA091
Data: 30.maio.2011
(Valor Total: 25 pontos).
NOME: _________________________________________ N. Matrícula:__________
Questão 1
Um sistema de nebulizador de um anestésico líquido (!an = 1200 kg/m3) opera utilizando o 
princípio de Venturi (como mostrado na Figura). A pressão absoluta na entrada do tubo de 
Venturi é de 105 Pa. O diâmetro de entrada é de 40 mm e o diâmetro da garganta é de 5mm. 
Qual deverá ser a vazão mínima de ar comprimido (!ar = 1,29 kg/m3) para que o anestésico 
seja introduzido na corrente de ar que vai para o paciente se o desnível entre a garganta do 
tubo de Venturi e o anestésico é de 30 cm?
QUESTÃO 3 
Um sistema de nebulizador de um anestésico líquido (!an = 1200 kg/m
3) opera utilizando o 
princípio de Venturi (como mostrado na Figura). A pressão absoluta na entrada do tubo de Venturi 
é de 105 Pa. O diâmetro de entrada é de 40 mm e o diâmetro da garganta é de 5 mm. Responda: 
A) Qual deverá ser a vazão mínima de ar comprimido (!ar = 1,29 kg/m
3) para que o anestésico 
seja introduzido na corrente de ar que vai para o paciente se a altura entre a garganta do 
tubo de Venturi e o nível do anestésico for de 30 cm? 
B) Se houver perda de carga no tubo que liga o reservatório de anestésico à garganta do tubo 
de Venturi, a vazão de ar deverá ser maior ou menor do que aquela calculada no item A? 
Explique tua resposta. 
 
 
 
 
QUESTÃO 4 
Uma canalização de diâmetro de 0,6 m, cuja rugosidade aparente é igual a 0,03 mm e cuja 
extensão é igual a 5 quilômetros, deverá transportar água por gravidade. Sabendo-se que o 
desnível existente entre suas extremidades de montante e jusante é igual a 80 m, e desprezando-
se as perdas de carga localizadas, determine a vazão de água transportada por esta canalização. 
 
 
 
 
 
 
30 cm 
105 Pa 
Questão 2
Imagine você em um plano inclinado, como na figura abaixo, sobre um bloco de madeira de 
10 m2 de área. Desprezando o atrito com o ar, responda:
a) Qual velocidade você viajaria nesta situação (considere que a espessura do fluido é de 
1 milímetros);
b) Se a área do bloco de madeira fosse diminuída para 4 m2 o que acontecerá com a velocidade 
de descida, vai aumentar ou diminuir? Explique tua resposta.
PROVA DE MECÂNICA DOS FLUIDOS – EMA091 
Data: 04.nov.2009 
 
NOME: ____________________________________ N. Matrícula:__________ 
 
QUESTÃO 1 
Para o escoamento de água descrito na figura a seguir responda: 
 
a) Determinar a vazão Q1 sabendo que Q5 = 0,5 Litro/s, d4 = 100 mm e V4 = 0,2 m/s; 
b) Sabendo-se que o bocal descarrega o fluido na atmosfera e que d5 = 400 mm, d1 = 20 mm. 
Determine as velocidades nas seções 1 e 2, além de calcular a pressão em 2; 
c) Determine a força necessária para manter o bocal preso na tubulação; 
 
 
ATENÇÃO: As direções do fluxo de massa na figura coincidem com a realidade. 
 
QUESTÃO 2 
Imagine você em um plano inclinado, como na figura abaixo, sobre um bloco de madeira de 
5,5 m2 de área. Desprezando o atrito com o ar, responda: 
a) Qual velocidade você viajaria nesta situação (considere que a espessura do fluido é de 
3 milímetros); 
b) Se a área do bloco de madeira fosse aumentada para 8 m2 o que acontecerá com a velocidade 
de descida, vai aumentar ou diminuir? Explique tua resposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q1 
Q4 
Q5 
1 2 
V ? 
µ = 0,1 N.s.m-2 
! = 20° 
P1
!
+
V12
2g =
P2
!
+
V22
2g
105
1,29.10 +
Q2
A12 2g
=
105 !1200.g.0, 3( )
1,29.10 +
Q2
A22 2g
105 ! 105 !1200.g.0, 3( )
1,29.10 =
Q2
2g
1
A22
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1
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Q =
2g 1200.0,3( )1,29
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-
-
1
2D1 [m] A1 [m2] D2 [m] A2 [m2]
0.04 0.001256637061436 0.005 0.0000196349541
g [m/s2] Numerador Denominador Q [m3/s]
10 5581.39534883721 2,593,189,043.8461 0.00147
PROVA DE MECÂNICA DOS FLUIDOS – EMA091
Data: 30.maio.2011
(Valor Total: 25 pontos).
NOME: _________________________________________ N. Matrícula:__________
Questão 1
Um sistema de nebulizador de um anestésico líquido (!an = 1200 kg/m3) opera utilizando o 
princípio de Venturi (como mostrado na Figura). A pressão absoluta na entrada do tubo de 
Venturi é de 105 Pa. O diâmetro de entrada é de 40 mm e o diâmetro da garganta é de 5 mm. 
Qual deverá ser a vazão mínima de ar comprimido (!ar = 1,29 kg/m3) para que o anestésico 
seja introduzido na corrente de ar que vai para o paciente se o desnível entre a garganta do 
tubo de Venturi e o anestésico é de 30 cm?
QUESTÃO 3 
Um sistema de nebulizador de um anestésico líquido (!an = 1200 kg/m
3) opera utilizando o 
princípio de Venturi (como mostrado na Figura). A pressão absoluta na entrada do tubo de Venturi 
é de 105 Pa. O diâmetro de entrada é de 40 mm e o diâmetro da garganta é de 5 mm. Responda: 
A) Qual deverá ser a vazão mínima de ar comprimido (!ar = 1,29 kg/m
3) para que o anestésico 
seja introduzido na corrente de ar que vai para o paciente se a altura entre a garganta do 
tubo de Venturi e o nível do anestésico for de 30 cm? 
B) Se houver perda de carga no tubo que liga o reservatório de anestésico à garganta do tubo 
de Venturi, a vazão de ar deverá ser maior ou menor do que aquela calculada no item A? 
Explique tua resposta. 
 
 
 
 
QUESTÃO 4 
Uma canalização de diâmetro de 0,6 m, cuja rugosidade aparente é igual a 0,03 mm e cuja 
extensão é igual a 5 quilômetros, deverá transportar água por gravidade. Sabendo-se que o 
desnível existente entre suas extremidades de montante e jusante é igual a 80 m, e desprezando-
se as perdas de carga localizadas, determine a vazão de água transportada por esta canalização. 
 
 
 
 
 
 
30 cm 
105 Pa 
Questão 2
Imagine você em um plano inclinado, como na figura abaixo, sobre um bloco de madeira de 
10 m2 de área. Desprezando o atrito com o ar, responda:
a) Qual velocidade você viajaria nesta situação (considere que a espessura do fluido é de 
1 milímetros);
b) Se a área do bloco de madeira fosse diminuída para 4 m2 o que acontecerá com a velocidade 
de descida, vai aumentar ou diminuir? Explique tua resposta.
PROVA DE MECÂNICA DOS FLUIDOS – EMA091 
Data: 04.nov.2009 
 
NOME: ____________________________________ N. Matrícula:__________ 
 
QUESTÃO 1 
Para o escoamento de água descrito na figura a seguir responda: 
 
a) Determinar a vazão Q1 sabendo que Q5 = 0,5 Litro/s, d4 = 100 mm e V4 = 0,2 m/s; 
b) Sabendo-se que o bocal descarrega o fluido na atmosfera e que d5 = 400 mm, d1 = 20 mm. 
Determine as velocidades nas seções 1 e 2, além de calcular a pressão em 2; 
c) Determine a força necessária para manter o bocal preso na tubulação; 
 
 
ATENÇÃO: As direções do fluxo de massa na figura coincidem com a realidade. 
 
QUESTÃO 2 
Imagine você em um plano inclinado, como na figura abaixo, sobre um bloco de madeira de 
5,5 m2 de área. Desprezando o atrito com o ar, responda: 
a) Qual velocidade você viajaria nesta situação (considere que a espessura do fluido é de 
3 milímetros); 
b) Se a área do bloco de madeira fosse aumentada para 8 m2 o que acontecerá com a velocidade 
de descida, vai aumentar ou diminuir? Explique tua resposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q1 
Q4 
Q5 
1 2 
V ? 
µ = 0,1 N.s.m-2 
! = 20° 
P1
!
+
V12
2g =
P2
!
+
V22
2g
105
1,29.10 +
Q2
A12 2g
=
105 !1200.g.0, 3( )
1,29.10 +
Q2
A22 2g
105 ! 105 !1200.g.0, 3( )
1,29.10 =
Q2
2g
1
A22
!
1
A12
"
#$
%
&'
Q =
2g 1200.0,3( )1,29
!
"#
$
%&
1
A22
' 1A12
!
"#
$
%&
(
)
*
*
*
*
+
,
-
-
-
-
1
2
44
d1 [m]; d2 [m] Q [litros/min] V1 [m/s]; V2 [m/s] P2 [Pa] 4Rx [N]
0.04 150 1.9894367886487 15831.434944 9.947
A1 [m2]; A2 [m2]
0.001256637061436 Q [m3/s] V3 [m/s] Rx [N]
0.0025 5.97 P2A2 2.487
A3 [m2] 19.894367886
0.000418879020479 rho*V2*V2*A2
4.9735919716217
dens [kg/m3] rho*V3*V3*A3
1000 14.920775914865
Questão 3 (9 pontos)
Determinar a força a que está submetido cada um dos parafusos da flange que mantém o bocal 
preso à estrutura da figura. O fluido é água (1000 kg/m3), a pressão em 3 é a atmosférica, a 
vazão que passa pelo sistema é 150 litros/min, o diâmetro em 2é de 40 mm e que a contração 
do bocal é de 3:1 em relação à área.
Questão 3
Determinar a força a que está submetido cada um dos parafusos da flange que mantém o bocal 
preso à estrutura da figura. O fluido é água (1000 kg/m3), a pressão em 3 é a atmosférica, a 
vazão que .
1
2
3
 
!
FS +
!
FB =
!
V!
!
V .d !A
SC
"
P2A2 ! 4Rx = !"V22A2 + "V32A3
A1V1 = A2V2
A2V2 = A3V3
P2
!
+
V22
2g =
P3
!
+
V32
2g
d1 [m]; d2 [m] Q [litros/min] V1 [m/s]; V2 [m/s] P2 [Pa] 4Rx [N]
0.04 150 1.9894367886487 15831.434944 9.947
A1 [m2]; A2 [m2]
0.001256637061436 Q [m3/s] V3 [m/s] Rx [N]
0.0025 5.97 P2A2 2.487
A3 [m2] 19.894367886
0.000418879020479 rho*V2*V2*A2
4.9735919716217
dens [kg/m3] rho*V3*V3*A3
1000 14.920775914865
Questão 3 (9 pontos)
Determinar a força a que está submetido cada um dos parafusos da flange que mantém o bocal 
preso à estrutura da figura. O fluido é água (1000 kg/m3), a pressão em 3 é a atmosférica, a 
vazão que passa pelo sistema é 150 litros/min, o diâmetro em 2 é de 40 mm e que a contração 
do bocal é de 3:1 em relação à área.
Questão 3
Determinar a força a que está submetido cada um dos parafusos da flange que mantém o bocal 
preso à estrutura da figura. O fluido é água (1000 kg/m3), a pressão em 3 é a atmosférica, a 
vazão que .
1
2
3
 
!
FS +
!
FB =
!
V!
!
V .d !A
SC
"
P2A2 ! 4Rx = !"V22A2 + "V32A3
A1V1 = A2V2
A2V2 = A3V3
P2
!
+
V22
2g =
P3
!
+
V32
2g
d1 [m]; d2 [m] Q [litros/min] V1 [m/s]; V2 [m/s] P2 [Pa] 4Rx [N]
0.04 150 1.9894367886487 15831.434944 9.947
A1 [m2]; A2 [m2]
0.001256637061436 Q [m3/s] V3 [m/s] Rx [N]
0.0025 5.97 P2A2 2.487
A3 [m2] 19.894367886
0.000418879020479 rho*V2*V2*A2
4.9735919716217
dens [kg/m3] rho*V3*V3*A3
1000 14.920775914865
Questão 3 (9 pontos)
Determinar a força a que está submetido cada um dos parafusos da flange que mantém o bocal 
preso à estrutura da figura. O fluido é água (1000 kg/m3), a pressão em 3 é a atmosférica, a 
vazão que passa pelo sistema é 150 litros/min, o diâmetro em 2 é de 40 mm e que a contração 
do bocal é de 3:1 em relação à área.
Questão 3
Determinar a força a que está submetido cada um dos parafusos da flange que mantém o bocal 
preso à estrutura da figura. O fluido é água (1000 kg/m3), a pressão em 3 é a atmosférica, a 
vazão que .
1
2
3
 
!
FS +
!
FB =
!
V!
!
V .d !A
SC
"
P2A2 ! 4Rx = !"V22A2 + "V32A3
A1V1 = A2V2
A2V2 = A3V3
P2
!
+
V22
2g =
P3
!
+
V32
2g
45
46
Hovercraft
47
Hovercraft