Av1 Análise Matemática

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Av1 - Análise Matemática
1) Desde a Educação Básica estudamos os conjuntos numéricos, suas operações e propriedades características, empregando-as na resolução de problemas. Assim, é importante que saibamos caracterizar cada conjunto e identificar àquele que possa representar um certo tipo de dado ou um fenômeno, por exemplo.
A respeito das propriedades do conjunto dos números naturais, analise as afirmações apresentadas a seguir:
I. Todo número natural admite um sucessor, sendo que este pode ou não ser classificado como um número primo.
II. Ao dividirmos qualquer número par pelo natural dois obtemos como resultado um outro número par.
III. Existem números naturais que, ao serem divididos por zero, resultam em números ímpares.
IV. A soma entre dois números ímpares sempre resulta em um número par.
V. Qualquer número dividido por ele próprio resulta em um número não primo.
Em relação às afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta:
Alternativas:
a)
Apenas as afirmações I e III estão corretas.
b)
Apenas as afirmações II e IV estão corretas.
c)
Apenas as afirmações I, IV e V estão corretas.
Alternativa assinalada
d)
Apenas as afirmações II, III e IV estão corretas.
e)
Apenas as afirmações II, III e V estão corretas.
2)
Tomando como base as caracterizações dos conjuntos finitos, infinitos e enumeráveis, bem como suas propriedades características, analise as seguintes afirmações, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F):
(  ) Dizemos que um conjunto é infinito quando houver a possibilidade de estabelecer uma correspondência biunívoca entre este conjunto e uma de suas partes próprias, ou seja, um de seus subconjuntos próprios.
(  ) Se um subconjunto X do conjunto dos números naturais contiver o número um e o sucessor de todos os elemento de X, então os números naturais pertencem a X, apesar de X não coincidir com o conjunto de números naturais.
(  ) Existem situações nas quais a união infinita de conjuntos enumeráveis, todos derivados de conjuntos numéricos, pode gerar um conjunto que não possa ser classificado como enumerável.
(  ) No caso de uma função f: X → Y ser classificada como injetiva e o conjunto Y corresponder a um conjunto enumerável, então podemos afirmar que o conjunto X também será enumerável.
Assinale a alternativa que indica todas as classificações corretamente, considerando a ordem na qual as afirmações foram apresentadas:
Alternativas:
a)
V – V – F – F.
b)
V – F – F – V.
Alternativa assinalada
c)
F – V – V – F.
d)
F – F – V – V.
e)
F – V – F – V.
3)
A cardinalidade é um conceito fundamental para a diferenciação entre conjuntos finitos e infinitos, estando relacionada à possibilidade, ou não, de estabelecer correspondências biunívocas com subconjuntos finitos do conjunto de números naturais.
A respeito da cardinalidade dos subconjuntos dos conjuntos numéricos, analise as seguintes afirmações, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F):
(  ) O conjunto  é um conjunto de cardinalidade finita, de modo que card(A) = 9.
(  ) O conjunto  é um conjunto de cardinalidade finita, apresentando card(B) = 2.
(  ) O conjunto  é um conjunto de cardinalidade infinita.
(  ) O conjunto  é um conjunto de cardinalidade infinita.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta das classificações, considerando a ordem na qual as afirmações foram apresentadas:
Alternativas:
a)
V – V – F – V.
b)
V – F – V – F.
c)
V – F – V – V.
Alternativa assinalada
d)
F – F – V – V.
e)
F – V – F – V.
4)
O Princípio da Indução Finita, em conjunto com as técnicas de demonstrações, pode ser empregado para a comprovação de resultados referentes à diferentes áreas da Matemática, como o Cálculo, a Geometria, entre outras. No entanto, para que esse princípio possa ser aplicado é necessário que o resultado em estudo apresente determinadas características, conforme as hipóteses avaliadas no Princípio da Indução Finita.
Com base nesse tema, considere as seguintes afirmações:
Afirmação 1: Para todo inteiro n ≥ 3 é válido que 
Afirmação 2:  não é um número racional.
Afirmação 3: Se a é um número inteiro não nulo tal que a divide 1, então a = 1 ou a = -1.
Afirmação 4: A soma dos n primeiros números naturais ímpares é igual a n2.
Com base nas afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta:
Alternativas:
a)
Apenas as afirmações 1 e 4 podem ser justificadas a partir da aplicação do Princípio da Indução Finita.
Alternativa assinalada
b)
Apenas as afirmações 2 e 3 podem ser justificadas a partir da aplicação do Princípio da Indução Finita.
c)
Apenas as afirmações 2 e 4 podem ser justificadas a partir da aplicação do Princípio da Indução Finita.
d)
Apenas as afirmações 3 e 4 podem ser justificadas a partir da aplicação do Princípio da Indução Finita.
e)
Apenas as afirmações 1, 2 e 4 podem ser justificadas a partir da aplicação do Princípio da Indução Finita.
5)
O conjunto dos números inteiros pode ser tomado como base na estruturação de um conjunto importante denominado conjunto dos inteiros módulo m, com m um natural maior que 1. Por exemplo, podemos construir o conjunto dos inteiros módulo 2, o qual consiste nas classes de restos obtidas a partir da divisão dos inteiros pelo natural 2, ou seja, corresponde a particionar o conjunto dos números inteiros em duas classes: uma composta pelos inteiros divisíveis por dois, que caracterizará os números pares, e uma outra composta pelos inteiros que geram resto 1 ao serem divididos por dois, que abrange os inteiros ímpares. Esse tipo de caracterização pode ser adotado, por exemplo, em demonstrações que envolvem as particularidades dos números pares e ímpares.
Considerando o subconjunto dos inteiros composto pelos números inteiros positivos, bem como suas propriedades e operações características, se dois inteiros positivos a e b são consecutivos, qual das seguintes alternativas indica um número, expresso em função de a e b, que pode ser classificado como um número par?
Alternativas:
a)
a + b + 2.
b)
2a + 2b + 1.
c)
ab + 1.
d)
a + b.
e)
a + b + 1.
Alternativa assinalada
Gabarito:
C
B
C
A
E