5ª Lista

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Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo -
Votuporanga
Geometria Analítica e Vetores - Engenharia Civil
Quinta Lista de Exercícios
2o semestre - 2014
Professora Elen Cristina Mazucchi
. Produto Escalar; Produto Vetorial e Produto Misto
Exercício 1: Encontrar o produto vetorial entre os vetores
→
u= (5, 4, 3) e
→
v (1, 0, 1).
Exercício 2: Determinar o ângulo entre os vetores:
a)
→
u= (2,−1,−1) e →v= (−1,−1, 2). (Resp.: θ = 120o)
a)
→
u= (1,−2, 1) e →v= (−1, 1, 0). (Resp.: θ = 150o)
Exercício 3: Calcular os ângulos internos do triângulo de vértices A = (2, 1, 3), B =
(1, 0,−1) e C = (−1, 2, 1). (Resp.: Â ∼= 51o, B̂ ∼= 57o, Ĉ ∼= 72o)
Exercício 4: Provar que o triângulo de vértices A(2, 3, 1), B(2, 1,−1) e C(2, 2,−2) é um
triângulo retângulo.
Exercício 5: Dados os vetores,
→
u= (3, 0, 1) e
→
v= (−2, 1, 2) determine proj→u→
v
e proj
→
v→
u
.
(Resp.: proj
→
u→
v
= (89 ,−49 ,−89) e proj
→
v→
u
= (−65 , 0,−25))
Exercício 6: Dados os pontos A(−1, 0, 5), B(2,−1, 4) e C(1, 1, 1), determinar x tal que
→
AC
e
→
BP sejam ortogonais, sendo P (x, 0, x− 3). (Resp.: x = 252 )
Exercício 7: Dados os vetores
→
u= (1,−1, 1) e →v= (2,−3, 4), calcular:
a) A área do paralelogramo determinado pelos vetores
→
u
e
→
v . (Resp.:
√
6u.a.)
b) a altura do paralelogramo relativa a base definida pelo vetor
→
u . (Resp.: h =
√
2u.c.)
Exercício 8: Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores
→
u +2
→
v
e
→
v − →u ,
sendo
→
u= (−3, 2, 0) e →v= (0,−1,−2). (Resp.: Um deles: (−12,−18, 9))
Exercício 9: Calcular o valor de m para que a área do paralelogramo determinado por→
u= (m,−3, 1) e →v= (1,−2, 2) seja igual a √26. (Resp.: m = 0 ou m = 2)
Exercício 10: Calcular o valor de z, sabendo que A(2, 0, 0), B(0, 2, 0) e C(0, 0, z) são vértices
de um triângulo de área 6. Resp.: z = 4 ou z = −4
1
Exercício 11 Dado os vetores
→
u= (3,−1, 1), →v= (1, 2, 2) e →w= (2, 0,−3), calcular:
a) (
→
u,
→
v ,
→
w) (Resp.: −29)
a) (
→
w,
→
u,
→
v ) (Resp.: −29)
Exercício 12: Encontre o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores
→
u= (3,−1, 4),
→
v= (2, 0, 1) e
→
w= (−2, 1, 5). (Resp.: 17)
Exercício 13: Qual o volume do cubo determinado pelos vetores
→
i ,
→
j ,
→
k ? (Resp.: 1)
Exercício 14: Determinar o valor de k para que sejam coplanares os vetores
→
u= (2,−1, k),
→
v= (1, 0, 2) e
→
w= (k, 3, k). (Resp.: k = 6)
Exercício 15: Sejam A, B, C eD, pontos não coplanares. Portanto os vetores
→
AB,
→
AC e
→
AD
também são não coplanares e determinam um paralelepípedo cujo volume é V = |(
→
AB,
→
AC,
→
AD)|.
Este paralelepípedo, por sua vez, pode ser repartido em dois prismas triangulares de mesmo
tamanho e, portanto, o volume Vp de cada prisma é Vp =
1
2 |(
→
AB,
→
AC,
→
AD)|. Por outro lado, cada
prisma pode ser repartido em três pirâmides de mesmo volume, sendo uma delas o tetraedro
ABCD. Assim, o volume do tetraedro é um terço do volume do prisma, isto é,
Vt =
1
3
Vp =
1
3
(
1
2
V ) =
1
6
V,
ou
Vt =
1
6
|(
→
AB,
→
AC,
→
AD)|.
Representar graficamente o tetraedroABCD e calcular seu volume, sendoA(1, 1, 0), B(6, 4, 1), C(2, 5, 0)
e D(0, 3, 3). (Resp.: Vt =
19
2 u.v.)
Exercício 16: Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos
vetores v1 = (0,−1, 2), v2 = (−4, 2,−1) e v3 = (3,m,−2) seja igual a 33. (Resp.: m = 4 ou
m = −174 )
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