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Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3
Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3
Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes
julio.lombaldo@ufrgs.br
Semana 9: 3 - 7 de Dezembro de 2012
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Co´digos em Scilab podem ser encontrados em...
http://www.mat.ufrgs.br/ guidi/grad/MAT01169/MAT01169.html
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Me´todos de Passo Mu´ltiplo
Me´todos de Passo Mu´ltiplo:
A ide´ia desse tipo de me´todo difere dos anteriores na medida que
precisaremos mais informac¸a˜o a cada iterac¸a˜o, e na˜o apenas do
valor da iterac¸a˜o anterior.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Me´todos de Passo Mu´ltiplo
Suponha que tenhamos aqui um conjunto de no´s (na˜o
necessariamente equidistantes), dados por
x0, x1, x2, ..., xn
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Me´todos de Passo Mu´ltiplo
De forma que podemos calcular
f (x0, y), f (x1, y), f (x2, y), ..., f (xn, y)
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Me´todos de Passo Mu´ltiplo
Como y(x) seria a soluc¸a˜o do PVI, enta˜o podemos garantir que
para cada intervalo (xi , xi+1), temos∫ xi+1
xi
y ′(x)dx = y(xi+1)− y(xi )
ou ainda que
y(xi+1) = y(xi ) +
∫ xi+1
xi
y ′(x)dx
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Me´todos de Passo Mu´ltiplo
Similarmente ao me´todo de Heum, vamos aproximar a integral
abaixo ∫ xi+1
xi
y ′(x)dx =
∫ xi+1
xi
f (x , y(x))dx
como uma combinac¸a˜o linear dos valores f (xi , y(xi ))
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Me´todos de Passo Mu´ltiplo
ou seja, teremos que∫ xi+1
xi
f (x , y(x))dx = h[Afi + Bfi−1 + Cfi−2 + Dfi−3]
onde fi ≡ f (xi , y(xi )).
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Me´todos de Passo Mu´ltiplo
Precisamos enta˜o, obter os coeficientes A,B,C e D. Na deduc¸a˜o
destes coeficientes, vamos apenas exigir que esta integrac¸a˜o seja
exata pra polinoˆmios de grau ate´ 3.
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Me´todos de Passo Mu´ltiplo
Sendo assim, podemos representar estes polinoˆmios de grau ate´ 3,
utilizando a base de Newton, que para este caso seria
p0(x) = 1
p1(x) = x
p2(x) = x(x + 1)
p3(x) = x(x + 1)(x + 2)
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Me´todos de Passo Mu´ltiplo
Podemos tomar x0 = 0, h = 1, e para cada pi temos que∫ xi+1
xi
f (x , y(x))dx = h[Afi + Bfi−1 + Cfi−2 + Dfi−3]
se torna∫ 1
0
pi (x)dx = Api (0) + Bpi (−1) + Cpi (−2) + Dpi (−3)
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Me´todos de Passo Mu´ltiplo
Assim ...
∫ 1
0
p0(x)dx = Ap0(0) + Bp0(−1) + Cp0(−2) + Dp0(−3)∫ 1
0
p1(x)dx = Ap1(0) + Bp1(−1) + Cp1(−2) + Dp1(−3)∫ 1
0
p2(x)dx = Ap2(0) + Bp2(−1) + Cp2(−2) + Dp2(−3)∫ 1
0
p3(x)dx = Ap3(0) + Bp3(−1) + Cp3(−2) + Dp3(−3)
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Me´todos de Passo Mu´ltiplo
Assim ...
∫ 1
0
p0(x)dx = Ap0(0) + Bp0(−1) + Cp0(−2) + Dp0(−3)∫ 1
0
p1(x)dx = Ap1(0) + Bp1(−1) + Cp1(−2) + Dp1(−3)∫ 1
0
p2(x)dx = Ap2(0) + Bp2(−1) + Cp2(−2) + Dp2(−3)∫ 1
0
p3(x)dx = Ap3(0) + Bp3(−1) + Cp3(−2) + Dp3(−3)
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Me´todos de Passo Mu´ltiplo
Assim ...
∫ 1
0
1dx = Ap0(0) + Bp0(−1) + Cp0(−2) + Dp0(−3)∫ 1
0
xdx = Ap1(0) + Bp1(−1) + Cp1(−2) + Dp1(−3)∫ 1
0
x(x + 1)dx = Ap2(0) + Bp2(−1) + Cp2(−2) + Dp2(−3)∫ 1
0
x(x + 1)(x + 2)dx = Ap3(0) + Bp3(−1) + Cp3(−2) + Dp3(−3)
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Me´todos de Passo Mu´ltiplo
Assim ...
1 = Ap0(0) + Bp0(−1) + Cp0(−2) + Dp0(−3)
1
2
= Ap1(0) + Bp1(−1) + Cp1(−2) + Dp1(−3)
5
6
= Ap2(0) + Bp2(−1) + Cp2(−2) + Dp2(−3)
9
4
= Ap3(0) + Bp3(−1) + Cp3(−2) + Dp3(−3)
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Me´todos de Passo Mu´ltiplo
Assim ...
1 = A1 + B1 + C 1 + D1
1
2
= A0 + B(−1) + C (−2) + D(−3)
5
6
= A0 + B0 + C 2 + D6
9
4
= A0 + B0 + C 0 + D(−6)
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Me´todos de Passo Mu´ltiplo
E portanto temos o sistema
1 1 1 1
−1 −2 −3
2 6
−6


A
B
C
D
 =

1
1/2
5/6
9/4

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Me´todos de Passo Mu´ltiplo
Cuja soluc¸a˜o e´ dada por
A =
55
24
,B = −59
24
,C =
37
24
,D = − 9
24
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Me´todos de Passo Mu´ltiplo
Logo, as nossa aproximac¸o˜es seriam dadas por
yi+1 = yi +
h
24
(55fi − 59fi−1 + 37fi−2 − 9fi−3)
esta aproximac¸a˜o e´ conhecida comofo´rmula de Adams-Bashforth
de ordem 4.
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Me´todos de Passo Mu´ltiplo
Seguindo a mesma linha de raciocinio, pode incluir mais termos e
recair e um sistema, pore´m maior, menor ou ate´ de mesma ordem.
Por exemplo, se incluirmos o termo fi+1 e descartar fi−3, teremos,
apo´s resolver um sistema (de mesma ordem neste caso), a seguinte
aproximac¸a˜o
yi+1 = yi +
h
24
(9fi+1 − 19fi − 5fi−1 + fi−2)
esta aproximac¸a˜o e´ conhecida como fo´rmula de Adams-Moulton de
ordem 4. Importante ressaltar aqui que necessitamos do valor
fi+1 ≡ f (xi+1, y(xi+1)), de maneira que na˜o poderiamos calcular
yi+1 com a fo´rmula anterior.
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Me´todos de Passo Mu´ltiplo
Neste caso, poderiamos usar a fo´rmula de Adams-Bashforth para
calcular o valor anterior (fi+1) e apo´s este ca´lculo, teriamos como
calcular a aproximac¸a˜o via Adams-Moulton. Chamamos este tipo
de processo de ”Predictor-Corretor”.
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Me´todos de Passo Mu´ltiplo
Exemplo 1:
Considerando o seguinte problema de valor inicial
y ′(x) = 1− x + 4y(x)
y(0) = 1
Vamos determinar o valor aproximado de y(0.4) com h = 0.1,
usando Adams-Moulton com predic¸a˜o por Adams-Bashforth.
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Me´todos de Passo Mu´ltiplo
Neste exemplo, temos que determinar dados iniciais y1, y2 e y3,
pois ja´ na primeira iterac¸a˜o teremos que
y4 = y3 +
h
24
(9f4 − 19f3 − 5f2 + f1)
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Me´todos de Passo Mu´ltiplo
Como cada fi depende de xi e de yi , na˜o podemos calcular
f1, f2 e f3
pois na˜o temos y1, y2 e y3.
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Me´todos de Passo Mu´ltiplo
Neste caso, deteminamos y1, y2 e y3 com o auxilio do me´todo
Runge-Kutta de quarta ordem. Fazendo isso, temos que
x0 = 0.0→ y0 = 1.0000000
x1 = 0.1→ y1 = 1.6089333
x2 = 0.2→ y2 = 2.5050062
x3 = 0.3→ y3 = 3.8294145
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Me´todos de Passo Mu´ltiplo
E de posse de cada yi , podemos calular os valores fi ’s. Enta˜o,
temos que
x0 = 0.0→ y0 = 1.0000000→ f0 = 5.0000000
x1 = 0.1→ y1 = 1.6089333→ f1 = 7.3357332
x2 = 0.2→ y2 = 2.5050062→ f2 = 10.820025
x3 = 0.3→ y3 = 3.8294145→ f3 = 16.017658
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Me´todos de Passo Mu´ltiplo
Assim, podemos usar a fo´rmula de Adams-Bashforth para
determinar y4, que sera´
y4 = y3 +
h
24
(55f3 − 59f2 + 37f1 − 9f0) = 5.7836305→ y˜4
assim, podemos calcular f˜4.
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Me´todos de Passo Mu´ltiplo
Agora, por fim, usando a fo´rmula de Adams-Moulton, temos que
y4 = y3 +
h
24
(9f˜4 − 19f3 − 5f2 + f1)
= 4.9251275 + 0.15y˜4
= 5.7926721
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Convergeˆncia, Estabilidade e Consisteˆncia
Convergeˆncia, Estabilidade e Consisteˆncia:
Aqui vamos analisar um pouco mais detalhadamente os me´todos,
de maneira a utilizar ferramentas para verificar se o me´todo e´
convergente ou na˜o, sem realizar a aproximac¸a˜o da equac¸a˜o
diferencial.
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Convergeˆncia, Estabilidade e Consisteˆncia
Os me´todos de Passo Mu´ltiplo podem ser escritos da seguinte
maneira
akyn + ak−1yn−1 + ...+ a0yn−k = h(bk fn + bk−1fn−1 + ...+ b0fn−k)
onde cada yi com i < n e´ obtido por algum outro me´todo.
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Convergeˆncia, Estabilidade e Consisteˆncia
Dizemos que esta equac¸a˜o representa um me´todo implicito se
bk 6= 0, isto e´...
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Convergeˆncia, Estabilidade e Consisteˆncia
Me´todo Implicito:
akyn +ak−1yn−1 + ...+a0yn−k = h( bk︸︷︷︸
6=0
fn +bk−1fn−1 + ...+b0fn−k)
Me´todo Explicito:
akyn +ak−1yn−1 + ...+a0yn−k = h( bk︸︷︷︸
=0
fn +bk−1fn−1 + ...+b0fn−k)
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Convergeˆncia, Estabilidade e Consisteˆncia
Convergeˆncia:
Dizemos que um me´todo de passo mu´ltiplo e´ convergente se
lim
h→0
y(h, x) = y(x)
com x fixo e h livre, desde que x0 ≤ x ≤ xn.
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Convergeˆncia, Estabilidade e Consisteˆncia
Estabilidade e Consisteˆncia:
Para analisar a estabilidade e consisteˆncia dos me´todos de Passo
Mu´ltiplo, utilizamos os seguintes polinoˆmios associados a equac¸a˜o
geral dos me´todos de passo mu´ltiplo,
p(z) = akz
k + ak−1zk−1 + ...+ a0
q(z) = bkz
k + bk−1zk−1 + ...+ b0
de forma que as condic¸o˜es necessa´rias para estabilidade e
consisteˆncia podem ser escritas como...
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Convergeˆncia, Estabilidade e Consisteˆncia
Estabilidade:
O me´todo e´ dito esta´vel, se todas ra´ızes de p(z) esta˜o contidas em
um disco de raio |z | ≤ 1 e se cada raiz de mo´dulo 1 e´ simples
(multiplicidade 1).
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Convergeˆncia, Estabilidade e Consisteˆncia
Consisteˆncia:
O me´todo e´ dito consistente, se p(1) = 0 e p′(1) = q′(1).
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Convergeˆncia, Estabilidade e Consisteˆncia
Theorem
Um me´todo de passo mu´ltiplo descrito por
akyn + ak−1yn−1 + ...+ a0yn−k = h(bk fn + bk−1fn−1 + ...+ b0fn−k)
e´ convergente se e somente se ele e´ esta´vel e consistente.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Convergeˆncia, Estabilidade e Consisteˆncia
Exemplo: O me´todo de Milne, expresso por
yi − yi−2 = h
(
1
3
fi +
4
3
fi−1 +
1
3
fi−2
)
e´ um me´todo implicito, pois aparece o termo fi .
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Convergeˆncia, Estabilidade e Consisteˆncia
Neste me´todo, podemos notar olhando para
yi − yi−2 = h
(
1
3
fi +
4
3
fi−1 +
1
3
fi−2
)
que teremos polinoˆmios associados iguais a
p(z) = z2 − 1
q(z) =
1
3
z2 +
4
3
z +
1
3
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Convergeˆncia, Estabilidade e Consisteˆncia
Analisando este dois polinoˆmios, vemos que
p(z) = 0⇒ z = ±1
isto e´, teremos apenas ra´ızes simples e em |z | ≤ 1, implicando que
o me´todo e´ esta´vel.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Convergeˆncia, Estabilidade e Consisteˆncia
Ale´m do mais,
p′(z) = 2z
q′(z) =
2
3
z +
4
3
o que implica que
p′(1) = q′(1) = 2
logo, o me´todo e´ consistente.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Convergeˆncia, Estabilidade e Consisteˆncia
Assim, como este e´ um me´todo esta´vel e consistente, teremos que
ele e´ Convergente.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Convergeˆncia, Estabilidade e Consisteˆncia
Exerc´ıcio 1:
Considere o me´todo de passo mu´ltiplo dado por
yi − yi−1 = h
(
3
8
fi +
5
8
fi−1 +
3
8
fi−2
)
este me´todo e´ convergente?
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Convergeˆncia, Estabilidade e Consisteˆncia
Exerc´ıcio 2:
Verifique se Adams-Bashforth e Adams-Moulton sa˜o consistentes,
estaveis e convergentes.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Convergeˆncia, Estabilidade e Consisteˆncia
Erros de Truncamento:
Conforme visto anteriormente, os erros de truncamento locais sa˜o
definidos por
en = y(xn)− yn
Este e´ diferente do erro de arredondamento.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Convergeˆncia, Estabilidade e Consisteˆncia
Ao definirmos um operador linear (funcional linear) L da forma
Ly =
k∑
i=0
(aiy(ih)− hbiy ′(ih))
assumimos aqui que x0 = 0, assim cada xi = x0 + ih = ih.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Convergeˆncia, Estabilidade e Consisteˆncia
Ao aplicarmos o operador L em qualquer func¸a˜o diferenciavel y
representada por uma expansa˜o em Taylor em torno de x = 0,
podemos expressar Ly por
Ly = d0y0 + d1hy
′(0) + d2hy ′′(0) + ...
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Convergeˆncia, Estabilidade e Consisteˆncia
Definindo que y e y ′ podem ser representados por
y(ih) =
∞∑
k=0
(ih)k
k!
y (k)(0)
y ′(ih) =
∞∑
k=0
(ih)k
k!
y (k+1)(0)
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Convergeˆncia, Estabilidade e Consisteˆncia
Igualando
Ly =
k∑
i=0
(aiy(ih)− hbiy ′(ih))
e
Ly = d0y0 + d1hy
′(0) + d2hy ′′(0) + ...
teremos que ...
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Convergeˆncia, Estabilidade e Consisteˆncia
cada dj sera´...
d0 =
k∑
i=0
ai
d1 =
k∑
i=0
(iai − bi )
d2 =
k∑
i=0
(
i2
2
ai − ibi )
...
dj =
k∑
i=0
(
i j
j!
ai − i
j−1
(j − 1)!bi )
e assim, podemos estabelecer a ordem do erro de truncamento
local.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Convergeˆncia, Estabilidade e Consisteˆncia
Theorem
Se a equac¸a˜o que define um me´todo de passo-mu´ltiplo e´ de ordem
m, e as aproximac¸o˜es anteriores (yn−1, yn−2, ...) sa˜o exatas, enta˜o
en = y(xn)− yn = dm+1
ak
hm+1y (m+1)(xn−k) + O(hm+2)
Assim, o ETL, e´ de ordem O(hm+1).
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1:
As soluc¸o˜es nume´ricas de sistemas, seguem um padra˜o similar,
devemos analisar a teoria geral e alguns casos em especial.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Inicialmente, podemos considerar um sistema de equac¸o˜es
diferenciais ordina´rias por
y ′1 = f1(x , y1, y2, ..., yn)
y ′2 = f2(x , y1, y2, ..., yn)
...y ′n = fn(x , y1, y2, ..., yn)
onde queremos determinar as n func¸o˜es y1, y2, ..., yn.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Exemplo de um sistema de equac¸o˜es diferenciais ordina´rias pode ser
y ′1 = f1(x , y1, y2, ..., yn)
y ′2 = f2(x , y1, y2, ..., yn)
onde queremos determinar as 2 func¸o˜es y1, y2.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Exemplo de um sistema de equac¸o˜es diferenciais ordina´rias pode ser
y ′1 = y1 + 4y2 − ex
y ′2 = y1 + y2 + 2e
x
onde queremos determinar as n func¸o˜es y1, y2.
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Este sistema tem como soluc¸a˜o
y ′1 = 2ae
3x − 2be−x − 2ex
y ′2 = ae
3x + be−x +
1
4
ex
onde a e b sa˜o constantes arbitra´rias.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Um dos procedimentos mais usuais e´ quando temos equac¸o˜es de
ordem maior que 1, e que possam inclusive ser na˜o-lineares, por
exemplo, suponha que tenhamos um problema do tipo,
y (n) = f (x , y , y ′, y ′′, ..., y (n−1))
o que podemos fazer ?
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Vamos tomar
y1 = y
y2 = y
′
y3 = y
′′
...
yn = y
(n−1)
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Tornando assim, em um sistema da forma...
y ′1 = y2
y ′2 = y3
y ′3 = y4
...
y ′n = (y
(n−1))′ = f (x , y , y ′, ..., y (n−1))
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Exemplo 1:
Considere a seguinte equac¸a˜o diferencial
y ′′ + 2xy ′ − y = 3ex
Obtenha o sistema de EDO’s que corresponde a esta equac¸a˜o
diferencial ordina´ria.
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Seguindo a ide´ia inicial, teremos que
y2 = y
′
y3 = y
′′
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
E portanto, com y1 = y
y ′1 = y2
y ′2 = y3
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Assim, podemos reescrever a equac¸a˜o diferencial na forma
y ′′ = f (x , y , y ′)
ficando com
y ′′ = 3ex − 2xy ′ + y
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
ou ainda que
y3 = 3e
x − 2xy2 + y1
e por fim que
y ′2 = 3e
x − 2xy2 + y1
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
resultando em um sistema do tipo...
y ′1 = y2
y ′2 = 3e
x − 2xy2 + y1
o qual podemos resolver nume´ricamente, desde que tenhamos as
condic¸o˜es iniciais para cada yk .
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Exemplo 2:
Considere a seguinte equac¸a˜o diferencial
sin (x)y ′′′ + cos (xy + sin (x2 + y ′′) + (y ′)3 = log x
Obtenha o sistema de EDO’s que corresponde a esta equac¸a˜o
diferencial ordina´ria.
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Seguindo a ide´ia inicial, com y1 = y , teremos que
y2 = y
′
y3 = y
′′
y4 = y
′′′
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
E portanto, com y1 = y
y ′1 = y2
y ′2 = y3
y ′3 = y4
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Assim, podemos reescrever a equac¸a˜o diferencial na forma
y ′′′ = f (x , y , y ′, y ′′)
ficando com
y ′′′ =
1
sin (x)
[
log x − cos (xy)− sin (x2 + y ′′)− (y ′)3]
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
ou ainda que
y4 =
1
sin (x)
[
log x − cos (xy1)− sin (x2 + y3)− (y2)3
]
e por fim que
y ′3 =
1
sin (x)
[
log x − cos (xy1)− sin (x2 + y3)− (y2)3
]
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
resultando em um sistema do tipo...
y ′1 = y2
y ′2 = y3
y ′3 =
1
sin (x)
[
log x − cos (xy1)− sin (x2 + y3)− (y2)3
]
o qual podemos resolver nume´ricamente, desde que tenhamos as
condic¸o˜es iniciais para cada yk .
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Exemplo 3:
Considere o seguinte sistema de equac¸o˜es diferenciais de ordem 2
(z ′′)2 + xey + y ′ = z ′ − z
y ′y ′′ − cos (zy) + sin (xz ′y) = z
Converta o sistema de EDO’s acima para um sistema de ordem 1.
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Aqui, vamos introduzir as varia´veis
x1 = z
x2 = z
′
x3 = y
x4 = y
′
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
E portanto,
x ′1 = x2
x ′2 =
√
x2 − x1 − x4 − xex3
x ′3 = x4
x ′4 =
1
x4
(x1 − sin (xx2x3) + cos (x1x3))
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Por uma questa˜o de simplicidade na notac¸a˜o, podemos representar
um sistema de equac¸o˜es diferenciais ordina´rias descrito como
y ′1 = f1(x , y1, y2, ..., yn)
y ′2 = f2(x , y1, y2, ..., yn)
...
y ′n = fn(x , y1, y2, ..., yn)
por...
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
{
Y ′ = F (x ,Y )
Y (x0) = Y0
onde Y = [y1, y2, ..., yn]
T . O termo Y ′ representa a derivada em
relac¸a˜o a x e F (x ,Y ) = [f1, f2, ..., fn]
T .
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Soluc¸a˜o de Sistemas via Me´todo Runge-Kutta:
Vamos considerar inicialmente, um sistema formado por apenas 2
equac¸o˜es, isto e´, da forma
y ′ = f (x , y , z)
z ′ = g(x , y , z)
com
y(x0) = y0
z(x0) = z0
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Primeiramente, podemos utilizar o me´todo de Runge-Kutta ordem
2 (RK2):
Vamos definir como{
k incremento de y(x)
` incremento de z(x)
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Sendo assim, podemos realizar as iterac¸o˜es em ’paralelo’:
k1 = hf (xi , yi , zi ) `1 = hg(xi , yi , zi )
k2 = hf (xi + h, yi + k1, zi + `1) `2 = hg(xi + h, yi + k1, zi + `1)
yi+1 = yi +
1
2 k1 +
1
2 k2 zi+1 = zi +
1
2`1 +
1
2`2
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Sendo assim, podemos realizar as iterac¸o˜es em ’paralelo’:
k1 = hf (xi , yi , zi ) `1 = hg(xi , yi , zi )
k2 = hf (xi + h, yi + k1, zi + `1) `2 = hg(xi + h, yi + k1, zi + `1)
yi+1 = yi +
1
2 k1 +
1
2 k2 zi+1 = zi +
1
2`1 +
1
2`2
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Sendo assim, podemos realizar as iterac¸o˜es em ’paralelo’:
k1 = hf (xi , yi , zi ) `1 = hg(xi , yi , zi )
k2 = hf (xi + h, yi + k1, zi + `1) `2 = hg(xi + h, yi + k1, zi + `1)
yi+1 = yi +
1
2 k1 +
1
2 k2 zi+1 = zi +
1
2`1 +
1
2`2
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Exemplo 1:
Considere o sistema de equac¸o˜es diferenciais dado por{
y ′ = z − x2, y(0) = 0
z ′ = 3x − y , z(0) = 1
Vamos aproximar os valores y(0.4) e z(0.4) com h = 0.2.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Na Iterac¸a˜o 1: (x0 = 0, y0 = 0, z0 = 1) Temos que
k1 = hf (x0, y0, z0)
= h(z0 − x20 )
= 0.2(1− 02) = 0.2
`1 = hg(x0, y0, z0)
= h(3x0 − y0)
= 0.2(3× 0− 0) = 0.0
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Ainda na Iterac¸a˜o 1: teremos tambe´m que
k2 = hf (x0 + h, y0 + k1, z0 + `1)
= h(z0 + `1 − (x0 + h)2)
= 0.2(1− 0.22) = 0.192
`2 = hg(x0 + h, y0 + k1, z0 + `1)
= h(3(x0 + h)− (y0 + k1))
= 0.2(3× 0.2− 0.2) = 0.08
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Ainda na Iterac¸a˜o 1: teremos tambe´m que
y1 = y0 +
1
2
k1 +
1
2
k2
= 0 +
1
2
0.2 +
1
2
0.192 = 0.196
z1 = z0 +
1
2
`1 +
1
2
`2
= 1 +
1
2
0.0 +
1
2
0.08 = 1.04
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Na Iterac¸a˜o 2: (x1 = 0.2, y1 = 0.196, z1 = 1.04) Temos que
k1 = hf (x1, y1, z1)
= h(z1 − x21 )
= 0.2(1.04− 0.22) = 0.2
`1 = hg(x1, y1, z1)
= h(3x1 − y1)
= 0.2(3× 0.2− 0.196) = 0.0808
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Ainda na Iterac¸a˜o 2: teremos tambe´m que
k2 = hf (x1 + h, y1 + k1, z1 + `1)
= h(z1 + `1 − (x1 + h)2)
= 0.2(1.1208− 0.42) = 0.19216
`2 = hg(x1 + h, y1 + k1, z1 + `1)
= h(3(x1 + h)− (y1 + k1))
= 0.2(3× 0.4− 0.396) = 0.1608
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Ainda na Iterac¸a˜o 2: teremos tambe´m que
y2 = y1 +
1
2
k1 +
1
2
k2
= 0.196 +
1
2
0.2 +
1
20.19216 = 0.39208
z2 = z1 +
1
2
`1 +
1
2
`2
= 1.04 +
1
2
0.0808 +
1
2
0.1608 = 1.1608
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Logo:
y2 = 0.39208 ≈ y(0.4)
z2 = 1.16080 ≈ z(0.4)
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Exerc´ıcio: Resolva o sistema anterior usando Runge-Kutta ordem 4.
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Enta˜o, podemos resolver equac¸o˜es de ordem maior, por exemplo,
vamos nos fixar na resoluc¸a˜o de equac¸o˜es de ordem 2. Isto e´, do
tipo
y ′′(x) = f (x , y , y ′)
y(x0) = y0
y ′(x0) = z0
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Neste caso, tomamos y ′(x) = z(x), enta˜o teremos y ′′(x) = z ′(x),
e consequentemente vamos recair em um sistema de ordem 1.
Desta forma, teremos sempre que
y ′(x) = z(x)
z ′(x) = f (x , y , y ′)
y(x0) = y0
z(x0) = z0
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Exemplo 1:
x2y ′′(x)− 2xy ′(x) + 2y(x) = x3 ln x
y(1) = 1
y ′(1) = 0
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Podemos resolver este sistema, usando o que foi visto ate´ agora,
isto e´, teremos
y ′(x) = z(x)
z ′(x) =
1
x2
(2xz(x)− 2y(x) + x3 ln x)
y(1) = 1
z(1) = 0
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Soluc¸a˜o de Sistemas via decomposic¸a˜o de Autovalores e
Autovetores:
Podemos resolver o sistema usando a notac¸a˜o matricial e
analisando quem sa˜o os autovalores da matriz correspondente.
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Suponha que tenhamos o seguinte sistema
y ′1 = a11y1 + a12y2 + ...+ a1nyn
...
y ′n = an1y1 + an2y2 + ...+ annyn
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Expressando este sistema em notac¸a˜o matricial, temos que
Y ′ = AY
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
onde ...
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22
...
...
. . .
an1 an2 · · · ann

e a derivac¸a˜o em Y ′ e´ em relac¸a˜o a x .
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Enta˜o, procuramos um vetor soluc¸a˜o
Y = [y1, y2, ..., yn]
T
cuja cada componente e´ soluc¸a˜o de cada uma das equac¸o˜es do
sistema.
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Supondo que a soluc¸a˜o e´ da forma
Y (x) = eλxv
onde λ ∈ R e v e´ um vetor constante.
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Se substituirmos em Y ′ = AY , teremos que
Y ′ = AY
λeλxv = Aeλxv
λv = Av
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Assim, os valores de λ teriam de ser os autovalores de A. Mas
quais desses valores λ podemos dizer que Y (x) = eλxv?
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Theorem
Se λ e´ autovalor de A e v e´ autovetor correspondente, enta˜o
Y (x) = eλxv e´ soluc¸a˜o de Y ′ = AY .
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Theorem
Se An×n tem os autovetores v1, v2, ...vn e estes sa˜o LI, com
Avi = λivi enta˜o o espac¸os soluc¸a˜o da equac¸a˜o Y
′ = AY tem uma
base yi = e
λixvi .
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Considerando Vn×n uma matriz da forma
Vn×n = [v1, v2, ..., vn]
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Considerando Vn×n uma matriz da forma
Vn×n =

v11 v12 · · · v1n
v21 v22
...
...
. . .
vn1 vn2 · · · vnn

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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Logo, podemos expressar o problema de autovalor na forma
matricial, com AV = V Λ com
Λn×n =

λ1
λ2
. . .
λn

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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Aqui, a principal ide´ia e´ que
A = V ΛV−1
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
Como a soluc¸a˜o geral deste tipo de problema e´ dada por
Y (x) = eAxY (0)
onde Y (0) e´ o vetor das condic¸o˜es iniciais. Logo,
Y (x) = eVΛV
−1xY (0)
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
mas
Y (x) = eVΛV
−1xY (0)
e´ o mesmo que
Y (x) = VeΛxV−1Y (0)
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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
e como
eΛx =

eλ1x
eλ2x
. . .
eλnx

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Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais de ordem 1
A soluc¸a˜o final sera´...
Y (x) = V

eλ1x
eλ2x
. . .
eλnx
V−1Y (0)
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Equac¸o˜es R´ıgidas
Equac¸o˜es R´ıgidas:
A rigidez de um sistema e´ definida pela diferenc¸a de escalas nos
valores de x que aparecem no vetor soluc¸a˜o.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Equac¸o˜es R´ıgidas
Exitem muitas aplicac¸o˜es nas quais temos este tipo de sistema de
equac¸o˜es diferenciais, dentre elas:
Aplicac¸o˜es em engenharia de Energia.
Monitorac¸o˜es de Processos Qu´ımicos.
Circuitos Eletroˆnicos.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Equac¸o˜es R´ıgidas
Para entender um pouco, vejamos o me´todo de Euler aplicado a
apenas uma equac¸a˜o diferencial. Considere o PVI
y ′ = λy
y(0) = 1
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Equac¸o˜es R´ıgidas
Pelo me´todo de Euler, temos que
yi+1 = yi + hf (xi , yi )
= yi + hλyi
= (1 + hλ)yi
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Equac¸o˜es R´ıgidas
Enta˜o, para cada iterac¸a˜o, teriamos que
y1 = (1 + hλ)y0
y2 = (1 + hλ)y1
y3 = (1 + hλ)y2
...
yn = (1 + hλ)yn−1 = (1 + hλ)...(1 + hλ)y0
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Equac¸o˜es R´ıgidas
Enta˜o, para cada iterac¸a˜o, teriamos que
y1 = (1 + hλ)y0
y2 = (1 + hλ)y1
y3 = (1 + hλ)y2
...
yn = (1 + hλ)yn−1 = (1 + hλ)...(1 + hλ)︸ ︷︷ ︸
×n
y0
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Equac¸o˜es R´ıgidas
Enta˜o, para cada iterac¸a˜o, teriamos que
y1 = (1 + hλ)y0
y2 = (1 + hλ)y1
y3 = (1 + hλ)y2
...
yn = (1 + hλ)yn−1 = (1 + hλ)...(1 + hλ)y0
= (1 + hλ)n
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Equac¸o˜es R´ıgidas
Neste caso, temos como soluc¸a˜o exata para este PVI
y = eλx
e fica evidente que se λ < 0 a soluc¸a˜o y tende a zero na medida
que x cresce.
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Equac¸o˜es R´ıgidas
Pore´m, no caso da aproximac¸a˜o por Euler, teremos que esta
aproximac¸a˜o so´ tendera´ a zero se
|1 + hλ| < 1
ou ainda que
−1 < 1 + hλ < 1
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Equac¸o˜es R´ıgidas
Pore´m, no caso da aproximac¸a˜o por Euler, teremos que esta
aproximac¸a˜o so´ tendera´ a zero se
|1 + hλ| < 1
ou ainda que
−1 < 1 + hλ < 1
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Equac¸o˜es R´ıgidas
Assim, teriamos que
1 + hλ > −1
e portanto
h <
−2
λ
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Equac¸o˜es R´ıgidas
Exemplo 1:
Se tomarmos este mesmo PVI, pore´m com λ = −20, temos como
soluc¸a˜o exata y = e−20x . Por Euler, teriamos que tomar
h <
−2
λ
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h <
−2
−20 = 0.1
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Equac¸o˜es R´ıgidas
para este caso, a aproximac¸a˜o e´ satisfato´ria, por exemplo, temos
que tomar h < 0.1, seja enta˜o h = 0.08.
Teriamos que
yi = (1 + hλ)
i
= (1 + 0.08(−20))i
= (1− 1.6)i
= (−0.6)i
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Equac¸o˜es R´ıgidas
Exemplo 2:
Se tomarmos este mesmo PVI, pore´m com h = 0.2, se λ = −20,
temos como soluc¸a˜o exata y = e−20x . Teremos que
yi = (1 + hλ)
i
= (1 + 0.2(−20))i
= (1− 4)i
= (−3)i
neste caso, na˜o teriamos uma aproximac¸a˜o tendendo a zero.
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Equac¸o˜es R´ıgidas
Exemplo 3:
Se tomarmos este mesmo PVI, pore´m com h = 0.1, se λ = −20,
temos como soluc¸a˜o exata y = e−20x . Teremosque
yi = (1 + hλ)
i
= (1 + 0.1(−20))i
= (1− 2)i
= (−1)i
neste caso, na˜o teriamos uma aproximac¸a˜o oscilando entre −1 e 1.
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Equac¸o˜es R´ıgidas
Podemos definir enta˜o, que um dos aspectos de rigidez de uma
equac¸a˜o e´ o quanto temos que diminuir o passo h.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Equac¸o˜es R´ıgidas
Podemos considerar o me´todo de Euler Implicito tambe´m, neste
caso teriamos
yi+1 = yi + hf (xi+1, yi+1)
como f (x , y) = λy
yi+1 = yi + hλyi+1
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Equac¸o˜es R´ıgidas
Portanto,
yi+1 = (1− hλ)−1yi
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Equac¸o˜es R´ıgidas
Assim,
yi+1 = (1− hλ)−1yi
fica...
y1 = (1− hλ)−1y0
y2 = (1− hλ)−1y1
y3 = (1− hλ)−1y2
...
yn = (1− hλ)−1yn−1 = (1 + hλ)−1...(1 + hλ)−1y0
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Equac¸o˜es R´ıgidas
Assim,
yi+1 = (1− hλ)−1yi
fica...
y1 = (1− hλ)−1y0
y2 = (1− hλ)−1y1
y3 = (1− hλ)−1y2
...
yn = (1− hλ)−1yn−1 = (1− hλ)−1...(1− hλ)−1︸ ︷︷ ︸
×n
y0︸︷︷︸
=1
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Assim,
yi+1 = (1− hλ)−1yi
fica...
y1 = (1− hλ)−1y0
y2 = (1− hλ)−1y1
y3 = (1− hλ)−1y2
...
yn = (1− hλ)−1yn−1 = (1 + hλ)−1...(1 + hλ)−1y0
= (1− hλ)−n
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Equac¸o˜es R´ıgidas
De maneira que a cada iterac¸a˜o teremos que ter
yi = (1− hλ)−n
tornando assim a u´nica condic¸a˜o necessa´ria
|1− hλ| < 1
isto e´, aqui podemos utilizar qualquer valor de h > 0.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Equac¸o˜es R´ıgidas
Os problemas de Equac¸o˜es r´ıgidas sa˜o conhecidos em sistemas de
equac¸o˜es diferenciais como ’Problemas de Stiff’.
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Equac¸o˜es R´ıgidas
Definic¸a˜o: Dizemos que um problema de valor inicial do tipo
y ′ = f (x , y)
y(x0) = y0
e´ um problema de Stiff se sua resoluc¸a˜o por algum me´todo
nume´rico exige uma diminuic¸a˜o significativa do passo h.
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Equac¸o˜es R´ıgidas
Como podemos adaptar o conceito de problemas de Stiff a
sistemas de equac¸o˜es diferenciais?
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Equac¸o˜es R´ıgidas
Em sistemas de equac¸o˜es diferenciais os problemas de Stiff sa˜o
definidos analisando os autovalores da matriz A.
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Equac¸o˜es R´ıgidas
relembrando... 
y ′1 = a11y1 + a12y2 + ...+ a1nyn
...
y ′n = an1y1 + an2y2 + ...+ annyn
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Equac¸o˜es R´ıgidas
onde ...
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22
...
...
. . .
an1 an2 · · · ann

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Equac¸o˜es R´ıgidas
AV = V Λ ⇒ A = V ΛV−1 com
Λn×n =

λ1
λ2
. . .
λn

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Equac¸o˜es R´ıgidas
Como a soluc¸a˜o geral deste tipo de problema e´ dada por
Y (x) = eAxY (0)
e portanto
Y (x) = VeΛxV−1Y (0)
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Equac¸o˜es R´ıgidas
com
eΛx =

eλ1x
eλ2x
. . .
eλnx

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Equac¸o˜es R´ıgidas
E soluc¸a˜o final ...
Y (x) = V

eλ1x
eλ2x
. . .
eλnx
V−1Y (0)
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Equac¸o˜es R´ıgidas
Enta˜o, em sistemas de equac¸o˜es diferenciais, os problemas de Stiff
se caracterizam em casos que os autovalores de A sa˜o de variac¸a˜o
muito grande em escala.
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Problemas de Valores de Fronteira
Problemas de Valores de Fronteira:
Problemas de valores de fronteira sa˜o caracterizados por condic¸o˜es
diferentes para determinarmos as constantes de integrac¸a˜o, por
exemplo, aqui teremos condic¸o˜es nos extremos do intervalo de
integrac¸a˜o.
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Problemas de Valores de Fronteira
De maneira geral, temos como PVF
y ′′ = f (x , y , y ′)
y(a) = α, y(b) = β
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Problemas de Valores de Fronteira
nem todo PVF tem soluc¸a˜o, considere o seguinte PVF
y ′′ = y ′
y(0) = 3, y(pi) = 7
cuja soluc¸a˜o geral seria y(x) = A sin x + B cos x .
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Problemas de Valores de Fronteira
Pore´m, aplicando nos valores de fronteira, temos que
y(0) = 3⇒ A sin 0 + B cos 0 = B
y(pi) = 7⇒ A sinpi + B cospi = −B
logo o PVF na˜o tem soluc¸a˜o.
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Problemas de Valores de Fronteira
Theorem
O PVF
y ′′ = f (x , y)
y(0) = 0, y(1) = 0
tem soluc¸a˜o u´nica se ∂f∂y e´ cont´ınua, na˜o negativa, e limitada em
0 ≤ x ≤ 1.
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Problemas de Valores de Fronteira
Por exemplo, o PVF
y ′′ = (5y + sin 3y)ex
y(0) = 0, y(1) = 0
tem soluc¸a˜o u´nica?
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Problemas de Valores de Fronteira
como
∂f
∂y
= (5 + cos 3y)ex
e´ cont´ınua e tambe´m limitada em 0 ≤ x ≤ 1.
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Soluc¸a˜o por Diferenc¸as Finitas
Soluc¸a˜o por Diferenc¸as Finitas:
Considerando agora Problemas de valores de fronteira, podemos
utilizar a derivac¸a˜o nume´rica para aproximar a soluc¸a˜o de equac¸o˜es
diferenciais.
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Soluc¸a˜o por Diferenc¸as Finitas
Particionando o intervalo [a, b] em pontos xi , como mostra o
desenho...
�
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Soluc¸a˜o por Diferenc¸as Finitas
Vamos considerar o espac¸amento entre estes pontos como sendo
constante, isto e´,
xi = a + ih
h =
b − a
n + 1
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Soluc¸a˜o por Diferenc¸as Finitas
Enta˜o, uma equac¸a˜o de ordem 2, seria
y0 = α
y ′′ = f (x , y , y ′)
yn+1 = β
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Soluc¸a˜o por Diferenc¸as Finitas
Vamos aproximac¸a˜o os ’valores’ y ′ e y ′′ por
y ′ =
yi+1 − yi−1
2h
y ′′ =
yi+1 − 2yi + yi−1
h2
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Soluc¸a˜o por Diferenc¸as Finitas
Enta˜o, substituindo as aproximac¸o˜es para as derivadas na equac¸a˜o
de ordem 2, ficamos com
y0 = α
y ′′ = f (x , y , y ′)
yn+1 = β
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Soluc¸a˜o por Diferenc¸as Finitas
Enta˜o, substituindo as aproximac¸o˜es para as derivadas na equac¸a˜o
de ordem 2, ficamos com
y0 = α
yi+1 − 2yi + yi−1
h2
= f (x , y ,
yi+1 − yi−1
2h
)
yn+1 = β
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Soluc¸a˜o por Diferenc¸as Finitas
Aqui, vamos trabalhar especificamente com os casos ’linear’ e
’na˜o-linear’.
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Soluc¸a˜o por Diferenc¸as Finitas
Caso ’na˜o-linear’:
Vamos usar o seguinte exemplo para ilustrar, seja
y ′′ = y x + 2y ′
Vamos usar n = 2.
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Soluc¸a˜o por Diferenc¸as Finitas
enta˜o, temos que
y0 = α
yi+1 − 2yi + yi−1
h2
= f (x , y ,
yi+1 − yi−1
2h
)
yn+1 = β
fica
y0 = α
yi+1 − 2yi + yi−1
h2
= y xii + 2
(
yi+1 − yi−1
2h
)
yn+1 = β
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Soluc¸a˜o por Diferenc¸as Finitas
usando n = 2, teremos
y0 = α
y2 − 2y1 + y0
h2
= y x11 + 2
(
y2 − y0
2h
)
y3 − 2y2 + y1
h2
= y x22 + 2
(
y3 − y1
2h
)
y3 = β
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Soluc¸a˜o por Diferenc¸as Finitas
assim, vamos recair em um sistema na˜o-linear igual a

1
−(2 + h2) (1− h)
(1 + h) −(2 + h2)
1


y0
y x11
y x22
y3
 =

α
−(1 + h)α
(h − 1)β
β

o qual pode ser resolvido pelo Me´todo de Newton.
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Soluc¸a˜o por Diferenc¸as Finitas
Caso ’linear’:
Considere o seguinte PVF
y ′′ = xy + 2y ′
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Soluc¸a˜o por Diferenc¸as Finitas
enta˜o, temos que
y0 = α
yi+1 − 2yi + yi−1
h2
= f (x , y ,
yi+1 − yi−1
2h
)
yn+1 = β
fica
y0 = α
yi+1 − 2yi + yi−1
h2
= xiyi + 2
(
yi+1 − yi−1
2h
)
yn+1 = β
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Soluc¸a˜o por Diferenc¸as Finitas
usando n = 2, teremosy0 = α
y2 − 2y1 + y0
h2
= x1y1 + 2
(
y2 − y0
2h
)
y3 − 2y2 + y1
h2
= x2y2 + 2
(
y3 − y1
2h
)
y3 = β
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Soluc¸a˜o por Diferenc¸as Finitas
considerando xi = α + ih, teremos que
y0 = α
y2 − 2y1 + y0
h2
= (α + h)y1 + 2
(
y2 − y0
2h
)
y3 − 2y2 + y1
h2
= (α + 2h)y2 + 2
(
y3 − y1
2h
)
y3 = β
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Soluc¸a˜o por Diferenc¸as Finitas
considerando xi = α + ih, teremos que
y0 = α
y2 − 2y1 + y0 = h2[(α + h)y1 + 2
(
y2 − y0
2h
)
]
y3 − 2y2 + y1 = h2[(α + 2h)y2 + 2
(
y3 − y1
2h
)
]
y3 = β
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Soluc¸a˜o por Diferenc¸as Finitas
Exerc´ıcio:
Monte o sistema linear correspondente a estas equac¸o˜es. Apo´s,
resolva este sistema, para teremos as aproximac¸o˜es para os valores
de y em cada xi .
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Soluc¸a˜o por Diferenc¸as Finitas
De maneira mais geral, podmos pensar em qualquer problema
linear, como sendo da forma
y0 = α
aiyi−1 + diyi + ciyi+1 = bi
yn+1 = β
onde
ai = −1− h
2
ωi+1
di = 2 + h
2vi
ci = −1 + h
2
ωi
bi = −h2ui
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Soluc¸a˜o por Diferenc¸as Finitas
O que nos leva a escrever o sistema de forma

d1 c1
a1 d2 c2
a2 d3 c3
. . .
. . .
. . .
an−2 dn−1 cn−1
an−1 dn


y1
y2
y2
...
yn−1
yn

=

b1 − a0α
b2
b3
...
bn−1
bn − cnβ

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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Soluc¸a˜o por Diferenc¸as Finitas
Que e´ um sistema tridiagonal!
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Soluc¸a˜o por Diferenc¸as Finitas
Voceˆ lembra do exerc´ıcio 24 da lista 1, a´rea 2?
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais
Soluc¸a˜o por Diferenc¸as Finitas
Exerc´ıcio 24:
Considere o sistema formado pelas relac¸o˜es de recorreˆncia dadas
por
ai =
1
2
ai−1 +
1
2
ai+1, i = 1, 2, ..., n − 1 onde a0 = 1, an = 0
(a) Considerando n = 5, explique porque podemos garantir a
convergeˆncia usando o me´todo iterativo de Gauss-Seidel?
(b) Resolva o sistema usando o me´todo de Gauss-Seidel? (use
um x(0) 6= 0 e fac¸a no m´ınimo 3 iterac¸o˜es).
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	Introdução, área 3
	Solução Numérica de Equações Diferenciais
	Métodos de Passo Múltiplo
	Convergência, Estabilidade e Consistência
	Sistemas de Equações Diferenciais de ordem 1
	Equações Rígidas
	Problemas de Valores de Fronteira
	Solução por Diferenças Finitas