AULA 02 Funções de duas variaveis [Modo de Compatibilidade]

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03/08/2018
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AULA 02 – FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
Prof. Dr. Cícero Manoel dos Santos
Universidade Federal do Pará – UFPA
Campus de Altamira
Matemática Aplicada
 Introdução;
Definição de função de duas variáveis;
 Domínio, imagem e gráfico de uma função de duas
variáveis;
 Curvas de Nível ;
 Curvas de Nível especiais;
 Exemplos.
Tópicos da Aula 
INTRODUÇÃO
 Quando se trata de aplicar matemática, sabe-se que funções
com uma variável constitui um universo muito restrito;
 No mundo real, quantidades físicas frequentemente dependem de
duas ou mais variáveis;
 A demanda semanal de manteiga num supermercado depende:
(preço unitário, preço de bens substitutos – margarina...);
 Quantidade de luz interceptada por um dossel de milho pode ser
dada em função da radiação PAR e do incide de área folear...
 Função de duas variáveis...
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Funções de Várias Variáveis
Quatro pontos de vista diferentes (Estudaremos):
 Verbalmente (pela descrição em palavras);
 Numericamente (por uma tabela de valores);
 Algebricamente (por uma fórmula explícita);
 Visualmente (por um gráfico ou curvas de nível).
Funções de Duas Variáveis 
A temperatura T em um ponto na superfície da Terra em dado
instante de tempo depende da longitude x e da latitude y do
ponto.
T como uma função de duas variáveis x e y ou T = f(x, y).
O volume V de um cilindro circular depende do seu raio r e
de sua altura h ou V(r, h) = πr2h.
Definição: Uma função f é uma relação que associa um par (x,
y) a um e somente um numero real f(x, y).
Domínio: é o conjunto de pares (x, y) do espaço bidimensional
ℝ2. É escrito por D = {(x, y)| x ∈ Dx, y ∈ Dy).
Imagem: é o conjunto dos pontos obtidos da aplicação de todos
os pontos do domínio.
Gráfico: é obtido efetuando-se as operações da equação
funcional para todos os pontos do domínio.
O conjunto D é o domínio de f e sua imagem é o conjunto
de valores possíveis de f, ou seja, {f(x, y)|(x, y) ∈ D}.
Frequentemente escreve-se z = f(x, y). x e y são variáveis
independentes e z é a variável dependente.
Compare com a notação y = f(x).
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Funções de várias variáveis - Definição
Função com três variáveis, f, é uma regra que associa a cada
tripla ordenada (x, y, z), denotado por f (x, y, z). Domínio D ⊂
ℝ3 um único número real.
A temperatura T em um ponto da superfície terrestre depende
da latitude x e da longitude y do ponto e do tempo t, T = f(x, y,
t).
1. f : ℝ3 → ℝ, (x, y, z) ↦ x2 + 3y + z
D = ℝ3, é uma função real de três variáveis (é também uma
função polinomial).
Visualizar uma função de duas variáveis (diagrama de setas), o
domínio D é representado como um subconjunto do plano xy e a
imagem é um conjunto de números na reta real, mostrado como
um eixo z. Se f (x, y) representa a temperatura em um ponto (x,
y) em uma placa de metal chata com o formato de D, o eixo z é
um termômetro.
Exemplo: Para cada uma das seguintes funções, calcule f(3, 2)
e encontre o domínio.
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Exemplo: Seja f(x, y) = 3x2√y – 1. Determine f(1, 4), f(0, 9), f(t2, t),
f(ab, 9b) e o domínio natural de f. Resp. 5, -1, 3t4√t – 1, 9a2b2√b –
1. Domínio consiste em todos os pontos do plano xy que
estão sobre ou acima do eixo x.
Exemplo: Seja f(x, y, z) = √(1 – x2 – y2 – z2), determine f(0, ½, -1/2).
Resp. √(1/2). Domínio x2 + y2+ z2 = 1.
Exemplo: Seja F(x, y) = 1 + √(4 – y2).
a) Calcule F(3, 1).
b) Determine e esboce o domínio de F. Resp. 1 + √3. Domínio -2
≤ y ≤ 2.
Exemplo: Determine o domínio das funções: 
D = {(x, y)|x + y ≥ 0}
D = {(x, y)|9 – x2 – y2 ≥ 0}
D = {(x, y)|9 – x2 – 9y2 > 0}
*definida para números reais positivos. 
D = {(x, y)|x2 + y2 – 1 ≥ 0 e 4 – x2 – y2 > 0}
D = {(x, y)|y – x2 ≥ 0, x2 + y2 – 4 > 0 e x2 + y2 – 4 ≠0}
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y + x ≥ 0
Exemplo: Índice de sensação térmica. por exemplo, se a
temperatura é de 50ºC e a velocidade do vento é 50 km/h, então
a sensação térmica será f(-5,50) = -15ºC.
Exemplo: Seja C(x, y) = 100 + 2x + 3y a função custo conjunto
para fabricar x unidades de um produto I e y unidades de um
produto II.
a) Qual o custo de fabricação de 10 unidades de I e 20 unidades
de II?
b) Qual o custo fixo?
C) Qual a variação do custo quando se aumentar em 5 unidades
a fabricação do produto l e em 6 unidades a do produto II, a
partir situação do item (a)? Resp. a) 180; b) 100; c) 28.
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Gráficos: Outra forma de visualizar o comportamento de uma
função de duas variáveis é considerar seu gráfico.
Definição: Se f é uma função de duas variáveis com domínio D,
então o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) em
ℝ3 tal que z = f (x, y) e (x, y) pertença a D.
O gráfico de f(x, y) será representado no espaço tridimensional,
de tal forma que a cada par (x, y) do domínio corresponda uma
cota z = f(x, y)
Exemplo: Determinemos o gráfico da função f(x, y) = x + y, cujo
domínio é dado por D = {(0, 0), (1, 0), (2, 0), (0, 1), (1, 1), (2, 1),
(0, 2), (1, 2), (2, 2)}.
Exemplo: Construa o gráfico da função constante f(x, y) = 4,
com domínio D = ℝ2.
Exemplo: Esboce o gráfico da função f (x,
y) = 6 – 3x – 2y. Considere: D = {(0, 0), (2,
0), (0, 3)}
Exemplo: Esboce o gráfico de g(x, y) =
√(9 – x2 – y2) . Considere: {(3, 0), (0, 3),
(0, 0), (0, -3), ( -3, 0)}
Exemplo: Utilize o computador para
traçar o gráfico da função de produção
de Cobb-Douglas P(L, K) = 1,01L0,75K0,25.
mão de obra (L) e capital (K). Considere:
0 ≤ K ≤ 300; 0 ≤ L ≤ 3000.
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Exemplo: A quantidade de luz q (W/m2) interceptada por um
dossel de milho pode ser dada como função da radiação
fotossinteticamente ativa r (PAR) (W/m2) e do índice de área
foliar A (m2): q(r, A) = r(1 – e–0.7A), determine um possível
domínio e o seu gráfico correspondente. Resp. D = {(r, A) ∈
ℝ2| 0 ≤ r ≤ 10, 0,55 ≤ A ≤ 3,72}.
Exemplo: A equação a seguir foi obtida para modelar a produção de
feijão (kg/ha) como função da quantidade de nitrogênio x (kg/ha) e da
quantidade de lamina de água y (mm). Logo:
P(x, y) = 759,29 + 12,771x + 7,96y + 0,0152xy – 0,0913x2 – 0,00854y2.
Considerando x no intervalo 0 ≤ x ≤ 260 (kg/ha) e y, 105 ≤ y ≤ 621
(mm), determine o domínio e o gráfico e calcule a imagem dos pontos
(10, 120) e (150, 550), justificando o seu significado.
Resp. D = {(x, y) ∈ ℝ2| 0 ≤ x ≤ 260, 105 ≤ y ≤ 621}. P(10, 120) =
1728,3 (kg/ha) e P(150, 550) = 2669,34 (kg/ha).
Exemplo: Escobe o gráfico das seguintes funções.
a) f(x, y) = xy com D = {(0, 0), (1, 0), (2, 0), (0, 1), (1, 1), (2, 1), (0,
2), (1, 2), (2, 2)}.
b) a) f(x, y) = 3x com D = {(0, 0), (1, 0), (2, 0), (0, 1), (1, 1), (2, 1), (0,
2), (1, 2), (2, 2)}.
c) f(x, y) = 12 – 3x – 4y, D = ℝ2 com D = {(0, 0), (4, 0), (0, 3), (-4, 0),
(-3, 0)}.
d) f(x, y) = 3 + x – y, D = ℝ2 com D = {(0, 0), (0, 3), (-3, 0)}.
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Curvas de Nível 
Vimos dois métodos diferentes para visualizar funções:
diagramas de flechas e gráficos.
Um terceiro método, emprestado dos cartógrafos, é um mapa de
contorno, em que os pontos com elevações constantes são ligados
para formar curvas de contorno ou curvas de nível.
Definição: As curvas de nível de uma função f de duas
variáveis são aquelas com equação f (x, y) = k, onde k é uma
constante (na imagem de f ).
Mapas topográficos de
regiões montanhosas
Temperaturas médias ao
nível do mar no mês de
janeiro, em graus Celsius.
Curvas de Nível especiais
Definição 1: Dada a função quadrática:
f(x, y) = Ax2 + Bxy +Cy2 +Dx +Ex +F
Sendo A, B e C ≠ 0, as curvas de nível, neste caso, podem ser
elipses, hipérboles, parábolas, retas ou pontos.
i) Se B2 – 4AC < 0, as curvas de nível são elipses;
ii) Se B2 – 4AC> 0, as curvas de nível são hipérboles;
iii) Se B2 – 4AC = 0, as curvas de nível são parábolas.
Definição 2: Dada a função linear:
f(x, y) = Ax + By +C
Sendo A ≠ 0 ou B ≠ 0, as curvas de nível serão retas.
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Curvas de nível geradas por computador juntamente com os
gráficos correspondentes.
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Exemplo: Um mapa de contorno para uma
função f é mostrado na Figura. Use-o para
estimar os valores de f (1, 3) e f (4, 5). Resp.
73 e 56.
Exemplo: Seja f (x, y) = 2x + 3y + 3, então
as suas curvas de nível são as retas: 2x +
3y + 3 = k
As quais têm coeficientes angulares iguais
a -2/3.
As curvas de nível.
Gráfico
Exemplo: Seja f (x, y) = 2x2 + y2, então as curvas de nível de f
(x, y) são dadas por
2x2 + y2 = k, 
onde k ≥ 0. Para k = 0, a curva de nível degenera ao ponto (0, 0),
enquanto que para valores positivos de k temos as elipses.
Exemplo: Seja f (x, y) = x2 – y2. As suas curvas de nível são as
curvas
x2 – y2 = k,
onde k é real. Note que para k = 0, temos as retas y = x e y = –x.
Para valores de k = 0, temos as hipérboles x2 – y2 = k, cujas
assíntotas são as retas y = ±x.
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Exemplo: Esboce a superfície
z = x2 – y 
a partir das suas curvas de nível.
As curvas de nível de z = x2 – y são as parábolas y = x2 – k,
onde k é real. O traço horizontal do gráfico de f no plano z = k é
a parábola y = x2 – k, z = k.
Exemplo: Encontre as superfícies de nível da função.
f (x, y, z) = x2 + y2 + z2
As superfícies de nível são x2 + y2 + z2 = k, onde k ≥ 0. Elas
formam uma família de esferas concêntricas com raio √k.
Exemplo: Um mapa de contorno da pressão atmosférica na
América do Norte é mostrado em 12 de agosto de 2008. Nas curvas
de nível (chamadas isobáricas) a pressão é indicada em milibares
(mb).
(a) Estime a pressão em C (Chicago), N (Nashville), S (São
Francisco) e V (Vancouver).
(b) Em quais desses lugares os ventos eram mais fortes?
Resp. Chicago 1013 mb,
Nashville 1012 mb, São
Francisco 1010 mb e
Vancouver 1017 mb.
b) É mais forte em São
Francisco.
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Exemplo: As curvas de nível (isotérmicas) são mostradas para a
temperatura da água (em °C) em Long Lake (Minnesota) em 1998
como uma função de profundidade e da época do ano. Estime a
temperatura do lago em 9 de junho (dia 160) em uma
profundidade de 10 m e em 29 de junho (dia 180) em uma
profundidade de 5 m.
Resp. Dia 160 aproximado de
11ºC. Dia 180º aproximado de
19,5ºC.
FIM!
REFERÊNCIAS
Ferreira, R. S. Matemática Aplicada às Ciências Agrárias –
Análise de Dados e Modelos. Viçosa: UFV, 2014.
Stewart, J. Cálculo, volume 2. tradução da 7 edição americana.
São Paulo: Cengage Learning, 2013.
Anton, H. Bivnes, I. Davis, S. Cálculo. volume II. 8. ed. – Porto
Alegre: Bookman, 2007.