I - Propriedades das Superfícies Planas - Formulário e Exercícios

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CCE0330 - RES. DOS MATERIAS II 
Rubens Mitri Sydenstricker 
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I – PROPRIEDES DAS DAS SUPERFÍCIES PLANAS 
 
I.1- Momentos estáticos (mx e my) 
- Definição: 
 
 
- Translação dos eixos de referência 
Y
y`
X
A
x`
a
b
 
 
Aamm xx `  (a) 
 
Abmm yy `  (b) (I.2) 
 
OBSERVAÇÃO: 
Se x’ e y’ forem baricêntricos, então 0``  yx mm . Além disso, as 
distâncias a e b passam a ser as coordenadas do baricentro da 
superfície, de forma que as equações (I.3) tomam a forma: 
Y y`
X
A
x`
YG
XG
G
 
Aym Gx  ; Axm Gy  
 
ou ainda: 
 
A
my xG  ; A
m
x yG  (I.3ab) 
 
I.2 – Momentos de inércia 
- Definição: 
Momentos de inércia (Ix e Iy) 
 

A
x dAyI 
2 (a) 
 

A
y dAxI 
2 (b) (I.4) 
Produto de inércia (Ixy) 
 
 
A
xy dAyxI (I.5) 
 
 
Momento polar de inércia (Iz) 
 
 
A
z dArI 
2 (I.6) 
obs: yxz III  (I.7) 
 
X
Y
dA
A
.
r
Z X
Y
x
y
dA
A
 
 
X
Y
x
y
dA
A
 
 

A
x dAym (a) 
 

A
y dAxm (b) (I.1) 
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- Translação dos eixos de inércia 
Y
y`
X
A
x`
a
b
 
 Aaa mII xxx 2
2
``  (a) 
 Abb mII yyy 2
2
``  (b) 
 Abaa mb mII yxxyxy ```  (c) (I.8) 
OBSERVAÇÃO: 
Se x’ e y’ forem baricêntricos, então 0``  yx mm , 
Gya  e Gxb  , e as equações (I.9) e (I.10) 
tomam a forma: 
 
 AyII Gxx 
2
`  (a) 
 AxII Gyy 
2
`  (b) 
 AyxII GGxyxy `  (c) (I.9) 
Y y`
X
A
x`
YG
XG
G
 
 
- Rotação dos eixos de inércia 
)2sin()2cos(22`  xy
yxyx
x I
IIIII 

  (a) 
)2sin()2cos(22`  xy
yxyx
y I
IIIII 

  (b) 
 
)2cos()2sin(2``  xy
yx
yx I
III 

  (c) 
(I.10)
Y
y`
A
x`

 
- Direção dos eixos principais de inércia 
y
Yo
x
Xo
A
G
 
 
 
 
yx
xy
II
I

 2)2tan(  (I.11) 
 
- Momentos principais de inércia 
 
2
2 
22 xy
yxyx
Min
Max I
IIIII 

  (I.12) 
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EExxeerrccíícciiooss:: PPaarraa ccaaddaa uummaa ddaass ffiigguurraass aa sseegguuiirr,, ddeetteerrmmiinnaarr ooss eeiixxooss pprriinncciippaaiiss ddee iinnéérrcciiaa (( ox ee 
oy )),, ooss mmoommeennttooss pprriinncciippaaiiss ddee iinnéérrcciiaa (( oIx ee oIy )) ee oo mmoommeennttoo ppoollaarr ddee iinnéérrcciiaa (( oIz )).. 
 
LLiissttaa ddee eexxeerrccíícciiooss 
LLiivvrroo::RReessiissttêênncciiaa ddooss 
MMaatteerriiaaiiss 
RR..CC.. HHiibbbbeelleerr,, 77ªª eeddiiççããoo 
 
EExxeemmppllooss:: AA..11 aa AA..66-- ppgg 
556699 aa 557777 
 
 
PPrroobblleemmaass:: AA..11 aa AA..1177 –– ppgg 
557788 aa 558811