Aula 02 –Propriedades geométricas de superfícies planas

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CCE0330 – Resistência dos Materiais II
Aula 02 – Propriedades geométricas de superfícies planas
CCE0330 – Resistência dos Materiais II
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Torção
- momento torsor
- hipóteses básicas
- Formula de torção para seções circulares ou tubulares
- Dimensionamento de barras sujeitas a torção
- ângulo de torção
- Tensões de cisalhamento em regime inelástico
- Barras de seção não circular maciças
- Barras de paredes esbeltas
Flexão 
- tipos de flexão;
- equações de equilíbrio entre momentos e cortantes;
- flexão pura reta;
- distribuição de tensões em função da curvatura;
- posição da linha neutra;
- distribuição de tensões em função do momento;
- determinação de tensões máximas e mínimas, módulo de 
resistência;
- material elasto-plástico perfeito;
- momento elástico máximo;
- momento último;
Cisalhamento na flexão
- tensões de cisalhamento obtidas pela variação de 
momento;
- fluxo de cisalhamento; 
- distribuição de tensões de cisalhamento para vigas com 
seções simples
- limitações para a formulação de cisalhamento 
- distribuição de tensões de cisalhamento para vigas seções 
com seções compostas
- centro de cisalhamento
Colunas
- estabilidade do equilíbrio
- formula de euler para diferentes condições de extremidade
- Determinação de carga crítica de colunas
Propriedades geométricas de superfícies planas;
- momento estático (ou de 1ª ordem);
- translação de eixos para momentos estáticos;
- determinação do baricentro;
- significado do momento do momento estático;
- momentos de inércia;
- momento de inércia (ou de 2ª ordem); 
- momento polar de inércia;
- produto de inércia;
- translação de eixos para momentos de inércia;
- rotação dos eixos de inércia;
- eixos e momentos principais de inércia.
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CCE0330 – Resistência dos Materiais II
• Em RESMAT I foram estudadas as barras 
sujeitas à tração, compressão e corte. 
• Agora as mesmas barras submetidas a: 
torção, flexão simples e flexão composta. 
• Também será estudado a flambagem, 
barras sujeitas a compressões excessivas, 
podem entrar em um processo de 
instabilidade estrutural.
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CCE0330 – Resistência dos Materiais II
• No processo de projeto de Engenharia Estrutural, um dos maiores desafios 
é especificar a geometria adequada para a seção transversal da barra 
estudada, sendo ela uma viga, um pilar, uma barra de treliça ou um 
componente mecânico de um equipamento.
• Em alguns casos, como nos elementos de aço ou madeira, o último passo é 
especificar a seção transversal adequada para cada barra.
• Nas estruturas de concreto armado e protendido o processo continua além 
da determinação da seção, pois há a necessidade de se calcular a armação.
• Para que se decida tanto a forma quanto as dimensões adequadas a uma 
barra, torna-se necessário conhecer a influência das propriedades 
geométricas da seção no seu comportamento.
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CCE0330 – Resistência dos Materiais II
• Para responder definir a forma e as dimensões passamos 
pelo estudo das propriedades geométricas das áreas:
• Momento estático;
• Centro geométrico (centroide);
• Momento de inércia. 
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Momento Estático
• O momento de uma força, em relação a um ponto ou eixo, 
é o produto da força pelo braço de alavanca.
• De forma similar, podemos entender o momento estático 
de uma área como o produto entre o valor da área e a 
distância do centroide da área considerada até o eixo de 
referência que escolhemos para determinar o momento 
estático.
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OBS: O produto de uma área por uma 
distância nos leva a uma unidade para o 
momento estático que é o cubo do 
comprimento, embora não se trate de um 
volume. Ex: dimensões em cm -> cm3
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Momento Estático
• Considere uma superfície plana de área A e dois eixos ortogonais x e y de seu plano. 
• Seja dA um elemento diferencial de área da superfície, o qual está genericamente posicionado com 
relação ao sistema de referência adotado.
• Define-se o momento estático de um elemento de área dA com relação aos eixos x e y, respectivamente, 
como: 
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Momento Estático
• O momento estático ou momento de primeira ordem da área A com relação aos eixos x
e y, são obtidos somando-se a contribuição dos momentos estáticos de cada elemento 
diferencial dA da seção. 
• Os momentos estáticos são dados pelas seguintes integrais:
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!"# = %& '. )& !"' = %& #. )&
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Momento Estático - Exemplo
• Seja um retângulo genérico de base b e altura h. 
• Determinar os momentos estáticos do retângulo 
em relação ao eixo x e em relação ao eixo y. 
• A área b.dy para o cálculo de Msx :
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!" = $. !&!'() = &. $. !&⋮'() = +, &. !" = +, $. &. !& = -$. &.2 ℎ0'() = $. ℎ.2 +&. !& = &.2 + 3
Momento Estático - Exemplo
• Seja um retângulo genérico de base b e altura h. 
• Determinar os momentos estáticos do retângulo 
em relação ao eixo x e em relação ao eixo y. 
• A área b.dy para o cálculo de Msx :
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!" = $. !&!'() = &. $. !&⋮'() = +, &. !" = +, $. &. !& = -$. &.2 ℎ0'() = $. ℎ.2 +&. !& = &.2 + 3
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Momento Estático - Exemplo
• Seja um retângulo genérico de base b e altura h. 
• Determinar os momentos estáticos do retângulo 
em relação ao eixo x e em relação ao eixo y. 
• A área h.dx para o cálculo de Msy:
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!" = ℎ. !&!'() = &. ℎ. !&⋮'() = +, &. !" = +, ℎ. &. !& = -ℎ. &.2 00'() = ℎ. 0.2 +&. !& = &.2 + 3
Momento Estático - Exemplo
• Determinação dos momentos estáticos de uma seção 
não retangular.
• Cálculo do Momento Estático (Msx) para o caso de 
uma seção trapezoidal, com uma base b1 e outra b2, 
conforme a figura.
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• Como a base b varia ao longo da altura de um valor b1 até um valor b2, é 
preciso construir matematicamente esta variação:
• Para !" = 0 …& = &'" = ℎ …& = &)
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Momento Estático - Exemplo
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• A função que representa a largura do trapézio ao 
longo de sua altura será:! " = !$ − variação ao longo da altura
• A variação ao longo da altura vale a diferença 
entre b1 e b2 para a altura h:!$ − !&ℎ
• Assim, a largura do trapézio em qualquer ponto 
será: ! " = !$ − !$ − !&ℎ . "
Momento Estático - Exemplo
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• dA = $. &$
• &' = ( $ . &$
• &' = () − +,-+./ . $ . &$
• 012 = ∫4 $. &$ = ∫5/ $. () − +,-+./ . $ . &$
• 012 = ∫5/ (). $ − +,-+./ . $6. &$ = 7(). $6 − +,-+./ . 89: ℎ0
• 012 = +,6 . ℎ6 − +,-+./ . /9: = +,6 . ℎ6 − +,-+.: . ℎ6 = ℎ6. +,6 − +,-+.: = ℎ6. :+,= − 6+,= + 6+.=
• ?@A = BCDEBEF . GE
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Momento Estático - Exemplo
• Seção em forma de I composta por 3 retângulos:
• Momento estático do retângulo: !"# = %.'()
• Da mesma forma que utilizamos o recurso da 
integral para somar as contribuições dos 
elementos infinitesimais, podemos somar os 
momentos das figuras conhecidas, que são os 3 
retângulos.
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!"# = *+. ℎ+. ℎ+2 + *). ℎ). ℎ+ + ℎ)2 + *+. ℎ+. ℎ+ + ℎ) + ℎ+2
Eixo de referência
• A posição do eixo de referência 
influencia no cálculo do 
momento estático.
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Figuras ou trechos de figuras posicionadasno: 
• 1º quadrante: momentos estáticos positivos porque as 
distâncias medidas até as áreas serão positivas;
• 2º quadrante: valores positivos para distâncias verticais e 
negativos para as horizontais, gerando momentos estáticos 
positivos em relação ao eixo X e negativos em relação ao eixo Y;
• 3º quadrante: valores negativos para distâncias verticais e 
horizontais causando momentos estáticos negativos em relação 
aos eixo X e Y;
• 4º quadrante: valores negativos para distâncias verticais e 
positivos para os horizontais causando momentos estáticos 
negativos em relação ao eixo X e positivos em relação ao eixo Y.
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Centro Geométrico (Centroide)
• Na seção anterior, foi vista a forma de 
se determinar o momento estático de 
uma figura plana genérica, em relação a 
eixos referenciais, que podem ser 
posicionados em qualquer lugar.
• O que aconteceria se houvesse 2 áreas 
posicionadas de forma simétrica, em 
relação ao eixo de referência, conforme 
a figura a seguir?
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Centro Geométrico (Centroide)
• O momento estático de cada área dA, em relação 
ao eixo de referência, pode ser obtido pelo 
produto d.dA. 
• Mas, se entendermos que a distância superior é 
positiva e a inferior é negativa, o momento de 
uma anula o da outra.
• Portanto, o momento estático seria nulo.
• Essa ideia leva ao entendimento do que 
representa o centro geométrico de uma figura 
plana.
• Cada figura plana possui um único centro 
geométrico
• O momento estático da figura, se calculado em 
relação a eixos referenciais posicionados neste 
ponto, será nulo.
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Centro Geométrico (Centroide)
• Dessa forma, calculando o momento estático de uma figura, em relação a 
um eixo de referência, pode-se facilmente determinar seu centro 
geométrico.
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Centro Geométrico (Centroide)
• Momento estático pode ser calculado da seguinte forma:
• Portanto, podemos igualar os momentos estáticos calculados ao 
produto da área pelo centro geométrico conforme a seguir:
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!"# = %& '. )& !"' = %& #. )&
!"# = %& '. )& = *'. )& = *'. %& )& !"' = %& #. )& = *#. )& = *#. %& )&
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Centro Geométrico (Centroide)
• Uma vez que esse item tem como objetivo a determinação da 
localização do centro geométrico de uma figura genérica, pode-se 
dizer que:
• Portanto, o centro geométrico de uma figura pode ser obtido 
dividindo-se o momento estático pela área da figura.
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!" = ∫% &. (%∫% (% !& = ∫% ". (%∫% (%
Centro Geométrico (Centroide)
Exemplo: Verificar que o centro geométrico 
de um triângulo fica realmente posicionado 
a 1/3 da altura.
• A solução do problema parte da definição 
da função que determina a largura de dA
ao longo da altura do triângulo. 
• A largura varia de b até zero ao longo da 
altura h.
• Portanto, a função será: ! " = ! − %& . "
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Centro Geométrico (Centroide)
• Cálculo do momento estático em relação ao eixo X:
• !"# = ∫& '. )* = ∫+, '. - − /, . ' . )'
• !"# = ∫0, -. ' − /, . '1. )' = 2/.341 − /, . 356 ℎ8
• !"# = /.,41 − /, . ,56 = /.,41 − /.,46 = 6./.,491./.,4:
• ;<= = >.?@A
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Centro Geométrico (Centroide)
• Cálculo de (!" ):
• !" = ∫% &.(%∫% (%
• !" = ).*+,).*+ = ).*+, . +).*
• !" = *-
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• Para situações onde a figura geométrica é 
formada pela composição de figuras 
conhecidas, pode-se utilizar o mesmo 
raciocínio, somando os efeitos de cada figura 
que participa da composição.
• !& = ∑ !&.%∑ % 0̅ = ∑1×31454
• !" = ∑ !".%∑ % 67 = ∑1×31454
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Centro Geométrico (Centroide) - Exemplo
• Localize o centroide da figura:
• !" = ∑ !".&∑ &
• !" = '()** = +, -*- ./
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Momento de Inércia
• O momento de inércia representa a inércia 
(resistência) associada à tentativa de giro de uma 
área, em torno de um eixo, e pode ser 
representado numericamente através do produto 
da área pelo quadrado da distância entre a área e 
o eixo de referência.
• Portanto, a diferença entre o momento estático e 
o momento de inércia é que, no momento de 
inércia, a área é multiplicada pelo quadrado da 
distância e não simplesmente pela distância 
como já vimos.
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Quanto mais distante a área estiver 
do eixo de rotação, maior resistência 
ela oferece ao giro. 
Por essa razão, a patinadora, ao 
encolher os braços, durante o 
movimento de giro, aumenta a 
velocidade de rotação.
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Momento de Inércia
• Dessa forma, podemos escrever diretamente as equações para o momento 
de inércia:
!"" = $% &'. )% !&& = $% "'. )% *+
• Portanto, a diferença entre o momento estático e o momento de inércia é 
que, no momento de inércia, a área é multiplicada pelo quadrado da 
distância e não simplesmente pela distância como já vimos.
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Momento de Inércia - Exemplo
• Determinação do momento de inércia de 
um retângulo:
• !"" = ∫%&. () = ∫*+,+, %&. -. (% = ./.012 3&− 3&
• !"" = -. 52 . 3& 2 − -. 52 . *3& 2
• !"" = /.31&6 + /.31&6 = &./.31&6 = /.315&
• !00 = 3./15&
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Propriedades de áreas planas
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Teorema de Steiner ou eixos paralelos
• O teorema dos Eixos Paralelos 
determina que o momento de 
inércia I, de uma área relativamente 
a um eixo arbitrário AA’, é igual ao 
momento de inércia I, segundo o 
eixo que passa no centroide da área 
(BB’) mais o produto da área pelo 
quadrado da distância entre eixos.!""# = !%%# + "×()
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Teorema de Steiner - Exemplo
• Determine o momento de inércia da figura de áreas compostas, e 
determine a altura do centroide, já que a figura é simétrica se 
considerarmos um eixo vertical no centro da peça.
• Centroide: !" = ∑%×'%()(!" = (3 × 8) × 10 + 1,5 + (2 × 10) × 53×8 + 2×10 = 37644 = 8,55 78
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• Teo. Steiner:9: = ;.=>?@ 9%%A = 9BBA + C×D@9: = 8 × 3E12 + (3×8)×(11,5 − 8,55) @ + 2 × 10E12 + (2×10)×(5 − 8,55)@ = 645 78G
d1
d2
Exercício - Determine o centroide (!", $") e momento de inércia 
(%& ' %() da peça composta.
• Centroide:
• !̅ = +×-. ×+ / 0.×- ×+ /[(+×-.)×+]+./0./+.
• !̅ = 0+./-../0+.-0. = 5..-0. = 5 78
• 9$ = +×-. ×0,+ / 0.×- ×-+ /[(+×-.)×0:,+]+./0./+.
• 9$ = -0+/;../-;:+-0. = -<..-0. = 15 78
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10 cm
5 cm
5 cm
20 cm
1 cm
Y
X
C
B
A
X
X
X
A B C
Área 5x10 = 50 cm2 20x1 = 20 cm2 5x10 = 50 cm2
(XG,YG) (5 ; 2,5) (5 ; 15) (5 ; 27,5)
XG YG
5 cm 15 cm
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Exercício - Determine o centroide (!", $") e momento de inércia 
(%& ' %() da peça composta.
• Momento de Inércia
• %& = %&* + ,×./
• %& = 01.340/ + 50× 2,5 − 15 / +⋯…+ 1.20<12 + 20× 15 − 15 / +⋯…+ 10.5<12 + 50× 27,5 − 15 /
• %& = 7916,67 + 666,67 + 7916,67 = 16500 @AB
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10 cm
5 cm
5 cm
20 cm
1 cm
Y
X
C
B
A
X
X
X
A B C
Área 50 cm2 20 cm2 50 cm2
(XG,YG) (5 ; 2,5) (5 ; 15) (5 ; 27,5)
XG YG
5 cm 15 cm
Exercício - Determine o centroide (!", $") e momento de inércia 
(%&' %() da peça composta.
• Momento de Inércia
• %( = %(* + ,×./
• %( = 0.2342/ + 50× 5 − 5 / +⋯…+ 20.1<12 + 20× 5 − 5 / +⋯…+ 5.10<12 + 50× 5 − 5 /
• %( = 416,67 + 1,67 + 416,67 = 835 BCD
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10 cm
5 cm
5 cm
20 cm
1 cm
Y
X
C
B
A
X
X
X
A B C
Área 50 cm2 20 cm2 50 cm2
(XG,YG) (5 ; 2,5) (5 ; 15) (5 ; 27,5)
FIM
XG YG
5 cm 15 cm