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Universidade de Bras´ılia Departamento de Matema´tica Ca´lculo 1 Lista de Fixac¸a˜o – Semana 1 Temas abordados : Func¸o˜es Sec¸o˜es do livro: 1.1; 1.2; 1.5; 1.6 1) Sejam x, y ∈ R tais que x = y e considere a seguinte sequeˆncia de passos x2 = yx x2 − y2 = yx− y2 (x− y)(x+ y) = y(x− y) x+ y = y 2y = y 2 = 1. Uma vez que 2 6= 1, em alguma das passagens acima existe um erro. Identifique essa passagem e explique qual foi o erro cometido. 2) A func¸a˜o mo´dulo e´ definida, para todo x ∈ R, como sendo |x| = { x se x ≥ 0 −x se x < 0. Marcando o ponto x na reta real, o mo´dulo de x e´ exatamente a distaˆncia desse ponto ate´ o ponto 0. Utilizando a definic¸a˜o acima descreva o conjunto dos valores x que satisfazem as seguintes igualdades. (a) |2x+ 5| = 4 (b) |x− 3| = |2x+ 1| 3) Repita o exerc´ıcio acima considerando agora as seguintes desigualdades (a) |3x− 8| < 4 (b) |x+ 3| ≥ 2 4) Determine o domı´nio de cada uma das func¸o˜es abaixo. (a) f(x) = 3x+ 4 x2 − x− 2 (b) g(x) = |x2 − 1| 3 √ x+ 1 (c) h(x) = √|x| − x (d) r(x) = x√|x| − 1 (e) p(x) =√1−√1− x2 5) Em cada um dos itens abaixo, encontre a equac¸a˜o da reta que satisfaz as exigeˆncias apresentadas. (a) passa pelos pontos (3, 4) e (−2, 5) (b) passa pelo ponto (−1, 3) e tem inclinac¸a˜o igual a −1 (c) passa pelo ponto (5,−1) e e´ paralela a` reta 2x+ 5y = 15 (d) passa pelo ponto (0, 1) e e´ perpendicular a` reta 8x− 13y = 13 Lista de Fixac¸a˜o da Semana 1 - Pa´gina 1 de 10 6) Considere a func¸a˜o linear f(x) = 2x + 1 e δ > 0 um nu´mero dado. Verifique que, se |x− 1| < δ, enta˜o |f(x)− f(1)| < 2δ. 7) Considere a func¸a˜o linear f(x) = −3x + 4 e ε > 0 um nu´mero dado. Verifique que |f(x)− f(0)| < ε, sempre que |x− 0| < ε/3. 8) Para cada uma das func¸o˜es abaixo, determine os intervalos no qual a func¸a˜o dada e´ positiva e aqueles onde ela e´ negativa. (a) s(t) = (2t− 3)(t+ 1)(2− t) (b) m(y) = y(1− 2y) y + 1 9) Considerando f(x) = 2x2 − 8 e g(x) = 2/(x− 7), determine o domı´nio e a expressa˜o de cada uma das func¸o˜es abaixo. (a) (f + g)(x) (b) (f · g)(x) (c) ( f g ) (x) (d) ( g f ) (x) (e) (f ◦ g)(x) = f(g(x)) (f) (g ◦ f)(x) = g(f(x)) 10) Considerando f(x) = (4− x)/x, determine a expressa˜o de cada uma das func¸o˜es abaixo. (a) f ( 1 x ) − 1 f(x) (b) f(x2)− f(x)2 (c) f(f(x)) 11) Dadas f(x) = { −x se x < 0 x2 se x ≥ 0 e g(x) = { 1/x se x < 0√ x se x ≥ 0 , determine (a) (f ◦ g)(x) (b) (g ◦ f)(x) 12) Denotando por x e y os lados de um retaˆngulo cujo per´ımetro e´ igual a 100, determine o domı´nio e a expressa˜o da func¸a˜o d(x) que fornece o comprimento da diagonal do retaˆngulo em func¸a˜o de x. 13) A partir de uma cartolina medindo 14× 22 vamos construir uma caixa sem tampa como segue: recortamos quadrados de lado x em cada um dos ve´rtices da cartolina e dobramos as abas. Determine a expressa˜o e o domı´nio da func¸a˜o V (x) que fornece o volume da caixa em func¸a˜o de x. 14) Sejam x, y e z os lados de um triaˆngulo retaˆngulo, onde x e´ a hipotenusa. Suponha que o triaˆngulo tem per´ımetro igual a 6. Determine a expressa˜o da func¸a˜o A(x) que fornece a a´rea do triaˆngulo em func¸a˜o de x. Dica: eleve os dois lados da igualdade y + z = 6− x ao quadrado. 15) Um grama de gelo, inicialmente a −40oC, e´ posto em uma fonte de calor. Neste expe- rimento, observa-se a menor quantidade de calor absorvido Q(T ), em calorias, para que a amostra atinja temperatura T , em oC. Sabe-se que a cada 1 cal, o gelo aumenta sua temperatura em 2oC. Quando atinge 0oC, sa˜o necessa´rias mais 80 cal para o derretimento total (que ocorre sob temperatura constante). Depois de liquefeita, a a´gua necessita de 1 cal para aumentar sua temperatura em 1oC. (a) Calcule Q(−40), Q(−38), Q(0), Q(1) e Q(2). (b) Determine a expressa˜o de Q(T ), para T ∈ [−40, 80]. Lista de Fixac¸a˜o da Semana 1 - Pa´gina 2 de 10 RESPOSTAS 1) Na quarta passagem o termo (x− y) na˜o pode ser ”cancelado”por ser igual a zero. 2) (a) x ∈ {−9 2 ,−1 2 } (b) x ∈ {−4, 2 3 } 3) (a) x ∈ (4 3 , 4) (b) x ∈ (−∞,−5] ∪ [−1,+∞) 4) (a) R \ {−1, 2} (b) R \ {−1} (c) R (d) (−∞,−1) ∪ (1,+∞) (e) [−1, 1] 5) (a) y = −1 5 x+ 23 5 (b) y = −x+ 2 (c) y = −2 5 x+ 1 (d) y = −13 8 x+ 1 6) |f(x)− f(1)| = |(2x+ 1)− (2 · 1 + 1)| = |2x− 2| = 2|x− 1| < 2δ 7) |f(x)− f(0)| = |(−3x+ 4)− (−3 · 0 + 4)| = | − 3x| = 3|x| < 3 · ε 3 = ε 8) (a) positiva em (−∞,−1) ∪ (3 2 , 2 ) , negativa em (−1, 3 2 ) ∪ (2,+∞) (b) positiva em (−∞,−1) ∪ (0, 1 2 ) , negativa em (−1, 0) ∪ (1 2 ,+∞) 9) (a) 2x2 − 8 + 2 (x− 7), para x 6= 7 (b) 4x2 − 16) (x− 7) , para x 6= 7 (c) (x2 − 4)(x− 7), para x ∈ R (d) 1 (x− 7)(x2 − 4), para x 6∈ {−2, 2, 7} (e) 8 (x− 7)2 − 8, para x 6= 7 (f) 2 2x2 − 15, para x 6= ± √ 15/2 10) (a) −4(x2 − 4x+ 1) 4− x (b) −2(x2 − 4x+ 6) x2 (c) 5x− 4 4− x 11) (a) (f ◦ g)(x) = { −1/x se x < 0 x se x ≥ 0 (b) (g ◦ f)(x) = { √−x se x < 0 x se x ≥ 0 12) d(x) = √ x2 + (50− x)2, x ∈ (0, 50) 13) V (x) = x(22− 2x)(14− 2x), x ∈ (0, 7) 14) A(x) = 9− 3x 15) (a) Q(−40) = 0, Q(−38) = 1, Q(0) = 20, Q(1) = 101, Q(2) = 102 (b) Q(T ) = { (T/2) + 20 se T ∈ [−40, 0] T + 100 se T ∈ (0, 80] Lista de Fixac¸a˜o da Semana 1 - Pa´gina 3 de 10 Universidade de Bras´ılia Departamento de Matema´tica Ca´lculo 1 Lista de Fixac¸a˜o – Semana 2 Temas abordados : Limites no ponto (conceito intuitivo e formal) Sec¸o˜es do livro: 2.1; 2.2; 2.3 1) Calcule os limites abaixo. a) lim x→1 (−3x2 + 3x+ 5) b) lim s→0 √ 2s2 + 3s− 4 4s− 4 c) lim x→−1 |x− 1| x− 1 d) limx→1 |x− 1| x− 1 e) lim z→0 z2 + 2z z f) lim x→9 2 √ x− 6 x− 9 g) lim z→1 |z − 1|(z − 2) h) lim x→7 5−√4 + 3x 7− x i) lim x→4 x2 + 2x− 8 2x− 8 j) limt→2 t3 − 8 t− 2 k) lim x→2 2x2 − 6x+ 4 2− x l) limx→1+ x2 − 5x+ 4 |x− 1| 2) Calcule os limites abaixo. a) lim x→0 sen(6x) 2x b) lim x→0 sen(5x) sen(9x) c) lim x→0 1− cos(x) 2x d) lim x→0 1− cos(x) x2 e) lim x→0 x sen(x) 1− cos(x) f) limh→0 sen(a+ h)− sen(a) h 3) Deˆ um exemplo de uma func¸a˜o f para a qual o limite lim x→0 |f(x)| existe, mas na˜o existe lim x→0 f(x). 4) Suponha f(x) > 0 para todo x 6= 2 e f(2) = −3. Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmac¸o˜es abaixo, justificando caso ela seja verdadeira ou apresentando um contra-exemplo caso seja falsa. a) lim x→2 f(x) na˜o existe b) lim x→2 f(x) = −3 c) Se existir, lim x→2 f(x) e´ positivo. 5) Dadas f(x) = { x2 + 3 se x ≤ 1, x+ 1 se x > 1, e g(x) = { x2 se x ≤ 1, 2 se x > 1, resolva os itens abaixo. a) Esboce os gra´ficos de f e g. b) Calcule lim x→1 f(x) e lim x→1 g(x). c) Deˆ a expressa˜o de h(x) = f(x)g(x) e verifique se existe lim x→1 h(x). Lista de Fixac¸a˜o da Semana 2 - Pa´gina 4 de 10 RESPOSTAS 1) a) 5 b) 1 c) −1 d) na˜o existe e) 2 f) 1/3 g) 0 h) 3/10 i) na˜o existe j) 12 k) −2 l) −3 2) a) 3 b) 5/9 c) 0 d) 1/2 e) 2 f) cos(a) 3) Um exemplo e´ f(x) = { 1 se x < 0 −1 se x ≥ 0 4) Todas as afirmac¸o˜es sa˜o falsas. Para os dois primeiros itens um poss´ıvel contra-exemplo e´ a func¸a˜o f(x) = { 1 se x 6= 2 −3 se x = 2 . Para o terceiro f(x) = { |x− 2| se x 6= 2 −3 se x = 2 5) b) os limites na˜o existem, visto que nos dois casos os limites laterais no ponto x = 1, apesar de existirem, sa˜o diferentes. c) h(x) = { x4 + 3x2 se x ≤ 1 2x+ 2 se x > 1 , de modo que lim x→1 h(x) = 4. Lista de Fixac¸a˜o da Semana 2 - Pa´gina 5 de 10 Universidade de Bras´ılia Departamento de Matema´tica Ca´lculo 1 Lista de Fixac¸a˜o – Semana 3 Temas abordados : Limites laterais e limites que envolvem o infinito; Ass´ıntotas Sec¸o˜es do livro: 2.4; 2.5 1) Calcule oslimites abaixo. a) lim x→−∞ (3x3 − 4) b) lim x→+∞ 5− 4x 2x− 3 c) limx→+∞ x2 + 4 8x3 − 1 d) lim x→+∞ x2 + 4 x− 1 e) limx→±∞ √ x2 − 2x+ 2 x+ 1 f) lim x→−∞ x+ 3 √ x x2 + 1 g) lim x→−∞ 3 √ 2 + 3 x h) lim x→+∞ cos(x) i) lim x→+∞ x+ sen3(x) 5x+ 6 j) lim x→−∞ x2(1 + sen2(x)) (x+ sen(x))2 k) lim x→+∞ ( √ x2 − 1− x) l) lim x→+∞ x( √ x2 − 1− x) 2) Calcule os limites abaixo. a) lim x→3− 1 x− 3 b) limx→3+ 1 x− 3 c) lim x→3+ 1 (x− 3)2 d) limx→−1− ( 3 x+ 1 − 5 x2 − 1 ) e) lim x→5− √ 25− x2 x− 5 f) limx→3+ x2 − 2x+ 4 2x− 6 3) Determine as ass´ıntotas horizontais e verticais de cada uma das func¸o˜es abaixo. a) g(x) = 2x2 + 1 2x2 − 3x b) f(x) = 2x√ x2 + 4 c) f(x) = |x− 2| x− 2 d) f(x) = x√ x2 − 4 e) f(x) = x+ sen(x) f) f(x) = x+ 1 3 √ x , se x < 0 x− 4√ x− 2 se x ≥ 0, x 6= 4 RESPOSTAS 1) a) −∞ b) −2 c) 0 d) +∞ e) { 1 se x→ +∞ −1 se x→ −∞ f) 0 g) 3 √ 2 h) na˜o existe i) 1/5 j) na˜o existe k) 0 l)−1/2 2) a) −∞ b) +∞ c) +∞ d) −∞ e) −∞ f) +∞ 3) a) Verticais: x = 0 e x = 3/2, Horizontais: y = 1 b) Verticais: na˜o existem, Horizontais: y = 2 e y = −2 c) Verticais: na˜o existem, Horizontais: y = −1 e y = 1 d) Verticais: x = −2 e x = 2, Horizontais: y = −1 e y = 1 e) Verticais: na˜o existem, Horizontais: na˜o existem f) Verticais: x = 0, Horizontais: na˜o existem Lista de Fixac¸a˜o da Semana 3 - Pa´gina 6 de 10 Universidade de Bras´ılia Departamento de Matema´tica Ca´lculo 1 Lista de Fixac¸a˜o – Semana 4 Temas abordados : Continuidade; Reta tangente Sec¸o˜es do livro: 2.6; 2.7 1) Explique o que significa dizer que uma func¸a˜o f e´ cont´ınua no ponto x = x0. 2) Sabe-se que limx→2 f(x) = 5 e f esta´ definida em R. Todas as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o falsas. Desenhe um contra-exemplo para cada uma delas. a) f(x) > 0 para x ∈ (1, 3) b) f(2) = 5 c) f(2) e´ positivo 3) Suponha que x2 cos2(x) ≤ f(x) ≤ x sen(x), para todo x ∈ (−pi/2, pi/2). Verifique que f e´ cont´ınua em x = 0. 4) Para cada uma das func¸o˜es f abaixo, verifique se existe uma func¸a˜o cont´ınua F : R→ R tal que F (x) = f(x) para todo x ∈ Dom(f). Em caso afirmativo, determine F (x), em caso negativo, explique porque tal func¸a˜o na˜o pode existir. a) f(x) = |x| x b) f(x) = x2 − 4 x− 2 5) Decida se a func¸a˜o f(x) = { x3 cos(1/x) se x 6= 0, 1 se x = 0, e´ cont´ınua em x = 0. 6) Decida se a func¸a˜o func¸a˜o g(x) = √ x− 1 x− 1 se x 6= 1, 1/2 se x = 1, e´ cont´ınua em x = 1. 7) Determine a ∈ R tal que a func¸a˜o f(x) = { 1 + ax se x ≤ 0, x4 + 2a se x > 0, seja cont´ınua em x = 0. 8) Determine a, b ∈ R tal que a func¸a˜o f(x) = − √ 2− x se x < 1, ax+ b se 1 ≤ x < 2, |x2 − 7x+ 12| se x ≥ 2, , seja cont´ınua. 9) Seja f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d, onde a > 0 e b, c, d ∈ R sa˜o dados. Mostre que f possui pelo menos uma ra´ız. 10) Para cada func¸a˜o abaixo determine um intervalo de comprimento 1 que possua pelo menos uma ra´ız da func¸a˜o. a) f(x) = x3 + x− 1 b) g(x) = x3 + 3x− 5 c) h(x) = 1 + x cos (pix 2 ) 11) Verifique que existe x ∈ R tal que sen(x) = x− 1. 12) Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (x0, f(x0)) em cada um dos casos abaixo. a) f(x) = x2 − x+ 1, x0 = 1 b) f(x) = 1/x, x0 = −2 c) f(x) = √ x, x0 = 4 d) f(x) = 1/ √ x, x0 = 1 Lista de Fixac¸a˜o da Semana 4 - Pa´gina 7 de 10 RESPOSTAS 1) A func¸a˜o f e´ cont´ınua no ponto x = x0 se lim x→x0 f(x) = f(x0). Desse modo, o ponto x0 tem que estar no domı´nio de f , o limite nesse ponto deve existir e coincidir com o valor da func¸a˜o no ponto. 2) 3) Fazendo x = 0 conclu´ımos que f(0) = 0. Ale´m disso, como lim x→0 x2 cos2(x) = 0 = lim x→0 x sen(x), segue do Teorema do Sandu´ıche que lim x→0 f(x) = 0. 4) a) Na˜o, pois na˜o existe o limite lim x→0 f(x). Esse u´ltimo na˜o existe porque os limites laterais, apesar de existirem, sa˜o diferentes. b) F (x) = x+ 2 5) Na˜o, pois lim x→0 f(x) = lim x→0 x3 cos(1/x) = 0 6= 1 = f(0). 6) Sim, pois lim x→1 g(x) = lim x→1 √ x− 1 ( √ x− 1)(√x+ 1) = 1 2 = f(1). 7) a = 1/2 8) a = 3, b = −4 9) Calcule os limites no infinito da func¸a˜o e use o Teorema do Valor Intermedia´rio (TVI). 10) a) f(0) = −1 < 0 < 1 = f(1). Como f e´ cont´ınua em [0, 1] segue do TVI que existe c ∈ [0, 1] tal que f(c) = 0 b) [1, 2] c) [1 2 , 3 2 ] 11) Use o TVI para obter uma ra´ız da func¸a˜o h(x) = x− 1− sen(x). 12) a) y = x b) y = −1 4 x− 1 c) y = 1 4 x+ 1 d) y = −1 2 x+ 3 2 Lista de Fixac¸a˜o da Semana 4 - Pa´gina 8 de 10 Universidade de Bras´ılia Departamento de Matema´tica Ca´lculo 1 Lista de Fixac¸a˜o – Semana 5 Temas abordados : Regras de derivac¸a˜o; Derivadas de func¸o˜es trigonome´tricas Sec¸o˜es do livro: 3.1; 3.2; 3.3; 3.4 1) Defina o conceito de derivada de uma func¸a˜o f no ponto x = x0. 2) Usando a definic¸a˜o calcule a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo. a) f(x) = x2 − x+ 1 b) f(x) = 1/x c) f(x) = √ x d) f(x) = 1/ √ x 3) Quantas retas tangentes ao gra´fico de f(x) = x3 + 3x sa˜o paralelas a` reta y = 6x + 1? Determine a equac¸a˜o dessas retas tangentes. 4) Usando as regras de derivac¸a˜o e lembrando que ( sen(x))′ = cos(x) e (cos(x))′ = − sen(x), calcule a derivada das func¸o˜es trigonome´tricas abaixo. a) tan(x) = sen(x) cos(x) b) sec(x) = 1 cos(x) c) csc(x) = 1 sen(x) d) cot(x) = cos(x) sen(x) Em seguida, determine as ass´ıntotas verticais de cada uma dessas func¸o˜es. 5) Calcule a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo. a) f(x) = 3x4 − 7x2 + 5x− 11 b) f(x) = 2x+ 3 x2 − 1 c) f(x) = √ x x2 − 2x d) f(x) = √ x sec(x) e) f(x) = 3 √ x+ 4 x f) f(x) = cos(x) + (x2 + 1) sen(x) 6) Uma part´ıcula de move sobre uma linha reta de acordo com a equac¸a˜o s = √ t, sendo s a distaˆncia (em metros) da part´ıcula ao seu ponto de partida, t > 0 segundo apo´s a partida. a) Calcule a velocidade me´dia da part´ıcula entre os instantes t = 9 e t = 16; b) Calcule a velocidade instantaˆnea da part´ıcula quando t = 9. 7) Calcule a taxa de variac¸a˜o do volume de um bala˜o esfe´rico em relac¸a˜o ao seu raio, quando o raio do bala˜o for igual a 5 cm. 8) Um proje´til e´ lanc¸ado verticalmente para cima e t > 0 segundo apo´s o lanc¸amento esta´ a s metros do solo, onde s(t) = 256t− 16t2. Calcule a) a velocidade do proje´til t segundos apo´s o lanc¸amento; b) o tempo necessa´rio que a altura ma´xima seja atingida; c) a altura ma´xima atingida pelo proje´til. Lista de Fixac¸a˜o da Semana 5 - Pa´gina 9 de 10 9) No instante t horas um ve´ıculo esta´ 16 √ t3− 24t+16 quiloˆmetros a` leste de um ponto de refereˆncia na estrada. a) Qual a velocidade no instante t = 1/4? Nesse instante o ve´ıculo esta´ se afastando ou aproximando do ponto de refereˆncia? b) Onde esta´ o ve´ıculo quanto a velocidade e´ zero? 10) Determine a, b ∈ R de modo que a func¸a˜o f(x) = { x2 se x < 1, ax+ b se x ≥ 1, seja deriva´vel em x = 1. 11) Mostre que a func¸a˜o f(x) = { x2 sen(1/x) se x 6= 0, 0 se x = 0, e´ deriva´vel (e portanto cont´ınua) em x = 0. 12) Mostre que a func¸a˜o f(x) = { x sen(1/x) se x 6= 0, 0 se x = 0, e´ cont´ınua em x = 0 mas na˜o e´ deriva´vel nesse mesmo ponto. RESPOSTAS 1) A derivada de uma func¸a˜o f no ponto x0 e´ o limite f ′(x0) = lim h→0 f(x0 + h)− f(x0) h = lim x→x0 f(x)− f(x0) x− x0 . Geometricamente, a derivada f ′(x0) e´ a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (x0, f(x0)). 2) a) 2x− 1 b) − 1 x2 c) 1 2 √ x d) − 1 2x √ x 3) duas retas, com equac¸o˜es y = 6x− 2 e y = 6x+ 2 4) a) sec2(x) b) sec(x) tan(x) c) − csc(x) cotan(x) d) − csc2(x)5) a) 12x3 − 14x+ 5 b) −2x 2 − 6x− 2 (x2 − 1)2 c) −3x2 + 2x 2 √ x(x2 − 2x)2 d) √ x sec(x) tan(x) + 1 2 √ x sec(x) e) 1 3x2/3 − 4 x2 e) (2x− 1) sen(x) + (x2 + 1) cos(x) 6) a) 1/7 m/s b) 1/6 m/s 7) 100pi 8) a) v(t) = 256− 32t b) 8 segundos c) 1024 metros 9) a) Se aproximando a 12 km/h b) 8 km a leste do ponto de refereˆncia 10) a = 2 e b = −1 11) f ′(0) = lim h→0 f(h)− f(0) h = lim h→0 h sen(1/h) = 0 Lista de Fixac¸a˜o da Semana 5 - Pa´gina 10 de 10
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