C2Lista13 - Vera Lucia UFSCar

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089206 - Ca´lculo 2
De´cima terceira lista de exerc´ıcios
Profa. Vera Lu´cia Carbone 12 de fevereiro de 2016
1. Estude com relac¸a˜o a ma´ximos e mı´nimos locais as func¸o˜es a seguir.
(a) f(x, y) = x2 + 3xy + 4y2 − 6x + 2y (d) f(x, y) = 3
√
x2 + 2xy + 4y2 − 6x− 12y.
(b) f(x, y) = x2 + y3 + xy − 3x− 4y + 5 (e) f(x, y) = x4 + y4 + 4x + 4y.
(c) f(x, y) = x3 + 2xy + y2 − 5x (f) f(x, y) = 1
x2
+
1
y
+ xy, x > 0, y > 0.
2. Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, com a forma de um paralelep´ıpedo retaˆngulo e com 1 m3 de volume. O
material a ser utilizado nas laterais custa o triplo do que sera´ utilizado no fundo. Determine as dimenso˜es da caixa
que minimiza o custo do material.
3. (a) Determine (x, y), com x2 + 4y2 6 1, que maximiza a soma 2x + y.
(b) Suponha que T (x, y) = 4− x2 − y2 represente uma distribuic¸a˜o de temperatura no plano. Seja A = {(x, y) ∈ R2 :
x > 0, y > 0, y > x e 2y + x 6 4}. Determine o ponto de A de menor temperatura.
4. (a) Encontre o ponto da curva xy = 1, x > 0 e y > 0, que se encontra mais pro´ximo da origem.
(b) Determine o ponto do elipso´ide x2 + 2y2 + 3z2 = 1 cuja soma das coordenadas seja ma´xima.
(c) Determine os pontos mais afastados da origem e cujas coordenadas esta˜o sujeitas a`s restric¸o˜es x2 + 4y2 + z2 = 4
e x + y + z = 1.
(d) Determine a curva de n´ıvel de f(x, y) = x2 + 16y2 que seja tangente a` curva xy = 1, x > 0 e y > 0. Qual o ponto
de tangeˆncia?
(e) Determine o ponto da para´bola y = x2 mais pro´ximo de (14, 1).
(f) Determine P na elipse x2+2y2 = 6 e Q na reta x+y = 4 de modo que a distaˆncia de P a Q seja a menor poss´ıvel.
5. De todos os paralelep´ıpedos retaˆngulos de volume dado, qual o de a´rea total mı´nima?
6. Estude com relac¸a˜o a ma´ximos e mı´nimos as func¸o˜es f(x, y, z) dadas, sujeitas a`s respectivas restric¸o˜es:
(a) f(x, y, z) = x2 + 2y − z2 sujeita a`s restric¸o˜es 2x− y = 0 e y + z = 0
(b) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 sujeita a`s restric¸o˜es x + 2y + 3z = 6 e x + 3y + 9z = 9
7. Encontre os valores extremos de f(x, y, z) = x2yz+1 sobre a intersecc¸a˜o do plano z = 1 com a esfera x3+y2+z2 = 10.
8. Seja z = senx + sen y + cos(x + y), com x e y arcos do primeiro quadrante. Determine o(s) ponto(s) que maximiza z.
9. Estude a func¸a˜o dada com relac¸a˜o a ma´ximos e mı´nimos no conjunto dado.
1
(a) f(x, y) = 3x− y no conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0, y − x 6 3, x + y 6 4 e 3x + y 6 6}.
(b) f(x, y) = 3x− y em A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 1}.
(c) f(x, y) = x2 + 3xy − 3x em A = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0 e x + y 6 1}.
(d) f(x, y) = xy em A = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0 e 2x + y 6 5}.
(e) f(x, y) = x2 − 2xy + 2y2 em A = {(x, y) ∈ R2 : |x|+ |y| 6 1}.
10. Determinada empresa produz dois produtos cujas quantidades sa˜o indicadas por x e y. Tais produtos sa˜o oferecidos
ao mercado consumidor a prec¸os unita´rios p1 e p2, respectivamente, que dependem de x e y conforme equac¸o˜es:
p1 = 120− 2x e p2 = 200− y. O custo total da empresa para produzir e vender quantidades x e y dos produtos e´ dado
por C = x2 + 2y2 + 2xy. Admitindo que toda produc¸a˜o da empresa seja absorvida pelo mercado, determine a produc¸a˜o
que maximiza o lucro.
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