Geometria Diferencial II Verderesi IME USP 2013

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MAT0336 - Geometria Diferencial II
Bacharelado em Matema´tica - 2013
Jose Antonio Verderesi
Sala: 239A
Tel. 3091-6161
E-mail: verderesi@gmail.com
Pa´gina da disciplina: http://www.ime.usp.br/∼javerd/MAT0336-2013
Atendimento aos alunos: quinta-feira, das 16h a`s 18h.
Objetivo da disciplina: Estudo das formas diferenciais e suas aplicac¸o˜es a` geometria
diferencial tanto local como global.
Avaliac¸a˜o: Sera´ feita atrave´s de treˆs provas e uma prova substitutiva que substituira´ uma
das notas de forma a maximizar a me´dia.
Pontos Data Nota
Prova 1 2 17/09
Prova 2 4 22/10
Prova 3 4 26/11
Substitutiva - 03/12
Bibliografia:
1. Cartan, H. Differential forms, Hermann, 1970.
2. do Carmo, M. P. Differential forms and applications, Springer-Verlag, 1994.
3. Chern, S. Introduction to Differential Geometry, Notas da Universidade de Berkeley,
Math. 140 Notes, 1969.
4. O’Neil, B. Elementary Differential Geometry, Academic Press, 1966.
5. Singer, I. M., Thorpe, J. A. Lecture notes on elementary topology and geometry,
Springer-Verlag, 1967.
Geometria Diferencial II
Jose Antonio Verderesi
Suma´rio
Introduc¸a˜o 1
Cap´ıtulo 1. Formas diferenciais 8
1. Formas lineares 8
2. Permutac¸o˜es 9
3. Aplicac¸o˜es multilineares 10
4. Produto exterior de 1-formas 12
5. Produto exterior 13
6. Imagem inversa de k-formas 15
7. O espac¸o
∧k(V ) 16
8. A´lgebra exterior 17
9. Orientac¸a˜o 17
10. Espac¸os com produto interno 17
11. A´lgebra vetorial cla´ssica 20
12. Formas diferenciais 22
13. Cohomologia de De Rhan 31
14. Ana´lise vetorial cla´ssica 34
Cap´ıtulo 2. Integral de formas diferenciais 38
1. Integral de formas sobre cadeias 38
2. Teorema de Stokes 42
Cap´ıtulo 3. Variedades 47
iii
Introduc¸a˜o
Um campo de vetores no R3 e´ uma func¸a˜o diferencia´vel e : R3 → R3. Sua diferencial em
p ∈ R3 e´ uma aplicac¸a˜o linear dep : R3 → R3.
Se
e(p) = (a1(p), a2(p), a3(p))
enta˜o
dep = (da1)pe1 + (da2)pe2 + (da3)pe3
onde (e1, e2, e3) e´ a base canoˆnica do R3.
Considere agora treˆs campos de vetores
ei : R3 → R3 i = 1, 2, 3
tais que, para cada ponto p, (e1(p), e2(p), e3(p)) seja uma base do R3. A terna (e1, e2, e3) e´
chamada um referencial movel no R3.
Seja (θ1p, θ
2
p, θ
3
p) a base dual, isto e´
θip(ej(p)) = δ
i
j
Se v ∈ R3, enta˜o
v = θ1p(v)e1(p) + θ
2
p(v)e2(p) + θ
3
p(v)e3(p)
Assim, para cada p ∈ R3, (θ1p(v), θ2p(v), θ3p(v)) sa˜o as coordenadas de v na base
(e1(p), e2(p), e3(p)).
Diferenciando os campos ei : R3 → R3 temos
(dei)p = ω
1
i (p)e1(p) + ω
2
i (p)e2(p) + ω
3
i (p)e3(p)
Desta forma, obtemos uma matriz de 1-formas (ωij(p)) para cada p ∈ R3. Estas sa˜o chamadas
de formas de conexa˜o relativas ao referencial (e1, e2, e3).
Suponhamos, agora, que para cada p, (e1(p), e2(p), e3(p)) seja ortonormal (isto e´, que
〈ei(p), ej(p)〉 = δij). Enta˜o, para v ∈ R3,
||v||2p = θ1p(v)2 + θ2p(v)2 + θ3p(v)2
1
INTRODUC¸A˜O 2
e o produto interno de u por v e´ dado por
〈u, v〉p = θ1p(u)θ1p(v) + θ2p(u)θ2p(v) + θ3p(u)θ3p(v)
ou abreviadamente
〈 , 〉p = (θ1p)2 + (θ2p)2 + (θ3p)2
Diferenciando 〈ei(p), ej(p)〉 = δij obtemos
〈dei(p), ej(p)〉+ 〈ei(p), dej(p)〉 = 0
Substituindo dei(p), obtemos
ωij(p) + ω
j
i (p) = 0
Assim, a matriz (ωij(p)) e´ anti-sime´trica.
Se X : R3 → R3 e´ um novo campo de vetores, podemos decompoˆ-lo no referencial
(e1(p), e2(p), e3(p)):
X(p) = X1(p)e1(p) +X
2(p)e2(p) +X
3(p)e3(p)
Sua diferencial e´ dada por
dXp = (dX
1)pe1(p) + (dX
2)pe2(p) + (dX
3)pe3(p) +X
1
p (de1)p +X
2
p (de2)p +X
3
p (de3)p
Substituindo (dei)p, obtemos
dXp =
3∑
i=1
(dXi)p + 3∑
j=1
ωij(p)X
j
p
 ei(p)
Conclu´ımos que para calcularmos dXp basta conhecer as formas de conexa˜o.
Nos cursos de ca´lculo, utilizamos em geral os campos constantes
e1(p) = e1
e2(p) = e2
e3(p) = e3
Para estes, as formas de conexa˜o sa˜o nulas (isto e´, ωij = 0). Dizemos enta˜o que o referencial e´
paralelo.
Num referencial paralelo, a diferencial do campo X e´ a fo´rmula familiar
dXp = (dX
1)pe1 + (dX
2)pe2 + (dX
3)pe3
Vejamos o que acontece quando trabalhamos com coordenadas cil´ındricas no R3. Para
cada ponto p, associamos os nu´meros (r(p), θ(p), z(p)) que se relacionam com as coordenadas
INTRODUC¸A˜O 3
cartesianas da seguinte maneira: 
x = r cos θ
y = r sin θ
z = z
Os campos cil´ındricos sa˜o 
e1 = (cos θ, sin θ, 0)
e2 = (− sin θ, cos θ, 0)
e3 = (0, 0, 1)
Temos que 
de1 = ((− sin θ)dθ, (cos θ)dθ, 0) = dθe2
de2 = ((− cos θ)dθ, (− sin θ)dθ, 0) = −dθe1
de3 = 0
Enta˜o ω21(p) = dθp e ω
1
2 = −dθp, as outras sendo nulas.
Considere agora uma superf´ıcie S ⊂ R3 e um referencial ortonormal (e1, e2, e3) tal que e1(p)
e e2(p) sa˜o tangentes a S no ponto p. Claramente, e3(p) e´ um vetor normal a S no ponto p.
Observe que se o referencial e´ paralelo, enta˜o a superf´ıcie S e´ um plano. Assim, para a
geometria, e´ necessa´rio trabalhar com referenciais na˜o paralelos, ou seja, com campos ei(p) que
variam com p.
Se TpS e´ o plano tangente a S no ponto p, enta˜o
v ∈ TpS ⇔ θ3p(v) = 0
A equac¸a˜o geral do plano TpS e´ θ
3
p = 0.
Como o referencial e´ ortonormal, se v ∈ TpS, enta˜o
||v||2 = θ1p(v)2 + θ2p(v)2
Assim, para calcularmos comprimentos sobre S, basta conhecermos
(θ1p)
2 + (θ2p)
2
Toda a geometria de S esta´ contida nas formas (θ1, θ2) e nas formas (ω21, ω
3
1, ω
3
2) obtidas
diferenciando o referencial “adaptado” a S:
de1 = ω
2
1e2 + ω
3
1e3
de2 = ω
1
2e1 + ω
3
2e3
de3 = ω
1
3e1 + ω
2
3e2
INTRODUC¸A˜O 4
(Lembre-se de que (ωij) e´ anti-sime´trica!)
(ωij) =
 0 ω12 ω13ω21 0 ω23
ω31 ω
3
2 0
 ωij = −ωji
Seja X um campo de vetores tal que X(p) ∈ TpS para todo p ∈ S. Enta˜o
X(p) = X1(p)e1(p) +X
2(p)e2(p)
Diferenciando, obtemos
dXp(v) = (dX1)p(v)e1(p) + (dX2)p(v)e2(p) +X
1(p)(de1)p(v) +X
2(p)(de2)p(v)
Substituindo (dei)p(v), obtemos:
dXp(v) = (dX1)p(v)e1(p) + (dX2)p(v)e2(p) + (ω
2
1)p(v)(−X2(p)e1(p) +X1(p)e2(p)) +
+ ((ω31)p(v)X
1(p) + (ω32)p(v)X
2(p))e3(p)
Em geral, vemos que dXp(v) na˜o e´ tangente a S no ponto p. A componente tangencial de
dXp(v) e´ chamada a derivada covariante de X em p e e´ denotada por ∇pX. Assim,
(∇X)p(v) = (dX1)p(v)e1(p) + (dX2)p(v)e2(p) + (ω21)p(v)(−X2(p)e1(p) +X1(p)e2(p))
Portanto, (∇X)p(v) pode ser calculada a partir da forma ω = ω21 = −ω12, a qual e´ denominada
a forma de conexa˜o de S.
E´ comum denotar a derivada covariante de X em p na direc¸a˜o v por (∇vX)p. Assim,
(∇X)p(v) = (∇vX)p
Isto e´ ana´logo a
dfp(v) =
∂f
∂v
(p)
(∇X)p(v) tem duas componentes, a saber
T = (dX1)p(v)e1(p) + (dX2)p(v)e2(p)
R = ωp(v)(−X2(p)e1(p) +X1(p)e2(p))
A componente T e´ obtida diferenciando o campo X(p) = X1(p)e1(p) + X
2(p)e2(p) como se
e1(p) e e2(p) fossem constantes. Assim, T mede a taxa de variac¸a˜o “translacional” do campo
X na direc¸a˜o v a partir do ponto p. A componente R e´ obtida diferenciando X como se suas
componentes X1(p) e X2(p) fossem constantes. Observe que o vetor
X(p)⊥ = −X2(p)e1(p) +X1(p)e2(p)
INTRODUC¸A˜O 5
e´ ortogonal ao vetor
X(p) = X1(p)e1(p) +X
2(p)e2(p)
Assim, R = ωp(v)X(p)
⊥ e, portanto, ω e´ a velocidade de rotac¸a˜o do referencial no ponto p
na direc¸a˜o v. Em particular, se tomarmos X(p) = e1(p) ou X(p) = e2(p), obtemos{
(∇e1)p(v) = ωp(v)e2(v)
(∇e2)p(v) = −ωp(v)e1(p)
Abreviadamente,
∇(e1, e2) = (e1, e2)
(
0 −ω
ω 0
)
ou ainda
∇e = eω
ω e´ a velocidade angular do referencial e = (e1, e2) sobre a superf´ıcie.
A partir da derivada covariante, definimos paralelismo e geode´sicas:
• um campo X e´ paralelo se ∇X = 0;
• uma curva c : I → S e´ uma geode´sica se ∇c˙c˙ = 0.
Vamos, a seguir, interpretar as formas ω31 e ω
3
2.
O campoe3 e´ normal a S. Assim, a variac¸a˜o deste campo diz como a superf´ıcie se curva. Se
e3 for constante, a superf´ıcie S e´ um plano. Portanto, (de3)p(v) deve, de alguma forma, medir
como S se curva na direc¸a˜o v:
(de3)p(v) = ω
1
3(v)e1(p) + ω
2
3(v)e2(p)
Se designarmos por Ap(v) = −(de3)p(v), enta˜o Ap : TpS → TpS e´ uma aplicac¸a˜o linear. Por
exemplo, se S e´ um plano, enta˜o e3(p) = n e´ constante. Logo, Ap(v) = −(de3)p(v) = 0.
Se S e´ a esfera de raio R, enta˜o
e3(p) =
p
||p|| =
p
R
Segue que (de3)p(v) = v/R e, portanto,
Ap(v) = − v
R
Como veremos, a aplicac¸a˜o linear Ap : TpS → TpS e´ sime´trica, isto e´,
〈Ap(u), v〉 = 〈u,Ap(v)〉
A segunda forma fundamental de S em p e´ definida por
bp(u, v) = 〈Ap(u), v〉 = 〈u,Ap(v)〉
INTRODUC¸A˜O 6
que e´ bilinear e sime´trica. Lembrando que
u = θ1p(u)e1(p) + θ
2
p(u)e2(p)
e
Ap(v) = ω
3
1(v)e1(p) + ω
3
2(v)e2(p)
temos
b(u, v) = ω31(u)θ
1(v) + ω32(u)θ
2(v)
A primeira forma fundamental e´ o produto interno
〈u, v〉 = θ1(u)θ1(v) + θ2(u)θ2(v)
O teorema fundamental das superf´ıcies no R3 diz que a primeira e a segunda formas
fundamentais determinam S a menos de uma isometria do R3.
A primeira forma fundamental permite calcular o comprimento de curvas sobre a superf´ıcie
S. Ja´ a segunda forma fundamental estabelece a forma da superf´ıcie dentro do R3.
Os aspectos geome´tricos que dependem apenas da primeira forma sa˜o denominados
intr´ınsecos. Aqueles que dependem tambe´m da segunda forma sa˜o chamados extr´ınsecos.
Por exemplo, o elemento de a´rea
dA = θ1 ∧ θ2
e´ intr´ınseco a` superf´ıcie S.
Um outro exemplo e´ a forma de conexa˜o ω. A forma ω so´ depende da primeira forma
fundamental.
A aplicac¸a˜o linear Ap : TpS → TpS e´ sime´trica e, portanto, diagonaliza´vel. Sejam λ1 e λ2
seus valores pro´prios. A curvatura gaussiana e´ definida por
Kp = detAp = λ1 · λ2
e a curvatura me´dia e´ definida por
Hp =
trAp
2
=
λ1 + λ2
2
O seguinte teorema relaciona a curvatura gaussiana e a forma de conexa˜o. Ele diz que
dω = KdA
Como dω so´ depende da primeira forma fundamental, assim como dA, segue que K tambe´m so´
depende da primeira forma fundamental. Isto foi provado primeiramente por Gauss e deu origem
ao que hoje conhecemos como Geometria Diferencial.
Por outro lado, a curvatura me´dia e´ um invariante extr´ınseco da superf´ıcie S. Por
exemplo, um pedac¸o de um plano e de um cilindro sa˜o isome´tricos e, portanto, suas curvaturas
INTRODUC¸A˜O 7
gaussianas sa˜o nulas, mas suas curvaturas me´dias sa˜o diferentes. Para o plano, Ap = 0. Logo,
Kp = detAp = 0 e Hp = (trAp)/2 = 0. Para o cilindo, Ap tem valores pro´prios λ1 = 0 e λ2 6= 0.
Logo, Kp = λ1 · λ2 = 0 e Hp = (λ1 + λ2)/2 = λ2/2 6= 0.
CAP´ıTULO 1
Formas diferenciais
O objetivo deste cap´ıtulo e´ definir formas diferenciais num espac¸o vetorial real de dimensa˜o
finita.
1. Formas lineares
No que segue V e´ um espac¸o vetorial real de dimensa˜o finita n e (e1, e2, . . . , en) uma base de
V . O espac¸o dual de V sera´ denotado por V ∗. Este e´ formado das func¸o˜es lineares ω : V → R
que sera˜o chamadas de formas lineares sobre V ou simplesmente formas lineares. Se v ∈ V seja
xi(v) a i-e´sima coordenada de v na base (e1, e2, . . . , en). Enta˜o
v =
n∑
i=1
xi(v)ei
(x1, x2, . . . xn) constitui uma base de V ∗ chamada de base dual da base (e1, e2, . . . , en). Note
que se ω ∈ V ∗ enta˜o
ω =
n∑
i=1
ω(ei)x
i
A aplicac¸a˜o ϕ : V → Rn dada por ϕ(v) = (x1(v), x2(v), . . . xn(v)) constitui um sistema de
coordenadas linear sobre V.
Exemplo 1.1. Sejam V = R3 e (x1, x2, x3) a base de (R3)∗ dual da base canoˆnica do R3. Se
ω ∈ V ∗, enta˜o
ω = ax1 + bx2 + cx3
onde a, b, c ∈ R. Logo,
kerω = {v ∈ R3 : ax1(v) + bx2(v) + cx3(v) = 0}.
Se ω 6= 0, enta˜o kerω e´ o plano normal ao vetor (a, b, c) que passa pela origem. Reciprocamente,
se S e´ um subespac¸o de R3 cuja dimensa˜o e´ 2, enta˜o existe ω ∈ (R3)∗ tal que kerω = S. O
conjunto
S0 = {ω ∈ (R3)∗ : kerω ⊃ S}
8
2. PERMUTAC¸O˜ES 9
e´ um subespac¸o de (R3)∗ de dimensa˜o 1, denominado o anulador de S.
Exemplo 1.2. Seja v ∈ V . A func¸a˜o
ϕv : V
∗ → R
ω 7→ ω(v)
e´ uma forma linear de V ∗ e a aplicac¸a˜o
V → (V ∗)∗
v 7→ ϕv
e´ um isomorfismo entre V e (V ∗)∗.
Exemplo 1.3. Seja a ∈ V . Se 〈 , 〉 e´ um produto interno em V , a func¸a˜o
ωa : V → R
v 7→ 〈a, v〉
e´ uma forma linear de V e a aplicac¸a˜o
V → V ∗
a 7→ ωa
e´ um isomorfismo.
2. Permutac¸o˜es
Denotaremos por Sn o grupo das permutac¸o˜es (isto e´, bijec¸o˜es) do conjunto In = {1, . . . , n}.
Considere a func¸a˜o polinomial em n varia´veis
φ(x1, . . . , xn) =
∏
1≤i<j≤n
(xi − xj)
Para cada σ ∈ Sn, defina
(σφ)(x1, . . . , xn) = φ(xσ(1), . . . , xσ(n))
Observe que
σφ = �σφ
onde �σ ∈ {−1, 1}. O nu´mero �σ e´ denominado o sinal da permutac¸a˜o σ.
Note que � : Sn → {−1, 1} e´ um homomorfismo de grupos. O nu´cleo de � e´ denomindo grupo
alternado e e´ denotado por An. Note que An um subgrupo normal de Sn.
Exemplo 1.4. Se n = 2, enta˜o φ(x1, x2) = x1 − x2. O grupo S2 tem apenas dois elementos:
a identidade e a transposic¸a˜o (1 2), as quais teˆm sinais 1 e -1 respectivamente.
3. APLICAC¸O˜ES MULTILINEARES 10
Exemplo 1.5. Se n = 3, enta˜o φ(x1, x2, x3) = (x1 − x2)(x1 − x3)(x2 − x3). O grupo S3 tem
seis elementos: as transposic¸o˜es (1 2), (1 3), (2 3) com sinais −1 e, tambe´m, os 3-ciclos (1 2 3)
e (1 3 2) e a identidade, estes com sinais 1.
3. Aplicac¸o˜es multilineares
Sejam V1, . . . , Vk e W espac¸os vetoriais reais de dimensa˜o finita e ϕ : V1 × . . . × Vk → W .
Dizemos que ϕ e´ uma aplicac¸a˜o k-linear se, para cada i ∈ {1, . . . , k}, as seguintes condic¸o˜es esta˜o
satisfeitas
ϕ(v1, . . . , λvi, . . . , vk) = λϕ(v1, . . . , vi, . . . , vk)
ϕ(v1, . . . , ui + vi, . . . , vk) = ϕ(v1, . . . , ui, . . . , vk) + ϕ(v1, . . . , vi, . . . , vk)
quaisquer que sejam v1 ∈ V1, . . . , vk,∈ Vk, ui ∈ Vi e λ ∈ R.
Se V1 = . . . = Vk = V , dizemos que ϕ e´ uma aplicac¸a˜o k-linear de V em W . Se, ale´m disso,
W = R dizemos que ϕ e´ uma func¸a˜o k-linear de V .
Seja ϕ : V k → W uma aplicac¸a˜o k-linear de V em W . Dizemos que ϕ e´ alternada
(respectivamente, sime´trica) se para cada σ ∈ Sk, ϕ(vσ(1), . . . , vσ(k)) = �σϕ(v1, . . . , vk)
(respectivamente, ϕ(vσ(1), . . . , vσ(k)) = ϕ(v1, . . . , vk)). Como toda permutac¸a˜o e´ um produto
de transposic¸o˜es, esta condic¸a˜o e´ equivalente a
ϕ(v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vk) = −ϕ(v1, . . . , vj , . . . , vi, . . . , vk)
(respectivamente ϕ(v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vk) = ϕ(v1, . . . , vj , . . . , vi, . . . , vk))
Exemplo 1.6. O produto vetorial no R3
R3 × R3 → R3
(v1, v2) 7→ v1 ∧ v2
e´ uma aplicac¸a˜o bilinear (isto e´, 2-linear) alternada de R3 em R3.
Exemplo 1.7. Um produto interno em V
V × V → R
(v1, v2) 7→ 〈v1, v2〉
e´ uma func¸a˜o bilinear sime´trica de V .
Exemplo 1.8. A func¸a˜o determinante no Rn
det(v1, . . . , vn) = det(x
i(vj))
3. APLICAC¸O˜ES MULTILINEARES 11
onde (xi) e´ a base dual da base canoˆnica do Rn e
(xi(vj)) =

x1(v1) . . . x
1(vn)
...
. . .
...
xn(v1) . . . x
n(vn)

e´ uma func¸a˜o n-linear alternada.
Exemplo 1.9. Uma estrutura complexa em V e´ uma aplicac¸a˜o linear J : V → V tal que
J2 = −I, onde I denota o operador identidade de V . Se 〈 , 〉 e´ um produto interno em V e J e´
uma isometria com respeito a este produto interno, enta˜o
V × V → R
(u, v) 7→ 〈u, J(v)〉
e´ uma func¸a˜o bilinear alternada de V .
Uma func¸a˜o k-linear alternada de V e´ denominada uma k-forma linear de V ou,
simplesmente, uma k-forma de V . Denotaremos por
∧k(V ∗) o espac¸o das k-formas de V . O
conjunto das k-formas de V , munido da soma e da multiplicac¸a˜o por escalar usuais de func¸o˜es, e´
um espac¸o vetorial. O espac¸o das func¸o˜es k-lineares sime´tricasde V sera´ designado por Sk(V ∗).
Proposic¸a˜o 1.10. Se ϕ : V k → R e´ uma k-forma e v1, . . . , vk ∈ V linearmentes dependentes,
enta˜o ϕ(v1, . . . , vk) = 0.
Demonstrac¸a˜o. Um dos vetores e´ combinac¸a˜o linear dos demais, por exemplo
vk = α1v1 + . . .+ αk−1vk−1.
Como ϕ(v1, v2, . . . , vk−1, v1) = ϕ(v1, v2, . . . , vk−1, v2) = . . . = ϕ(v1, . . . , vk−1, vk−1) = 0 enta˜o
ϕ(v1, . . . , vk) = 0. �
Observe que
∧1(V ∗) = V ∗. Da proposic¸a˜o anterior vem que ∧k(V ∗) = {0} se k > n.
Exemplo 1.11. Sejam V = R3 e a = (a1, a2, a3) ∈ R3. Se
η(u, v) = det(a, u, v)
onde
det(a, u, v) = det
 a1 x1(u) x1(v)a2 x2(u) x2(v)
a3 x3(u) x3(v)

enta˜o η ∈ ∧2(V ∗). Veremos adiante que estas esgotam todas as possibilidades de 2-formas
no R3.
4. PRODUTO EXTERIOR DE 1-FORMAS 12
4. Produto exterior de 1-formas
Sejam ω1, . . . , ωk ∈ V ∗. O produto exterior de ω1, . . . , ωk e´ a func¸a˜o ω1 ∧ . . . ∧ ωk : V k → R
dada por
(ω1 ∧ . . . ∧ ωk)(v1, . . . , vk) = det(ωi(vj))
Exemplo 1.12. Sejam V = R3, k = 2, ω1 = x1 e ω2 = x2. Se v1, v2 ∈ R3, enta˜o
(x1 ∧ x2)(v1, v2) = det
(
x1(v1) x
1(v2)
x2(v1) x
2(v2)
)
Geometricamente, (x1 ∧x2)(v1, v2) e´ a a´rea orientada da projec¸a˜o do paralelogramo gerado pelos
vetores v1 e v2 no plano x
1x2.
Proposic¸a˜o 1.13.
(1) ω1 ∧ . . . ∧ ωk e´ uma k-forma de V ;
(2) ωσ(1) ∧ . . . ∧ ωσ(k) = �σ · ω1 ∧ . . . ∧ ωk, qualquer que seja σ ∈ Sk;
(3) se {ω1, . . . , ωk} e´ l.d. enta˜o ω1 ∧ . . . ∧ ωk = 0;
(4) se {ω1, . . . , ωk} e´ l.i. enta˜o ω1 ∧ . . . ∧ ωk 6= 0.
Demonstrac¸a˜o. Os treˆs primeiros itens seguem do fato que as formas ωi sa˜o lineares e das
proriedades da func¸a˜o determinante.
Se {ω1, . . . , ωk} e´ l.i. enta˜o existem ωk+1, . . . , ωn ∈ V ∗ tais que {ω1, . . . , ωk, ωk+1, . . . , ωn} e´
uma base de V ∗. Seja {v1, . . . , vn} a base de V da qual {ω1, . . . , ωn} e´ dual. Temos que
(ω1 ∧ . . . ∧ ωk)(v1, . . . , vk) = det(ωi(vj)) = det Ik = 1
onde Ik denota a matriz identidade de dimensa˜o k. Portanto ω
1 ∧ . . . ∧ ωk 6= 0. �
A seguir, vamos determinar uma base de
∧k(V ∗) a partir de uma base de V . Comecemos
introduzindo algumas definic¸o˜es para facilitar a escrita. Dada uma sequeˆncia (i1, . . . , ik), onde
0 ≤ ij ≤ n abreviaremos colocando I = (i1, . . . , ik) e ωI = ωi1 ∧ . . .∧ωik . Consideremos tambe´m
o conjunto Cn,k das sequeˆncias tais que (0 ≤ i1 ≤ i2 ≤ . . . ,≤ ik ≤ n). O nu´mero de elementos
de Cn,k e´
(
n
k
)
.
Proposic¸a˜o 1.14. Se (x1, . . . , xn) e´ uma base de V ∗ enta˜o
{xI}I∈Cn,k = {xi1 ∧ xi2 . . . ∧ xik}(i1,...,ik)∈Cn,k
e´ uma base de
∧k(V ∗). Se ω ∈ ∧k(V ∗) enta˜o
ω =
∑
I∈Cn,k
ω(eI)x
I
5. PRODUTO EXTERIOR 13
Demonstrac¸a˜o. Faremos a demonstrac¸a˜o para n = 3. Por hipo´tese, {x1, x2, x3} e´ uma
base de V ∗ =
∧1(V ∗).
Mostremos que {x1 ∧ x2, x1 ∧ x3, x2 ∧ x3} e´ uma base de ∧2(V ∗). Se
a12x
1 ∧ x2 + a13x1 ∧ x3 + a23x2 ∧ x3 = 0
calculando em (e1, e2) conclu´ımos que a12 = 0. Da mesma forma, conclu´ımos que a13 = a23 = 0.
Seja ω ∈ ∧2(V ∗). Enta˜o
ω(v1, v2) = ω(e1, e2)x
1(v1)x
2(v2) + ω(e2, e1)x
2(v1)x
1(v2)+
ω(e1, e3)x
1(v1)x
3(v2) + ω(e3, e1)x
3(v1)x
1(v2)+
ω(e2, e3)x
2(v1)x
3(v2) + ω(e3, e2)x
3(v1)x
2(v2)
Assim
ω(v1, v2) = ω(e1, e2)(x
1(v1)x
2(v2)− x2(v1)x1(v2))+
ω(e1, e3)(x
1(v1)x
3(v2)− x3(v1)x1(v2))+
ω(e2, e3)(x
2(v1)x
3(v2)− x3(v1)x2(v2))
pois ω e´ alternada. Logo,
ω = ω(e1, e2)x
1 ∧ x2 + ω(e1, e3)x1 ∧ x3 + ω(e2, e3)x2 ∧ x3.
De forma semelhante, mostramos que {x1 ∧ x2 ∧ x3} e´ uma base de ∧3(V ∗). �
Corola´rio 1.15. Se k ∈ {1, . . . , n}, enta˜o dim∧k(V ∗) = (nk).
5. Produto exterior
Sejam ω ∈ ∧k(V ∗) e η ∈ ∧r(V ∗).
O produto exterior de ω por η e´ a func¸a˜o ω ∧ η : V k+r → R dada por
(ω ∧ η)(v1, . . . , vk+r) = 1
k!r!
∑
σ∈Sk+r
�σω(vσ(1), . . . , vσ(k))η(vσ(k+1), . . . , vσ(k+r))
Observac¸a˜o 1.16. Se Sr,k = {σ ∈ Sk+r : σ(1) < . . . < σ(k) e σ(k + 1) < . . . < σ(k + r)}
enta˜o
(ω ∧ η)(v1, . . . , vk+r) =
∑
σ∈Sk,r
�σω(vσ(1), . . . , vσ(k))η(vσ(k+1), . . . , vσ(k+r))
Proposic¸a˜o 1.17. Sejam ω ∈ ∧k(V ∗), η ∈ ∧r(V ∗) e ϕ ∈ ∧s(V ∗).
(1) ω ∧ η ∈ ∧k+r(V ∗);
(2) (ω + η) ∧ ϕ = (ω ∧ ϕ) + (η ∧ ϕ);
(3) η ∧ ω = (−1)krω ∧ η;
5. PRODUTO EXTERIOR 14
(4) se ω = ω1 ∧ . . . ∧ ωk e η = ωk+1 ∧ . . . ∧ ωk+r onde ωi ∈ V ∗ enta˜o ω ∧ η =
ω1 ∧ . . . ∧ ωk ∧ ωk+1 ∧ . . . ∧ ωk+r (isto e´, o produto exterior acima coincide com o
produto exterior de 1-formas anteriormente definido);
(5) (ω ∧ η) ∧ ϕ = ω ∧ (η ∧ ϕ).
Demonstrac¸a˜o.
(1) Temos que (ω ∧ η)(vτ(1), . . . , vτ(k+r)) e´ igual a
1
k!r!
∑
σ∈Sk+r
�σω(vτ(σ(1)), . . . , vτ(σ(k)))η(vτ(σ(k+1)), . . . , vτ(σ(k+r))).
Fazendo a mudanc¸a ϕ = τ ◦ σ, obtemos σ = τ−1 ◦ ϕ e �σ = �ϕ�τ−1 = �ϕ�τ . Assim:
(ω ∧ η)(vτ(1), . . . , vτ(k+r)) = 1k!r!
∑
σ∈Sk+r �τ �ϕω(vϕ(1), . . . , vϕ(k))η(vϕ(k+1), . . . , vϕ(k+r))
= �τ (ω ∧ η)(v1, . . . , vk+r)
o que demonstra a primeira parte.
(2) A demonstrac¸a˜o e´ uma consequeˆncia da distributividade dos nu´meros reais.
(3) Considere a permutac¸a˜o
τ =
(
1 . . . r r + 1 . . . r + k
k + 1 . . . k + r 1 . . . k
)
Observe que �τ = (−1)kr. Logo,
(ω ∧ η)(v1, . . . , vk+r) = 1k!r!
∑
σ∈Sk+r �σω(vσ(1), . . . , vσ(k))η(vσ(k+1), . . . , vσ(k+r))
= 1k!r!
∑
σ∈Sk+r �ση(vσ(k+1), . . . , vσ(k+r))ω(vσ(1), . . . , vσ(k))
= 1k!r!
∑
σ∈Sk+r �ση(vσ(τ(1)), . . . , vσ(τ(r)))ω(vσ(τ(r+1)), . . . , vσ(τ(r+k)))
Fazendo como anteriormente a mudanc¸a ϕ = σ ◦ τ obtemos
(ω ∧ η)(v1, . . . , vk+r) = �τ (η ∧ ω)(v1, . . . , vk+r) = (−1)kr(η ∧ ω)(v1, . . . , vk+r)
(4) Para fixarmos as ideias, tomemos k = 1 e r = 2. Assim, ω = ω1 e η = ω2 ∧ ω3. Enta˜o
(ω1 ∧ ω2 ∧ ω3)(v1, v2, v3) = det(ωi(vj)). Desenvolvendo o determinante pela primeira
linha temos:
(ω1 ∧ ω2 ∧ ω3)(v1, v2, v3) = ω1(v1)(ω2 ∧ ω3)(v2, v3)− ω1(v2)(ω2 ∧ ω3)(v1, v3) + ω1(v3)(ω1 ∧ ω3)(v2, v3)
= ω1 ∧ (ω2 ∧ ω3)(v1, v2, v3)
= (ω ∧ η)(v1, v2, v3)
6. IMAGEM INVERSA DE k-FORMAS 15
A demonstrac¸a˜o no caso geral e´ uma consequeˆncia da fo´rmula de Laplace para a
expansa˜o do determinante.
(5) E´ uma consequeˆncia dos itens anteriores.
�
6. Imagem inversa de k-formas
Seja T : W → V uma aplicac¸a˜o linear entre os espac¸os vetoriais W e V . Recordamos que a
transposta de T e´ a aplicac¸a˜o linear
T ∗ : V ∗ → W ∗
ω 7→ T ∗ω
onde
(T ∗ω)(w) = ω(T (w))
qualquer que seja w ∈W .
Se ω e´ uma k-forma em V , definimos a imagem inversa de ω por T como a func¸a˜o
T ∗ω : W k → R dada por
(T ∗ω)(w1, . . . , wk) = ω(T (w1), . . . , T (wk))
quaisquer que sejam w1, . . . , wk ∈W .
Proposic¸a˜o 1.18. Seja T : W → V uma aplicac¸a˜o linear. Sejam tambe´m ω ∈ ∧k(V ∗),
η ∈ ∧r(V ∗). Enta˜o:
(1) T ∗ :
∧r(V ∗)→ ∧r(W ∗) e´ uma aplicac¸a˜o linear.
(2) T ∗(ω ∧ η) = T ∗(ω) ∧ T ∗(η).
Demonstrac¸a˜o. Exerc´ıcio. �
Na pra´tica, aplicar T ∗ significa fazer uma mudanc¸a de varia´veis numa k-forma. Mais
precisamente, fixemos uma base (e1, . . . , en) de V e seja (x
1, . . . , xn) a base dual. Se
ω =
∑
I∈Cn,k
ω(ei1 , . . . , eik)x
i1 ∧ xi2 . . . ∧ xik
e T : W → V e´ dada por T (w) = ∑ni=1 T i(w)ei enta˜o T ∗(xi) = T i. Assim temos:
T ∗(ω) =
∑
I∈Cn,k ω(ei1 , . . . , eik)T
∗(xi1) ∧ T ∗(xi2) . . . ∧ T ∗(xik)
=
∑
I∈Cn,k ω(ei1 , . . . , eik)T
i1 ∧ T i2 . . . ∧ T ik
7. O ESPAC¸O
∧k(V ) 16
Exemplo 1.19. Sejam f : R2 → R3 dada por
T (u, v) = (2u− v, u+ v, u+ 3v)
e
ω = x1 ∧ x2 + x2 ∧ x3 + x3 ∧ x1
onde (x1, x2, x3) denota a base de (R3)∗ dual da base canoˆnica do R3.
x = 2u− v
y = u+ v
z = u+ 3v
Temos que
T ∗ω = T ∗(x1 ∧ x2 + x2 ∧ x3 + x3 ∧ x1)
= T ∗(x1 ∧ x2) + T ∗(x2 ∧ x3) + T ∗(x3 ∧ x1)
= T ∗x1 ∧ T ∗x2 + T ∗x2 ∧ T ∗x3 + T ∗x3 ∧ T ∗x1
Se w = (w1, w2) ∈ R2, enta˜o
T ∗x1(w) = x1(T (w)) = 2w1 − w2
T ∗x2(w) = x2(T (w)) = w1 + w2
T ∗x3(w) = x3(T (w)) = w1 + 3w2
Denotando por (x, y) a base de (R2)∗ dual da base canoˆnica do R2, obtemos
T ∗x1 = 2x−y
T ∗x2 = x+ y
T ∗x3 = x+ 3y
Portanto
T ∗ω = (2x− y) ∧ (x+ y) + (x+ y) ∧ (x+ 3y) + (x+ 3y) ∧ (2x− y)
= −2x ∧ y
7. O espac¸o
∧k(V )
Sabemos que (V ∗)∗ identifica-se com V atrave´s da aplicac¸a˜o
V → (V ∗)∗
v 7→ ϕv
onde ϕv(ω) = ω(v), qualquer que seja ω ∈ V ∗. No que segue, passaremos a escrever v para
designar tanto um elemento de V quanto o seu correspondente ϕv em (V
∗)∗. Assim, a expressa˜o
v(ω) = ϕv(ω) = ω(v)
10. ESPAC¸OS COM PRODUTO INTERNO 17
onde ω ∈ V ∗ passa a fazer sentido. Isto justifica denotar o espac¸o ∧k((V ∗)∗) por ∧k(V ) e
escrever
(v1 ∧ . . . ∧ vk)(ω1, . . . , ωk) = det(vi(ωj)) = det(ωj(vi)).
8. A´lgebra exterior
Temos definido acima uma operac¸a˜o nas formas lineares:∧k(V ∗)×∧r(V ∗) → ∧k+r(V ∗)
(ω, η) 7→ ω ∧ η
esta induz na soma direta de espac¸os vetoriais∧
(V ∗) =
0∧
(V ∗)
⊕ 1∧
(V ∗)
⊕
. . .
⊕ n∧
(V ∗)
uma operac¸a˜o tambe´m designada por ∧ e onde convencionamos que ∧0(V ∗) = R. Com estas
operac¸o˜es
∧
(V ∗) torna-se uma a´lgebra associativa denominada a´lgebra exterior sobre V.
9. Orientac¸a˜o
Sejam (e1, e2, . . . , en) e (f1, f2, . . . , fn) bases de V . Para cada i ∈ {1, . . . , n},
fi =
n∑
j=1
ajiej
onde a1i , . . . , a
n
i ∈ R. Escrevemos
(fi) ∼ (ei)
se det(aji ) > 0. Observe que ∼ e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia no conjunto das bases de V .
Uma orientac¸a˜o em V e´ uma classe de equivaleˆncia de ∼ e, portanto, orientar V significa
fixar uma base (ei) de V . As bases de V que pertencem a` mesma classe de equivaleˆncia de (ei)
sa˜o denominadas positivas; uma base de V que na˜o e´ positiva e´ denominada negativa.
Seja agora ∆ ∈ ∧n(V ∗) com ∆(e1, e2, . . . , en) > 0. Como
∆(f1, f2, . . . , fn) = det(a
j
i )∆(e1, e2, . . . , en)
enta˜o as bases positivas sa˜o aquelas em que a n-forma ∆ e´ positiva. Assim, fixar uma orientac¸a˜o
e´ equivalente a fixar uma n-forma na˜o nula em V .
10. Espac¸os com produto interno
Considere em V um produto interno 〈 , 〉 e ale´m disto fixe uma orientac¸a˜o em V .
Proposic¸a˜o 1.20. Existe uma u´nica ∆ ∈ ∧n(V ∗) tal que ∆(e1, . . . , en) = 1 qualquer que
seja (e1, . . . , en) base ortonormal positiva de V .
10. ESPAC¸OS COM PRODUTO INTERNO 18
Demonstrac¸a˜o. Comecemos escolhendo uma n-forma ω tal que ω(e1, . . . , en) = k > 0.
Tomemos enta˜o ∆ = 1kω de forma que ∆(e1, . . . , en) = 1. Se (f1, . . . , fn) e´ outra base ortonormal
positiva enta˜o det(aji ) = 1. Portanto
∆(f1, f2, . . . , fn) = det(a
j
i )∆(e1, e2, . . . , en) = ∆(e1, e2, . . . , en) = 1
A unicidade segue do fato que uma n-forma fica determinada por seu valor numa base de
V . �
A forma ∆ estabelecida na proposic¸a˜o acima e´ chamada de forma volume associada ao produto
interno 〈 , 〉. Dados os vetores v1, v2, . . . , vn ∈ V o volume do n-paralelep´ıpedo determinado pelos
vetores v1, v2, . . . , vn ∈ V e´ o nu´mero
Vol(v1, v2, . . . , vn) = |∆(v1, v2, . . . , vn)|
Fixada uma base ortonormal (e1, . . . , en) e escrevendo vi =
∑
vji ej enta˜o ∆(v1, v2, . . . , vn) =
det[vji ]. Como [v
j
i ]
t[vji ] = [〈vi, vj〉] deduzimos que
Vol(v1, v2, . . . , vn)
2 = det[〈vi, vj〉]
Isto motiva definir o volume de um k-paralelep´ıpedo em V por
Vol(v1, v2, . . . , vk)
2 = det[〈vi, vj〉]
Recordemos que num espac¸o com produto interno temos um isomorfismo natural entre V e
V ∗ que a cada a ∈ V associa a 1-forma ωa definida por ωa(v) = 〈a, v〉.
Seja (a1, . . . , an−1) ∈ V n−1. Considere a forma linear ω : V → R dada por
ω(v) = ∆(a1, . . . , an−1, v)
qualquer que seja v ∈ V , onde ∆ e´ dada pela Proposic¸a˜o 1.20. Sabemos que existe um u´nico
vetor a ∈ V tal que ω(v) = ωa ou seja, tal que
∆(a1, . . . , an−1, v) = 〈a, v〉
qualquer que seja v ∈ V . O vetor a e´ denominado o produto vetorial de a1, . . . , an−1 e sera´
denotado por a1 ∧ . . . ∧ an−1. Assim temos
∆(a1, . . . , an−1, v) = 〈a1 ∧ . . . ∧ an−1, v〉
Observemos que estamos usando a notac¸a˜o a1 ∧ . . . ∧ an−1 com dois sentidos diferentes a
saber para designar o produto vetorial definido acima e tambe´m o produto exterior dos vetores
(a1, . . . , an−1) ∈ V n−1. Justificaremos isto mais adiante mostrando que o produto vetorial
permite identificar o espac¸o
∧n−1(V ) com V .
10. ESPAC¸OS COM PRODUTO INTERNO 19
Proposic¸a˜o 1.21. Suponha que V esteja orientado, 〈 , 〉 seja um produto interno em V e
que (e1, e2, . . . , en) seja uma base positiva. Valem:
(1) a aplicac¸a˜o ∧ : V n−1 → V dada por ∧(a1, . . . , an−1) = a1 ∧ . . . ∧ an−1 e´ (n − 1)-linear
alternada;
(2) a1 ∧ . . . ∧ an−1 e´ ortogonal a ai, qualquer que seja i ∈ {1, . . . , n− 1};
(3) a1 ∧ . . . ∧ an−1 =
∑n−1
i=1 (−1)n+iAiei onde Ai e´ o menor da matriz
A =

a11 . . . a
1
n−1
...
. . .
...
an1 . . . a
n
n−1

obtido mediante a omissa˜o da i-e´sima linha de A, onde aji denota a j-e´sima coordenada
de ai na base ortonormal positiva (ei);
(4) a1 ∧ . . . ∧ an−1 = 0 se, e somente se, (ai) e´ l.d.;
(5) Se (ai) e´ l.i enta˜o (a1, . . . , an−1, a1 ∧ . . . ∧ an−1) e´ uma base positiva de V .
(6) ||a1 ∧ . . . ∧ an−1|| = Vol(a1, . . . , an−1), onde Vol(a1, . . . , an−1) denota a volume do
paralelep´ıpedo gerado pelos vetores a1, . . . , an−1 de V .
Demonstrac¸a˜o.
(1) Segue do fato que ∆ e´ alternada.
(2) 〈a1 ∧ . . . ∧ an−1, ai〉 = ∆(a1, . . . ai, . . . an−1, ai) = 0.
(3) Basta desenvolver o determinante abaixo pela u´ltima coluna:
detA =

a11 . . . a
1
n−1 v1
...
. . .
...
...
an1 . . . a
n
n−1 vn

(4) Os vetores (ai) e´ l.d. se e somente se todos os menores A
i sa˜o nulos.
(5) Como
∆(a1, . . . , an−1, a1 ∧ . . . ∧ an−1) = 〈a1 ∧ . . . ∧ an−1, a1 ∧ . . . ∧ an−1〉 > 0 enta˜o
(a1, . . . , an−1, a1 ∧ . . . ∧ an−1) e´ uma base positiva.
(6) Como acima temos que ∆(a1, . . . , an−1, a1∧. . .∧an−1)2 = 〈a1∧. . .∧an−1, a1∧. . .∧an−1〉2.
Por outro lado temos ∆(a1, . . . , an−1, a1 ∧ . . . ∧ an−1)2 e´ igual a
det

〈a1, a1〉 . . . 〈a1, an−1〉 0
〈a2, a1〉 . . . 〈a2, an−1〉 0
...
. . .
...
...
0 . . . 0 〈a1 ∧ . . . ∧ an−1, a1 ∧ . . . ∧ an−1〉

11. A´LGEBRA VETORIAL CLA´SSICA 20
Assim, temos que
〈a1 ∧ . . . ∧ an−1, a1 ∧ . . . ∧ an−1〉2 = det[〈ai, aj〉]〈a1 ∧ . . . ∧ an−1, a1 ∧ . . . ∧ an−1〉
ou seja
〈a1 ∧ . . . ∧ an−1, a1 ∧ . . . ∧ an−1〉 = det[〈ai, aj ]
e, portanto,
||a1 ∧ . . . ∧ an−1|| = Vol(a1, . . . , an−1).
�
11. A´lgebra vetorial cla´ssica
Nesta sec¸a˜o assumimos que V e´ um espac¸o vetorial real de dimensa˜o 3 orientado e munido
de um produto interno 〈 , 〉.
O espac¸o dual V ∗ identifica-se com V atrave´s do isomorfismo:
V → V ∗
a 7→ ωa
onde ωa e´ a forma linear
ωa(v) = 〈a, v〉
O espac¸o das 2-formas tambe´m identifica-se com V atrave´s do isomorfismo:
V → ∧2(V ∗)
a 7→ ηa
onde ηa e´ a 2-forma linear
ηa(v1, v2) = ∆(a, v1, v2)
Da definic¸a˜o do produto vetorial temos
ηa(v1, v2) = 〈a, v1 ∧ v2〉
Finalmente podemos identificar as 3-formas com os nu´meros reais atrave´s da aplicac¸a˜o:
R → ∧3(V ∗)
a 7→ a∆
Sejam u1, u2 ∈ V . Se ω1(v) = 〈u1, v〉 e ω2(v) = 〈u2, v〉, enta˜o (ω1 ∧ ω2)(v1, v2) coincide com
o determinante de Gramm:
11. A´LGEBRA VETORIAL CLA´SSICA 21
(ω1 ∧ ω2)(v1, v2) = det
(
〈u1, v1〉 〈u1, v2〉
〈u2, v1〉 〈u2, v2〉
)
Fixados u1, u2 ∈ V , obtemos a 2-forma
η(v1, v2) = det
(
〈u1, v1〉 〈u1, v2〉
〈u2, v1〉 〈u2, v2〉
)
Do isomorfismo acima existe um vetor a ∈ V tal que
〈a, v1 ∧ v2〉 = ∆(a, v1, v2) = det
(
〈u1, v1〉 〈u1, v2〉
〈u2, v1〉 〈u2, v2〉
)
Assim para cada par u1, u2 associamos um vetor a = Φ(u1, u2). E´ facil constatar que Φ e´
uma aplicac¸a˜o bilinear alternada:
V × V → V
(u1, u2) 7→ Φ(u1, u2)
Proposic¸a˜o 1.22. Se Φ : V × V → V e´ uma aplicac¸a˜o bilinear alternada enta˜o existe uma
aplicac¸a˜o linear L : V → V tal que Φ(u, v) = L(u ∧ v).
Demonstrac¸a˜o. Se (e1, e2, e3) e´ uma base ortonormal positiva de V enta˜o e1 ∧ e2 = e3,
e2 ∧ e3 =e1, e3 ∧ e1 = e2. Basta definir L(e1) = Φ(e2 ∧ e3), L(e2) = Φ(e3 ∧ e1),
L(e3) = Φ(e1 ∧ e2). �
Substituindo acima obtemos:
〈L(u1 ∧ u2), v1 ∧ v2〉 = det
(
〈u1, v1〉 〈u1, v2〉
〈u2, v1〉 〈u2, v2〉
)
Calculando Φ(ei, ej) = L(ei ∧ ej) obtemos L = I.
Finalmente:
〈u1 ∧ u2, v1 ∧ v2〉 = det
(
〈u1, v1〉 〈u1, v2〉
〈u2, v1〉 〈u2, v2〉
)
Seja (x1, x2, x3) a base dual da base ortonormal (e1, e2, e3) enta˜o
(ω1 ∧ ω2)(v1, v2) =
∑
I∈C3,2
(ω1 ∧ ω2)(eI)xI(v1, v2)
Lembrando que ωi(ej) = 〈ui, ej〉 = xj(ui)
12. FORMAS DIFERENCIAIS 22
(ω1 ∧ ω2)(v1, v2) =
∑
I∈C3,2
xI(u1, u2)x
I(v1, v2)
No nosso caso temos
(ω1 ∧ ω2)(v1, v2) = (x1 ∧ x2)(u1, u2)(x1 ∧ x2)(v1, v2) +
(x2 ∧ x3)(u1, u2)(x2 ∧ x3)(v1, v2) +
(x3 ∧ x1)(u1, u2)(x3 ∧ x1)(v1, v2)
Disto obtemos a identidade de Binet-Cauchy:
〈u1 ∧ u2, v1 ∧ v2〉 = (x1 ∧ x2)(u1, u2)(x1 ∧ x2)(v1, v2) +
(x2 ∧ x3)(u1, u2)(x2 ∧ x3)(v1, v2) +
(x3 ∧ x1)(u1, u2)(x3 ∧ x1)(v1, v2)
Fazendo ui = vi temos a identidade de Lagrange:
‖v1 ∧ v2‖2 = (x1 ∧ x2)((v1, v2)2 +
(x2 ∧ x3)(v1, v2)2 +
(x3 ∧ x1)(v1, v2)2
Esta diz que o quadrado da a´rea do paralelogramo gerado pelos vetores v1 e v2 e´ igual a soma
dos quadrados das a´reas das projec¸o˜es nos planos coordenados (Teorema de Pita´goras).
12. Formas diferenciais
Recordemos que se U ⊂ Rn, f : U → R e´ uma func¸a˜o diferenciavel e p ∈ U enta˜o a diferencial
de f em p e´ dada por: {
dfp : Rn → R
dfp(v) =
∂f
∂v (p) = limt→0
f(p+tv)−f(p)
t
Exemplo 1.23. Se f : Rn → R e´ uma func¸a˜o linear enta˜o
dfp(v) = lim
t→0
f(p+ tv)− f(p)
t
= f(v)
Assim dfp = f ou seja df e´ constante.
Exemplo 1.24. Seja e1, . . . , en uma base do Rn. Se x1, . . . , xn e´ a base dual enta˜o cada
xi : Rn → R e´ uma func¸a˜o linear e portanto dxip = xi qualquer que seja p ∈ Rn.
Como consequeˆncia do exemplo anterior a diferencial de uma func¸a˜o tem a seguinte expressa˜o:
12. FORMAS DIFERENCIAIS 23
dfp(v) = dfp(
∑
i=1,...,n x
i(v)ei) =
∑
i=1,...,n
∂f
∂xi
(p)xi(v) =
∑
i=1,...,n
∂f
∂xi
(p)dxip(v)
Abreviadamente:
df =
∑
i=1,...,n
∂f
∂xi
dxi
Mais geralmente se V,W sa˜o espac¸os vetoriais de dimensa˜o finita, U ⊂ V aberto e F : U →W
diferencia´vel, a diferencial de F em p e´ dada por
dFp(v) = lim
t→0
F (p+ tv)− F (p)
t
Se (w1, . . . , wm) e´ uma base de W enta˜o F (p) =
∑
j=1,...,m f
j(p)wj e sua diferencial em p e´
dada por dF (p) =
∑
j=1,...,m df
j(p)wj . Explicitamente temos:
dFp(v) =
∑
j=1,...,m
 ∑
i=1,...,n
∂f j
∂xi
(p)dxip(v)
wj
ou na forma abreviada:
dF =
∑
j=1,...,m
 ∑
i=1,...,n
∂f j
∂xi
dxi
wj
A matriz
J(p) =
(
∂f j
∂xi
(p)
)
e´ chamada de matriz jacobiana de F no ponto p. Um caso de particular importaˆncia para no´s e´
quando o espac¸o vetorial W e´ o espac¸o dual V ∗ ou mais geralmente W =
∧k(V ∗).
Definic¸a˜o 1.25. Uma k-forma diferencial num aberto U ∈ V e´ uma aplicac¸a˜o diferencia´vel
ω : U →
k∧
(V ∗)
Fixada uma base x1, . . . , xn de V ∗ lembrando que dxip = xi e que (dxIp)I∈Cn,k = (x
I)I∈Cn,k
constitui uma base de
∧k(V ∗) enta˜o
ω(p) =
∑
I∈Cn,k
aI(p)dx
I
p
onde cada aI : U → R e´ uma func¸a˜o diferencia´vel.
12. FORMAS DIFERENCIAIS 24
Exemplo 1.26. Para k = 1 temos as 1-formas diferencia´veis no Rn
ω : Rn → (Rn)∗
ωp =
∑
i=1,...,n
ai(p)dx
i
p
Em particular se f : Rn → R enta˜o a diferencial de f e´ uma 1-forma df = ∑i=1,...,n ∂f∂xidxi onde
ai(p) =
∂f
∂xi
dxi.
Exemplo 1.27. No R3 temos
1-formas : ω = adx+ bdy + cdz
2-formas : η = adx ∧ dy + bdy ∧ dz + cdz ∧ dx
3-formas : ∆ = adx ∧ dy ∧ dz
onde a, b, c sa˜o func¸o˜es diferencia´veis definidas no R3.
A partir de agora suporemos que todas as func¸o˜es consideradas tenham pelo menos derivadas
segunda cont´ınuas e a diferencial de f em p sera´ denotada por f ′p ao inve´s de dfp. Em breve
ficara´ claro porque fizemos esta mudanc¸a de notac¸a˜o.
As operac¸o˜es de soma, produto por escalar e produto exterior das formas lineares induzem
as correspondentes operac¸o˜es nas formas diferenciais. Assim, por exemplo
(ω ∧ η)p = ωp ∧ ηp
Definic¸a˜o 1.28. O conjunto das k-formas diferenciais sobre U sera´ designado por Ek(U).
Note que E0(U) e´ o conjunto das func¸o˜es diferencia´veis definidas em U . Com as operac¸o˜es
usuais Ek(U) e´ um espac¸o vetorial real. Ale´m disto este espac¸o e´ um mo´dulo sobre o anel E0(U)
das func¸o˜es diferencia´veis definidas em U . Observamos tambe´m que se f ∈ E0(U) e ω ∈ Ek(U)
enta˜o f ∧ ω = fω.
Definic¸a˜o 1.29. Sejam V ⊂ Rn um conjunto aberto, ω ∈ Ek(V ), U ⊂ Rm e f : U → Rm
tal que f(U) ⊂ V . Definimos
f∗(ω)p(v1, . . . , vk) = ωf(p)(dfp(v1), . . . , dfp(vk))
Da proposic¸a˜o 1.18 segue facilmente o seguinte resultado:
Proposic¸a˜o 1.30. Nas condic¸o˜es acima temos:
(1) f∗ : Ek(V )→ Ek(U) e´ uma aplicac¸a˜o linear.
(2) Se g ∈ E0(V ) enta˜o f∗(g) = g ◦ f
(3) Se ω ∈ Ek(V ) η ∈ Er(V ) enta˜o f∗(ω ∧ η) = f∗(ω) ∧ f∗(η)
12. FORMAS DIFERENCIAIS 25
Exemplo 1.31. Se f : Rm → Rn e´ uma aplicac¸a˜o dada por xi = f i(y1, . . . , ym) e
ω =
∑
i=1,...,n
aidx
i
enta˜o
f∗(ω) =
∑
i=1,...,n ai(
∑
j=1,...,m
∂f i
∂yj
dyj)
f∗(ω) =
∑
i,j ai
∂f i
∂yj
dyj
Como consequeˆncia para calcularmos f∗(ω) basta substituirmos dxi na expressa˜o de ω por
df i =
∑
j=1,...,m
∂f i
∂yj
dyj .
A seguir vamos definir a operac¸a˜o mais importante nas formas diferenciais, a diferencial
exterior. Comecemos com as 1-formas. Se f : Rn → R e´ diferencia´vel enta˜o a sua diferencial
f ′ : Rn → (Rn)∗ e´ uma 1-forma sobre o Rn (lembre que mudamos a notac¸a˜o!). A diferencial
desta func¸a˜o num ponto p ∈ Rn e´ a func¸a˜o linear
(f ′)′p : Rn → (Rn)∗
chamada de diferencial segunda de f no ponto p e denotada abreviadamente por f ′′p . Em
coordenadas temos:
f ′p =
∑
i=1,...,n
∂f
∂xi
(p)dxip
(Lembre que dxip = x
i e´ uma func¸a˜o constante igual a um vetor fixo xi).
Calculando a diferencial de f ′ obtemos:
f ′′p =
∑
i=1,...,n
(
∑
j=1,...,n
∂2f
∂xj∂xi
(p)dxjpdx
i
p)
A diferencial segunda de f define uma func¸a˜o bilinear h : Rn × Rn → R dada por:
h(u, v) = f ′′p (u)(v)
Em coordenadas temos:
f ′′p (u, v) =
∑
i=1,...,n
(
∑
j=1,...,n
∂2f
∂xj∂xi
(p)ujvi)
O teorema de Schwarz diz que esta forma bilinear e´ sime´trica ou seja ∂
2f
∂xj∂xi
(p) = ∂
2f
∂xi∂xj
(p).
A matriz H = ( ∂
2f
∂xj∂xi
(p)) e´ uma matriz sime´trica chamada de matriz hessiana de f no ponto
p. Seja agora uma 1-forma
ωp =
∑
i=1,...,n
ai(p)dx
i
p
12. FORMAS DIFERENCIAIS 26
Enta˜o a diferencial de ω em p e´ uma aplicac¸a˜o linear
ω′p : Rn → (Rn)∗
Esta tambe´m define uma aplicac¸a˜o bilinear:
h(u, v) = ω′p(u)(v)
Assim se existir uma func¸a˜o f tal que ω = df esta forma precisa ser sime´trica:
ω′p(u)(v) = ω
′
p(v)(u)
Definic¸a˜o 1.32. Se ω ∈ E1(U) definimos diferencial exterior de ω por
dωp(u, v) = ω
′
p(u, v)− ω′p(v, u)
Assim a diferencial exterior de ω e´ a parte anti-sime´trica da diferencial usual. Ela mede
o quanto uma forma diferencial afasta-se de ser uma diferencial exata, isto e´ ser a diferencial
de uma func¸a˜o. Analisemos a rec´ıproca, isto e´ se dω = 0 quando existe f tal que f ′ = ω?
Considere uma func¸a˜o f : Rn → R e g(t) = f(tx). Enta˜o g′(t) = f ′tx(x) = ωtx(x). Assim
f(x)− f(0) = g(1)− g(0) = ∫ 10 ωtx(x)dt. Desta forma se existir uma tal f ela sera´ dada por
f(x) = f(0) +
∫ 1
0
ωtx(x)dt
Lema 1.33. Sejam ω uma 1-forma definida num aberto U ⊂ Rn, f, g : W → U func¸o˜es
diferencia´veis definidas em W ⊂ Rm. Enta˜o a func¸a˜o
Φ(x) = ωf(x)(g(x))
e´ diferencia´vel e sua diferencial e´ dada por
Φ′x(v) = ω
′
f(x)(f
′(v))(g(x)) + ωf(x)(g′(v))
Demonstrac¸a˜o. Escrevemos a forma em coordenadas ωp =
∑
i=1,...,n ai(p)dx
i
p. Enta˜o
Φ(x) =
∑
i=1,...,nai(f(x))g
i(x)
onde gi sa˜o as coordenadas de g. Segue da regra da cadeia e do produto que:
Φ′x(v) =
∑
i=1,...,n
(ai)
′
f(x)(f
′(v))gi(x) +
∑
i=1,...,n
ai(f(x))(g
i)′(v)
ou seja
Φ′x(v) = ωf(x)(f
′(v))(g(x)) + ωf(x)(g′(v))
�
12. FORMAS DIFERENCIAIS 27
Proposic¸a˜o 1.34. (Lema de Poincare´ para 1-formas) Se ω ∈ E1(Rn) e dω = 0 enta˜o a
func¸a˜o
f(x) =
∫ 1
0
ωtx(x)dt
e´ uma primitiva de ω, isto e´ f ′ = ω.
Demonstrac¸a˜o. Pelo lema anterior e pela regra de Leibniz a diferencial de f e´ dada por
f ′x(v) =
∫ 1
0
(ω′tx(tv)(x) + ωtx(v))dt
f ′x(v) =
∫ 1
0
(tω′tx(v)(x) + ωtx(v))dt
Por hipo´tese dω = 0. Desta forma
dωtx(v, x) = ω
′
tx(v, x)− ω′tx(x, v) = 0
ou seja:
ω′tx(v, x) = ω
′
tx(x, v)
Substituindo na expressa˜o acima teremos
f ′x(v) =
∫ 1
0
(tω′tx(x)(v) + ωtx(v))dt
f ′x(v) =
∫ 1
0
(tω′tx(x) + ωtx)(v)dt
f ′x(v) =
∫ 1
0
(
d
dt
(tω(tx))(v)dt
f ′x(v) = (tωtx)(v)|10 = ωx)(v)
�
A seguir vamos estender a diferencial exterior para formas de grau maior que 1.
Definic¸a˜o 1.35. Se ω ∈ Ek(U) definimos
dωx(v1, . . . , vk+1) =
∑
σ∈S1k
�σω
′
x(vσ(1))(vσ(2), . . . , vσ(k+1))
ou de forma equivalente
dωx(v1, . . . , vk+1) =
k+1∑
i=1
(−1)i−1ω′x(vi)(v1, . . . , v̂i, . . . , v(k+1))
12. FORMAS DIFERENCIAIS 28
Em coordenadas teremos:
ω =
∑
I∈Cnk
aIdx
I
ω′x(v) =
∑
I∈Cnk
(daI)x(v)dx
I
x
dωx(v1, . . . , vk+1) =
∑
I∈Cnk
∑
σ∈S1k
�σ(daI)x(vσ(1))dx
I
x(vσ(2), . . . , vσ(k+1))
dωx(v1, . . . , vk+1) =
∑
I∈Cnk
((daI)x ∧ dxIx)((v1, . . . , vk+1)
ou seja
dω =
∑
I∈Cnk
((daI) ∧ dxI
Exemplo 1.36. Se ω ∈ R2 e´ dada por ω = Pdx+Qdy enta˜o dω = dP ∧ dx+ dQ ∧ dy o que
implica
dω = (
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)dx ∧ dy
Exemplo 1.37. Se ω ∈ R3 e´ dada por ω = Pdx + Qdy + Rdz enta˜o dω = dP ∧ dx + dQ ∧
dy + dR ∧ dz de onde tiramos
dω = (
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)dx ∧ dy + (∂R
∂y
− ∂Q
∂z
)dy ∧ dz + (∂R
∂z
− ∂P
∂x
)dz ∧ dx
Proposic¸a˜o 1.38. O operador d tem as seguintes propriedades:
(1) d : Ek(U)→ Ek+1(U)
(2) d e´ R-linear
(3) df = f ′
(4) Se ω ∈ Ek(U) enta˜o d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)k(ω ∧ dη)
(5) d2ω = 0
(6) d(f∗ω) = f∗(dω)
Demonstrac¸a˜o. As propriedades 1,2,3 seguem diretamente das definic¸o˜es.
Se
ω =
∑
I∈Cnk
aIdx
I e η =
∑
I∈Cnk
bJdx
J
enta˜o
ω ∧ η =
∑
I,J∈Cnk
aIbJdx
I ∧ dxJ
d(ω ∧ η) =
∑
I,J∈Cnk
d(aIbJ)dx
I ∧ dxJ
12. FORMAS DIFERENCIAIS 29
d(ω ∧ η) =
∑
I,J∈Cnk
(daIbJ + aIdbJ)dx
I ∧ dxJ
d(ω ∧ η) =
∑
I,J∈Cnk
bJdaIdx
I ∧ dxJ +
∑
I,J∈Cnk
aIdbJdx
I ∧ dxJ
d(ω ∧ η) =
∑
I,J∈Cnk
daIdx
I ∧ bJdxJ + (−1)k
∑
I,J∈Cnk
aIdx
I ∧ dbJ ∧ dxJ
d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)k(ω ∧ dη)
provando o item 4.
ω =
∑
I∈Cnk
aIdx
I
dω =
∑
I∈Cnk
daI ∧ dxI
dω =
∑
I∈Cnk
(
∑
i=1,...,n
∂aI
∂xi
dxi) ∧ dxI
d(dω) =
∑
I∈Cnk
(
∑
i,j=1,...,n
∂2aI
∂xj∂xi
dxj ∧ dxi) ∧ dxI
d(dω) =
∑
I∈Cnk
(
∑
i<j
(
∂2aI
∂xi∂xj
dxj − ∂
2aI
∂xj∂xi
)dxi ∧ dxj ∧ dxI = 0
Finalmente se g ∈ E0(U) enta˜o f∗(g) = g ◦ f .
Assim teremos d(f∗(g)) = d(g ◦ f) = dg ◦ df = (f∗(dg). Se
ω =
∑
I∈Cnk
aIdx
I
enta˜o
f∗(ω) =
∑
I∈Cnk
f∗(aI)f∗(dxI)
d(f∗(ω)) =
∑
I∈Cnk
d(f∗(aI)) ∧ f∗(dxI)
d(f∗(ω)) =
∑
I∈Cnk
(f∗(daI)) ∧ f∗(dxI)
d(f∗(ω)) =
∑
I∈Cnk
f∗(daI ∧ dxI)
d(f∗(ω)) = f∗(dω)
�
12. FORMAS DIFERENCIAIS 30
Proposic¸a˜o 1.39. (Lema de Poincare´)
Se ω ∈ ∧k(V ∗) e´ fechada, isto e´ dω = 0 enta˜o a k − 1-forma definida por
ηx(v1, . . . , vk−1) =
∫ 1
0
ωtx(x, tv1, . . . , tvk−1)dt
e´ uma primitiva de ω ou seja dη = ω.
Demonstrac¸a˜o.
dηx(v1, . . . , vk) =
k∑
i=1
(−1)i−1η′x(vi)(v1, . . . , v̂i, . . . , vk)
η′x(vi)(v1, . . . , v̂i, . . . , vk) =
∫ 1
0
(ω′tx(tvi)(x, tv1, . . . , t̂vi, . . . , tvk) + ωtx(vi, tv1, . . . , t̂vi, . . . , tvk))dt
Substituindo teremos:
dηx(v1, . . . , vk) =
k∑
i=1
(−1)i−1
∫ 1
0
(ω′tx(tvi)(x, tv1, . . . , t̂vi, . . . , tvk) +ωtx(vi, tv1, . . . , t̂vi, . . . , tvk))dt
Como ω e´ alternada temos:
ωtx(vi, tv1, . . . , t̂vi, . . . , tvk) = (−1)i−1ωtx(v1, tv2, . . . , tvi, . . . , tvk))
e como ω e´ fechada enta˜o
dωtx(x, tv1, . . . , tvk) = 0
(ω′tx(x)(tv1, . . . , tvk) +
k∑
i=1
(−1)iω′tx(tvi)(x, tv1, . . . , t̂vi, . . . , tvk) = 0
(ω′tx(x)(tv1, . . . , tvk) =
k∑
i=1
(−1)i−1ω′tx(tvi)(x, tv1, . . . , t̂vi, . . . , tvk)
Substituindo na expressa˜o de dη
dηx(v1, . . . , vk) =
∫ 1
0
(ω′tx(x)(tv1, . . . , tvk) + kωtx(v1, tv2, . . . , tvk))dt
dηx(v1, . . . , vk) =
∫ 1
0
(tkω′tx(x)(v1, . . . , vk) + kt
k−1ωtx(v1, v2, . . . , vk))dt
dηx(v1, . . . , vk) =
∫ 1
0
(tkω′tx(x) + kt
k−1ωtx)(v1, v2, . . . , vk)dt
dηx(v1, . . . , vk) =
∫ 1
0
d
dt
(tkωtx(x))(v1, v2, . . . , vk)dt
�
13. COHOMOLOGIA DE DE RHAN 31
13. Cohomologia de De Rhan
Definic¸a˜o 1.40. Diremos que uma k-forma ω e´ fechada ou que e´ um cobordo se dω = 0 e
que ela e´ exata ou que e´ um cociclo se existe uma k − 1-forma η tal que dη = ω.
Os operadores
d : Ek−1(U)→ Ek(U)
onde U ⊂ Rn e´ um aberto definem uma sequeˆncia
{0} → E0(U)→ E1(U)→ . . . Ek−1(U)→ Ek(U) . . . En(U)→ {0}
Definic¸a˜o 1.41.
Bk(U) = Ker (d : Ek(U)→ Ek+1(U))
Zk(U) = Im (d : Ek−1(U)→ Ek(U))
Como d2 = d ◦ d = 0 temos que
Zk(U) ⊂ Bk(U)
O k-e´simo grupo de Cohomologia de De Rham do aberto U e´ por definic¸a˜o o cociente:
Hk(U) = Bk(U)/Zk(U)
Exemplo 1.42. (cohomologia de R)
E0(R) = {f : R→ R : f e´ diferenciavel}
E1(R) = {adx : a e´ diferenciavel}
Agora
B0(R) = {f : R→ R : df = 0}
B1(R) = E1(R) = {adx : a e´ diferenciavel}
Z0(R) = {0}
Se ω = adx enta˜o tomando-se f =
∫
adx temos que df = ω de onde concluimos que
Z1(R) = E1(R)
Assim temos {
H0(R) = R
H1(R) = {0}
Exemplo 1.43. Seja U ⊂ R um conjunto aberto. Enta˜o U = ⋃j∈A Ij, reunia˜o disjunta de
intervalos Ij. Enta˜o teremos: {
H0(U) = RA
H1(U) = {0}
13. COHOMOLOGIA DE DE RHAN 32
Exemplo 1.44. Seja U ⊂ Rn um conjunto aberto. Enta˜o U = ⋃j∈ACj, reunia˜o disjunta de
suas componentes conexas Cj. Enta˜o teremos:
H0(U) = RA
Exemplo 1.45. (cohomologia de R2 − {0})
Considere as coodenadas polares no plano{
x = r cos θ
y = r sen θ
Enta˜o temos que r =
√
x2 + y2. De onde concluimos que
dr =
xdx+ ydy√
x2 + y2
Diferenciando temos que {
dx = cos θdr − r sen θdθ
dy = sen θdr + r cos θdθ
De onde concluimos que
dθ =
−ydx+ xdy
x2 + y2
Note que apesar da func¸a˜o θ na˜o estar definida em todo R2 − {0} as formas
ω1 =
xdx+ ydy√
x2 + y2
ω2 =
−ydx+ xdy
x2 + y2
esta˜o globalmente definidas.
Um ca´lculo simples mostra que dω1 = 0 e dω2 = 0. A forma ω1 e´ exata: dr = ω1 mas a
forma ω2 na˜o e´ exata pois se consideramos a curva fechada c(t) = (cos t, sen t) onde 0 ≤ t ≤ 2pi
enta˜o a integral de linha e´ diferente de zero:∫
c
−ydx+ xdy
x2 + y2
= 2pi
Se ω = a(r, θ)dr e´ uma forma fechada enta˜o dω =
∂a
∂θ
dθ ∧ dr = 0. Portanto ∂a
∂θ
= 0. Assim
a func¸a˜o a so´ depende de r, a = a(r). Se f(r) =
∫
a(r)dr enta˜o df = ω ou seja ω e´ exata. Se
ω = b(r, θ)dθ e´ uma forma fechada enta˜o dω =
∂b
∂r
dr ∧ dθ = 0. Portanto ∂b
∂r
= 0. Assim a
13. COHOMOLOGIA DE DE RHAN 33
func¸a˜o b so´ depende de θ, b = b(θ). Assim ω = b(θ)dθ. Seja
k =
1
2pi
∫ 2pi
0
b(θ)dθ
Considere a nova forma
η = ω − kdθ = (b(θ)− k)dθ
e seja
f(θ) =
∫ θ
0
(b(θ)− k)dθ
Enta˜o f(2pi) = f(0) = 0 e portanto e´ uma func¸a˜o perio´dica definida no R2−{0} e df = θ. Assim
η ∈ Z1(R2 − {0}) e temos
ω + Z1(R2 − {0}) = (η + kdθ) + Z1(R2 − {0}) = kdθ + Z1(R2 − {0})
Consideremos o caso geral onde ω = a(r, θ)dr + b(r, θ)dθ e´ uma forma fechada.
Enta˜o temos
∂b
∂r
− ∂a
∂θ
= 0.
Seja
k =
1
2pi
∫ 2pi
0
b(1, θ)dθ
e
f(r, θ) =
∫ θ
0
(b(1, θ)− k)dθ +
∫ r1
a(r, θ)dr
Como acima verifica-se que f esta bem definida no R2 − {0} e temos
∂f
∂r
= a(r, θ)
∂f
∂θ
= (b(θ)− k) + ∫ r1 ∂a∂θdr
Usando o fato que ω e´ fechada vem
∂f
∂θ
= (b(1, θ)− k) + ∫ r1 ∂b∂rdr
∂f
∂θ
= (b(1, θ)− k) + b(r, θ)− b(1, θ)
∂f
∂θ
= b(r, θ)− k
Disto podemos concluir que
ω = df + kdθ
ω + Z1(R2 − {0}) = kdθ + Z1(R2 − {0})
14. ANA´LISE VETORIAL CLA´SSICA 34
mostrando que
H1(R2 − {0}) = R
Como R2−{0} e´ conexo temos que H0(R2−{0}). Se η = a(r, θ)dr∧dθ e f(r, θ) = ∫ a(r, θ)dr
enta˜o a 1-forma ω = f(r, θ)dθ e´ uma primitiva de η ou seja dω = η. Em resumo a cohomologia
do R2 − {0} e´ 
H0(R2 − {0}) = R
H1(R2 − {0}) = R
H2(R2 − {0}) = {0}
14. Ana´lise vetorial cla´ssica
Recordemos que um campo de vetores num aberto U ⊂ R3 e´ uma aplicac¸a˜o diferencia´vel
X : U → R3
Se (e1, e2, e3) e´ uma base enta˜o
X(p) = a1e1 + a2e2 + a3e3
onde cada ai : U → R e´ uma func¸a˜o diferencia´vel e
dX(p) = da1(p)e1 + da2(p)e2 + da3(p)e3
Seja Γ(U) o conjunto dos campos definidos em U . Com as operac¸o˜es habituais Γ(U) torna-se
um espac¸o vetorial soˆbre R e um mo´dulo soˆbre o anel E0(U) das func¸o˜es diferencia´veis definidas
em U . Considere a seguir as formas duais dx1, dx2, dx3. Uma 1-forma ω ∈ E1(U) decompo˜e-se
ω = a1dx
1 + a2dx
2 + a3dx
3
As 2-formas η ∈ E2(U) decompo˜e-se
η = b1dx
2 ∧ dx3 + b2dx3 ∧ dx1 + b3dx1 ∧ dx2
Finalmente as formas de grau tres sa˜o dadas por
γ = cdx1 ∧ dx2 ∧ dx3
As diferenciais exteriores, sendo f ∈ E0(U), sa˜o dadas por
df =
∂f
∂x1
dx1 +
∂f
∂x2
dx2 +
∂f
∂x3
dx3
dω = da1 ∧ dx1 + da2 ∧ dx2 + da3 ∧ dx3
dω = (
∂a2
∂x1
− ∂a1
∂x2
)dx1 ∧ dx2 + (∂a3
∂x1
− ∂a1
∂x3
)dx1 ∧ dx3 + (∂a3
∂x2
− ∂a2
∂x3
)dx2 ∧ dx3
dη = db1 ∧ dx2 ∧ dx3 + db2 ∧ dx3 ∧ dx1 + db3 ∧ dx1 ∧ dx2
14. ANA´LISE VETORIAL CLA´SSICA 35
dη = (
∂b1
∂x1
+
∂b2
∂x2
+
∂b3
∂x3
)dx1 ∧ dx2 ∧ dx3
dγ = 0
Assumamos a partir de agora que (e1, e2, e3) e´ uma base ortonormal positiva de forma que o
elemento de volume do R3 e´ dado por
∆ = dx1 ∧ dx2 ∧ dx3
Para cada X ∈ Γ(U) defina a 1-forma
(ωX)p(v) = 〈X(p), 〉v
e a 2-forma
(ηX)p(u, v) = ∆(X(p), u, v)
Para cada f ∈ E0(U) defina
∆f = f∆
As aplicac¸o˜es {
Γ(U) → E1(U)
X 7→ ωX{
Γ(U) → E2(U)
X 7→ ηX{
E0(U) → E3(U)
X 7→ ∆f
sa˜o isomorfismos de espac¸os vetoriais e de mo´dulos.
Definic¸a˜o 1.46. (Gradiente, Rotacional, Divergente)
O Gradiente de uma func¸a˜o f ∈ E0(U) e´ o campo ∇f tal que
ω∇f = df
O Rotacional de um campo X ∈ Γ(U) e´ o campo rot(X) ∈ Γ(U) tal que
ηrot(X) = dωX
O Divergente de um campo X ∈ Γ(U) e´ a func¸a˜o div(X) ∈ E0(U) tal que
∆div(X) = dηX
O Laplaciano de uma func¸a˜o f ∈ E0(U) e´ a func¸a˜o 4f ∈ E0(U) dada por
4f = div(∇f)
14. ANA´LISE VETORIAL CLA´SSICA 36
Mostramos na secc¸a˜o 11 a seguinte igualdade
ωX ∧ ωY = ηX∧Y
Considere a 3-forma
ωX ∧ ηY
Como ωX ∧∆ = 0 fazendo a contrac¸a˜o na direc¸a˜o Y temos:
iY ωX ∧∆− ωX ∧ iY ∆ = 0
ou seja
ωX ∧ ηY = 〈X,Y 〉∆
Diferenciando
ω∇f = df
temos
dω∇f = 0
de onde concluimos que
rot(∇f) = 0
De forma semelhante diferenciando
∆div(rot(X)) = dηrot(X)
obtemos
div(rot(X) = 0
Consideremos a seguir o elemento de a´rea 4 no plano R2. Para cada u ∈ R2 seja Ju o u´nico
vetor tal que
〈Ju, v〉 = 4(u, v)
Proposic¸a˜o 1.47. O operador linear J : R2 → R2 tem as seguintes propriedades:
(1) Ju⊥u
(2) 〈Ju, Jv〉 = 〈u, v〉
(3) 〈Ju, v〉 = −〈u, Jv〉
(4) J2 = −I
Demonstrac¸a˜o. Como 〈Ju, u〉 = 4(u, u) = 0 vem que Ju⊥u. Agora,
〈Ju, Ju〉2 = 4(u, Ju)2
4(u, Ju)2 = det
(
〈u, u〉 〈u, Ju〉
〈Ju, u〉 〈Ju, Ju〉
)
14. ANA´LISE VETORIAL CLA´SSICA 37
como 〈Ju, u〉 = 0 temos que 〈Ju, Ju〉2 = 〈u, u〉〈Ju, Ju〉. De onde concluimos que 〈Ju, Ju〉 =
〈u, u〉. Da fo´rmula de polarizac¸a˜o temos que:
〈Ju, Jv〉 = 〈u, v〉
Tambe´m
〈Ju, v〉 = 4(u, v) = −4 (v, u) = −〈Jv, u〉
Finalmente,
〈J2u, v〉 = −〈Ju, Jv〉 = −〈u, v〉
De onde concluimos que
J2 = −I
�
O operador J nada mais e´ que a estrutura complexa usual do plano. Em coordenadas
J(x, y) = −(y, x).
Como antes para cada X ∈ Γ(U) onde U e´ um aberto do plano seja
(ωX)p(u) = 〈X(p), u〉
(ηX)p(u) = 4(X(p), u)
Proposic¸a˜o 1.48. Se X,Y ∈ Γ(U) enta˜o:
(1) ηX = ωJX
(2) ωX ∧ ωY = 〈JX, Y 〉 4
(3) ωX ∧ ηY = 〈X,Y 〉 4
(4) ηX ∧ ηY = ωX ∧ ωY = 〈JX, Y 〉 4
Demonstrac¸a˜o.
(1)
(ηX)p(u) = 4(X(p), u) = 〈JX(p), u〉 = (ωJX)p(u)
(2)
(ωX ∧ ωY )(u, v) = det
(
〈X,u〉 〈X, v〉
〈Y, u〉 〈Y, v〉
)
= 4(X,Y )4 (u, v) = 〈JX, Y 〉 4 (u, v)
(3)
ωX ∧ ηY = ωX ∧ ωJY = 〈JX, JY 〉 4 = 〈X,Y 〉 4
(4)
ηX ∧ ηY = ωJX ∧ ωJY = 〈J2X, JY 〉 4 = 〈JX, Y 〉 4
�
CAP´ıTULO 2
Integral de formas diferenciais
Neste cap´ıtulo defiremos a integral de uma k-forma ao longo de um k-caminho no Rn e
provaremos a versa˜o do teorema de Stokes para cadeias.
1. Integral de formas sobre cadeias
Comecemos recordando a fo´rmula de mudanc¸a de varia´veis para integrais mu´ltiplas.
Seja g : U → V um difeomorfismo entre os abertos U, V ⊂ Rn, D ⊂ U um domı´nio compacto
Jordan mensura´vel enta˜o∫
g(D)
f(y)dy1 . . . dyn =
∫
D
f(g(x)| det g′(x)|dx1 . . . dxn
Se a func¸a˜o g e´ dada em coordenadas por yi = yi(x1, . . . , xn) enta˜o o determinante jacobiano
de g e´ dado por:
∂(y1 . . . yn)
∂(x1 . . . xn)
= det g′(x) = det
(
∂yi
∂xj
)
e a fo´rmula de mudanc¸a de varia´veis escreve-se como
∫
g(D)
f(y1, . . . , yn)dy1 . . . dyn =
∫
D
f(y1(x1, . . . , xn), . . . , yn(x1, . . . , xn))
∣∣∣∣∂(y1 . . . yn)∂(x1 . . . xn)
∣∣∣∣ dx1 . . . dxn
Exemplo 2.1. Considere uma aplicac¸a˜o afim do Rn g : Rn → Rn dada por g(x) = T (x) + b
onde T e´ linear e b ∈ Rn. Enta˜o det g′(x) = detT e temos:∫
T (D)+b
f(y)dy1 . . . dyn = |detT |
∫
D
f(T (x) + b)dx1 . . . dxn
Em coordenadas
yi =
n∑
j=1
aijx
j + bi
∫
T (D)+b
f(y)dy1 . . . dyn = |det(aij)|
∫
D
f(
n∑
j=1
a1jx
j + b1, . . . ,
n∑
j=1
anj x
j + bn)dx1 . . . dxn
38
1. INTEGRAL DE FORMAS SOBRE CADEIAS 39
Consideremos a seguir uma n-forma ω = fdy1 ∧ . . . ∧ dyn definida no aberto V ⊂ Rn.
Definic¸a˜o 2.2. ∫
D
ω =
∫
D
f(y)dy1 . . . dyn
Sendo g como acima temos que
g∗ω = (f ◦ g) det g′(x)dx1 ∧ . . . ∧ dxn
g∗ω = (f ◦ g) det
(
∂yi
∂xj
)
dx1 ∧ . . . ∧ dxn
Supondo que g preserva a orientac¸a˜o, isto e´ det
(
∂yi
∂xj
)
> 0 a fo´rmula de mudanc¸a de variaveis
adquire a expressa˜o simplificada: ∫
g(D)
ω =
∫
D
g∗ω
Em poucas palavras: a integral de n-formas e´ invariante por imagem inversa atrave´s de
difeomorfismos que preservam a orientac¸a˜o.
Sejam I = [0, 1], In o n-cubo unita´rio do Rn e V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita.
Diremos que uma func¸a˜o f : In → V e´ diferencia´vel se ela for a restric¸a˜o de uma func¸a˜o
diferenca´vel definida num aberto U que conte´m In. Convencionaremos que I0 = {0}.
Definic¸a˜o 2.3. Um k-caminho no Rn e´ uma aplicac¸a˜o diferencia´vel
c : Ik → Rn
Assim um 0-caminho e´ um ponto c(0), um 1-caminho e´ uma curva c : I → Rn, um 2-caminho
e´ uma superf´ıcie parametrizada com bordo c : I2 → Rn etc.
Definic¸a˜o 2.4. Sejam ω ∈ Ek(U) onde U ⊂ Rn e´ aberto e c : Ik → U um k-caminho. A
integral de ω sobre c e´ o nu´mero ∫
c
ω =
∫
Ik
c∗ω
Definic¸a˜o 2.5. Uma k-cadeia no aberto U ⊂ Rn e´ uma soma formal
c = α1c1 + α2c2 + . . .+ αmcm
onde cada ci : I
k → Rn e´ um k-caminho e os αi sa˜o nu´meros reais. A integral de ω sobre c e´ o
nu´mero ∫
c
ω =
m∑
i=1
αi
∫
ci
ω
A seguir queremos definir o que entendemos por bordo ou fronteira de uma cadeia.
Comec¸aremos descrevendo as faces de um cubo.
1. INTEGRAL DE FORMAS SOBRE CADEIAS 40
As faces do cubo Ik ⊂ Rk sa˜o dadas por
F k−1(j,�) = {(x1, . . . , xj−1, �, . . . , xk) : xi ∈ [0, 1]}
onde j = 1, . . . , k e � = 0, 1. Assim
p ∈ F k−1(j,�) ⇐⇒ p ∈ Ik e xj(p) = �
Observe que o vetor ej da base canoˆnicae´ ortogonal a` face F
k−1
(j,�) . O vetor normal a` face
F k−1(j,0) que aponta para fora do cubo I
k e´ −ej . Ja´ aquele que aponta para fora e normal a` face
F k−1(j,1) e´ ej . Sendo Nj,� o vetor normal a` face F
k−1
(j,�) enta˜o
N(j,�) = (−1)(�+1)ej
Orientamos as faces F k−1(j,�) escolhendo vetores tangentes (f1, . . . , fk−1) a` face de maneira que
(N(j,�), f1, . . . , fk−1) seja uma base positiva do Rk isto e´
∆(N(j,�), f1, . . . , fk−1) > 0
Notando que
∆(N(j,�), e1, . . . , ej−1, ej+1, . . . , ek) = (−1)(�+1)∆(ej , e1, . . . , ej−1, ej+1, . . . , ek)
∆(N(j,�), e1, . . . , ej−1, ej+1, . . . , ek) = (−1)(�+1)(−1)(j−1)∆(e1, . . . , ek)
∆(N(j,�), e1, . . . , ej−1, ej+1, . . . , ek) = (−1)j+�
podemos escolher, por exemplo, os vetores
f1 = (−1)j+ke1, . . . , fj−1 = ej−1, fj+1 = ej+1, . . . , fk−1 = ek
Neste caso teremos
∆(N(j,�), f1, . . . , fk−1) = 1
Cada face do cubo pode ser visto como um k − 1-caminho dado por
σk(j,�)(x
1, . . . , xk−1) = (x1, . . . , xj−1, �, . . . , xk−1)
Agora
dσk(j,�)(e1) = e1 . . . dσ
k
(j,�)(ej−1) = ej−1
dσk(j,�)(ej) = ej+1 . . . dσ
k
(j,�)(ek−1) = ek
Segue que dσk(j,�) leva a orientac¸a˜o canoˆnica do R
k na orientac¸a˜o fixada da face se (−1)j+� = 1 e
inverte caso contra´rio.
1. INTEGRAL DE FORMAS SOBRE CADEIAS 41
Definic¸a˜o 2.6. O Bordo do k-cubo e´ a (k − 1)-cadeia dada por
∂Ik =
k∑
j=1
∑
�=0,1
(−1)j+�σk(j,�)

Exemplo 2.7.
(1) ∂I2 = σ2(1,1) − σ2(1,0) + σ2(2,0) − σ2(2,1)
(2) ∂I3 = σ3(1,1) − σ3(1,0) + σ3(2,0) − σ3(2,1) + σ3(3,1) − σ3(3,0)
Se c : Ik → U ⊂ Rn e´ um k-caminho em U enta˜o c ◦ σk(j,�) e´ um k − 1-caminho em U .
Definic¸a˜o 2.8. O Bordo de c e´ a (k − 1)-cadeia dada por
∂c =
k∑
j=1
∑
�=0,1
(−1)j+�c ◦ σk(j,�)

Se c = α1c1 + α2c2 + . . .+ αmcm e´ uma k-cadeia enta˜o Bordo de c e´ (k − 1)-cadeia
∂c = α1∂c1 + α2∂c2 + . . .+ αm∂cm
Teorema 2.9. Se c e´ uma k-cadeia enta˜o
∂2c = ∂(∂c) = 0
Demonstrac¸a˜o. Basta demonstrar o teorema para um k-caminho em U . Pela definic¸a˜o,
∂c =
k∑
i=1
∑
δ=0,1
(−1)i+δc ◦ σk(i,δ)

Portanto,
∂(∂c) =
k∑
i=1
∑
δ=0,1
(−1)i+δ∂(c ◦ σk(i,δ))

Agora,
∂(c ◦ σk(i,δ)) =
k−1∑
j=1
∑
�=0,1
(−1)j+�(c ◦ σk(i,δ)) ◦ σk−1(j,�)

Assim
∂(∂c) =
k∑
i=1
∑
δ=0,1
(−1)i+δ
k−1∑
j=1
∑
�=0,1
(−1)j+�c ◦ σk(i,δ) ◦ σk−1(j,�)

Se i ≤ j temos
2. TEOREMA DE STOKES 42
σk(i,δ)(σ
k−1
(j,�)(x
1, . . . , xk−2)) =
σk(i,δ)(x
1, . . . , xj−1, �, xj , . . . , xk−1) = (x1, . . . xi−1, δ . . . , �, xj , . . . , xk−1) =
σk(j+1,�)(x
1, . . . xi−1, δ . . . , xj , xk−1) = σk(j+1,�)(σ
k−1
(i,δ)(x
1, . . . , xk−2))
Assim para i ≤ j temos
σk(i,δ) ◦ σk−1(j,�) = σk(j+1,�) ◦ σk−1(i,δ)
Enta˜o
∂(∂c) =
k∑
i=1
k−1∑
j=1
∑
δ=0,1
∑
�=0,1
(−1)i+j+�+δc ◦ σk(i,δ) ◦ σk−1(j,�)

∂(∂c) =
∑
1≤i<j≤k−1
∑
δ=0,1
∑
�=0,1
(−1)i+j+�+δc ◦ σk(i,δ) ◦ σk−1(j,�) + (−1)i+j+�+δ+1c ◦ σk(j+1,δ) ◦ σk−1(i,�)

Observe que o termo que corresponde a i = k esta´ contemplado na segunda parte fazendo
j = i = k + 1.
∂(∂c) =
∑
1≤i<j≤k−1
∑
δ=0,1
∑
�=0,1
(−1)i+j+�+δc ◦ σk(j+1,�) ◦ σk−1(i,δ) + (−1)i+j+�+δ+1c ◦ σk(j+1,δ) ◦ σk−1(i,�)

Desenvolvendo a soma:
∑
δ=0,1
∑
�=0,1(−1)i+j+�+δc ◦ σk(j+1,�) ◦ σk−1(i,δ) + (−1)i+j+�+δ+1c ◦ σk(j+1,δ) ◦ σk−1(i,�) =
(−1)i+jc ◦ σk(j+1,0) ◦ σk−1(i,0) − (−1)i+jc ◦ σk(j+1,0) ◦ σk−1(i,0) +
(−1)i+jc ◦ σk(j+1,1) ◦ σk−1(i,1) − (−1)i+jc ◦ σk(j+1,1) ◦ σk−1(i,1) −
(−1)i+jc ◦ σk(j+1,1) ◦ σk−1(i,0) + (−1)i+jc ◦ σk(j+1,0) ◦ σk−1(i,1) −
(−1)i+jc ◦ σk(j+1,0) ◦ σk−1(i,1) + (−1)i+jc ◦ σk(j+1,1) ◦ σk−1(i,0) = 0
�
2. Teorema de Stokes
Comecemos lembrando o que e´ a diferencial de uma func¸a˜o. Sejam f ∈ E0(U), p ∈ U e
v ∈ Rn. Considere o 1-caminho c∆x(t) = p+ t∆xv 0 ≤ t ≤ 1. Enta˜o ∂c∆x = c(1)− c(0).
dfp(v) = lim
∆x→0
f(p+ ∆xv)− f(p)
∆x
2. TEOREMA DE STOKES 43
dfp(v) = lim
∆x→0
f(c(1))− f(c(0))
∆x
dfp(v) = lim
∆x→0
f(∂c∆x)
∆x
Consideremos agora uma 1-forma ω ∈ E1(U) e um 2-caminho c : I2 → U dado por
c∆x(t1, t2) = p+ t1∆x1v1 + t2∆x2v2
onde p ∈ U , v1, v2 ∈ Rn e ∆x = (∆x1,∆x2).
Mostraremos que a diferencial exterior de ω em p e´ dada pela variac¸a˜o da integral de linha
de ω no bordo de c com relac¸a˜o a ∆x1 ·∆x2. Mais precisamente,
Proposic¸a˜o 2.10.
dωp(v1, v2) = lim
∆x→0
1
∆x1 ·∆x2
∫
∂c∆x
ω
Demonstrac¸a˜o. O bordo de c e´ dado por
∂c =
2∑
j=1
∑
�=0,1
(−1)j+�c ◦ σ2(j,�)

Para simplificar a notac¸a˜o coloquemos
c1 = c ◦ σ2(2,0)
c2 = c ◦ σ2(1,1)
c3 = c ◦ σ2(2,1)
c4 = c ◦ σ2(1,0)
de forma que
∂c = c1 − c3 + c2 − c4
onde
c1(t1) = p+ t1∆x1v1
c2(t2) = p+ ∆x1v1 + t2∆x2v2
c3(t1) = p+ t1∆x1v1 + ∆x2v2
c4(t2) = p+ t2∆x2v2
Enta˜o temos: ∫
∂c∆x
ω =
∫
∂c1
ω −
∫
∂c3
ω +
∫
∂c2
ω −
∫
∂c4
ω
=
∫ 1
0
(c∗1ω − c∗3ω) +
∫ 1
0
(c∗2ω − c∗4ω)
2. TEOREMA DE STOKES 44
∫
∂c∆x
ω =
∫ 1
0
(ωp+t1∆x1v1(∆x1v1)− ωp+t1∆x1v1+∆x2v2(∆x1v1))dt1
+
∫ 1
0
(ωp+∆x1v1+t2∆x2v2(∆x2v2)− ωp+t2∆x2v2(∆x2v2))dt2
lim
∆x→0
1
∆x1 ·∆x2
∫
∂c∆x
ω = lim
∆x2→0
1
∆x2
∫ 1
0
(ωp − ωp+∆x2v2)(v1)dt1
+ lim
∆x1→0
1
∆x1
∫ 1
0
(ωp+∆x1v1 − ωp)(v2)dt2
de onde conclu´ımos que
lim
∆x→0
1
∆x1 ·∆x2
∫
∂c∆x
ω = −ω′p(v2, v1) + ω′p(v1, v2) = dωp(v1, v2)
�
Em geral temos:
Proposic¸a˜o 2.11. Sejam ω ∈ Ek(U), p, vi ∈ Rn e ∆x = (∆x1, . . . ,∆xk+1).
Se c∆x : I
k+1 → Rn e´ o k + 1-caminho
c∆x(t1, . . . , tn) = p+
k+1∑
i=1
ti∆xivi
enta˜o
dωp(v1, . . . , vk+1) = lim
∆x
1
∆x1, . . . ,∆xk+1
∫
∂c∆x
Teorema 2.12. (Teorema de Stokes)
Seja ω ∈ Ek(U) uma k-forma definida no aberto U do Rn e c uma (k + 1)-cadeia em U .
Enta˜o ∫
∂c
ω =
∫
c
dω
Demonstrac¸a˜o. Se c =
∑
αici enta˜o ∂c =
∑
αi∂ci e∫
∂c
ω =
∑
αi
∫
∂ci
ω∫
c
dω =
∑
αi
∫
ci
dω
Portanto basta demonstrar o teorema para um (k + 1)-caminho c : Ik+1 → Rn. Pela definic¸a˜o
temos ∫
c
dω =
∫
Ik+1
c∗(dω) =
∫
Ik+1
dc∗(ω)
2. TEOREMA DE STOKES 45
e ∫
∂c
ω =
∑
(−1)j+�
∫
c◦σk+1
(j,�)
ω =
∑
(−1)j+�
∫
Ik
(c ◦ σk+1(j,�))∗ω
=
∑
(−1)j+�
∫
Ik
(σk+1(j,�))
∗(c∗ω) =
∑
(−1)j+�
∫
σk+1
(j,�)
(c∗ω)
=
∫
∂Ik+1(c
∗ω)
Portanto basta demonstrar que se ω ∈ Ek(Ik+1) enta˜o∫
Ik+1
dω =
∫
∂Ik+1
ω
Para fixarmos as ide´ias suporemos k = 1. O caso geral e´ semelhante.
Da proposic¸a˜o 2.10 temos que:
dωp(e1, e2) = lim
∆x,∆y→0
1
∆x.∆y
∫
∂R
ω
onde R e´ o retaˆngulo orientado no sentido anti-hora´rio determinado por p e pelos vetores
∆xe1,∆ye2. Assim dado � > 0 podemos encontrar δ > 0 tal que se |∆x| < δ e |∆y| < δ
enta˜o ∣∣∣∣dωp(e1, e2)− 1∆x.∆y
∫
∂R
ω
∣∣∣∣ < �∣∣∣∣dωp(e1, e2)∆x.∆y − ∫
∂R
ω
∣∣∣∣ < �∆x.∆y
Da continuidade uniforme podemos encontrar uma partic¸a˜o P do retaˆngulo I2 tal que∣∣∣∣∣dωpij (e1, e2)∆xi.∆yj −
∫
∂Rij
ω
∣∣∣∣∣ < �∆xi.∆yj
desde que |P | < δ sendo P = P1 × P2, P1 : 0 = x0 < . . . < xn = 1, P2 : 0 = y0 < . . . < ym = 1,
pij = (xi−1, yj−1), ∆xi = xi − xi−1,∆yj = yj − yj−1 e finalmente Rij e´ o retaˆngulo orientado
determinado por pij e pelos vetores ∆xie1,∆yje2.Da desigualdade triangular obtemos:∣∣∣∣∣∣
∑
i,j
dωpij (e1, e2)∆xi.∆yj −
∑∫
∂Rij
ω
∣∣∣∣∣∣ ≤
∑
i,j
∣∣∣∣∣dωpij (e1, e2)∆xi.∆yj −
∫
∂Rij
ω
∣∣∣∣∣ ≤∑
i,j
�∆xi.∆yj = �
Em virtude da orientac¸a˜o as integrais de linha soˆbre os lados que sa˜o comuns a dois retaˆngulos
da partic¸a˜o cancelam-se e temos: ∑∫
∂Rij
ω =
∫
∂I2
ω
2. TEOREMA DE STOKES 46
Segue que ∣∣∣∣∣∣
∑
i,j
dωpij (e1, e2)∆xi.∆yj −
∫
∂I2
ω
∣∣∣∣∣∣ ≤ �
Do crite´rio de integrabilidade temos:∫
I2
dω =
∫
I2
dωp(e1, e2)dxdy =
∫
∂I2
ω
�
MAT0336 - Geometria Diferencial II
Lista 1 – 08/08/2013
(1) Mostre que as func¸o˜escoordenadas (xi) relativas a uma base (ei) de um espac¸o vetorial
V de dimensa˜o n formam uma base de V ∗.
(2) Se S e´ um subespac¸o de dimensa˜o n−1 de um espac¸o vetorial V de dimensa˜o n, enta˜o
o seu anulador S0 e´ um subespac¸o de V ∗ de dimensa˜o 1.
(3) Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita munido de um produto interno 〈 , 〉.
Para cada a ∈ V , defina a forma linear ωa por ωa(v) = 〈a, v〉. Mostre que a aplicac¸a˜o
ω : V → V ∗
a 7→ ωa
e´ um isomorfismo.
(4) Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita munido de um produto interno 〈 , 〉.
Mostre que:
(a) 〈ωa, ωb〉 = 〈a, b〉 define um produto interno em V ∗;
(b) se (ei) e´ uma base ortonormal de V , enta˜o sua base dual (x
i) e´ uma base
ortonormal de V ∗.
(5) Considere a func¸a˜o polinomial φ(X1, X2, . . . , Xn) =
∏
i<j(Xi −Xj).
Se σ ∈ Sn defina σφ por
(σφ)(X1, X2, . . . , Xn) =
∏
i<j
(Xσ(i) −Xσ(j))
e �σ por σφ = �σφ. Mostre que:
(a) � : Sn → {1,−1} e´ um homomorfismo de grupos.
(b) An = {σ ∈ Sn : �σ = 1} e´ um subgrupo normal de Sn.
(6) Seja ϕ : V k → R uma func¸a˜o k-linear. Mostre que:
1
(a) ϕ e´ alternada se, e so´ se,
ϕ(v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vk) = −ϕ(v1, . . . , vj , . . . , vi, . . . , vk);
(b) ϕ e´ sime´trica se, e so´ se,
ϕ(v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vk) = ϕ(v1, . . . , vj , . . . , vi, . . . , vk).
(7) Sejam ∆ a func¸a˜o determinante usual do R3, (x1, x2, x3) a base dual da base canoˆnica,
a = (1, 1, 1) e b = (1,−1, 1).
(a) Escreva ω(v) = ∆(a, b, v) na base (x1, x2, x3).
(b) Escreva η(u, v) = ∆(a, u, v) na base (x1 ∧ x2, x2 ∧ x3, x3 ∧ x1).
(c) Escreva ∆ na base x1 ∧ x2 ∧ x3.
(8) Sejam ω, η, ϕ as formas no R3 dadas por ω = −bx1 + ax2, η = cx1 ∧ x3 + dx2 ∧ x3 e
ϕ = x1 + x2 + x3. Calcule ω ∧ η, η ∧ η, ω ∧ ϕ.
(9) Sejam ω e η formas de graus pares. Mostre que ω ∧ η = η ∧ ω.
(10) Se ω e´ uma forma de grau impar enta˜o ω ∧ ω = 0.
(11) Seja T : R3 → R3 dada por T (x1, x2, x3) = (y1, y2, y3) onde y1 = x1 + x2 + x3,
y2 = x2 + x3 e y3 = x3.
(a) Se ω = y1 + y2 calcule T ∗ω.
(b) Se η = y1 ∧ y2 + y2 ∧ y3 + y3 ∧ y1 calcule T ∗η.
(c) Se ∆ = y1 ∧ y2 ∧ y3 calcule T ∗∆.
(12) Seja T : R2 → R3 dada por T (x1, x2) = (y1, y2, y3) onde y1 = x1 + x2, y2 = x2 − x1 e
y3 = x2 + 2x1.
(a) Se ω = y1 + y2 calcule T ∗ω.
(b) Se η = y1 ∧ y2 + y2 ∧ y3 + y3 ∧ y1 calcule T ∗η.
(c) Se ∆ = y1 ∧ y2 ∧ y3 calcule T ∗∆.
2
(13) Seja T : R→ R3 dada por T (x) = (y1, y2, y3) onde y1 = ax, y2 = bx e y3 = cx.
(a) Se ω = y1 + y2 calcule T ∗ω.
(b) Se η = y1 ∧ y2 + y2 ∧ y3 + y3 ∧ y1 calcule T ∗η.
(c) Se ∆ = y1 ∧ y2 ∧ y3 calcule T ∗∆.
(14) Seja b ∈ ∧2((R3)∗). Mostre que existe uma aplicac¸a˜o linear T : R3 → R tal que
b(u, v) = T (u ∧ v), onde u ∧ v e´ o produto vetorial usual.
(15) Seja ∆ uma func¸a˜o determinante sobre um espac¸o vetorial V de dimensa˜o n (isto e´,
0 6= ∆ ∈ ∧n(V ∗)). Mostre que se W e´ um espac¸o vetorial e ϕ : V n → W e´ n-linear
alternada, enta˜o existe w ∈W tal que ϕ(v1, . . . , vn) = ∆(v1, . . . , vn)w.
(16) Seja ∆ uma func¸a˜o determinante sobre um espac¸o vetorial V de dimensa˜o n. Escolha
uma base (ei) de V tal que ∆(e1, . . . , en) = 1. Mostre que existe uma u´nica func¸a˜o
determinante ∆∗ sobre V ∗ tal que ∆∗(x1, . . . , xn) = 1, onde (xi) e´ a base dual de (ei)
e que ∆∗ na˜o depende da escolha desta base.
(17) Mostre que se ω ∈ ∧k(V ∗), enta˜o existe uma u´nica ω¯ : ∧k(V ) → R linear tal que
ω(v1, . . . , vn) = ω¯(v1 ∧ . . . ∧ vn). Mostre tambe´m que a aplicac¸a˜o∧k(V ∗) → ∧k(V )∗
ω 7→ ω¯
e´ um isomorfismo.
(18) Se ω ∈ ∧k(V ∗), defina a contrac¸a˜o de ω na direc¸a˜o a ∈ V por
ia(ω)(v1, . . . , vk−1) = ω(a, v1, . . . , vk−1).
(a) Mostre que ia :
∧k(V ∗)→ ∧k−1(V ∗) e´ linear.
(b) Se (ei) e´ uma base de V e (x
i) e´ sua base dual, calcule iej (x
i1 ∧ . . . ∧ xik) para
I = (i1, . . . , ik) ∈ Cn,k.
(19) Dizemos que ω ∈ ∧k(V ∗) e´ decompon´ıvel se existem ω1, . . . , ωk ∈ V ∗ tais que
ω = ω1 ∧ . . . ∧ ωk. Dizemos que ω e´ indecompon´ıvel se na˜o for decompon´ıvel.
3
(a) Mostre que toda k-forma linear em R3 e´ decompon´ıvel.
(b) Mostre que x1 ∧ x2 + x3 ∧ x4 e´ uma 2-forma indecompon´ıvel do R4.
(20) Seja ∆ ∈ ∧n(V ∗) uma func¸a˜o determinante.
(a) Mostre que a aplicac¸a˜o ϕ : V → ∧n−1(V ∗) definida por
ϕa = ϕ(a) = ia(∆)
e´ um isomorfismo.
(b) Mostre que ϕa(v1, . . . , vn−1) = (−1)n+1 · ωa(v1 ∧ . . . ∧ vn−1).
(21) Mostre que toda (n− 1)-forma e´ decompon´ıvel. (Utilize (20.a))
(22) Sejam a1, a2, . . . , an−1, x ∈ V ∗. Mostre que
(x+a1)∧(x+a2)∧. . .∧(x+an−1) = x∧a2∧. . .∧an−1+a1∧x∧. . .∧an−1+. . .+a1∧. . . an−2∧x
+a1 ∧ a2 ∧ . . . ∧ an−1
(23) Utilize (22) para dar outra demonstrac¸a˜o de (21).
(24) Considere as coordenadas usuais (yi) do Rn. Sejam ω1, . . . , ωk ∈ V ∗ e T : V → Rk
definida por T (v) = (ω1(v), . . . , ωk(v)). Mostre que
(ω1 ∧ . . . ∧ ωk)(v1, . . . , vk) = (y1 ∧ . . . ∧ yk)(T (v1), . . . , T (vk)).
(25) Seja T : V → W linear. Fixe uma base (yj) de W ∗. Se T (v) = ∑ωi(v)fi onde fi e´
dual de (yj), mostre que T ∗(yi1 ∧ . . . ∧ yik) = ωi1 ∧ . . . ∧ ωik .
(26) Sejam (ei) a base canoˆnica do R4 e (xi) sua base dual. Sejam tambe´m v1 = (1, 0, 0, 0),
v2 = (1, 1, 0, 0), v3 = (1, 1, 1, 0) e v4 = (1, 1, 1, 1).
(a) Calcule A(v1, v2) e V (v1, v2, v3).
(b) Determine as coordenadas (aij) de v3 ∧ v4 na base (ei ∧ ej)i<j .
(c) Verifique que A(v3, v4)
2 =
∑
i<j a
2
ij = ||v3 ∧ v4||2.
4
(27) Considere no R3 a func¸a˜o determinante usual ∆ e, para cada a ∈ R3, sejam ωa ∈ (R3)∗
e ϕa ∈
∧2(R3)∗ definidas nos exerc´ıcios (3) e (20), respectivamente. Mostre que:
(a) ωa ∧ ωb = ϕa∧b.
(b) ωa ∧ ϕb = 〈a, b〉∆.
(28) Mostre que o quadrado da a´rea de um paralelogramo determinado por dois vetores no
R3 e´ igual a` soma do quadrado das a´reas dos paralelogramos projetados nos tres planos
coordenados.
(29) Seja T : R3 → R3 uma aplicac¸a˜o linear anti-sime´trica defina a 2-forma η(u, v) =
〈T (u), v〉. Pelo exerc´ıcio 20 existe um vetor ω ∈ R3 tal que ϕω = η. Mostre que
T (v) = ω ∧ v. O vetor ω e´ chamado de vetor de Darboux.
5
MAT0336 - Geometria Diferencial II
Lista 2 – 02/09/2013
(1) Seja X um campo de vetores no Rn. Defina a contrac¸a˜o na direc¸a˜o X
iX : E
k(Rn)→ Ek−1(Rn)
por (iXω)(p) = iX(p)ω(p).
Se ω = dxi1 ∧ dxi2 ∧ . . . ∧ dxik e X =∑Xjej calcule iXω e mostre que:
(a) iX ◦ iX = 0
(b) iX(ω1 ∧ ω2) = iX(ω1) ∧ ω2 + (−1)kω1 ∧ iX(ω2) onde ω1 ∈ Ek(Rn)
Note que, em particular temos iX(fω) = i(fX)ω = fiXω, onde f ∈ E0(Rn)
(2) Considere as formas diferenciais no R3
ω1 = xdy ∧ dz + ydz ∧ dx+ zdx ∧ dy
ω2 = dz − xdy + ydx
ω3 = dx ∧ dy ∧ dz
e o campo de vetores X(x, y, z) = (x, y, z) = xe1 + ye2 + ze3.
Calcule dω1, dω2, iXω2, iXω3, ω1 ∧ ω2 ω2 ∧ dω2.
(3) Use a definic¸a˜o de gradiente (ω∇f = df) para mostrar que ∇f =
∑ ∂f
∂xi
ei
(4) Seja X(p) =
∑
ai(p)ei um campo de vetores no Rn. Use a definic¸a˜o de rotacional
(ηrotX = d(ωX)) para deduzir uma fo´rmula do rotacional nas coordenadas usuais.
(5) Deduza a fo´rmula do div(X) a partir da definic¸a˜o (∆div(X) = d(ηX)).
(6) O laplaciano de uma func¸a˜o f ∈ E0(Rn) e´ definido por ∆f = div(∇f). Mostre que
∆f =
∑ ∂2f
∂x2i
.
(7) Mostre que:
(a) div(fX) = 〈∇f,X〉+ fdiv(X)
1
(b) ∆(fg) = 2〈∇f,∇g〉+ f∆g + g∆f
(c) rot(fX) = ∇f ∧X + frot(X)
(8) Se F e´ um campo que tem direc¸a˜o constante, mostre que rot(F ) e´ ortogonal a F .
(9) Seja S uma superf´ıcie fechada orientada pela normal exterior n que limita um so´lido
Ω. Se f, g sa˜o func¸o˜es diferencia´veis definidas num aberto que conte´m Ω, mostre que
valem as Identidades de Green:
(a)
∫∫
S
∂f
∂n
dA =
∫∫∫
Ω4f dV
(b)
∫∫
S f
∂g
∂n
dA =
∫∫∫
Ω(f4g + 〈∇f,∇g〉) dV
(c)
∫∫
S(f
∂g
∂n
− g∂f
∂n
) dA =
∫∫∫
Ω(f4g − g4f) dV
(10) Mostre que o problema de Dirichlet 4u = f em Ω , u = g em ∂Ω admite no ma´ximo
uma soluc¸a˜o.
(11) Mostre que duas soluc¸o˜es parao problema de Neumann 4u = f em Ω , 〈∇u, n〉 = g
em ∂Ω diferem por uma constante.
(12) Se X e´ um campo de vetores no Rn mostre que ωX e´ fechada se e somente se a matriz
jacobiana J(X) de X e´ sime´trica.
(13) Se X e´ um campo de vetores no Rn mostre que ηX e´ fechada se e somente se o trac¸o
da matriz jacobiana J(X) de X e´ nulo.
(14) Seja T : Rn → Rn uma aplicac¸a˜o linear tal que 〈T (u), T (v)〉 = λ〈u, v〉 onde λ > 0. Se
U e´ um subconjunto Jordan mensura´vel do Rn mostre que vol(T (U)) = λnvol(U).
(15) Seja ω ∈ E1(U) onde U ∈ (Rn) e´ um aberto estrelado com repeito a origem. Dizemos
que ω e´ homogeˆnea de grau r (r natural) se para todo t > 0 tem-se que ωtx = t
rωx
(a) Mostre que ω
′
x(x) = rωx.
(b) Use a primitiva do Lema de Poincare´ para mostrar que se ω e´ fechada enta˜o
f(x) = ωx(x)/(r + 1) e´ uma primitiva de ω.
(16) Verifique se as formas abaixo sa˜o homogeˆneas e fechadas. Determine uma primitiva
caso exista.
2
(a) ω1 = yzdx+ zxdy + xydz
(b) ω2 =
yzdx+ zxdy + xydz√
x2 + y2 + z2
(17) Considere as formas
ω =
−ydx+ xdy
rα
onde α ∈ R e r =
√
x2 + y2. Para quais α a forma ω e´ homogenea e fechada.
(18) As coordenadas esfe´ricas no espac¸o sa˜o dadas pela aplicac¸a˜o c(r, θ, ϕ) = (x, y, z) onde
x = r cos θ sinϕ
y = r sin θ sinϕ
z = r cosϕ
sendo r > 0, 0 < ϕ < pi, 0 < θ < 2pi.
(a) Sendo ∆ = dx ∧ dy ∧ dz o elemento de volume do R3 calcule c∗∆.
(b) Sendo V (p) = p/r3 onde p = (x, y, z), mostre que a 2-forma ηV e´ fechada.
(c) Seja f(θ, ϕ) = (x, y, z) definida no retaˆngulo D =]0, 2pi[×]0, pi[. Calcule ∫∫D f∗ηV
onde V (p) = p/r3
(d) Sendo N(p) = p/r calcule
∫∫
D f
∗ηN
(19) Coordenadas cil´ındricas no R3 sa˜o dadas pela aplicac¸a˜o c(r, θ, z) = (x, y, z) onde{
x = r cos θ
y = r sin θ
sendo r > 0 e 0 < θ < 2pi
(a) Calcule dx, dy, dz em termos das coordenadas r, θ, z.
(b) Seja (er, eθ, ez) a base dual de (dr, dθ, dz). Use o fato de que v = dx(v)e1 +
dy(v)e2 +dz(v)e3 e v = dr(v)er+dθ(v)eθ+dz(v)ez para determinar as expresso˜es
de er, eθ, ez em termos de e1, e2, e3.
(c) Mostre que er =
∂c
∂r
, eθ =
∂c
∂θ
, ez =
∂c
∂z
.
(d) Se v ∈ R3 enta˜o ||v||2 = dx2(v) + dy2(v) + dz2(v). Encontre a expressa˜o de ||v||2
em termos de dr, dθ, dz.
(e) Determine a expressa˜o do elemento de volume ∆ do R3 em termos de dr, dθ, dz.
3
(f) A expressa˜o em coordenadas cil´ındricas de uma func¸a˜o diferenciavel f : U → R
onde U ⊂ R3 e´ aberto e´ a func¸a˜o f ◦ c. E´ usual escrever f(r, θ, z) = (f ◦ c)(r, θ, z).
A diferencial de f em coordenadas cil´ındricas e´ dada por
df =
∂f
∂r
dr +
∂f
∂θ
dθ +
∂f
∂z
dz
ou
df =
∂f
∂er
dr +
∂f
∂eθ
dθ +
∂f
∂ez
dz
Deˆ a expressa˜o em coordenadas cil´ındricas de f e de sua diferencial nos seguintes
casos:
i. f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z
ii. f(x, y, z) =
xy + yz + zx√
x2 + y2
(g) Encontre as expresso˜es do gradiente de f , do rotacional de f e do divergente de
f em coordenadas cil´ındricas.
(20) Seja X um campo de vetores no R3. Defina:
LX : E
k(U)→ Ek(U)
por
LX = d ◦ iX + iX ◦ d
LX(ω) e´ chamada a derivada de Lie de ω na direc¸a˜o X.
(a) Mostre que LX ◦ d = d ◦ LX e LX ◦ iX = iX ◦ LX
(b) Mostre que LX(ω ∧ η) = LX(ω) ∧ η + ω ∧ LX(η)
(c) Se ω = fdxi1 ∧ dxi2 ∧ . . . dxik e X =∑Xiei mostre que
LX(ω) = df(X)dx
i1 ∧ dxi2 ∧ . . . dxik + f
k∑
j=1
dxi1 ∧ . . . ∧ dXij ∧ . . . dxik
(21) Considere o campo identidade I(x) = x no Rn.
(a) Mostre que LI(fdx
1 ∧ . . . ∧ dxk) = (dfx(x) + kf(x))dx1 ∧ . . . ∧ dxk
4
(b) Se η = adx1 ∧ dx2 ∧ . . . ∧ dxk enta˜o
LI(ω) = η ⇔ dfx(x) + kf(x) = a(x)
isto e´ LI e´ bijetora se e so´ se a equac¸a˜o a derivadas parciais dfx(x)+kf(x) = a(x)
tem soluc¸ao u´nica.
(c) Comecemos analisando o caso unidimensional (n = 1). Tomando k = 1, temos que
LI : E
1(R) → E1(R) e LI(f(x)dx) = (xf ′(x) + f(x))dx. Mostre que a equac¸a˜o
xf ′(x) + f(x) = a(x) tem como soluc¸a˜o xf(x) =
∫ x
0 a(u)du. Fac¸a a mudanc¸a de
varia´vel u = xt e deduza que f(x) =
∫ 1
0 a(xt)dt.
(d) Consideremos agora o caso n-dimensional e k ≥ 1. Na equac¸a˜o dfx(x) + kf(x) =
a(x) substitua x por tx e multiplique por tk−1. Mostre que f(x) =
∫ 1
0 t
k−1a(tx)dt
e´ a u´nica soluc¸a˜o da equac¸a˜o acima. Conclua que LI e´ um isomorfismo.
(e) Se K = iI ◦ L−1I : Ek(Rn) → Ek−1(Rn) mostre que d ◦K + K ◦ d = Id. Desta
forma, se ω e´ fechada enta˜o ela e´ exata. (Lema de Poincare´)
(22) Seja βi o nu´mero de faces i-dimensional do cubo I
k+1 e χ(Ik+1) =
∑k
i=0(−1)iβi. Mostre
que χ(Ik+1) = 2 se k e´ par e χ(Ik+1) = 0 se k e´ impar.
(23) O Cone com centro O gerado por um k-caminho c : Ik → Rn e´ o (k+1)-caminho
Ic : Ik+1 7→ Rn
(Ic)(s, t) = sc(t)
onde s ∈ I e t ∈ Ik. Mostre que ∂(Ic) + I(∂c) = c.
(24) (a) Dado um ponto x e um vetor v no Rn considere o 1-caminho c(t) = x + t∆x · v.
Determine o bordo de Ic.
(b) Seja η uma 2-forma fechada e ω uma 1-forma tais que
∫
∂(Ic) ω =
∫
Ic η para todo
1-caminho c como no item anterior.Mostre que
∫ 1
0
(ωsx(x)− ωs(x+∆x·v)(x+ ∆x · v))ds+
∫ 1
0
ωx+t∆x·v(∆x · v)dt =∫ 1
0
(
∫ 1
0
ηs(x+t∆x·v)(x+ t∆x · v, s∆x · v)ds)dt
5
(c) Divida a expressa˜o acima por ∆x e tome o limite com ∆x tendendo a 0 para
concluir que
ωx(v)− dfx(v) =
∫ 1
0
ηtx(x, tv)dt
onde f(x) =
∫ 1
0 ωsx(x)ds. Assim se definirmos ω por
ωx(v) =
∫ 1
0
ηtx(x, tv)dt
obtemos a primitiva do lema de Poincare´.
(25) Considere a 1-forma no R2 dada por ω =
−ydx+ xdy
x2 + y2
e os 1-caminhos
c1(t) = (cos t, sin t), c2(t) = (a cos t, b sin t). Utilize o teorema de Stokes no plano para
mostrar que
∫
c2
ω = 2pi e enta˜o mostre que
∫ 2pi
0
1
a2 cos2 t+ b2 sin2 t
dt =
2pi
ab
.
(26) Seja ω = ydx + xdy + 2zdz. Encontre f tal que df = ω e calcule
∫
c ω onde c e´ o
segmento indo do ponto p = (1, 0, 0) ao ponto q = (a, b, c).
6
MAT0336 - Geometria Diferencial II
Lista 3 - 24/10/2013
(1) Seja f : R3 → R diferenciavel e N(x) = x o campo normal a esfera S2. Se
〈∇xf,N(x)〉 > 0 mostre que existe p no interior da esfera tal que ∇pf = 0.
(2) Seja S uma superf´ıcie compacta orientada por uma 2-forma η.
(a) Se ω e´ uma 1-forma soˆbre S, mostre que existe um ponto p ∈ S tal que dωp = 0.
(b) Conclua que η na˜o e´ exata e portanto H2(S) 6= {0}.
(3) Uma ac¸a˜o (ou operac¸a˜o) de um grupo G soˆbre uma variedade M e´ uma aplicac¸a˜o
µ : G ×M → M tal que as aplicac¸o˜es µg : M → M definidas por µg(p) = µ(g, p) sa˜o
diferenciaveis e verificam as seguintes propriedades:
(a) µg ◦ µh = µgh
(b) µe = I (e identidade do grupo)
i. Mostre que µg−1 = µ
−1
g e portanto µg e´ um difeomorfismo.
ii. Se G esta´ munido da topologia discreta enta˜o µ e´ continua.
A seguir vamos simplificar a notac¸a˜o colocando g.p = µ(g, p) = µg(p)
(4) Dizemos que G opera descontinuamente em M se todo ponto p de M admite uma
vizinhanc¸a V tal que g.V ∩ V = ∅ para todo g 6= e. Uma tal vizinhanc¸a sera´ chamada
de Vizinhanc¸a Fundamental.
(a) Se Gp = {g : g · p = p e´ a isotropia em p, mostre que Gp = {e}.
(b) A aplicac¸a˜o G :→ G · p, g → g · p e´ injetora.
(c) Mostre que G e´ enumeravel. (Lembre que M tem base enumeravel)
(5) Sejam M˜ e M variedades diferencia´veis conexas. Uma aplicac¸a˜o p : M˜ →M e´ dita de
recobrimento diferencia´vel se
(i) e´ diferencia´vel e
1
(ii) todo x ∈M admite uma vizinhanc¸a aberta V tal que p−1(V ) = ⋃ V˜i, onde os V˜i
sa˜o abertos dois a dois disjuntos e p : V˜i → V e´ um difeomorfismo.
A vizinhanc¸a V e´ chamada de vizinhanc¸a distinguida e (M˜, p) de recobrimento de M .
Mostre que se G opera descontinuamente em M , enta˜o pi : M →M/G e´ uma aplicac¸a˜o
de recobrimento.
(6) Considere a aplicac¸a˜o e : R → S1 ⊂ R2 dada por e(θ) = eiθ = (cos θ, sin θ). Se
c : [a, b] → S1 e´ suave por partes e θ0 e´ tal que e(θ0) = c(a), mostre que existe uma