3a Lista de exercícios

Prévia do material em texto

1
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 
 
Disciplina: EST202 – Estatística e Probabilidade 
Professor: Maria Cláudia 
 
3a Lista de Exercícios 
 
 
1) Uma variável aleatória tem a distribuição de probabilidade dada pela seguinte fórmula: P(x)=c/x para x=1, 
3, 5, 7. 
a) Determine c. 
b) Calcular P(2 ≤ x ≤ 6) 
c) Quanto vale F(5)? 
Resp: (a) c=105/176 (b) 7/22 (c) 161/176 
 
2) Um pai leva o filho ao cinema e vai gastar nas duas entradas R$15,00. O filho vai pedir para comer pipoca 
com probabilidade 0,7 e, além disso, pode pedir bala com probabilidade 0,9. Esses pedidos são atendidos 
pelo pai com probabilidade 0,5; independentemente um do outro. Se a pipoca custa R$2,00 e a bala 
R$3,00, qual será: 
a) a distribuição da variável G: gasto efetuado com a ida ao cinema? 
b) o gasto esperado com a ida ao cinema? 
 
3) O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar uma peça é uma v.a. discreta com a 
seguinte distribuição de probabilidade: 
t 2 3 4 5 6 7 
f(t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1 
c) Calcule o tempo médio de processamento. 
d) Para cada peça processada o operário ganha um fixo de R$2,00. Mas, se ele processa a peça em 
menos de 6 minutos, ganha um adicional de R$0,50 por cada minuto poupado. Determine a 
distribuição de probabilidade, a média e a variância da v.a. G, sendo G a quantia ganha por peça. 
Resp.: a) 4,6 min; b) R$2,75, 0,41 (centavos)2 
 
4) O tempo, em minutos, de digitação de um texto por secretárias experientes é uma variável aleatória 
contínua X, sua densidade é apresentada a seguir. 
 
. ,0
;62 ,20/3
;20 ,5/1
)(





≤≤
<≤
=
cc
xse
xse
xf
 
Determine: 
a) A função de distribuição acumulada de X 
b) P(x<1); P(X>3) e P(1<X<4), utilizando a função definida em (a). 
c) P(X<3 | X>1). 
d) O número b tal que P(X>b)= 0,6; 
e) O valor esperado, a variância e a mediana. (a mediana será igual a Md, tal que P(X < Md) = 0,5. 
Você deverá achar o valor de Md). 
Resp.: (b) 1/5; 9/20; 0,5 (c) 7/16 (d) 2 (e) 2,8; 4,16; 2,67 
 
5) Uma liga é formada pela reunião da mistura em fusão de dois metais. A liga resultante contém certa 
porcentagem de chumbo X, que pode ser considerada como uma variável aleatória com a 
seguinte função densidade de probabilidade 
 
 






−
=
0
5000
100 x
xf )( 
 Suponha que, L, o lucro líquido obtido (em reais) pela venda dessa liga (por kg), seja uma variável 
aleatória tal que: L = 2 + 3X. Calcule o lucro esperado por kg. Resp.: E(L) = 102 reais, por kg. 
 
6) Considere uma variável aleatória X assumindo os valores 0,1,2,3,4,5 e tal que 
5432102080 ,,,,,,,*,*)( === jkjXP j 
a) Para qual valor de k a expressão acima é uma função de probabilidade? 
b) Calcule o valor esperado e a variância do número de acidentes. 
c) Calcule )5|3( <= XXP 
, caso contrário 
, 0 < x < 100 
 2
Resp: (a) 1 (b) (c) 0,0332 
 
7) Uma v.a. X tem a seguinte função densidade de probabilidade: 
 





≤≤−
<≤
=
..,0
105),10(
50,
)(
cc
xxk
xkx
xf 
 Determine: 
a) a constante k, para que a f(x) seja uma fdp 
b) a média e a variância de X 
b) a FDA de X 
c) P(X ≤ 2); P(3 ≤ X ≤ 8); P(X>1), utilizando a função definida no item (c). 
Resp.a) 1/25; b) 5/3, 475/18; c)








≥
<≤−+−
<≤
<
=
10,1
105,1
5
2
50
50,
50
0,0
)( 2
2
x
xx
x
x
x
x
xF ;d) 2/25; 0,74; 49/50 
 
8) Dados históricos mostram que 5% dos itens provindos de um fornecedor apresentam algum tipo de 
defeito. Considerando um lote com 20 itens, calcular a probabilidade de: 
a) Haver algum item com defeito; 
b) Haver exatamente dois itens defeituosos; 
c) Haver mais de dois itens defeituosos; 
d) Qual o número esperado de itens defeituosos no lote? 
Resp: (a) 0,6415 (b) 0,1887 (c) 0,0754 (d) 1 
 
9) Uma faculdade descobriu que 20% de seus estudantes retiram-se sem completar o curso introdutório de 
estatística. Considere que 20 estudantes tenham se registrado para o curso este semestre. 
a) Neste exercício, estamos trabalhando com amostra ou população? Por quê? 
b) Qual é a probabilidade de que dois ou menos se retirarão? 
c) Qual é a probabilidade de que exatamente quatros se retirarão? 
d) Qual é a probabilidade de que mais de três se retirarão? 
e) Qual o valor esperado de alunos que se retiraram? 
Resp: (a) População, pois estamos com todos os alunos da turma 
em estudo (b) 0,2061 (c) 0,2182 (d) 0,5885 (e) 4 
 
10) Uma editora apresenta a probabilidade de se encontrar uma página editada com erro igual a 0,8%. Em um 
livro de 500 páginas, determinar a probabilidade de se encontrar no máximo 4 páginas com erro. 
Resp.: 0,6288 
 
11) Num determinado processo de fabricação, 10% das peças são consideradas defeituosas. As peças são 
acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma: 
a) Qual a probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas numa caixa? 
b) Qual a probabilidade de haver duas ou mais peças defeituosas numa caixa? 
c) Se a empresa paga uma multa de R$10,00 por caixa em que houver alguma peça defeituosa, qual o 
valor esperado de multa, num total de 1000 caixas? 
Resp.: (a) 0,0081 (b) 0,0815 (c) R$4095,00 
 
12) O fluxo de carros que passam em determinado pedágio é de 1,7 carros/minuto. Qual a probabilidade de 
passarem exatamente 2 carros em 2 minutos? 
Resp.: 0,1929 
 
13) Na exploração de petróleo, a probabilidade de sucesso no Mar do Norte é de um em quinhentas 
perfurações. Qual a probabilidade de encontrar no máximo 8 poços produtivos em 1000 explorações? 
Resp.: 0,9998 
 
14) Uma fábrica produz válvulas, das quais 20% são defeituosas. As válvulas são vendidas em caixas com 10 
peças. Se a caixa não tiver nenhuma válvula defeituosa, seu preço de venda é de R$10,00; tendo uma, o 
preço é de R$8,00; duas ou três, o preço é de R$6,00; mais que três, o preço é de R$2,00. Qual o preço 
médio de venda de uma caixa? Resp.: R$6,48. 
 
 3
15) Em um experimento com traçador radioativo, foram observados, em média, 4,4 cintilações por segundo. 
Encontre a probabilidade de que pelo menos uma cintilação ocorra em um intervalo de tempo de 4 
minutos. Resp. 1 
 
16) Para evitar se detido pela alfândega, um turista colocou 6 cápsulas de narcótico num vidro contendo 9 
pílulas de vitaminas, que a elas se assemelham. Se o funcionário da alfândega seleciona 3 pílulas ao 
acaso, sem reposição, qual é a probabilidade de que o turista seja preso por porte ilegal de narcótico? 
Resp.: 0,8154 
 
17) Uma fábrica de pneus verificou que, ao testar seus pneus nas pistas, havia em média um estouro de pneu 
a cada 5000 km. 
a) Qual a probabilidade de que num teste de 3000 km haja no máximo um pneu estourado? 
b) Qual a probabilidade de que um carro ande 8000 km sem estourar nenhum pneu? 
Resp: (a) 0,8781 (b) 0,2019 
 
18) Suponha que a máquina I produz por dia o dobro de peças que são produzidas pela máquina II. Se a peça 
é produzida por I, a probabilidade dela ser defeituosa é de 0,03. Se é produzida por II, a probabilidade de 
ser defeituosa é de 0,09. Admita que a produção diária das duas máquinas é misturada, formando a 
população total das peças. Uma amostra aleatória de 10 peças é sorteada da população total. Qual será a 
probabilidade de que essa amostra contenha: 
a) duas peças defeituosas? 
b) Três ou mais peças defeituosas? 
Resp.: (a) 0,0746 (b) 0,0115 
 
19) A média de artigos com algum tipo de falha de fabricação em uma hora é 3. Qual a probabilidade de: 
a) Ter algum artigo com falha em 60 minutos 
b) Ter três artigos com falha em 20 minutos? 
c) Ter no mínimo dois artigos com falha em 30 minutos? 
d) Ter nenhum artigo com falha durante 45 minutos? 
e) Ter no máximo um artigo com falha em 80 minutos?Resp: (a) 0,0498 (b) 0,0613 (c) 0,4423 (d) 0,1054 (e) 0,0916 
 
20) A probabilidade de lâmpada se queimar ao ser ligada é 0,01. Numa instalação com 1000 lâmpadas, qual a 
probabilidade de no mínimo 3 lâmpadas se queimarem ao serem ligads? Resp: 0,9972 
 
21) Um carregamento de 80 alarmes contra incêndio contém 4 defeituosos. Se 3 alarmes são escolhidos 
aleatoriamente, sem reposição, e despachados para um freguês, qual é a probabilidade de que o freguês 
receba exatamente um alarme defeituoso? Resp.: Hiper. 0,1388 ou Bin 0,1354 
 
22) Considere uma variável aleatória W com distribuição N(0,1). Determine as seguintes probabilidades: 
a) P(W>1,84) 
b) P(W<0,30) 
c) P(W<-2,69) 
d) P(W>-2,35) 
e) P(-1,05 < W < 2,76) 
Resp: (a) 0,0329 (b) 0,6179 (c) 0,0036 (d) 0,9906 (e) 0,8502 
 
23) Considere uma variável aleatória A com distribuição N(0,1). Determine o valor de x nas seguintes 
condições: 
a) P(A>x)=0,945 
b) P(A<x)=0,755 
c) P(A>x)=0,264 
d) P(A>-x)=0,145 
e) P(x < A < 1,95)=0,78 
Resp: (a) -1,60 (b) 0,69 (c) 0,63 (d) -1,06 (e) -0,86 
 
24) Os pesos de 500 malas são normalmente distribuídos com média de 66,2kg e desvio-padrão de 4,3kg. 
Determine o número de malas que pesam: 
a) menos que 66,2 kg; 
b) entre 63 e 68 kg; 
c) menos de 70 kg; 
d) mais de 60 kg. 
Resp: (a) 0,5; 250 malas (b) 0,4332; 217 malas (c) 0,8106; 405 malas (d) 0,9251; 463 malas 
 
25) Para a população masculina de uma determinada cidade, com idade entre 18 e 74 anos, a pressão 
sistólica tem distribuição aproximadamente gaussiana com média 129 mmHg e desvio padrão 19,8 mmHg. 
Tem-se ainda que, níveis pressóricos menores que 130 (sistólica) / 85 (diastólica) mmHg são 
considerados normais. 
a) Qual a probabilidade de um homem dessa população possuir pressão sistólica normal? 
 4
b) Selecionando-se ao acaso 1000 homens dessa população, quantos seriam diagnosticados com 
hipertensão moderada (pressão sistólica entre 160 e 179 mmHg)? 
Resp: (a) 0,5201 (b) 53 
 
26) Sabe-se que para adultos do sexo masculino, com boa saúde, numa certa população, a temperatura 
corporal segue uma distribuição Normal com média 36,8 graus e desvio-padrão 0,15 graus. 
a) Qual a variável de interesse? Classifique-a. 
b) Se considerarmos 1000 dessas pessoas, quantas se esperariam com temperatura entre 36,8 e 37,2 
graus? 
c) Qual a temperatura corporal que é excedida com probabilidade 20%? 
Resp: (a) variável quantitativa contínua (b) 496 (c) 36,93 
 
27) Um bom indicador do nível de intoxicação por benzeno é a quantidade de fenol encontrada na urina. A 
quantidade de fenol na urina de moradores de certa região segue, aproximadamente, uma distribuição 
normal de média 6 mg/L e desvio padrão 2 mg/L. Considere as seguintes definições em termos da variável 
quantidade de fenol na urina: 
i. Define-se como “valor de referência” a quantidade de fenol tal que 90% da população têm quantidade de 
fenol maior ou igual a esse valor; 
ii. Uma pessoa é considerada “atípica” se a quantidade de fenol em sua urina for superior a 9mg/l ou 
inferior a 3 mg/L. 
a) Sorteado um morador ao acaso, qual é a probabilidade de ser “atípico”? 
b) Qual é o valor de referência da população? 
Resp: (a) 0,1336 (b) 3,44 
 
28) Uma máquina de encher garrafas de refrigerantes está regulada para que o volume médio de líquido em 
cada garrafa seja de 1000 cm 3 e o desvio padrão de 10 cm 3 . Pode-se admitir que a distribuição da 
variável volume seja normal. 
a) Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que 990 cm 3 ? 
b) Qual é a porcentagem das garrafas em que o volume líquido não se desvia da média em mais que 
dois desvios padrões? 
c) O que acontecerá com a porcentagem do item (b) se a máquina for regulada de forma que a média 
seja 1200 cm 3 e o desvio padrão 20 cm 3 ? Compare a porcentagem obtida com a do item (b) e 
comente. 
Resp: (a) 15,87% (b) 95,46% (c) 
 
29) Um teste de aptidão feito pelos pilotos de aeronaves em treinamento inicial requer que uma série de 
operações seja realizada em uma rápida sucessão. Suponha que o tempo necessário para completar o 
teste seja distribuído normalmente com média de 90 minutos e desvio padrão 20 minutos. 
a) Para passar no teste, o candidato deve completá-lo em menos de 80 minutos. Considerando 65 
candidatos, quantos são esperados passar? 
b) Se os 5% melhores candidatos serão alocados em aeronaves maiores, em no máximo quantos minutos 
um candidato deve concluir o teste de aptidão para obter esta posição. 
Resp: (a) 20 candidatos (b) 57,10 minutos 
 
30) O diâmetro interno de um anel de pistão é uma variável aleatória com distribuição N(10 cm; 0,03 cm). Um 
anel é considerado defeituoso quando seu diâmetro interno é maior que 10,03 cm ou menor que 9,97 cm. 
Os anéis considerados perfeitos são vendidos com um lucro de R$10,00 cada, enquanto que os anéis 
defeituosos são vendidos para utilização em uma outra atividade, dando um lucro de R$3,00 cada. Qual é 
o lucro médio por anel de pistão? Resp.: R$7,78 
 
31) Em uma distribuição normal, a probabilidade de valores de X abaixo de 25 é 0,82, e a probabilidade de 
valores de X acima de 20 é 0,70. Determine a probabilidade de valores de X acima de 22. Resp.: 0,4801 
 
32) O tempo médio de duração de um motor elétrico é de 6 anos, com desvio padrão de 2 anos. Se a duração 
desse motor pode ser considerada uma v.a. normal e se o motor estiver garantido, quanto tempo deve 
valer a garantia para que 15% dos motores falhem antes de expirar a garantia? Resp.: 3,92 anos. 
 
33) A perda de peso por evaporação de certo produto é uma variável aleatória com distribuição N(6,54 g, 1,3 
g). 
a) Qual a probabilidade do produto apresentar perda de peso por evaporação maior que 8g? 
b) Sorteiam-se quatro produtos de um lote. Qual a probabilidade de que ao menos dois produtos 
mostrem uma perda de peso por evaporação maior que 8g? (Dica: considere uma nova variável 
aleatória Y, Y = número de produtos com perda de peso maior que 8g. Cada produto pode ter perda 
maior que 8 (sucesso) ou menor ou igual a 8g (fracasso). Você deverá calcular a P(Y ≥ 2)). 
Resp.: (a) 0,1314 (b) 0,0863