Relatorio4 - Lentes

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Universidade Federal de Lavras 
Departamento de Ciências Exatas – DEX 
 
 
 
 
 
 
Lentes Convergentes e Divergentes 
 
 
 
Engenharia de Controle e Automação – 22A 
Bruno Henrique de Bastos Silva – 201221150 
Jéssica Junqueira Benetolo – 201221160 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lavras – MG 
Novembro – 2014 
 
1 Resumo 
 No vigente relatório serão mostrados alguns experimentos utilizando de 
lentes delgadas, onde serão mostrados os seus efeitos de convergência e 
divergência sobre a luz incidente, calculando pontos focais com os 
correspondentes erros experimentais e estudando os efeitos da combinação de 
lentes em imagens. 
 
2 Introdução 
 Lentes são corpos transparentes onde a luz que transpassa através dela 
pode se convergir em um único ponto ou divergir. Estes corpos possuem um eixo 
comum entre suas faces, as refrações contínuas de suas duas faces podem 
mudar a direção da luz. 
 Existem dois tipos de lentes delgadas: as lentes convergentes, que quando 
incidido raios paralelos através delas os raios se concentram em um único ponto 
comum, o eixo central; e as lentes divergentes que quando incidido os mesmos 
raios eles se divergem do eixo central. Existem algumas variações de lentes 
divergentes e convergentes conforme a figura 01. 
 
Figura 01 – Tipos de lentes convergentes e divergentes. 
 Ao se analisar a figura 02 observa-se que os raios ao atravessar uma lente 
convergente se encontram em um único ponto a uma distancia F2 do centro da 
lente, este ponto é chamado de ponto focal, e é denominado real, pois os raios 
realmente estão passando por aquele único ponto. 
Os raios que transpassam uma lente divergente não se encontram em um 
único ponto, porém ao fazer o prolongamento dos raios, observa-se que os 
prolongamentos se encontram em um ponto a uma distância F2 do centro da 
lente, este ponto também é chamado de distância focal ou ponto focal, porém é 
denominado virtual, pois os raios reais não se encontram sobre ele, e sim o seu 
prolongamento, e seguindo a mesma definição de espelhos, seu valor é negativo 
por definição. 
 
Figura 02 – Distâncias focais de lentes divergentes e convergentes. 
 Podemos definir a distância focal da lente seguindo o mesmo princípio de 
espelhos, com a lei de Gauss, equação 01. 
1
𝑓
=
1
𝐷𝑖
+
1
𝐷𝑜
 
Equação 01 – Equação de Gauss 
 Onde Di é a distância entre a imagem e a lente, e Do a distância entre o 
objeto e a lente. Com tratamentos matemáticos podemos encontrar a relação 
entre o raio da face direita (r’) e raio da face esquerda (r’’) com o índice de 
refração do material feito pela lente, considerando que a lente esta imersa no ar. 
1
𝑓
= (𝑛 − 1) 
1
𝑟′
−
1
𝑟′′
 
Equação 02 – Equação que relaciona raios das faces esféricas e índice de refração 
 Ao se estudar lentes, pode-se também analisar a formação de imagens a 
partir da combinação de duas lentes com seu eixo central coincidindo. A 
combinação de lentes está presente no dia a dia das pessoas em vários aspectos, 
em um telescópio, um microscópio e até mesmo em uma simples lente de 
aumento. 
 
Figura 03 – Esquema de uma lente de aumento 
 O microscópio atual utiliza de outras lentes não necessariamente delgadas, 
porém o princípio dos microscópios mais grosseiros utiliza duas lentes delgadas, 
uma perto do objeto e outra perto do observador fazendo com que a imagem do 
objeto seja aumentada, podendo analisar o material mais precisamente. 
 
Figura 04 – Esquema de um microscópio simplificado 
 O telescópio utiliza a mesma disposição de lentes, porém com um objetivo 
totalmente diferente, enquanto o microscópio é utilizado para analisar pequenos 
objetos a uma distância bem próxima da objetiva, o telescópio é utilizado para 
analisar grandes objetos como galáxias, planetas entre outros, que estão a uma 
distância praticamente infinita comparada a distância entre a objetiva e a ocular. A 
diferença entre a disposição das lentes é que a objetiva terá que ficar sobre o 
ponto focal da ocular, para assim fazer com que a imagem do objeto estudado 
seja aproximada para o ocular. 
 
Figura 04 – Esquema de um telescópio simplificado 
 Sabendo os valores da distância e tamanho de objeto e imagem, podemos 
calcular o aumento linear transversal ou ampliação segundo a lei de Bessel. 
𝐴 =
𝐷𝑖
𝐷𝑜
=
−𝑖
𝑜
 
Equação 03 – Lei de Bessel, equação do aumento. 
 Para os devidos cálculos de erros foi utilizada a fórmula da soma dos erros 
∆(𝑥 + 𝑦) = ∆𝑥 + ∆𝑦 
Equação 04 – Equação do erro da soma de dois valores. 
 
3 Objetivos 
 O presente experimento teve como objetivo estudar as leis de refração em 
lentes convergente e divergente de bordo fino e de bordo grosso. 
 
4 Materiais Utilizados 
 01 Banco óptico; 
 01 Lente convergente de bordo fino; 
 01 Lente divergente de bordo fino; 
 01 Perfil biconvexo representando uma lente convergente de bordo grosso; 
 01 Perfil bicôncavo representando uma lente divergente de bordo grosso; 
 01 Disco giratório; 
 01 Fenda múltipla; 
 01 Fenda em perfil de “F”; 
 01 Aparato; 
 01 Cavalete metálico; 
 Papel milimetrado; 
 Folhas de papel branco; 
 Régua. 
 
 
 
 
 
 
5 Esquema de Montagem 
5.1 Esquema de montagem parte 1 
 
Figura 05 – Esquema de montagem lentes e fenda “F”. 
 
5.2 Esquema de montagem parte 2 
 
Figura 06 – Esquema de montagem lentes convergentes e divergentes 
 
5.3 Esquema de montagem parte 3 
 
Figura 07 – Esquema de montagem combinação de lentes. 
 
 
6 Procedimentos 
6.1 Parte 1 – Determinação da distância focal de uma lente de bordo 
fino 
 Tomando o cuidado de não depositar nenhum tipo de resíduo nas lentes 
durante seu manuseio elas foram posicionadas conforme mostra a figura 05. 
Então foi ligado o banco óptico na tensão adequada para seu uso. Com o feixe de 
luz aceso as lentes e a fenda em “F” foram movidas de tal forma que se 
conseguisse visualizar a letra em questão no aparato. Em seguida moveu-se o 
aparato até que o “F” estivesse nítido. 
 A distância do aparato até a lente foi alterada cinco vezes e em cada um 
dos casos se obteve o tamanho da imagem resultante que serão apresentados 
em uma tabela posteriormente. As medidas obtidas durante a realização do 
experimento foram anotadas com o intuito de se calcular a distância focal da lente 
utilizada como também será demonstrado no decorrer deste relato. 
 
6.2 Parte 2 – Determinação da distância focal de lentes convergente 
e divergente de bordo grosso 
 Para iniciar o experimento montou-se os equipamentos como pode ser 
visto na figura 06. Uma folha de papel foi colocada sobre o disco giratório e fez-se 
incidir os feixes de luz sobre a lente convergente (perfil biconvexo), tomando o 
cuidado para que o vértice da lente estivesse no centro do disco e os feixes 
incidentes estivessem perpendiculares a esse ponto. Vale ressaltar que a lente foi 
manuseada com o devido cuidado para que nenhum resíduo fosse depositado em 
sua superfície prejudicando os resultados obtidos no experimento. 
 Sobre a folha de papel foi feito um esboço da lente e dos feixes de luz 
incidentes e refratados com o intuito de se obter a distância focal e o raio de 
curvatura da lente. 
 Todo o procedimento foi repetido utilizando o perfil bicôncavo que se 
comporta como uma lente convergente. 
 
6.3 Parte 3 – Instrumentos ópticos 
 O equipamento foi montado como na figura 07 com a intenção de estudar 
como se comportam três diferentes instrumentos ópticos: uma luneta 
astronômica, uma luneta terrestre e um microscópio. Ainda foi desenhado umpadrão no papel milimetrado, que atuaria como objeto de observação para cada 
um dos instrumentos. 
 Para o caso da luneta astronômica posicionou-se a lente de distância focal 
de 5 cm na posição L1, se comportando como ocular, e a lente de distância focal 
de 25 cm na posição L2, se comportando como objetiva. 
O papel milimetrado, preso ao cavalete metálico foi posicionado no final do 
trilho do banco óptico. Então as lentes foram ajustadas até que se obtivesse uma 
imagem nítida. Após isso a imagem foi medida, bem como o objeto e a distância 
entre as lentes. 
 Para estudar o comportamento de uma luneta terrestre trocou-se a lente de 
distância focal de 5 cm por uma lente divergente de distância focal de -10 cm. 
Todo o procedimento realizado para o estudo da luneta astronômica foi repetido 
para este caso. 
 Para estudar o microscópio colocou-se a lente de distância focal de 25 cm 
na posição L1, atuando como ocular, e a lente de distância focal de 5 cm na 
posição L2, atuando como objetiva. O papel milimetrado foi posicionado próximo à 
objetiva e então a distância entre as lentes foi ajustada até que se pudesse 
visualizar nitidamente a imagem. 
 
7 Resultados e Análises 
7.1 Parte 1 – Determinação da distância focal de uma lente de bordo 
fino 
 No decorrer deste experimento manteve-se constante a distância entre o 
objeto e a lente em Do = (6 ± 0,05) cm bem como o tamanho do objeto que foi 
sempre o mesmo de O = (1 ± 0,05) cm. A distância entre a lente e a imagem foi 
variada, o que ocasionou em uma mudança no tamanho da imagem obtida. Os 
valores mencionados podem ser encontrados na tabela I a seguir 
Tabela I – Relação entre a distância da lente até o anteparo e o tamanho da imagem 
Distância Lente – Imagem (Di) (± 0,05) Tamanho da Imagem (I) (± 0,05) 
12,3 cm 1,4 cm 
17,0 cm 0,9 cm 
24,5 cm 1,7 cm 
29,1 cm 2,1 cm 
30,0 cm 2,2 cm 
 
 Com os diferentes valores de Di e o valor de Do é possível, através da 
Equação de Gauss para Lentes (descrita na equação 01), calcular a distância 
focal da lente bem como a sua incerteza através da equação 04. 
∆𝑓 = 
∆𝐷𝑜 ∗ ∆𝐷𝑖
∆𝐷𝑜 + ∆𝐷𝑖
 
Sendo que a incerteza da distância focal será a mesma para todos os casos, pois 
em todos eles a incerteza de Do e de Di é a mesma. Dessa forma a incerteza da 
distância focal (f) é calculada a seguir. 
∆𝑓 = 
0,05 ∗ 0,05
0,05 + 0,05
= 0,025 
1
𝑓
= 
1
𝐷𝑜
+ 
1
𝐷𝑖
 
1
𝑓
= 
1
6
+ 
1
12,3
 
𝑓 = 4,03 ± 0,025 
1
𝑓
= 
1
6
+ 
1
17
 
𝑓 = 4,43 ± 0,025 
1
𝑓
= 
1
6
+ 
1
24,5
 
𝑓 = 4,82 ± 0,025 
1
𝑓
= 
1
6
+ 
1
29,1
 
𝑓 = 4,97 ± 0,025 
1
𝑓
= 
1
6
+ 
1
30
 
𝑓 = 5 ± 0,025 
 A partir dos cinco valores obtidos para a distância focal é possível calcular 
a média deles bem como seu desvio padrão através das seguintes equações. 
𝑓 = 
 𝑓𝑗
𝑛
𝑗
𝑛
 
𝑓 = 
4,03 + 4,43 + 4,82 + 4,97 + 5
5
= 4,65 
𝜎 = 
 (𝑓 − 𝑓 )2
𝑛
 
𝜎 = 
(4,03 − 4,65)2 + (4,43 − 4,65)2 + (4,82 − 4,65)2 + (4,97 − 4,65)2 + (5 − 4,65)2
5
= 0,37 
 Dessa forma, portanto, a distância focal calculada para a lente é de f = 
(4,65 ± 0,37) cm. Pode-se perceber que no primeiro método (teoria de 
propagação de erros) adotado a incerteza de f é de 0,025 cm enquanto no 
segundo método (tratamento estatístico) a incerteza de f é de 0,37 cm. Essa 
diferença se deve exatamente ao método utilizado. Na teoria da propagação de 
erros considera-se apenas as incertezas dos instrumentos de medição utilizado. 
Já no segundo método são levados em consideração todos os erros envolvidos 
no procedimento uma vez que consiste basicamente em pegar a diferença entre a 
média e cada uma das medidas, e cada medida carrega seus erros distintos que 
vão desde a incerteza do instrumento de medição até possíveis erros de paralaxe 
na leitura dos valores. Portanto pode-se considerar que o tratamento estatístico é 
o mais adequado para valores que são obtidos experimentalmente, pois 
normalmente são obtidos através de repetições das medidas necessárias para os 
cálculos. A teoria de propagação de erros deve ser adotada quando se faz uso de 
apenas uma medição, pois nesse caso não faz absoluto sentido calcular o desvio 
padrão e por consequência a propagação de erros resulta em um valor bastante 
seguro para a incerteza da variável obtida. 
 Pode-se ainda complementar a tabela I incluindo os valores das relações 
de Di/Do e I/O como pode ser observado na tabela II que se segue. 
Tabela II – Valores de distância entre a lente e a imagem, tamanho da imagem e relação de 
aumento da lente utilizada 
Di (±0,05) I (±0,05) Di/Do I/O 
12,3 cm 1,4 cm 12,3/6,0 = 2,05 1,4/1,0 = 1,4 
17,0 cm 0,9 cm 17,0/6,0 = 2,83 0,9/1,0 = 0,9 
24,5 cm 1,7 cm 24,5/6,0 = 4,08 1,7/1,0 = 1,7 
29,1 cm 2,1 cm 29,1/6,0 = 4,85 2,1/1,0 = 2,1 
30,0 cm 2,2 cm 30,0/6,0 = 5,00 2,2/1,0 = 2,2 
 
 A tabela II permite perceber que quanto maior a distância entre a lente e a 
imagem (desde que a distância entre o objeto e a lente se mantenha constante) 
maior será o aumento da imagem em relação ao objeto. Nota-se ainda nesta 
tabela que existe uma exceção para essa regra, ocorrida quando a distância entre 
a lente e a imagem foi de 17,0 cm quando a relação de aumento foi menor do que 
no caso anterior em que a distância Di era menor. Essa exceção pode ser 
explicada devido a algum erro de medida da própria distância ou ainda na hora de 
medir a imagem gerada, devendo-se ainda levar em consideração a possibilidade 
de terem ocorridos erros de paralaxe. 
 Nesse experimento ainda é importante classificar a imagem que foi gerada 
como sendo real invertida. Este tipo de imagem designa o tipo de lente que foi 
utilizada. No caso de uma imagem real invertida tem-se a garantia de que a lente 
utilizada na realização dos procedimentos experimentais é uma lente 
convergente. 
7.2 Parte 2 – Determinação da distância focal de lentes convergente 
e divergente de bordo grosso 
 Ao se traçar os raios na folha de papel foi possível calcular a distância 
entre o ponto de convergência dos raios e o centro aproximado da lente, ou seja, 
o ponto focal da lente. Todas as medições seguem em anexo (Anexo A). 
𝑓 = 12,70 ± 0,05𝑐𝑚 
 Com o auxílio de um compasso as faces que formam a lente foram 
prolongadas originando círculos, podendo assim medir os respectivos raios de 
curvatura (Anexo A). 
𝑅1 = 12,50 ± 0,05𝑐𝑚 
𝑅2 = 12,50 ± 0,05𝑐𝑚 
 Com a lente divergente também foi possível calcular a distância focal, 
porém foi preciso realizar o prolongamento dos feixes de luz já que o ponto focal 
de lentes convergentes é virtual, todas as medições estão em anexo. Com o 
auxílio de um compasso também foi possível medir os raios de curvatura dos 
respectivos círculos formadores das faces da lente (Anexo B). 
𝑓 = 6,50 ± 0,05𝑐𝑚 
𝑅1 = 10,00 ± 0,05𝑐𝑚 
𝑅2 = 10,00 ± 0,05𝑐𝑚 
 Considerando o índice de refração do acrílico 1,5 pode-se através da 
equação do fabricante (equação 02) calcular quais seriam os focos das lentes 
usadas. 
Lente convergente: 
1
𝑓
= (1,5 − 1) 
1
12,50
−
1
(−12,50)
 
𝑓 = 12,5𝑐𝑚 
Lente divergente: 
1
𝑓
= (1,5 − 1) 
1
(−10,00)
−
1
10,00
 
𝑓 = −10𝑐𝑚 
 
 
7.3 Parte 3 – Instrumentos ópticos 
 Quando se estudou a luneta astronômica obteve-se as seguintes medidas: 
 - Distância entre as lentes: D = 16,6 cm; 
 - Tamanho do objeto: O = 3,52 cm; 
 - Tamanho da imagem: I = 0,8 cm. (Observando que a imagem obtida 
estava invertida). 
 Tendo o tamanho da imagem e do objeto é possível calcular o aumentodo 
aparelho através da equação 03. 
𝐴 =
0,8
3,52
= 0,23 
 Ao se estudar a luneta terrestre foram obtidas as seguintes medidas: 
 - Distância entre as lentes: D = 18,5 cm; 
 - Tamanho do objeto: O = 3,52 cm; 
 - Tamanho da imagem: I = 1,6 cm. 
 Assim como no caso da luneta astronômica calculou-se o aumento da 
luneta como mostrado logo abaixo: 
𝐴 =
1,6
3,52
= 0,45 
No caso do microscópio as medidas obtidas são as seguintes: 
- Distância entre as lentes: D = 15,5 cm; 
- Tamanho do objeto: O = 3,52 cm; 
- Tamanho da imagem: impossível medir, pois a imagem obtida era muito 
grande. 
A impossibilidade de medir a imagem só comprova que a configuração de 
lentes atuou bem como um microscópio, já que a função deste aparelho é 
exatamente a de aumentar inúmeras vezes um objeto muito pequeno. 
 
8 Conclusões 
 Nos Experimentos que seguiram foram comprovadas a veracidade das leis 
sobre lentes convergentes e divergentes. No caso da primeira parte do 
experimento foi comprovada com êxito a distância focal da lente usada, pois o 
desvio padrão foi bem baixo, o que significa que os valores variaram de forma 
ínfima. No mesmo experimento foi calculada a relação entre a distância do objeto 
à lente, os valores obtidos foram condizentes com o esperado, pois quanto maior 
a distância objeto-lente maior é a imagem formada, com exceção de um dos 
valores que pode ter sido um erro de leitura. 
 No segundo experimento foi comprovada a convergência e a divergência 
dos raios paralelos quando incididos em lentes delgadas. O foco positivo na lente 
convergente e negativo na lente divergente comprova que o ponto focal em lentes 
convergentes é real e virtual em lentes divergentes. Os focos calculados através 
da equação do fabricante foram praticamente iguais ao medido, diferenciando 
apenas o de lentes divergentes que o valor do foco foi bem discrepante ao 
medido, podendo ter ocorrido um erro de leitura. 
 Por fim no terceiro experimento foi comprovado que com a combinação de 
duas lentes delgadas, pode-se montar instrumentos como microscópio e luneta. 
Ao perceber que a seta desenhada no papel ficou mais próxima do observador, 
comprovou-se o princípio da luneta, movendo a objetiva conforme o indicado nos 
procedimentos foi observado que não se podia ver mais a seta inteira, o que 
comprovaria o princípio do microscópio, que aproxima milhares de vezes o objeto 
do observador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referência Bibliográfica 
Tipler P.A, Mosca G.; Fisica para Cientistas e Engenheiros: Energia 
Eletrostática e Capacitância ;5ª ed; Rio de Janeiro: LTC, 2006. 
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl.Fundamentos da Física. 
Vol4: Eletromagnetismo. 8 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013. 
Brasil escola – Equação dos fabricantes. Disponível em: 
<http://www.brasilescola.com/fisica/equacao-dos-fabricantes-lentes.htm> 
Acessado em: 19 nov. 2014 
Física e vestibular – Óptica. Disponível em: 
<http://www.fisicaevestibular.com.br/optica14.htm> Acessado em: 17 nov. 2014 
Programa Educar USP-SP – Óptica e lentes. Disponível em: 
<http://educar.sc.usp.br/otica/lente.htm> Acessado em: 15 nov. 2014