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Ministe´rio da Educac¸a˜o Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Campus Campo Moura˜o Wellington Jose´ Correˆa Nome: Lista de Ca´lculo 2 1. Calcule o limite dado: (a) lim (x,y)→(2,3) (3x2 + xy − 2y2) (b) lim (x,y)→(2,−1) 3x− 2y x+ 4y (c) lim (x,y)→(0,1) x4 − (y − 1)4 x2 + (y − 1)2 (d) lim (x,y)→(ln 3,ln 2) ex−y (e) lim (x,y)→(2,2) tg−1 y x (f) lim (x,y)→(4,2) √ 1 3x− 4y 2. Mostre que para dada func¸a˜o f , o limite lim (x,y)→(0,0) f(x, y) na˜o existe. (a) f(x, y) = x2 − y2 x2 + y2 (b) f(x, y) = x4y4 (x2 + y4)3 (c) f(x, y) = x9y (x6 + y2)2 3. Calcule lim (x,y)→(0,0) f(x, y) : (a) f(x, y) = x2y + xy2 x2 + y2 (b) f(x, y) = x y√ x2 + y2 (c) f(x, y) = sen(x2 + y2) x2 + y2 4. Determine todos os pontos onde f e´ cont´ınua. (a) f(x, y) = x2 y − 1 (b) f(x, y) = sen (y x ) (c) f(x, y) = 5xy2 + 2y 16− x2 − 4y2 (d) f(x, y) = cos−1(x+ y) (e) f(x, y) = x y√ x2 + y2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) (f) f(x, y) = x+ y x2 + y2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) 1 5. O ı´ndice de sensac¸a˜o te´rmica W e´ a temperatura que se sente quando a temperatura real for T e a rapidez do vento v, portanto, podemos escrever W = f(T, v). A tabela abaixo representa uma situac¸a˜o alguns valores de W : T \ v 20 30 40 50 60 70 -10 -18 -20 -21 -22 -23 -23 -15 -24 -26 -27 -29 -30 -30 -20 -30 -33 -34 -35 -36 -37 -25 -37 -39 -41 -42 -43 -44 (a) Estime os valores de fT (−15, 30) e fv(−15, 30). Quais sa˜o as interpretac¸o˜es pra´ticas destes valores? (b) em geral, o que se pode dizer sobre o sinal de ∂ W ∂ T e ∂ W ∂ v ? (c) Qual parece ser o valor de lim n→+∞ ∂ W ∂ v ? 6. Calcule todas as derivadas parciais de primeira ordem: (a) f(x, y) = 4y3 + √ x2 + y2 (b) f(θ, φ) = sen3θ cos 2φ (c) f(x, y, z) = exyz + tg−1 ( 3xy z2 ) (d) f(x, y) = ∫ x y ln sent dt (e) f(x, y) = xy (f) f(x, y) = log3(x+ y) . 7. Ache as derivadas parciais indicadas. (a) f(x, y) = e2xseny ; fxx, fxy, fyx, fyy (b) f(x, y) = x2 y − y x2 ; fxx, fxy fyx, fyy (c) g(x, y) = 3x3y2 + 5x2y3 + 2x ; gyyx, gyxy (d) g(r, s, t) = ln(r2 + 4s2 − 5t2) ; grts, grss 8. Mostre que as func¸o˜es (a) f(x, y) = ln(x2 + y2) (b) f(x, y) = ex seny + ey cos x satisfazem a equac¸a˜o de Laplace em R2: ∂2f ∂x2 + ∂2f ∂y2 = 0 . (Uma func¸a˜o que satisfaz a equac¸a˜o de Laplace e´ dita harmoˆnica.) 2 9. Se u, v sa˜o func¸o˜es diferencia´veis de x e y, enta˜o as equac¸o˜es ∂u ∂x = ∂v ∂y e ∂v ∂x = −∂u ∂y sa˜o chamadas equac¸o˜es de Cauchy-Riemann. (a) Mostre que as equac¸o˜es de Cauchy-Riemann esta˜o satisfeitas se u = 1 2 ln(x2+y2) e v = tg−1 (y x ) . (b) Suponha que u, v sa˜o func¸o˜es diferencia´veis de x e y, donde suas derivadas parciais primeira e segunda sejam cont´ınuas. Prove que se u e v satisfazem as equac¸o˜es de Cauchy-Riemann, enta˜o u e v sa˜o harmoˆnicas. 10. Use a Regra da Cadeia para calcular a derivada parcial indicada: (a) u = x2 + xy; x = r2 + s2; y = 3r − 2s; ∂u ∂r ; ∂u ∂s (b) u = xy + xz + yz; x = r s; y = r2 − s2; z = (r − s)2; ∂u ∂r ; ∂u ∂s (c) u = 3x2 + xy − 2y2 + 3x− y; x = 2r − 3s; y = 3r + s; ∂u ∂r ; ∂u ∂s (d) u = e y x ; x = 2 r cos t; y = 4 rsent; ∂u ∂r ; ∂u ∂t 11. A temperatura de T (x, y) graus cent´ıgrados em cada ponto (x, y) de uma chapa constiu´ıda de metal na˜o varia com o tempo. Um besouro atravessando a chapa esta´ em (x, y) = (t2+1, 3t) no instante t. Assim, a temperatura em cada instante e´ z(t) = T (t2 + 1, 3t). A temperatura tem as propriedades: T (5, 6) = 40, Tx(5, 6) = 4, Ty(5, 6) = −2. Qual a taxa de variac¸a˜o desta temperatura em relac¸a˜o ao tempo no instante t = 2? 12. A voltagem V em um circuito ele´trico simples esta´ decrescendo devagar a` medida que a bateria se descarrega. A resisteˆncia R esta´ aumentando devagar com o aumento de calor do resistor. Use a Lei de Ohm, V = RI, para achar como a corrente I esta´ variando no momento em que R = 400Ω, I = 0, 08A, dV dt = −0, 01V/s e dR dt = 0, 03Ω/s. 13. Uma func¸a˜o e´ dita homogeˆnea de grau n se satisfaz a equac¸a˜o f(tx, ty) = tn f(x, y) para todo valor de t, onde n e´ um inteiro positivo e f tem as segundas derivadas parciais cont´ınuas. (a) Verifique que f(x, y) = x2y + 2xy2 + 5y3 e´ homogeˆnea de grau 3. 3 (b) Mostre que, se f e´ homogeˆnea de grau n, enta˜o x ∂f ∂x + y ∂f ∂y = n f(x, y) 14. Ache a derivada direcional da func¸a˜o dada na direc¸a˜o e sentido do vetor unita´rio u dado. (a) f(x, y) = 2x2 + 5y2; u = ( cos pi 4 , sen pi 4 ) (b) h(x, y, z) = 3x2 + y2 − 4z2; u = ( cos pi 3 , cos pi 4 , cos 2pi 3 ) 15. Calcule o gradiente da func¸a˜o dada. (a) f(x, y) = 4x2 − 3xy + y2 (b) g(x, y) = √ x2 + y2 (c) f(x, y, z) = x− y x+ z 16. O potencial ele´trico e´ V (x, y) volts em qualquer ponto do plano xy e V (x, y) = e−2x cos(2 y). A distaˆncia e´ dada em metros. Calcule: (a) Ache a taxa de variac¸a˜o do potencial no ponto ( 0, pi 4 ) , na direc¸a˜o do vetor unita´rio( cos pi 6 , sen pi 6 ) . (b) Ache o valor da taxa de variac¸a˜o ma´xima de V em ( 0, pi 4 ) . 17. Nas proximidades de uma bo´ia, a profundidade de um lago em um ponto com coordenadas (x, y) e´ z = 200+0, 02x2−0, 001 y3, onde x, y e z sa˜o medidos em metros. Um pescador que esta´ em um pequeno barco parte do ponto (80, 60) em direc¸a˜o a` bo´ia, que esta´ localizada no ponto (0, 0). a a´gua sob o barco esta´ ficando mais profunda ou mais rasa quando ela comec¸a a se mover. Explique. 18. Suponha que voceˆ esteja escalando um morro cujo formato e´ dado pela equac¸a˜o z = 1000− 0, 01x2 − 0, 002 y2, onde x, y e z sa˜o medidos em metros, e voceˆ esteja em pe´ no ponto de coordenadas (50, 80, 847). O eixo positivo dos x aponta para o Leste e o eixo positivo dos y aponta para o Norte. (a) Se voceˆ andar exatamente para o Sul, voceˆ comec¸ara´ a subir ou descer? Com que taxa? (b) Se voceˆ caminhar em direc¸a˜o a Noroeste, voceˆ comec¸ara´ a subir ou descer? Com que taxa? 4 (c) Em que direc¸a˜o a inclinac¸a˜o e´ maior? Qual e´ a taxa de elevac¸a˜o nessa direc¸a˜o? Qual e´ o aˆngulo que o in´ıcio desse caminho faz em relac¸a˜o a` horizontal? 19. Ache uma equac¸a˜o do plano tangente e as equac¸o˜es da reta normal a` superf´ıcie no ponto indicado. (a) x2 + y2 + z2 = 17; (2,−2, 3) (b) x2 + y2 − 3z = 6; (−2,−4, 6) . Respostas 1. (a) 0 (b) -4 (c) 0 (d) 3 2 (e) pi 4 (f) 1 2 2. Tome caminhos distintos e obtenha limites diferentes para tais caminhos. 3. (a) 0 (b) 0 (c) 1 4. (a) {(x, y) ∈ R2/y 6= 1} (b) {(x, y) ∈ R2/x 6= 0} (c) {(x, y) ∈ R2/x2 + 4y2 6= 16} (d) R2 (e) R2 (f) {(x, y) ∈ R2/(x, y) 6= (0, 0)} 5. (a) Temos que fT (−15, 30) ≈ 1, 3; para uma temperatura de −15 ◦C e velocidade do vento de 30 km/h, o ı´ndice do resfriamento da superf´ıcie realizado pelo vento aumenta 1, 3 ◦C para cada aumento de grau na temperatura. Por outro lado, fv(−15, 30) ≈ −0, 15 para uma temperatura de −15 ◦C e velocidade do vento de 30 km/h, o ı´ndice do resfriamento da superf´ıcie realizado pelo vento decresce −0, 15 ◦C para cada aumento em km/h da velocidade do vento. (b) Positivo, negativo. 5 (c) 0. 6. (a) fx = x√ x2 + y2 ; fy = 12y 2 + y x2 + y2 (b) fθ = 3 cos 3θ cos 2φ; fφ = −2sen 3θ sen 2φ (c) fx = yze xyz + 3yz2 z4 + 9x2y2 ; fy = xze xyz + 3xz2 z4 + 9x2y2 ; fz = xyexyz − 6xyz z4 + 9x2y2 (d) fx = − ln sen x; fy = ln sen y (e) fx = y x y−1; fy = xy ln x (f) fx = fy = 1 ln 3(x+ y) 7. (a) fx = 2e 2xsen y; fxx = 4e 2x seny; fxy = fyx = 2e 2x cos y; fyy = −e2x seny(b) fx = 2xy −1 + 2yx−3; fxx = 2y−1 − 6x−4y; fxy = 2x−1 + 2x−3; fyx = −2x2y−2 + 2x−3; fyy = 2x 2y−3 (c) gyyx = 18x 2 + 60xy; gyxy = 18x 2 + 60xy (d) grts = − 320 (r2 + 4s2 − 5t2)3 ; grss = 16r (5t2 + 12s2 − r2) (r2 + 4s2 − 5t2)3 8. Substitua f na equac¸a˜o de Laplace. 9. (b)Derive a primeira equac¸a˜o de Riemann em relac¸a˜o a` x e a segunda em relac¸a˜o a` y e em seguida, use a equac¸a˜o de Laplace. 10. (a) ∂u ∂r = 4r3 + 4rs2 + 15r2 − 8rs+ 3s2; ∂u ∂s = 2s3 − 6s2 + s(2r2 + 6r)− 2r2 (b) ∂u ∂r = 2s3 − 4s2r + 4r3; ∂u ∂s = −4s(−3 2 sr + r2 + s2) (c) ∂u ∂r = 24r − 41s+ 5; ∂u ∂s = −41r + 44s− 10 (d) ∂u ∂r = 0; ∂u ∂s = 2e2tgt sec2 t 11. 10◦C/t. 12. dI dt = −0, 000031A/s 13. (a) Calcule f(tx, ty) na func¸a˜o dada e mostre que f(tx, ty) = t3 f(x, y). (b)Derive ambos os lados de f(tx, ty) = tn f(x, y) usando a Regra da Cadeia e apo´s isto, fazendo t = 1, obte´m-se o desejado. 6 14. (a) 2 √ 2x+ 5 √ 2y (b) 3x+ √ 2y + 4z 15. (a) ∇f(x, y) = (8x− 3y,−3x+ 2y) (b) ∇f(x, y) = ( x√ x2 + y2 , y√ x2 + y2 ) (c) ∇f(x, y, z) = 1x+ z ( z + y x+ z ,−1, y − x x+ z ) 16. (a) -1 (b) 2 17. Use os conceitos do vetor gradiente e represente os pontos em um sistema de coordenadas. Temos que ∂f ∂u (80, 60) = 3, 92 > 0 e assim, a profundidade do lago esta´ crescendo perto de (80,60) na direc¸a˜o da bo´ia. 18. Represente os pontos cardeais no sistema cartesiano. (a) Voceˆ comec¸ara´ a subir com taxa de ∂f ∂u (50, 80) = 3, 2 > 0. (b) Voceˆ comec¸ara´ a descer com taxa de ∂f ∂u (50, 80) = −1, 56 < 0. (c) A direc¸a˜o de maior inclinac¸a˜o e´ ∇f(50, 80) = (−1, 16/5) com taxa de elevac¸a˜o de ||∇f(50, 80)|| ≈ 3, 35. O aˆngulo que o in´ıcio desse caminho faz em relac¸a˜o a` horizontal e´ tgθ ≈ 3, 35 ⇒ θ ≈ tg−1(3, 35) ≈ 73, 4◦ 19. (a) 2x− 2y + 3z − 17 = 0; x− 2 4 = y + 2 −4 = z − 3 6 (b) 4x+ 8y + 3z + 22 = 0; x+ 2 4 = y + 4 8 = z − 6 3 Bom Divertimento!!! 7
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