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1 Profa. Fabrícia de Farias MATEMÁTICA FINANCEIRA Profa. Fabrícia de Farias A resolução de problemas de matemática financeira torna-se muito mais fácil quando utilizamos o conceito de fluxo de caixa. Um fluxo de caixa é uma representação gráfica de uma série de entradas (recebimentos) e saídas (pagamentos). As saídas são representadas por uma seta para baixo e as entradas por uma seta para cima. Exemplo: Representar as seguintes entradas e saídas num diagrama de fluxo de caixa: Período Saída ($) Entrada ($) 0 - 1000 0 1 -500 + 800 2 + 800 3 + 1000 4 + 1500 5 -200 + 1800 Fluxo de Caixa - Conceito 2 Profa. Fabrícia de Farias Aprendemos a calcular juros compostos em pagamentos simples, isto é uma entrada e uma saída de caixa. Mas o que acontece quando temos várias entradas (ou saídas) de caixa? Exemplo: 1. Digamos que você está pensando comprar um computador e para isso pretende fazer um plano de poupança da seguinte maneira: Daqui a 1 mês – depósito de $ 1.200,00 Daqui a 2 meses – depósito de $ 1.400,00 Daqui a 3 meses – depósito de $ 1.000,00 Se a taxa de juros é 8% a.m., qual a quantia que você terá daqui a 3 meses, para efetuar a compra do computador? Fluxo de Caixa Profa. Fabrícia de Farias O Diagrama de Fluxo de Caixa (DFC)correspondente será: Vejam que o fluxo de caixa múltiplo é uma simples extensão do pagamento simples. “Para calcular o valor em alguma data futura de uma série de fluxos de caixa, calcule o quanto cada fluxo de caixa valerá naquela data futura, e depois some esses valores futuros”. Fluxo de Caixa 3 Profa. Fabrícia de Farias Os métodos mais utilizados de avaliação de fluxos de caixa são: (a) o método do valor presente líquido (VPL) e (b) o método da taxa interna de retorno (TIR). Cálculo do valor de um fluxo de caixa: São definidas algumas regras básicas para o cálculo do valor númerico de um fluxo de caixa: (i) o fluxo deve ser inicialmente simplificado, (ii) o fluxo deve ser calculado em um determinado período de tempo, isto é, todas as entradas e saídas devem ser trazidas para uma mesma data; (iii) as entradas e saídas devem ser calculadas neste período de tempo. Fluxo de Caixa - Métodos de avaliação Profa. Fabrícia de Farias (a) o método do valor presente líquido (VPL): O método do valor atual calcula o valor do fluxo de caixa líquido na data focal igual a zero e sempre à taxa mínima de atratividade (taxa de juros) conhecida. Se o valor atual ou presente líquido (VPL) for maior ou igual a zero, então, o investimento será atrativo. A melhor proposta para quando houver várias alternativas, será sempre aquela que apresentar o maior valor presente líquido. (b) o método da taxa interna de retorno (TIR): A taxa interna de retorno é a taxa de desconto que torna nulo o valor presente líquido (VPL) do investimento. Se a TIR for maior ou igual que a taxa mínima de atratividade o investimento é viável. Fluxo de Caixa - Métodos de avaliação deverson_@hotmail.com Highlight 4 Profa. Fabrícia de Farias Exemplo: 1. Calcular o seguinte fluxo de caixa, (VPL), considerando-se uma taxa de juros de 5% a.p.: 1 3 4 5 2 1000 200 800 1400 1600 1400 Descontando todas as saídas e entradas e trazendo para o momento 0, temos: VPL = -1000 + 200/(1+0,05)1 + 800/(1+0,05)2 + 1600/(1+0,05)3 + 1400/(1+0,05)4 + 1400/(1+0,05)5 VPL = -1000 + 190,47 + 725,62 + 1382,14 + 1151,78 + 1096,93 VPL = $ 3546,94 Fluxo de Caixa Profa. Fabrícia de Farias Anuidade - Conceitos e Usos Sequência de pagamentos ou recebimentos em datas futuras, como contrapartida de recebimento ou aplicação a valor presente. 5 Profa. Fabrícia de Farias Nas aplicações financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma só vez ou através de uma sucessão de pagamentos ou de recebimentos. Quando o objetivo é constituir-se um capital em uma data futura, tem-se um processo de capitalização. Caso contrário, quando se quer pagar uma dívida, tem-se um processo de amortização. Anuidade - Conceitos e Usos Profa. Fabrícia de Farias Os valores que constituem a renda são os termos da mesma. O intervalo de tempo entre dois termos chama-se período. A soma dos períodos define a duração da anuidade. O valor atual de uma anuidade é a soma dos valores atuais dos seus termos, soma esta feita para a mesma data focal e à mesma taxa de juros. Anuidade - Conceitos e Usos 6 Profa. Fabrícia de Farias Anuidade - Conceitos e Usos Anuidade, renda certa ou série é uma sucessão de pagamentos ou recebimentos, exigíveis em épocas preestabelecidas, destinada a liquidar uma dívida ou formar um capital. Classificação: Séries Postecipadas - os pagamentos ocorrem no fim de cada período e não na origem; R 0 2 1 3 ... n Profa. Fabrícia de Farias Séries Antecipadas - os pagamentos são feitos no início de cada período respectivo; Séries Diferidas - o período de carência constitui-se em um prazo que separa o início da operação, do período de pagamento da primeira parcela. Ocorre se os termos forem exigíveis a partir de uma data que não seja o primeiro período. 0 2 1 3 ... n -1 R Anuidade - Conceitos e Usos deverson_@hotmail.com Highlight deverson_@hotmail.com Highlight deverson_@hotmail.com Highlight 7 Profa. Fabrícia de Farias Série Diferida Antecipada - o primeiro pagamento ocorre no início do primeiro período após o término da carência. 0 C+1 C C+2 ... C+n Carência R Anuidade - Conceitos e Usos Profa. Fabrícia de Farias Série Diferida Postecipada – o primeiro pagamento ocorre no final do primeiro período após o período de carência. 0 C+1 C C+2 ... C+n+1 Carência R Anuidade - Conceitos e Usos deverson_@hotmail.com Highlight deverson_@hotmail.com Highlight 8 Profa. Fabrícia de Farias Além dos que foi visto, as anuidades podem ser classificadas de acordo com diversos critérios: Quanto à duração ou prazo: - Limitadas ou temporárias - Perpétuas – correspondem ao juro de um empréstimo cujo capital não é pago. Exemplo: ações. Quanto ao valor dos termos: - Uniformes (constantes) – Valores nominais iguais - Não uniformes (variáveis) – Valores nominais diferentes Quanto à periodicidade: - Periódica: todos os períodos são iguais - Não periódicas Anuidade - Conceitos e Usos Profa. Fabrícia de Farias Inicialmente, entenderemos que as anuidades aqui apresentadas são simultaneamente: - Imediatas e Postecipadas - Temporárias - Uniformes - Periódicas Anuidade Postecipada deverson_@hotmail.com Highlight deverson_@hotmail.com Highlight 9 Profa. Fabrícia de Farias S=? R i i i i i 0 2 1 3 ... n -1a prestação capitaliza juros durante (n - 1) períodos Valor futuro no final do período n.................................................. R (1 + i)n-1 -2a prestação capitaliza juros durante (n - 2) períodos Valor futuro no final do período n ................................................. R (1 + i)n-2 - penúltima prestação capitaliza juros durante 1 período Valor futuro no final do período n .................................................. R (1 + i) -última prestação não capitaliza juros Valor no final do período n é igual ................................................. R Anuidade Postecipada - Calcular “S” (Valor Acumulado) Profa. Fabrícia de Farias A expressão entre colchetes é conhecida como fator de valor futurode séries uniformes. Internacionalmente é representada pelo símbolo: s n i% (lê-se "ângulo n em i"). S = R [(1 + i)n-1 + (1 + i)n-2 +...+ (1+i) + 1] (1) S(1 + i) = R [(1 + i)n + (1 + i)n-1 + ... + (1 + i)2 (1 + i)] (2) Subtraindo (2) de (1), tem-se: S x i= R [(1 + i)n - 1] Assim: i 1i1 RS n i%n sRS i 1i1 s n i%n Anuidade Postecipada - Dado “R” Calcular “S” 10 Profa. Fabrícia de Farias S=? R i i i i i 0 2 1 3 ... n Na HP-12C, R = PMT e S = FV. Assim, fazer: f FIN f 2 (valor) CHS PMT (valor) i (valor) n FV? Anuidade Postecipada - Dado “R” Calcular “S” (HP-12C) Profa. Fabrícia de Farias Exemplo: 2. Quanto uma pessoa acumularia no fim de 15 meses se depositasse todo final de mês $350 em uma aplicação que paga juros efetivos de 5% ao mês? Dados: n= 15 meses, R= $350, i= 5% a.m., S= ? $7.552,50=21,57856$350 0,05 10,051 $350=S 15 5% 15sRS Usando a HP-12C, tem-se: n= 15; PMT= -350, i=5 Assim, FV = S = $7.552,50 Anuidade Postecipada - Dado “R” Calcular “S” 11 Profa. Fabrícia de Farias Exemplo: 3. Seu Costa deposita anualmente US$ 3.000,00 na conta particular que mantém na Suíça. Qual será o saldo daqui a 5 anos, sabendo-se que o banco paga juros de 8% ao ano para este tipo de conta? R = US$ 3.000,00 i = 8% a.a. n = 5 anos VF = ? Pela FÓRMULA: S = R [{(1+i)n-1}/i] = 3000[{(1+0,08)5-1}/0,08] = 3000[{0,469328}/0.08 = 3000[5,866] = 17.599,80 VF = US$ 17.599,80 Usando a HP-12C, tem-se: n= 5 ; PMT= -3.000, i=8 Assim, FV = S = US$ 17.599,80 Anuidade Postecipada - Dado “R” Calcular “S” Profa. Fabrícia de Farias 1. Achar o valor acumulado de uma anuidade de $ 200,00 no final de cada mês a 12% a.a. acumulados mensalmente durante 15 meses. S = $ 3.219,38 2. São depositados $ 300,00 em uma poupança durante 4 anos. Quanto haverá na poupança no final do quarto ano e no início do sétimo ano se a poupança paga 10% a.a. capitalizado semestralmente? a) Final do 4º ano - > S4 = $ 2.864,73 b) VF = VP (1 + i)n -> S = $2.864,73 (1,05)4 Início do 7º ano - > S6 = $ 3.482,10 Anuidade - Exercícios $2.864,73 0,05 10,051 $300=S 8 12 Profa. Fabrícia de Farias Dúvidas? fabriciadefarias@gmail.com
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