Lista_5_Mat2_2013-2_T02

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UFRRJ - ICE - DEMAT
Prof.a Aline
5a Lista de Exerc´ıcios de Matema´tica II - 2013-2
1. Em cada item a seguir, determine quais sa˜o os pontos cr´ıticos da func¸a˜o dada e
classifique cada um deles como ma´ximo local, mı´nimo local ou ponto de sela.
(a) f(x, y) = 2x3 + y3 + 3x2 − 3y − 12x− 4
(b) f(x, y) = x3 + y2 − 6xy + 9x + 5y + 2
(c) f(x, y) = x3 − 4xy + y3
2. Uma loja de materiais esportivos vende dois modelos de bone´s, um assinado por
Michael Jordan e outro por Shaquille O’Neal. O dono da loja compra os dois
modelos por R$ 2,00 por bone´ e estima que, se os bone´s Jordan forem vendidos por
x reais a unidade e os bone´s O’Neal por y reais a unidade, os clientes comprara˜o
40− 50x + 40y bone´s Jordan e 20 + 60x− 70y bone´s O’Neal por dia. Quanto o
dono da loja devera´ cobrar pelos bone´s para obter o maior lucro poss´ıvel?
3. Um fabricante com direitos de exclusividade em relac¸a˜o a um novo e sofisticado
modelo de ma´quina industrial pretende vender um nu´mero limitado das ma´quinas
no mercado interno e no mercado externo. O prec¸o de mercado das ma´quinas de-
pende do nu´mero de ma´quinas fabricadas. (Se um nu´mero pequeno de ma´quinas for
colocado a` venda, a competic¸a˜o entre os poss´ıveis compradores fara´ o prec¸o subir.)
Estima-se que, se o fabricante colocar a` venda x ma´quinas no mercado interno
e y ma´quinas no mercado externo, as ma´quinas sera˜o vendidas por 60− x
5
+
y
20
milhares de reais no mercado interno e pelo equivalente a 50− y
10
+
x
20
milhares
de reais no mercado externo. Se o custo unita´rio de fabricac¸a˜o das ma´quinas e´ de
R$ 10.000,00, qual deve ser o nu´mero de ma´quinas colocadas a` venda no mercado
interno e no mercado externo para que o lucro seja o maior poss´ıvel?
4. Quatro pequenas cidades em uma regia˜o rural esta˜o dispostas a se associar para
construir uma repetidora de televisa˜o. Se as cidades esta˜o localizadas nos pontos
(−5, 0), (1, 7), (9, 0) e (0,−8) de um sistema de coordenadas cartesianas, no qual
as distaˆncias sa˜o medidas em km, em que ponto P = (x, y) deve ser instalada a
repetidora para que a soma dos quadrados das distaˆncias entre a repetidora e as
quatro cidades seja a menor poss´ıvel?
Obs.: A distaˆncia d entre dois pontos (x, y) e (x0, y0) do plano cartesiano e´ deter-
minada por d =
√
(x− x0)2 + (y − y0)2 .
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5. Em cada item a seguir, use o Me´todo dos Multiplicadores de Lagrange para deter-
minar o extremo pedido. Suponha que o extremo exista.
(a) Determine o valor mı´nimo da func¸a˜o f(x, y) = x2 − y2 com a restric¸a˜o de que
x2 + y2 = 4.
(b) Determine os valores ma´ximo e mı´nimo da func¸a˜o f(x, y) = x2 − y2 − 2y com
a restric¸a˜o de que x2 + y2 = 1.
(c) Determine o valor ma´ximo da func¸a˜o f(x, y, z) = xyz com a restric¸a˜o de que
x + 2y + 3z = 24.
6. Um fazendeiro precisa cercar um pasto retangular na margem de um rio. A a´rea
do pasto e´ de 3200 m2 e na˜o e´ necessa´rio cercar o lado limitado pelo rio. Use o
Me´todo dos Multiplicadores de Lagrange para determinar as dimenso˜es do pasto
para que o comprimento total da cerca seja mı´nimo.
7. Geraldo acaba de receber R$ 300,00 de presente de aniversa´rio e pretende gastar o
dinheiro em CDs de mu´sicas e camisetas. Para ele, a utilidade (satisfac¸a˜o) associada
a` compra de x CDs e y camisetas e´
U(x, y) = ln(x2
√
y).
Se cada CD custa R$ 20,00 e cada camiseta custa R$ 30,00, quantos CDs e quantas
camisetas Geraldo deve comprar para que a utilidade seja a maior poss´ıvel? (Use
o Me´todo dos Multiplicadores de Lagrange.)
8. Um consumidor dispo˜e de R$ 280,00 para gastar em dois produtos, o primeiro
dos quais custa R$ 2,00 a unidade e o segundo R$ 5,00 a unidade. A utilidade
para o consumidor de x unidades do primeiro produto e y unidades do segundo e´
dada por U(x, y) = 100x0,25y0,75. Quantas unidades de cada produto o consumidor
deve comprar para maximizar a utilidade? (Use o Me´todo dos Multiplicadores de
Lagrange.)
9. Em gene´tica, formas alternativas de um mesmo gene sa˜o chamadas de alelos. Treˆs
alelos, A, B e O, determinam os tipos sangu´ıneos humanos, A, B, O e AB. Suponha
que p, q e r sejam as proporc¸o˜es de A, B e O em uma certa populac¸a˜o, de modo
que p + q + r = 1. Nesse caso, de acordo com a lei de Hardy-Weinberg da gene´tica,
a proporc¸a˜o de indiv´ıduos na populac¸a˜o que possuem dois alelos diferentes e´ dada
por P = 2pq + 2pr + 2rq. Qual e´ o maior valor poss´ıvel de P?
10. Um carpinteiro deseja construir um caixote em forma de paralelep´ıpedo com um
volume de 4 m3. Treˆs diferentes materiais sera˜o usados. O material para os lados
do caixote custa R$ 8,00 o metro quadrado, o material para o fundo custa R$ 5,00 o
metro quadrado e o material para a tampa custa R$ 3,00 o metro quadrado. Quais
sa˜o as dimenso˜es do caixote mais barato?
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11. Use o Me´todo dos Multiplicadores de Lagrange para determinar o raio da base r e a
altura h de uma lata de refrigerante de 330 ml constru´ıda com a menor quantidade
poss´ıvel de metal.
Obs.: Use o fato de que 1 litro equivale a 1000 cm3 e lembre-se que a superf´ıcie da
lata tem uma a´rea S = 2pir2 + 2pirh e o volume da lata e´ dado por V = pir2h.
Gabarito:
1. (a) Ma´ximo local: (−2,−1); Mı´nimo local: (1, 1); Pontos de sela: (−2, 1), (1,−1).
(b) Ma´ximo local: nenhum; Mı´nimo local:
(
4,
19
2
)
; Ponto de sela:
(
2,
7
2
)
.
(c) Ma´ximo local: nenhum; Mı´nimo local:
(
4
3
,
4
3
)
; Ponto de sela: (0, 0).
2. Bone´s Jordan: x = R$ 2,70; bone´s O’Neal: y = R$ 2,50.
3. x = 200, y = 300.
4. P =
(
5
4
,−1
4
)
5. (a) f(0, 2) = f(0,−2) = −4 (mı´nimo).
(b) f
(√
3
2
,−1
2
)
= f
(
−
√
3
2
,−1
2
)
=
3
2
(ma´ximo); f(0, 1) = −3 (mı´nimo).
(c) f
(
8, 4,
8
3
)
=
256
3
(ma´ximo).
6. 40 metros por 80 metros.
7. 12 CDs e 2 camisetas.
8. x = 35 unidades, y = 42 unidades.
9. P =
2
3
, para p = q = r =
1
3
.
10. O caixote deve ter 2 m de comprimento, 2 m de largura e 1 m de altura.
11. r =
3
√
165
pi
≈ 3, 74 cm; h = 2 3
√
165
pi
≈ 7, 49 cm.
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