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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Campus de Bauru Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ Matemática Aplicada à Engenharia- 2 o Semestre de 2014 Roteiro 4: Existência e Unicidade de Soluções e EDO Lineares Objetivos: Discutir a existência e a unicidade de soluções de uma equação diferencial e o estudo quantitativo de EDO Lineares. 1) A Questão de Existência e Unicidade de soluções. Considere a equação diferencial: 0 dx dy xy 22 . O campo direcional dessa EDO separável é dado pela figura 1 a seguir: Figura 1: Campo direcional de 0 dx dy xy 22 . A família a um parâmetro de soluções dessa equação é dada por: 1Cx x )x(y . A figura 2 mostra as curvas integrais para diversos valores de C. Desta, pode-se efetuar as seguintes observações: 1) y = 0 é uma solução singular; 2) Para C = 0, y = -x; 3) Para C 0, cada solução da forma 1Cx x )x(y tem assíntotas verticais C 1 x e horizontais C 1 y ; UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Campus de Bauru Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ Figura 2: curvas integrais de 0 dx dy xy 22 . 4) Note que para cada C 0, existe uma solução que passa pela origem pois a condição y(0) = 0 é satisfeita por 1Cx x )x(y , para todo valor de C 0. Assim, a EDO possui infinitas soluções que satisfazem o PVI y(0) = 0; 5) A condição y(0) = b 0 não possui nenhuma solução, isto é a EDO não possui soluções que satisfazem o PVI y(0) = b 0. As observações 1) - 5) podem ser depreendidas da figura 2. A equação diferencial 0 dx dy xy 22 mostra então, que um problema de valor inicial pode ter uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Dessa forma, pode ser colocada a seguinte questão: Questão: Quais são as condições para que se tenha existência e unicidade de soluções para um problema de valor inicial? Considere a equação diferencial na forma normal: )y,x(f dx dy . Teorema: Existência e Unicidade de Soluções. Suponha que a função f(x, y) a valores reais é contínua em algum retângulo no plano contendo o ponto (a, b) em seu interior. Então o problema de valor inicial )y,x(f dx dy , y(a) = b tem pelo menos uma solução em algum intervalo aberto I contendo o ponto x = a. Se, além disso, a derivada parcial y )y,x(f é contínua nesse retângulo, então a solução é única em algum intervalo Io, possivelmente menor, que contém o ponto x = a. UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Campus de Bauru Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ Exemplos: 1) Na equação diferencial 0 dx dy xy 22 provou-se que não existe solução passando por (0, 1). De fato, tomando: 2 x y )y,x(f esta função não é contínua em (0, 1) daí, não satisfaz o teorema anterior; 2) Para a equação diferencial y dx dy , a função f(x, y) = -y e sua derivada parcial 1 y )y,x(f são contínuas em toda parte. Dessa forma, o teorema garante a unicidade de soluções para qualquer valor inicial (a, b). Problema 1: Dados os problemas de valores iniciais, discutir a existência e unicidade de soluções, em cada caso: (a) 0)0(y ;y2 dx dy ; (b) 1)1(y ;yx2 dx dy 22 ; (c) 1)0(y ;y dx dy 2 . Problema 2: Em muitos casos a quantidade A(t) de uma certa droga na corrente sanguínea, medida pelo excesso acima do nível natural da droga, declinará a uma taxa proporcional a este mesmo excesso nesse constante, ou seja: kA dx dA sendo k > 0 a constante de eliminação da droga. Determine a solução dessa EDO. 2) Equações Lineares de Primeira Ordem Considere a EDO: )y,x(f dx dy . (1) Se f(x, y) depende linearmente da variável dependente y, a equação (1) pode ser escrita na forma: ).x(gy)x(p dx dy (2) que é denominada EDO linear de primeira ordem. UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Campus de Bauru Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ Definição: Uma equação diferencial ordinária linear é uma EDO da forma ),x(qy)x(p dx dy em um intervalo onde as funções p(x) e q(x) sejam contínuas. Exemplo: São exemplos de equações diferenciais lineares: a) xy2 dx dy ; b) x6xy3 dx dy 1x2 ; c) senxxy dx dy x2 . Para a determinação da solução de xy2 dx dy , multiplica-se cada lado dessa equação por: y 1 )y( , obtendo-se a equação: x2 dx dy y 1 . (3) A equação (3) pode ser reescrita da seguinte forma: .xDylnD 2xx (4) Como cada membro da equação (4) é reconhecível como uma derivada, integrando cada membro, obtém-se a solução a um parâmetro: lny = x 2 + C. A função y 1 )y( é dita um fator integrante da EDO (2-b). Mais geralmente: Definição: Um fator de integração da equação (2) é uma função )y,x( , tal que a multiplicação nos dois lados da EDO por essa função, fornece uma equação em que cada lado seja reconhecido como uma derivada. Observação: Para a determinação de um fator integrante do tipo )x( de )x(gy)x(p dx dy , multiplica-se essa EDO por uma função )x( , ainda indeterminada, com o objetivo de determinar sua expressão. Obtém-se então: )x(g)x(y)x(p)x( dx dy )x( . (5) UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Campus de Bauru Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ Deseja-se reconhecer o lado esquerdo de (5) como a derivada de uma função. O termo dx dy )x( sugere que tal função pode ser: )x(y dx d . Para que isto seja verdadeiro, então na segunda parcela do lado esquerdo de (5) deve ser verificada a igualdade:)x(p)x()x( . (6) De (6), tem-se que: )x(p )x( )x( ou )x(p))x((ln dx d . (7) Integrando (7), obtém-se a expressão do fator integrante desejado, isto é: dx)x(pe)x( Exemplo: A EDO xy2 dx dy tem fator integrante 2xe)x( . Considere a EDO linear (2) e um fator integrante da forma dx)x(pe)x( : ).x(gy)x(p dx dy (8) Tem-se a seguinte questão: Questão: Qual a solução geral dessa EDO? Multiplicando ambos os lados de (8) pelo fator integrante dx)x(p e)x( , obtém-se: . dx)x(p e dx)x(p e dx)x(p e )x(qy)x(p dx dy (9) Mas, note que, se F(x) é uma primitiva de p(x), então F(x) = dx)x(p e além disso: )x(pdx)x(pD)x(F x . UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Campus de Bauru Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ Assim, o lado esquerdo de (9) é a derivada de: dx)x(p e)x(y)x()x(y . Assim, a equação (9) é equivalente a: .dx)x(pedx)x(pe )x(q)x(pD)x()x(yD xx (10) A integração da equação (10), fornece: Cdxe)x(qe)x(y dx)x(pdx)x(p . (11) Resolvendo em relação a y, obtém-se a equação geral da equação diferencial ordinária linear (8), isto é: dx)x(p dx)x(p e Cdxe)x(q )x(y é a família a um parâmetro de soluções. Roteiro para obtenção de solução da equação diferencial ordinária linear: (1) Determine o fator integrante dx)x(pe)x( ; (2) Multiplique cada lado da equação (5) pelo fator integrante )x( ; (3) Reconheça, a seguir, o lado esquerdo da equação resultante como a derivada do produto )x(q)x()x()x(yDx ; (4) Integre membro a membro para a obtenção da solução geral. Exemplo: Resolva o problema de valor inicial x2ey3 dx dy , y(0) = 3. Problema 3: Determine a solução geral das equações diferenciais dadas: (a) x6xy3 dx dy 1x2 ; (b) 1y dx dy x . Faça um esboço do gráfico das trajetórias dessa equação. Problema 4: Resolva o problema de valor inicial senxxy dx dy x2 , y(1) = 2; 3) A Questão de Existência e Unicidade de soluções de EDO lineares. Considere a equação diferencial )x(qy)x(p dx dy . UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Campus de Bauru Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ Teorema: Se as funções p(x) e q(x) são contínuas no intervalo aberto I contendo o ponto xo, então o problema de valor inicial )x(qy)x(p dx dy , y(xo) = yo tem uma solução única y(x) em I, dada pela fórmula na equação (8) para um valor apropriado de C. Observações: (1) O teorema anterior dá uma solução para a EDO linear em todo o intervalo I, contrastando com o teorema anterior de existência e unicidade que fornece uma solução apenas em um intervalo possivelmente menor que I; (2) O teorema anterior acima diz que toda solução da equação linear está incluída na solução geral (8). Isso significa que uma EDO linear não tem soluções singulares. Exemplo: Dada a equação 1y dx dy x e escrevendo a mesma na forma padrão, obtém-se: x 1 y x 1 dx dy , sendo x 1 )x(q)x(p que são contínuas em x < 0 e x > 0, mas descontínua em x = 0. Além disso, x c 1)x(y . Algumas soluções típicas são mostradas na Figura 3. Figura 2: curvas integrais de 1y dx dy x . De acordo com o teorema, o problema de valor inicial y(1) = 2 tem solução única dado por: 0, x , x 1 1)x(y enquanto a solução de y(-1) = 2 é: UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Campus de Bauru Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ 0. x , x 1 1)x(y A única solução contínua em toda a reta é a solução y = 1, para c = 0. 4) Aplicação: Problema de mistura Num instante t = 0 um tanque contém q0 kg de sal dissolvidos em 100 litros de água. Uma solução de sal em água, com 0.25 kg de sal por litro de água, entra no tanque à razão de r litros/minuto e uma solução homogênea sai com a mesma vazão. 1. Formule o problema de valor inicial que descreve esse processo; 2. Determine a quantidade q(t) de sal presente no tanque em um dado instante t e a quantidade limite qL que está presente depois de um longo tempo; 3. Se r = 3 e qo = 2 qL determine o intervalo de tempo T após o qual a diferença entre a quantidade de sal e qL é menor que 2%; 4. Determine a vazão em litros/minuto para que o valor de T não seja maior do que 45 minutos. r litros/min, 0.25 kg/l r litros/min Figura 2: O problema de mistura Solução de 1: Considera-se que o sal não é criado nem destruído no tanque, isto é, a taxa de variação da quantidade de sal no tanque, dt dq , é: dt dq = igual à taxa com que o sal está entrando - a taxa com que ele sai. taxa com que o sal entra = concentração x vazão entrada = 0.25 kg/litros x r litros/min = 0.25r kg/min taxa com que o sal sai = concentração x vazão saída Mas: vazão de entrada = vazão de saída, UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Campus de Bauru Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ então o volume no tanque permanece constante, v = 100 litros. A solução é homogênea e então a concentração no tanque é a mesma em todo o tanque e além disso, a concentração de sal é dada por: 100 q c . Assim, a taxa com que o sal saí é dada por: taxa com que o sal sai = concentração x vazão saída = min/kg 100 rq(t) . Daí, a equação diferencial que descreve o processo é: 100 rq 4 r dt dq q(0) = qo. 5) Aplicação: Determinação do Instante de Morte (J. F. Harley, 1978) Na investigação de um homicídio, ou de uma morte acidental, é importante a estimativa do instante de morte. A partir de observações experimentais, sabe-se que, com uma exatidão satisfatória em muitas circunstâncias, a temperatura superficial do corpo se alteracom uma taxa proporcional à diferença de temperatura entre a do corpo e a temperatura ambiente, a Lei de Newton do resfriamento. Se: (t) = temperatura do corpo num instante t; T = temperatura constante do ambiente, então (t) obedece à equação diferencial linear: T-k dt d sendo k > 0 a constante de proporcionalidade. O sinal negativo deve-se ao fato de que se o corpo for mais quente que a temperatura de sua vizinhança, > T, então ele se torna mais frio com o tempo. Assim, 0T- ,0T-k dt d . Suponha que: 1. no instante t = 0 descobre-se um cadáver e que sua temperatura é o; 2. no instante da morte tm a temperatura fosse m = 37 o C; UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Campus de Bauru Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ 3. Suponha que a equação 0T- ,0T-k dt d modele essa situação; 4. Deseja-se determinar tm. Problema de Valor inicial: o-)0( ,0T-k dt d . A solução do PVI tem a forma: kto eTT)t( sendo a constante k desconhecida. A determinação de k pode ser feita mediante uma segunda medição da temperatura do corpo, num instante t1. Supondo que = 1 quando t = t1, a substituição na solução gera: 1kto1 eTT e então: T T ln t 1 k o 1 1 . Para determinar tm. fazemos t = tm e = m, na solução e resolve em relação a tm. Assim: T T ln k 1 t o m m . Exemplo: Suponha que a temperatura do corpo seja 30 o C no instante de descoberta e 23 o C duas horas depois. A temperatura ambiente seja 20 o C. Então: 1h6020,0 2030 2023 ln 2 1 k h881,0 2030 2037 ln 6020.0 1 t d . Assim, o corpo foi descoberto aproximadamente 53 minutos depois da morte.
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