G1 - ANÁLISE DE TENSOES E DEFORMAÇÕES

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ENG 1007 - INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS SÓLIDOS 27/08/12 
Turmas A e B – Prof. Ney Augusto Dumont 
 1 
ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES 
1. Barra submetida a tração 
Lei de Hooke 
A relação entre tensão e deformação, no caso de uma barra submetida a esforços 
moderados de tração, Figura 1.1, pode normalmente ser expressa por 
 
 x xE
 (1) 
onde: 
 
x
P
A

 = tensão devida a uma força P atuando normalmente a uma superfície A. 
 


x
xd
dx

 = deformação de um elemento infinitesimal de comprimento 
dx
, quando sofre 
um alongamento infinitesimal 
d x
. 
 E = constante de proporcionalidade conhecida como módulo de elasticidade do material. 
 
 
 
Figura 1.1: Barra submetida a tração. 
A equação acima é denominada Lei de Hooke, em homenagem ao cientista inglês 
Thomas Hooke (1635-1703), que foi o primeiro a estabelecer experimentalmente que havia 
uma relação linear entre tensões e deformações, para praticamente todos os tipos de material, 
até um certo limite de solicitação. Em língua inglesa, o módulo de elasticidade é conhecido 
como módulo de Young, em homenagem ao cientista inglês que estudou o comportamento 
elástico das barras. 
A tensão máxima, para a qual esta lei se aplica, se chama tensão de escoamento do 
material. Para muitos materiais dúcteis, esta tensão é perfeitamente caracterizada 
experimentalmente.. Há materiais dúcteis, como o alumínio, para o qual não se tem um 
patamar de escoamento definido. Para estes materiais, normalmente se convenciona uma 
tensão de escoamento como aquela correspondente a uma deformação específica do material 
002,0x 
. Nos materiais dúcteis, a Lei de Hooke se aplica tanto para solicitações de tração 
quanto de compressão. Para materiais frágeis, não se pode falar exatamente em tensão de 
escoamento, mas a Lei de Hooke se aplica satisfatoriamente até limites estabelecidos 
experimentalmente. Além disso, materiais frágeis resistem bem menos a tração do que a 
compressão. 
Coeficiente de Poisson 
Quando uma barra é tracionada, o alongamento axial é acompanhado de uma 
contração lateral, isto é, a largura da barra torna-se menor e seu comprimento cresce, 
conforme se ilustra na Figura 1.2. A relação entre a deformação lateral 
 y
 na direção y 
(negativa) e a deformação longitudinal 
x
, para uma barra tracionada na direção x, é dada por 
 


y
x
xy 
 (2) 
Da mesma forma, tem-se a relação entre a deformação lateral 
 z
 na direção z (negativa) e a 
deformação longitudinal 
x
, para uma barra tracionada na direção x, 
P P 
Dumont
Rectangle
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 2 
 


z
x
xz 
 (3) 
Para materiais que têm as mesmas propriedades elásticas em todas as direções, 
denominados de materiais isotrópicos, 
 
  xy xz 
 (4) 
Esta constante 

 é denominada o coeficiente de Poisson do material. 
 
 
Figura 1.2: Contração lateral de um 
sólido em virtude de alongamento 
causado por uma força normal. 
 
Variação volumétrica 
A expressão da variação volumétrica de um corpo elástico será apresentada neste item, 
para que se possa compreender o significado físico do coeficiente de Poisson. Este tema será 
abordado novamente no item 6, num contexto mais amplo. 
O volume infinitesimal 
dV dxdydz
 de um corpo elástico submetido a deformações 
x
, 
 y
 e 
 z
, segundo suas três direções coordenadas, assume, após deformação, um valor 
 
dV d V dx dy dz dVx y z x y z              ( ) ( ) ( ) ( )( )( )1 1 1 1 1 1
 (5) 
Considerando que 
x
, 
 y
 e 
 z
 são grandezas infinitesimais, produtos são infinitesimais de 
ordem superior, que podem ser desprezados na equação acima. Tem-se, então: 
 
dV d V dVx y z       ( )1
 (6) 
de onde se obtém que 
 
d V dVx y z     ( )
 (7) 
A variação total de volume de um corpo elástico é obtida por integração: 
 
 dVVdV
V
zyx
V  
 (8) 
Esta expressão é completamente geral, para um estado múltiplo de tensões e 
deformações (ver item 6). Para o caso particular de tensão de tração 
x
 aplicada, tem-se 
 
, ,x x xx y x z x
E E E
                 (9) 
Portanto, a variação volumétrica obtida acima pode ser particularizada para 
 
d V dV dV
E
dVx y z x x     

     

( ) ( )
( )
1 2
1 2
 (10) 
O coeficiente de Poisson 

 não pode, em princípio, ser negativo
1
. Como uma barra tracionada 
também não pode, por razão física, diminuir de volume, conclui-se da expressão acima que 
 
0 0,5 
 (11) 
 
1
 Pode-se ter 
0 
 para certos materiais estruturais. Em termos estritos, o valor mínimo de 

 é dado pela 
equação (26), que tem que resultar em valor de 
G
 finito e positivo. Então, de fato, 
1 0,5  
. 
P P 
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 3 
2. Estado multiaxial de tensões e deformações 
As deformações de um corpo elástico, para um estado múltiplo de tensões 
  x y z, ,
, 
podem ser obtidas por uma superposição dos efeitos de cada uma das tensões normais, a partir 
da equação (9). Considere-se, a princípio, que as propriedades do material sejam diferentes 
segundo cada direção coordenada, isto é, que o material seja anisotrópico. Então, a 
superposição proposta fornece para as deformações em cada direção: 
 

 




 




 



x
x
x
yx
y
y
zx
z
z
y
y
y
zy
z
z
xy
x
x
z
z
z
xz
x
x
yz
y
y
E E E
E E E
E E E
  
  
  
 (12) 
Esta expressão é didática, por permitir que se identifique claramente a superposição de efeitos 
empreendida a partir da equação (9). Ela é, no entanto, excessivamente geral, mesmo para o 
caso de anisotropia, e mereceria um estudo mais aprofundado. Para o caso mais simples e 
mais freqüente de isotropia, considera-se que haja apenas um módulo de elasticidade E e 
apenas um coeficiente de Poisson 

 como característica mecânica do material, 
independentemente de direção. Com isto, tem-se, em lugar da equação acima, 
 

 
 

 
 

 
 
x
x
y z
y
y
z x
z
z
x y
E E
E E
E E
  
  
  
( )
( )
( )
 (13) 
Convém observar que o material, mesmo sendo isotrópico, pode não ser homogêneo, isto é, 
suas características mecânicas podem variar de ponto a ponto. Este caso de não-
homogeneidade é muito freqüente, como acontece com os metais, quando ocorre o fenômeno 
de plastificação em certas regiões de um corpo inicialmente elástico, por excesso de tensões 
aplicadas ou de temperatura, por exemplo. 
3. Tensões e deformações no cisalhamento 
A Figura 3.1a apresenta a ligação de uma chapa metálica, à esquerda, com duas chapas 
à direita, por meio de um pino. Submetendo esta ligação a forças de tração, há uma tendência 
de cisalhamento do pino, conforme se ilustra na Figura 3.1b. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.1: Pino submetido a forças de cisalhamento. 
 
 Tensões de cisalhamento, como ilustradas nesta figura, podem ocorrer em qualquer 
corpo elástico, a depender do tipo de solicitação estática e do plano em que se considera que 
b) a) 
Dumont
Rectangle
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 4 
as tensões estejam atuando. Seja um paralelepípedo de dimensões infinitesimais, isolado de 
um corpo elástico submetido a tensões de cisalhamento, conforme a Fig. 3.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.2: Tensão e deformação de cisalhamento. 
 
Estas tensões de cisalhamento provocam uma distorção de forma do elemento infinitesimal, 
expressa por um ângulo 

, conforme a figura. Se o material for linearmente elástico, a 
deformação de cisalhamento, medida em cada um dos planos coordenados, será proporcional 
às tensões de cisalhamento atuantes. Para material isotrópico, esta proporcionalidade é a 
mesma em todas as direções: 
 
 

 

 

xy yx
xy
yz zy
yz
zx xz
zx
G
G
G
 
 
 
 (14) 
em que G é o módulo de elasticidade transversal do material. 
As equações (13) e (14) constituem a lei de Hooke generalizada, para o caso de 
material isotrópico. 
4. Definição e exemplo de casos particulares de estados de tensão e de deformação 
Estado uniaxial de tensões 
 Este é o caso de uma barra sob a ação de forças de tração ou de compressão. Sendo x o 
eixo longitudinal da barra, age sobre ela apenas a tensão 
 x
, como mostrado no item 1 e 
ilustrado na Figura 1.1. Isto significa que 
    y z xy yz zx     0
. Além disso, 
  xy yz zx   0
. As deformações 
  x y ze,
, neste caso, estão dadas em termos de 
 x
 
pela equação (9). 
Estado plano de tensões 
Este caso ocorre normalmente quando sólidos tridimensionais de pequena espessura na 
direção z (placas ou membranas) são submetidos a esforços que variam apenas no plano xy e 
podem ser considerados nulos na direção z, conforme ilustrado na Figura 4.1. As tensões 
atuantes são 
 x
, 
 y
 e 
 xy
. Considera-se que 
  z yz zx   0
. Tem-se também que 
 yz zx  0
 As outras deformações são obtidas a partir das tensões atuantes como um caso 
particular das equações (13) e (14): 
 
  
 

 
 
 
 
 
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  
  


 
x x y
y y x
z x y
E
E
E
 
 
  
1
1
( )
( )
( )
 (15) 
 


xy
xy
G

 (16) 
 
 
 
 
 
Figura 4.1: Sólido de pequena espessura 
(placa) submetido a um estado plano de 
tensões. 
 
 
 
Estado plano de deformações 
Este caso ocorre normalmente quando sólidos tridimensionais prismáticos de grande 
dimensão na direção z (barragem, muro ou túnel) são submetidos a esforços que variam 
apenas no plano xy e podem ser considerados constantes na direção z. A Figura 4.2a apresenta 
um muro de arrimo, para cuja análise somente se precisa selecionar uma fatia, conforme se 
esquematiza nas Figuras 4.2b e 4.2c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.2: Muro de arrimo, em que há impedimento de deformação em uma das dimensões, 
para ilustração do estado plano de deformações de uma fatia genérica. 
 
Considera-se que estes sólidos estão impedidos de se deformar na direção z: 
 z  0
. 
Tem-se também que 
 yz zx  0
 e, em conseqüência, 
 yz zx  0
. As tensões atuantes são 
 x
, 
 y
 e 
 xy
, além de 
 z
. Impondo-se na terceira das equações (13) que, por definição, 
 z  0
, obtém-se o valor de 
 z
 em função de 
 x
 e 
 y
: 
 
   z x y ( )
 (17) 
que, substituída nas outras duas equações, fornece 
a) b) c) 
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   
xyyyxx )1(
2
1
,)1(
2
1





 (18) 
Além disso, tem-se para as solicitações de cisalhamento: 
 


xy
xy
G

 (19) 
5. Relação entre E, 

 e G 
 
Seja um elemento de espessura constante e seção quadrada de lado 
2
, submetido a 
um estado biaxial de tensões 
 x
 e 
 y
 (
 xy
 = 0), conforme se mostra na Fig. 5.1. Sob efeito 
destas tensões, o elemento se deforma, conforme indicado na Fig. 5.2, sofrendo, além de uma 
variação volumétrica, uma mudança de forma, por efeito de tensões de cisalhamento que 
atuam sobre este elemento. As tensões de cisalhamento podem ser evidenciadas caso se 
considere o quadrado inscrito, cujos lados fazem ângulo de 45
0
 com os eixos coordenados. As 
tensões de cisalhamento 
 45
, que atuam neste quadrado inscrito, podem ser obtidas em função 
de 
 x
 e 
 y
, montando-se o equilíbrio de tensões em uma face qualquer (não nos interessa, no 
momento, o valor da tensão 
 45
): 
 

 
45
2

x y
 (20) 
Por outro lado, evidencia-se na Fig. 5.2a a configuração 
a b' '
 que o segmento de reta 
ab
 
assume após a deformação. Além de um alongamento (relacionado com a variação 
volumétrica do elemento), este segmento sofre uma rotação 
 2
, mostrada no prolongamento 
dos segmentos 
ab
 e 
a b' '
, em que 

 é exatamente a distorção de forma sofrida pelo quadrado 
inscrito, conforme se depreende da figura. Pretende-se mostrar que este ângulo de distorção 
está relacionado geometricamente com os alongamentos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo-se uma translação do segmento de reta 
a b' '
, de maneira que os pontos a e a' 
coincidam, obtém-se um segmento de reta 
bb bb aa' ' ' ' 
, conforme ilustrado na Fig. 5.2b. 
Este segmento, projetado perpendicularmente ao segmento 
ab
, resulta no segmento 
b c' '
 
mostrado na figura. Como, apesar do exagero da figura, trata-se na verdade de deformações 
infinitesimais, obtém-se do triângulo retângulo b''ac: 
x
 
y
 
x
 
y
 
Figura 5.1: Quadrado de lado 
2
 
submetido a tensões normais de 
 x
 e 
 y
. 
No quadrado inscrito, girado de 45
0
 e de 
lado 
 2
, estão representadas as tensões 
 45
 e 
 45
, em equilíbrio com 
 x
 e 
 y
. 
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2
cb
bc2
cb
bcab
cb
ac
cb
2
tg
2 














 


 (21) 
Mas, pela Fig. 5.2b, 
 
 
2
2
aabbcb 
 (22) 
Além disso, tem-se por definição de deformação, de acordo com a Fig. 5.2a: 
 bb
aa
x
y
'
'






 (23) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.2: a) Configuração distorcida do elemento da Fig. 5.1. Um segmento de reta 
ab
 
passa à configuração 
a b' '
. O ângulo formado por estes dois segmentos é 
 2
. b) Detalhe da 
figura principal, com translação do segmento 
a b' '
. 
 
Portanto, obtém-se das equações (21) a (23) a relação geométrica entre deformações, para a 
solicitação biaxial de tensões proposta na Fig. 5.1: 
 
   x y
 (24) 
Por outro lado, tem-se a relação entre tensões e deformações, para este problema: 
 
 
 
G
E
1
E
1
045
xyy
yxx




 (25) 
Inserindo estes três valores na equação (24) e lançando mão da equação de equilíbrio (20), 
obtém-se finalmente a relação, válida para quaisquer valores de 
 x
 e 
 y
: 
 
G
E

2 1( )
 (26) 
De acordo com os limites para o coeficiente de Poisson 

 estabelecidos na equação (11), 
verifica-seque o módulo de elasticidade transversal G se situa entre os valores extremos 
/2 
a 
b 
a' 
b' 
a) 
b) 
/2 
bb aa' 'd i 2 2
 
aa' 
b b'' 
c 
45
0
 
 
2
2
aabb 
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 8 
 
G
E
 
2
0 para 
 (27) 
quando não há contração lateral em resposta a um alongamento, o que corresponde a uma 
variação máxima de volume do corpo elástico, e 
 
G
E
 
3
0 5 para  ,
 (28) 
quando não há variação volumétrica do sólido. 
 A Tabela 1 apresenta valores de algumas propriedades mecânicas típicas de materiais. 
6. Variações de volume, área e comprimento 
Variação de volume 
Conforme já se deduziu no item 1, a expressão para variação de volume de um sólido 
submetido a um estado triaxial de tensões e deformações é 
 
   V zyxV dVVdV
 (8) 
No item 1, esta fórmula foi particularizada para um estado uniaxial de tensões. Para um caso 
tridimensional de tensões, tem-se, a partir da equação (13): 
 
 

 


V
zyx dV
E
21
V
 (29) 
Como se vê, caso o coeficiente de Poisson seja igual a 0,5 este material é incompressível, não 
importa o estado de tensões. 
Para o caso particular de pressão hidrostática, 
 
  x y z p   
 (30) 
tem-se a expressão particular da equação (29) 
 


 

 
VV
dV
K
p
pdV
E
)21(3
V
 (31) 
em que 
 
K
E

3 1 2( )
 (32) 
se denomina o módulo de elasticidade volumétrica do material. 
Variação de área 
Da mesma forma como se deduziu a variação volumétrica de um corpo elástico, pode-
se deduzir a variação de área de uma seção transversal do sólido. Tem-se, por exemplo, para 
um elemento infinitesimal de área contido num plano perpendicular ao eixo z: 
 
dA d A dx dy dAz z x y x y z          ( ) ( ) ( )( )1 1 1 1
 (33) 
Portanto, para deformações infinitesimais, já se integrando sobre toda a área transversal: 
 
  
zz A
zyx
A
zz dAAdA
 (34) 
Dumont
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 9 
Para um estado tridimensional de tensões, de acordo com a equação (13), esta variação de 
área se expressa: 
 
 













zA
zzyxz dA
E
2
E
1
A
 (35) 
Variação de comprimento 
Seguindo as deduções anteriores, pode-se expressar para um elemento infinitesimal de 
comprimento, medido por exemplo na direção x: 
 
dx d dxx x   ( )1
 (36) 
Com isto, a variação de comprimento do sólido na direção x é dada como 
 
 
xx L
x
L
xx dxd
 (37) 
Para um estado tridimensional geral de tensões, esta equação se escreve 
 
 













xL
zy
x
x dx
EE
 (38) 
Esta expressão é mais geral que a equação (49) do item 8, que foi deduzida para um estado 
uniaxial de tensões. 
Convém observar a estrutura semelhante das equações (8), (34) e (37) deste item. 
Exercícios recomendados 
6.1 [1] [P1 98.1] Um cilindro de borracha, de 
diâmetro d, é comprimido em um cilindro de 
aço, por uma força P (ver a figura). Determinar 
a pressão p entre a borracha e o aço, para P = 5 
kN, d = 5 cm e o coeficiente de Poisson da 
borracha igual a 0,45. Resposta: 
2
4
1 d
P
p



. 
6.2 [2] Um tubo de aço de L = 1,8 m de comprimento, d = 300 mm de diâmetro externo e t = 
13 mm de espessura é usado como uma pequena coluna e suporta uma carga axial 
centrada P = 1335 kN. Determinar a variação de comprimento do tubo, a variação do 
diâmetro externo do tubo e a variação da espessura da parede do tubo. Considerar E = 210 
GPa e 

 = 0,3. Resposta (para t << d): 
tdE
PL
L



, 
tE
P
d



, 
dE
P
t



. 
6.3 [2] A barra de alumínio AD é ajustada a uma 
camisa, onde é aplicada uma pressão 
hidrostática de 40 MPa, no trecho BC de 
comprimento igual a 300 mm. Sabendo-se 
que E = 70 GPa e 

 = 0,36, determinar: (a) a 
variação do comprimento total AD da barra, 
(b) a variação do diâmetro no ponto médio da 
barra. Resposta: (a) 0,1234 mm (b) –0,01389 
mm. 
 
 
 
 
P 
d 
Dumont
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Dumont
Rectangle
Dumont
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 10 
6.4 [2] Para o problema anterior, determinar as forças que deverão ser aplicadas nas 
extremidades A e D da barra para que: (a) a deformação axial, na porção AB da barra, 
permaneça nula enquanto a pressão hidrostática estiver aplicada, (b) o comprimento total 
da barra AD permaneça invariável. Resposta: (a) 0 (b) 19,597 kN 
6.5 [2] [P1 99.1] Um bloco cilíndrico de latão, com 160 mm de altura e 120 mm de diâmetro, 
é deixado afundar no oceano até uma profundidade onde a pressão é 75 MPa. Sabendo-se 
que E = 105 GPa e 

 = 0,35, determinar as variações de altura, diâmetro e volume do 
bloco. Resposta: 
h
= -34,3 
m
, 
d
 = -25,71 
m
, 
V
 = -1163 mm
3 
 
6.6 [2] [P1 99.1] Para o bloco do problema anterior, determinar a pressão que pode ser 
aplicada: (a) somente nas suas faces de topo; (b) somente na sua superfície cilíndrica, para 
causar a mesma variação de volume causada pela pressão hidrostática. Em cada caso, 
encontrar também as variações correspondentes de altura e diâmetro do bloco. Resposta: 
(a) 
a
 = 225 MPa, 
h
= -343 
m
, 
d
 = +90 
m
; (b) 
b
 = 112,5 MPa, 
h
= +120 
m
, 
d
 = -83,6 
m
 
7. Estado de cisalhamento puro 
 
Considere-se novamente o estado biaxial de tensões apresentado no item 5, em que, 
particularmente, 
 
  x y   0
 (39) 
As Figs. 7.1a e 7.1b reapresentam as Figs. 5.1 e 5.2a, respectivamente, para este caso 
particular de tensões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7.1: a) Representação de um estado de cisalhamento puro, em termos de tensões 
normais dadas pela equação (39) e de tensões de cisalhamento num plano a 45
0
; b) 
Representação da deformação sofrida pelo elemento, com mudança apenas de forma. 
 
Obtém-se, por equilíbrio, que as tensões de cisalhamento que agem num plano a 45
0
 são 
 
    45 0
2
 

máx
x y
.
 (40) 
Além disso, as tensões normais neste plano são nulas, para este estado de tensões: 
   45 2 245 45 0  x ycos( ) sin( )
 (41) 
 0
 
b) 
 0
 
 0
 
 0
 
a) 
 0
 
 0
 
 0
 
 0
 
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 11 
O estado de tensões dado pela equação (39) é denominado estado de cisalhamento puro. Para 
este estado de tensões, não há variação de volume ou área, segundo as equações (29) e (35), 
desde que se tenha também 
 z  0
. 
 
Exercícios recomendados 
7.1 [2] Um amortecedor de vibrações consiste em 
dois blocos de borracha dura, coladas à placa 
AB, e dois suportes fixos, como indicado. 
Sabendo-se que a força de intensidade P = 26,7 
kN causa uma deflexão vertical de 1,6 mm na 
placa AB, determinar o módulo de elasticidade 
transversal para a borracha usada. Resposta: 
16,69 MPa. 
7.2 [2] [P1 98.1] Um amortecedor de vibrações consiste em dois blocos de borracha, com 
um módulo de elasticidadetransversal G = 19 MPa, colados à placa AB, e dois 
suportes rígidos, conforme a figura do problema anterior. Expressando por P a 
intensidade da força aplicada à placa e por 

 a deflexão correspondente, determinar a 
constante de mola efetiva P/

 do sistema. P/

 = 19 MN/m. 
7.3 [2] Dois blocos de borracha com um 
módulo de elasticidade transversal G = 
12 MPa são colados aos suportes 
rígidos e à placa AB. Sabendo-se que c 
= 100 mm e P = 45 kN, determinar as 
menores dimensões para a e b dos 
blocos, se a tensão de cisalhamento 
para a borracha não deve exceder a 
1,45 MPa e a deflexão da placa deve 
ser pelo menos de 4,7 mm. a = 39 mm, 
b = 155 mm. 
7.4 [2] Um suporte isolador de vibração consiste em 
uma barra A de raio R1 = 10 mm e um tubo B de 
raio interno R2 = 25 mm, fixados a um tubo de 
borracha central de 80 mm de comprimento e 
com módulo de elasticidade transversal G = 12 
MPa. Determinar a maior força P admissível 
que pode ser aplicada à barra A, sendo que a 
deflexão não pode exceder a 2,5 mm. Resposta: 
16,46 kN. 
a a 
c 
b 
P 
A 
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 12 
7.5 [2] [P1 99.1] Um bloco de plástico é colado a 
um suporte rígido e a uma placa vertical, 
também rígida, na qual se aplica uma carga P = 
240 kN. O módulo de elasticidade transversal do 
plástico é G = 1050 MPa. Determinar a) a 
deflexão da placa; b) as tensões máximas de 
tração, compressão e cisalhamento que ocorrem 
no bloco; c) a dilatação volumétrica do bloco. 
Resposta: a)  = 1,19 mm; b) máx = 25 MPa, 
mín = -25 MPa máx = 25 MPa; c) V = 0. 
 
 
8. Deformações devidas a variação de temperatura 
 
Quando um corpo sólido, livre para se deformar, é submetido a uma variação 
T
 de 
temperatura, cada uma de suas três dimensões aumenta numa proporção direta de 
T
. Seja 
x
 a dimensão inicial do sólido na direção coordenada x. Devido a variação de temperatura, 
x
 sofrerá um aumento 
x
 expresso como 
 
  x x x T
 (42) 
onde 
 x
 é o coeficiente de dilatação térmica do material na direção x. Para variações de 
temperatura não muito grandes, este coeficiente independe da temperatura atuante no corpo. 
Se o material é anisotrópico, o coeficiente de dilatação térmica assume valores diferentes para 
cada direção. Para material isotrópico, no entanto, pode-se considerar um único coeficiente 

, independentemente de direção. Cada material tem o seu coeficiente de dilatação térmica, 
que deve ser medido experimentalmente, para um dado intervalo de temperatura. A Tabela 1 
apresenta alguns destes valores, para variações de temperatura usuais em condições 
ambientes. 
Considerando-se material isotrópico, pode-se aplicar a fórmula acima para expressar a 
deformação causada na direção x pela variação de temperatura: 
 
 x temp x
x
x
T( ) lim 


0


 (43) 
De maneira geral, pode-se reescrever a equação (13) da seguinte forma, para a consideração 
conjunta dos efeitos de tensões e variação de temperatura: 
 

 
  

 
  

 
  
x
x
y z
y
y
z x
z
z
x y
E E
T
E E
T
E E
T
   
   
   
( )
( )
( )



 (44) 
Convém observar que, num corpo sólido livre para se deformar, a variação de temperatura 
provoca apenas variação de volume (as deformações de distorção xy, yz, zx são nulas). De 
acordo com a fórmula acima e a equação (8), pode-se escrever a expressão de variação de 
volume de um corpo sólido, para uma variação de temperatura: 
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     VV )T(zyx)T( TdV3dVV
 (45) 
Analogamente, a equação (34) fornece para uma área Az submetida a variação de temperatura: 
 
     V zA z)T(yx)T(z TdA2dAA z
 (46) 
 Quando um corpo sólido é livre para se deformar, a variação de temperatura não 
provoca tensões, apenas deformações. Tensões podem surgir somente indiretamente, pelo 
efeito das restrições sobre o corpo sólidos, impedindo-o de se deformar. Este caso é estudado 
no item 9, para barras estaticamente indeterminadas. 
9. Análise de barras carregadas axialmente 
Alongamento 
De acordo com definição de deformação e da lei de Hooke, conforme o item 1, a 
variação 
d x
 do comprimento de um elemento infinitesimal dx de uma barra submetida a 
uma força axial P(x) pode ser expressa como 
 
d dx
E x
dx
P x
E x A x
dxx x
x 

  
( )
( )
( ) ( )
 (47) 
Portanto, o alongamento total de uma barra de comprimento inicial L se expressa: 
 



 
L
0
L
0
xx dx
)x(A)x(E
)x(P
d
 (48) 
em que P(x), E(x) e A(x) são, em geral, funções da coordenada x. Se, e somente se, estas 
grandezas forem constantes, a equação acima pode ser escrita de forma simplificada 
 
EA
PL
dx
EA
P
d
L
0
L
0
xx 

 
 (49) 
É comum uma barra ser composta por uma sucessão de trechos Li, ao longo dos quais se têm 
valores Pi, Ei e Ai constantes. Neste caso, a equação (48) pode ser escrita na forma 
 
x
i i
i ii
P L
E A

 (50) 
Variação volumétrica 
Este caso já foi estudado no item 1, para a interpretação física do coeficiente de 
Poisson. 
Exercícios recomendados 
 
9.1 [1] Um fio longo está pendurado verticalmente e sujeito à ação do seu próprio peso. 
Calcular o maior comprimento que poderá ter sem causar rompimento se for de (a) aço 
e sendo a tensão de ruptura igual a 2400 MPa e (b) alumínio, tendo tensão de ruptura 
de 400 MPa. O peso específico do aço é 80 kN/m
3
 e o do alumínio 27 kN/m
3
. 
Resposta: (a) 30 km (b) 14,815 km. 
9.2 [1] Um tubo de aço (
e
 280 MPa) deve suportar uma carga de compressão de 1,25 
MN, com um coeficiente de segurança contra o escoamento de 1,8. Sabendo que a 
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 14 
espessura da parede do tubo é um oitavo do diâmetro externo, calcular o diâmetro 
externo mínimo necessário. Resposta: d = 153 mm. 
9.3 [1] Duas barras, AB e BC, (ver a figura) suportam 
uma carga vertical P. As barras são feitas do mesmo 
material e o comprimento, L, da horizontal BC é 
constante. Entretanto, o ângulo 

 pode variar pelo 
movimento vertical do ponto A, alterando-se o 
comprimento de AB para corresponder às novas 
posições. Supondo que as tensões admissíveis, à 
tração e à compressão, sejam iguais e que as barras 
sejam carregadas até este valor, determinar o ângulo 

 que dê à estrutura o peso mínimo. Resposta: 
'44542arctan 0
. 
9.4 [1] Um peso P é suportado por um braço de 
comprimento L que gira sobre um plano horizontal, 
sem atrito, em torno de um eixo vertical (ver a 
figura). A velocidade angular do peso e do braço é 
constante, 

. Desprezando o peso do braço, 
estabelecer a fórmula para o cálculo da área da seção 
transversal do braço, considerando uma tensão 
admissível 
adm
. Resposta: 
adm
2
g
PLA


. 
9.5 [1] Resolver o problema anterior, agora considerando o peso do braço. Supor que o 
material do braço tenha o peso específico 

. Resposta: 
)Lg2(
PL2A 22
adm
3


. 
9.6 [1] Uma barra carregada, como na figura, tem a seção trasversal uniforme A e o 
módulo de elasticidade E. Obter uma fórmula para a deflexão
 da extremidade 
inferior. A barra alongará ou encurtará? Resposta: 
EA3
PL
 (alongamento). 
 
 
 
 
 
 
9.7 [1] O pedestal visto na figura está sujeito às cargas 
P1 = 600 kN e P2 = 700 kN. O comprimento da 
parte superior é igual a 500 mm e a seção 
transversal é quadrada com 75 mm de lado. A 
parte inferior tem b = 750 mm e seção quadrada 
cujo lado é igual a 125 mm. Sabendo que E = 200 
GPa, achar: (a) a deflexão do topo do pedestal; (b) 
a relação entre as deformações axiais unitárias das 
partes superior e inferior. Resposta: (a) 

 = 0,579 
mm; (b) 1,282. 
A 
C B 
L 
 
P 
L L 

 
L/3 L/3 L/3 
P 2P 2P 
a 
b 
P1 
P2 
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9.8 [1] Uma barra de aço com 3 m de comprimento tem seção transversal circular com 
d1 = 20 mm, em metade do seu comprimento, e d2 = 15 mm na outra metade. (a) 
Quanto se alongará sob uma carga de tração P = 25 kN? (b) Se o mesmo volume de 
material for usado numa barra de 3 m de comprimento e diâmetro d constante, qual 
será a deformação desta barra sujeita à mesma carga anterior? Fazer E = 210 GPa. 
Resposta: (a) 1,579 mm (b) 1,455 mm. 
9.9 [1] Estabelecer uma fórmula para o cálculo do alongamento total de uma barra 
prismática, de comprimento L e seção transversal com área A, pendurada 
verticalmente por uma extremidade e sujeita à ação de seu próprio peso. Supor P o 
peso total da barra. Resposta: 
EA2
PL
. 
9.10 [1] Uma barra de aço, uniforme, apoiada sobre um plano horizontal, mede 5 m. 
Calcular seu alongamento quando suspensa verticalmente por uma extremidade. 
Fazer E = 210 GPa e peso específico 
3m/kN80
. Resposta: 0,004762 mm. 
9.11 [1] Uma barra de comprimento L gira num plano horizontal, em torno de um eixo 
vertical, com velocidade angular 

 (ver a figura do problema 9.4). A área da seção 
transversal da barra é A e o peso da barra é P1. Um peso P é preso à extremidade da 
barra. Calcular o alongamento 

 que ocorre. Resposta: 
)P3P(
gEA3
L
1
22



. 
9.12 [1] Uma barra de seção transversal retangular, variável com espessura e constante, 
suporta uma força P. A largura da barra varia linearmente de b1, no suporte, até b2 na 
extremidade livre. Estabelecer a fórmula para o cálculo do alongamento 

 devido à 
ação de P. Resposta: 








2
1
21 b
b
ln
)bb(E
PL
e
. 
9.13 [1] No problema precedente, estabelecer a fórmula para o acréscimo 
V
 do volume 
da barra. Resposta: 
)21( 
E
PL
V
. 
9.14 [1] [P1 98.1] Uma barra de aço (E = 210 GPa), com a forma de um tronco de cone 
de seção transversal circular, comprimento L = 3 m, suporta uma carga de tração P = 
50 kN. Na extremidade maior, o diâmetro é d1 = 50 mm e na menor d2 = 25 mm. 
Calcular o alongamento da barra devido à força P. Resposta: 

 = 0,728 mm. 
9.15 [2] Seja um parabolóide de revolução homogêneo, de altura h, peso específico 

 e 
módulo de elasticidade E. Determinar a deflexão do cume do parabolóide e a 
variação volume que o seu próprio peso acarreta. Resposta: 
E4
h2

, 
E3
h
)21(
V
V 


. 
9.16 [2] Resolva o problema acima considerando que o sólido tem a forma de um cone 
circular. Resposta: 
E6
h2

, 
E4
h
)21(
V
V 


. 
Variação de temperatura 
 Este assunto foi apresentado no item 8 desta apostila. Os exercícios recomendados 
estão relacionados com o próximo item. 
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10. Barras estaticamente indeterminadas 
 Neste curso, sempre se admitiu que as forças que atuam numa estrutura podem ser 
calculadas a partir apenas de equações de equilíbrio. Tais estruturas são denominadas de 
estaticamente determinadas. Há casos, porém, em que as equações de equilíbrio não são 
suficientes para a determinação de todas as forças e reações numa estrutura. Para estes casos, 
de estruturas estaticamente indeterminadas, as forças e as reações de apoio só podem ser 
calculadas se as deformações forem levadas em conta. 
 A maior parte das estruturas é estaticamente indeterminada. O estudo de tais estruturas 
é objeto de várias disciplinas da engenharia civil e da mecânica. Neste item, será apresentada 
a análise de uma barra estaticamente indeterminada, para que o estudante tenha idéia de como 
os conceitos aprendidos até aqui se prestam a uma sistematização da análise de qualquer tipo 
de estrutura. 
 A premissa básica para esta análise é que haja completa proporcionalidade entre 
solicitações (forças ou variação de temperatura aplicadas) e efeitos (reações de apoio, tensões, 
deformações, deslocamentos). Na verdade, mesmo quando não há esta proporcionalidade, 
como numa análise em regime elasto-plástico, ou para estruturas submetidas a grandes 
deslocamentos, pode-se empreender uma análise iterativa a partir de equações linearizadas, da 
mesma maneira que se usa o método de Newton-Raphson para resolver equações não-
lineares. 
 Havendo proporcionalidade entre solicitações e efeitos, uma estrutura pode ser 
analisada para efeitos, ou conjuntos de efeitos, considerados isoladamente, fazendo-se 
posteriormente uma superposição de todos os resultados. Uma aplicação conveniente do 
princípio da superposição dos efeitos permite que se combinem equações de equilíbrio com 
equações de deformação, para que se avaliem as incógnitas de interesse, numa análise 
estrutural. 
 Seja a barra da Figura 9.1a, que tem seção transversal variável e peso específico 

. 
Esta barra foi presa a suportes rígidos em suas extremidades A e B, quando ainda estava em 
posição horizontal, e em seguida colocada na posição vertical, juntamente com os seus 
suportes, conforme indicado na figura. Nesta posição vertical, a tendência da barra é de se 
deformar, diminuindo seu comprimento. Como os apoios estão completamente fixos, vão 
surgir reações RA e RB. Seja V o volume total da barra. Então, por uma questão de equilíbrio 
de todas as forças verticais, tem-se 
 
 VRR BA
 (51) 
Esta é a única equação de equilíbrio que se pode estabelecer, para a determinação das reações 
RA e RB, incógnitas do nosso problema. (As equações de equilíbrio das forças horizontais e de 
equilíbrio de momentos estão trivialmente satisfeitas.) 
 Para que se entenda o problema de maneira mais geral ainda, suponha-se que a barra 
da Figura 9.1a também tenha sido submetida a uma variação de temperatura 
T
, após ter 
sido fixada nos apoios. O fato de ter havido uma variação de temperatura não afeta a equação 
de equilíbrio da equação (51), mas certamente afeta os valores corretos das reações RA e RB. 
Considere-se agora a análise da barra da Figura 9.1a como uma superposição de 
efeitos. Esta barra pode ser analisada pela superposição de dois efeitos, considerados 
separadamente, em duas etapas distintas, mas relacionados em seguida por uma condição de 
compatibilidade. Estes dois efeitos estão esquematizados nas Figuras 9.1b e 9.1c. A condição 
de compatibilidade está descrita na Figura 9.1d. Nas Figuras 9.1b e 9.1c, representa-se uma 
barra estaticamente determinada, obtida da Figura 9.1a pela retirada de um vínculo de apoio. 
No caso, retirou-se o apoio A. Não faria diferença retirar-se o apoio B (sugere-se que o 
estudante refaça o presente exercício desta maneira alternativa, para constatar que o resultadofinal será o mesmo). 
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 17 
A primeira etapa, denominada etapa 0, esquematizada na Figura 9.1b, considera 
aplicadas todas as solicitações externas (no caso, peso próprio e variação de temperatura), 
com ausência da reação de apoio RA. Para esta etapa, tem-se o valor da reação de apoio em B: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.1: Estrutura estaticamente indeterminada resolvida como a superposição dos efeitos 
de duas etapas, com a imposição complementar de que o deslocamento no topo seja nulo. 
 
 VR )0(B
 (52) 
O valor do deslocamento na extremidade A, que está livre, já que RA(0) = 0, é dado por 
 
LTdx
)x(AE
)x(P
L
0
10 



 (53) 
Nesta equação, usa-se 
10
 para caracterizar o deslocamento obtido na direção e no sentido da 
incógnita 1 (que é a reação de apoio RA) devido à aplicação de solicitações exclusivamente 
externas (índice 0). Considera-se positivo o deslocamento no mesmo sentido presumido para 
a reação de apoio RA, que é a incógnita primária do problema. Este deslocamento 
10
 pode 
ser positivo ou negativo, a depender dos valores das parcelas que compõem a equação. 
 A força P(x) é, no caso, equivalente a todo o peso exercido pela parte da barra que está 
acima da ordenada x. Num caso geral, P(x) pode ser determinado por integração do peso de 
um volume infinitesimal 
 d)(A)(dV
, em que 
)(A 
 é a área de uma seção transversal 
que dista 

 da origem: 
 
 
x
0
x
0
d)(A)(dV)x(P
 (54) 
Tudo o que se precisa saber, para obter a expressão de P(x) e, portanto, de 
10
 na equação 
(53), é a expressão da variação da seção transversal da barra. 
 Numa segunda etapa, denominada etapa 1, esquematizada na Figura 9.1c, considera-se 
que apenas a reação de apoio RA está aplicada. Em conseqüência, tem-se o valor da reação de 
apoio em B: 
 
A)1(B RR 
 (55) 
e o valor do deslocamento na extremidade A, que está livre para se deslocar sob a ação de RA: 
 
A
L
0
A11 R
E)x(A
dx
R 



 (56) 
= + + 
d) Condição de 
compatibilidade: 
0R A1110 
 
A 
B 
RB 
RA 
 VR )0(B
 
A)1(B RR 
 
RA 
T
 
 
T
 
 
10 11RA 
a) Estrutura original b) Etapa 0:  e T c) Etapa 1: RA 
L 
x,  
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em que 
11
 é o valor do alongamento medido na direção e sentido da incógnita 1 para valor 
unitário desta incógnita (RA = 1). 
Mas, na verdade, conforme se tem na Figura 9.1a, a extremidade A é indeslocável. 
Portanto, para que as etapas 0 e 1, superpostas, resultem no problema proposto, é necessário 
que a condição de compatibilidade de deslocamentos da extremidade A seja satisfeita: 
 
0R A1110 
 (57) 
de onde se obtém que 
 
11
10
AR



 (58) 
em que 
10
 e 
11
 estão definidos nas equações (53) e (56), respectivamente. Uma vez obtido o 
valor da reação de apoio RA, da equação acima, obtém-se o valor da reação de apoio em B, 
pela superposição dos valores calculados nas etapas 0 e 1, equações (52) e (55): 
 
A)1(B)0(BB RVRRR 
 (59) 
que está de acordo com a equação de equilíbrio (51). 
 Resolveu-se, por uma superposição de efeitos, um problema estaticamente 
indeterminado. O método que se apresentou é completamente geral e se presta mesmo no caso 
de existirem mais de uma indeterminação. Como a incógnita primária do problema foi uma 
força, este método é denominado método das forças. É possível formular este mesmo 
problema tendo como incógnita primária um deslocamento, quando se teria o método dos 
deslocamentos. Neste curso, sempre que necessário, será aplicado o princípio da 
superposição dos efeitos dentro do método das forças, como apresentado. 
Exercícios recomendados 
10.1. Calcular as reações de apoio da Figura 9.1, sabendo que se trata de uma barra de 
comprimento L = 50 cm e seção quadrada de lado d que varia linearmente desde dA = 
5 cm na extremidade A até dB = 10 cm na extremidade B. A barra está submetida a 
uma variação de temperatura T = 0,50C. O material tem módulo de elasticidade E = 
70 GPa, peso específico  = 50 kN/m3 e coeficiente de dilatação térmica  = 10-5/0C. 
Resposta: RA = -1,7083 kN (para baixo), RB = 1,85417 kN (para cima). 
10.2. Uma vez resolvido o problema anterior, calcular a variação volumétrica da barra, 
considerando o coeficiente de Poisson  = 0,3. Resposta: V = 38,7 mm3. 
10.3. [2] A barra AB da figura abaixo é de latão e a barra CD de alumínio (dados na Tabela 
1). Sabendo-se que a 160C a fenda existente entre as duas extremidades é de 0,5 mm, 
determinar: (a) a tensão normal em cada barra, depois que a temperatura for aumentada 
para 800C; (b) a deformação da barra AB neste instante. Resposta: a) 
45,0MPaAB  
, 
25,3MPaAB  
; b) 
-6851,3 10AB  
. 
 
A 
C 
B 
D 
250 mm 250 mm 0,5 mm 
diâmetro = 75 mm 
diâmetro = 100 mm 
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 19 
10.4. [1] Uma coluna de concreto armado, de seção quadrada, suporta uma carga axial de 
compressão P. Calcular a fração da carga suportada pelo concreto, sabendo que a área 
da seção transversal das barras de aço da armação é 1/10 do concreto e que o módulode 
elasticidade do aço é 10 vezes o do concreto. Resposta: metade. 
 
10.5. [1] Uma barra com seção reduzida nas extremidades, como se vê na figura, está 
engastada em suportes rígidos e suporta forças P axiais e opostas. Calcular a tensão no 
meio da barra, supondo A1 = área da seção transversal nas extremidades e A2 = área da 
seção transversal na parte central. Resposta: 
2 1
2
2
Pa
aA bA




. 
 
10.6. [1] Uma barra de seção quadrada é formada por duas outras de materiais diferentes, 
tendo os módulos de elasticidade E1 e E2 (ver a figura). As seções transversais das 
barras são iguais. Supondo que as placas das extremidades sejam rígidas, estabelecer a 
fórmula para o cálculo da excentricidade e, de modo que ambas as barras tenham a 
mesma deformação. Resposta: 
1 2
1 22
E Eb
e
E E



. 
10.7. [1] Os trilhos de uma estrada de ferro são soldados quando a temperatura é de 100C. 
Calcular as tensões que se desenvolverão nos trilhos quando o aquecimento pelo calor 
do sol atingir 500C (dados do aço na Tabela 1). Resposta: 98 MPa (compressão). 
10.8. [1] Três barras de aço, paralelas e adjacentes, devem juntas suportar uma carga de 
tração P = 1,2 MN. A área da seção transversal de cada barra é 3500 mm2 e o 
comprimento 6 m. Se a barra do meio fosse acidentalmente encurtada de 0,75 mm, qual 
seria a tensão nessa barra quando a carga P fosse aplicada? Resposta: 131,8 MPa. 
10.9. [1] Um cabo vertical, de comprimento L, sofre na montagem uma tração inicial de 7,5 
kN. Subseqüentemente, coloca-se um peso de 10 kN neste cabo, em um ponto situado a 
uma altura h em relação à base. Investigar as forças no cabo quando h variar de 0 a L, 
sabendo que o cabo não pode suportar carga de compressão. Resposta: se 
0,25h L 
, 
então 
10 2,5N h L kN 
 no trecho 
0 x h 
 e 
10 7,5N h L kN 
 no trecho 
h x L 
; se 
0,25h L 
, então 
0N 
 no trecho 
0 x h 
 e 
10N kN
 no trecho 
h x L 
; 
10.10. [1] Uma barra bimetálica, formada por três lâminas, uma central de cobre e duas 
externas de aço, é aquecida uniformementeaté T
0
C. Supondo que a largura das barras 
seja b, o comprimento L e a espessura de cada lâmina e, calcular as tensões no aço e no 
cobre. Resposta:  
2
c a c a
a
c a
TE E
E E
 




,
2c a  
. 
P 
e 
P 
e 
a 
b 
b 
b 
a 
P P 
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 20 
10.11. [1] O quadro que se vê na figura é formado por barras externas de 
alumínio e diagonais em fios de aço. As áreas das seções 
transversais das barras de alumínio e dos fios de aço estão na relação 
20:1. Achar as tensões nos fios de aço, se a temperatura do quadro 
aumentar 450C. Resposta: 84,6 MPa. 
10.12. [1] Uma barra de alumínio, de seção circular com diâmetro de 44 
mm, ajusta-se no interior de um tubo de cobre de igual comprimento. O diâmetro 
externo do tubo é de 50 mm e o interno 45 mm. Em cada extremidade um pino 
metálico, com 5 mm de diâmetro, atravessa a montagem radialmente. Calcular a tensão 
média de cisalhamento do pino quando a temperatura aumentar de 200C. Resposta: 
71,1 MN. 
Referências bibliográficas 
 
[1] S. P. Timoshenko, J. E. Gere, Mecânica dos Sólidos, Livros Técnicos e Científicos 
Editora, 1994. 
[2] F. P. Beer, E. R. Johnston, Jr., Resistência dos Materiais, Makron Books, 3
a
. edição, 1995 
 
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 21 
Tabela 1 – Propriedades mecânicas típicas de alguns materiais 
(adaptada de [1] e [2]) 
 
 
 
Material 
 
Massa 
específica 
(kg/m
3
) 
Tensões de ruptura 
Tensões de 
escoamento 
Módulos de elasticidade 
 
Coeficiente de 
dilatação térmica 
(10
-6
 / 
0
C) 
 
Alongamento 
máximo 
(percentual 
Tração 
(MPa) 
Com-
pressão 
(MPa) 
Cisalha-
mento 
(MPa) 
Tração 
(MPa) 
Cisalha-
mento 
(MPa) 
Longitudinal 
(GPa) 
Transversal 
(GPa) 
Aço 7860 
300 a 
700 
300 a 
700 
 210 a 
600 
 210 84 11,7 18 
Aço de alta 
resistência 
7860 
700 a 
1960 
700 a 
1960 
 350 a 
1500 
 
210 84 11,7 8 
Alumínio 2710 290 185 255 140 70 26 23,6 17 
Latão 8470 540 300 435 250 105 39 20 8 
Concreto 2320 0 20 a 70 20 a 30 10 3,5 
Ferro 
fundido 
7300 340 620 330 230 165 64 12,1 10 
Magnésio 1800 380 165 275 45 26 7 
Titânio 4460 900 825 114 9,5 10 
Madeira 
(pinho) 
520 a 600 
1100 a 
1600 
450 a 
750 
15 a 17 12 a 15 
 
Poliestireno 1050 48 90 55 3 72 4 
Vidro plano 2500 24 a 6 60 a 125 65 a 80 950 
 
 
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22 
ANEXO 
Consideração de seção transversal composta por vários materiais 
 
As fórmulas (47) – (50), apresentadas na apostila de Análise de Tensões e 
Deformações, consideram que a seção transversal da barra é feita de um único material. Faz-
se a seguir um desenvolvimento mais geral, que estará de acordo com outros 
desenvolvimentos deste curso, para o caso de torção, flexão e cisalhamento de barras. 
Considera-se, portanto, que o módulo de elasticidade E varie nas direções x, y e z. 
 Representa-se na Figura abaixo a seção transversal genérica de uma barra, com 
módulo de elasticidade E variável em y e z, submetida a tensões normais. Para este problema 
mais geral são apresentadas a seguir as equações de equilíbrio, constitutivas (lei de Hooke) e 
de geometria da deformação, numa generalização do que foi apresentado na Seção 9. 
 
 
 
 
Figura 1: Seção transversal de uma barra com 
sistema de coordenadas posicionado no centro 
de gravidade. 
 
 
 
Equações de equilíbrio 
 O esforço normal P resultante que atua na seção é dado pela integral 
 
dAP
A
x 
 (1) 
Por outro lado, como só estamos considerando esforços axiais, a resultante P das tensões 
normais 
x
 deve atuar no centro de gravidade da seção, ou seja, de tal modo que não haja 
momentos fletores em relação aos eixos y e z: 
 
0  dAyM A xz 
 (2) 
 
0  dAzM A xy 
 (3) 
Relação constitutiva 
 É válida a lei de Hooke, para o estado uniaxial de tensões: 
 
xx E 
 (4) 
Geometria da deformação 
 Consideramos que, sob ação de uma força axial, a barra se deforma igualmente em 
toda a seção transversal, ou seja, 
x
 é independente de y e z, embora seja função da 
coordenada longitudinal x: 
 
0








Azy
xxx 
 (5) 
..GC
z
z
y
y
dA
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23 
Obtenção das equações que governam o problema 
 Combinando as equações (1) e (4) tem-se 
 
dAEdAP
A
x
A
x   
 (6) 
Mas, tendo em vista a equação (5), pode-se retirar 
x
 de dentro da integral: 
 
dAEP
A
x  
 (7) 
Obtém-se portanto: 
 
dAE
P
A
x


 (8) 
que permite expressar o alongamento da barra de comprimento L: 
 






L A
L
xx
dAE
dxP
dx
 (9) 
Somente se E for constante na seção transversal poder-se-á escrever 
 


 
L
L
xx
EA
dxP
dx
 (E constante em A) (10) 
Tem-se também a expressão genérica da tensão normal, a partir das equações (4) e (8): 
 
dAE
EP
E
A
xx

 
 (11) 
Somente se E for constante na seção transversal poder-se-á escrever 
 
A
P
E xx  
 (12) 
Definição do centro de gravidade da seção transversal 
 É interessante observar que as equações de momentos fletores nulos (2) e (3) 
fornecem, a partir da equação (11): 
 
0


 

 dAEy
dAE
P
dAE
dAEyP
dAyM
A
AA A
A
xz 
 (13) 
 
0


 

 dAEz
dAE
P
dAE
dAEzP
dAzM
A
AA A
A
xy 
 (14) 
De onde resulta 
 
0,0   dAEzdAEy AA
 (15) 
significando que o centro de gravidade indicado na Figura 1 é obtido usando o módulo de 
elasticidade E como função de ponderação (como uma “densidade” do material). 
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24 
Exemplo 1 
 Seja a resolução do problema 10.5, aqui enunciado outra vez: 
Uma barra de seção quadrada é formada por duas outras de materiais diferentes, tendo os módulos 
de elasticidade E1 e E2 (ver a figura). As seções transversais das barras são iguais. Supondo que as 
placas das extremidades sejam rígidas, estabelecer a fórmula para o cálculo da excentricidade e, de 
modo que ambas as barras tenham a mesma deformação. 
 
 
 
 
Para que as duas barras se deformem igualmente, é preciso que 
a força P esteja aplicada no centro de gravidade da seção 
transversal composta, conforme representado ao lado. 
Seja 
),( zy 
 um sistema auxiliar de coordenadas, que passa 
exatamente pelo meio da seção, conforme indicado. Então, 
ezz 
, obtendo-se a equação de resultante de momento My 
nula, de acordo com a equação (15): 
0)(   dAEedAzEdAezEdAEz AAAA
 
dAE
dAzE
e
A
A

 

 
ou 




aEaE
aEaE
e
bb
21
2221
 
21
21
2 EE
EEb
e



 
 
Exemplo 2 
 Exercício da 2
a
 prova de 2004.1: 
Um tubo de aço é preenchido com concreto e sujeito 
a uma força compressiva P, aplicada a uma 
cobertura rígida em seu topo. Determine a tensão no 
aço devida a estecarregamento, sabendo que a 
tensão no concreto vale 
MPac 85,5
. O tubo de 
aço tem diâmetro externo de 80mm e interno de 
70mm. Considere Eaço = 200GPa, Ec = 24GPa e 
0
 para ambos materiais. 
 
 
Tem-se, para a seção composta de concreto e aço: 
2222 32798MPa.,0200)035,004,0(24035,0 mdAE
A
  
A tensão no concreto pode ser obtida diretamente da equação (11): 



 32798,0
24
85,5
P
dAE
EP
MPa
A
c
c
 
MN799460,0
24
32798,085,5


P
 
A tensão no aço vale, portanto, 



 32798,0
200079946,0
dAE
EP
A
aço
aço
 
MPaaço 75,48
 
 
z
e
y
b
b
a
z
y2
E
1E
P 
500mm 
concreto 
aço 
b 
b 
P P 
ee