ENG1007 P2 16.2A

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ENG 1007 – INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
Segunda prova – turma A 25/10/2016 
1a Questão (2,5 pontos) 
Duas engrenagens estão aplicadas a dois eixos de aço (G=84GPa) de 50 mm de diâmetro, como 
mostrado na figura. A engrenagem em B tem diâmetro de 200 mm; a engrenagem em C tem 400 mm de 
diâmetro. A extremidade D está engastada, não podendo girar. 
a) Calcular o ângulo de rotação da seção A se nesta seção é aplicado um torque de 560 Nm. 
b) Qual é a máxima tensão de cisalhamento? 
 
Observação: Quando eixos são ligados por engrenagens, como mostrado, o torque é proporcional à 
relação entre os diâmetros das engrenagens, já que as forças atuantes entre os dentes das engrenagens 
são iguais. Além disso, as rotações são inversamente proporcionais aos diâmetros. 
Dado: torque no trecho AB = 560NM . Calculado: torque no trecho CD = 400560 1120
200
Nm= . 
Resposta: 
a) 9 4 4
1120 3 0,0652
84 10 0,025 / 2CD
Nm m
rad
Pa m
ϕ
pi
×∆ = =
× × ×
 9 4 4
560 6 0,0652
84 10 0,025 / 2AB
Nm m
rad
Pa m
ϕ
pi
×∆ = =
× × ×
 
Portanto, 400 0,196
200AD AB CD
radϕ ϕ ϕ∆ = ∆ + ∆ = 
b) 4 4
1120 0,025 45,633
0,025 / 2máx
Nm m MPa
m
τ
pi
×
= =
×
 
 
2a Questão (2,5 pontos) 
A bomba ilustrada abaixo opera com um motor que tem potência de 2 hp. Supondo que o impulsor em 
B esteja girando a 150 revoluções por minuto, determinar a tensão de cisalhamento máxima 
desenvolvida em A, localizada no eixo de transmissão, que é vazado e tem 20 mm de diâmetro externo 
e 15 mm de diâmetro interno. (1 hp = 745,7 W) 
2P nTpi= ; ( ) ( )( ) 3
0
,
2
r x
T x G
x
G d
ρ
τ ρ
pi ρ ρ
=
∫
 
Resposta: 2 745,7 94,95
2 150 / 60
Nm
pi
×
= =
×
T 
( )4 4
94,95 0,01 88,421
0,01 0,0075 / 2máx
MPaτ
pi
×
= =
−
 
4
32
Tr
J
dJ
T L
GJ
τ
pi
ϕ
=
=
∆∆ =
3a Questão (2,5 pontos) 
Um tubo fino, tendo uma seção transversal elíptica (ver a figura), é sujeito a um torque T = 6 kNm. 
Determinar a tensão de cisalhamento � e o ângulo de torção por unidade de comprimento �/L, se G = 8 
GPa, t = 5 mm, a = 75 mm, b = 50 mm. (A área de uma elipse é �ab e sua circunferência é 
aproximadamente ( )1,5 a b abpi pi+ − ). 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 20,075 0,050 0,01178mA mpi= × × = ; 
d 1,5 ( ) 79,33
mC
s a b ab
t t
pi pi�
�
�
�
+ −
= = 
Portanto, 50,93MPaτ = , / 0,1072 /L rad mφ = . 
 
4a Questão (2,5 pontos) 
O torque T = 300 N m é aplicado na extremidade livre da barra da figura abaixo, de comprimento L = 5 
m, cujo material tem módulo de elasticidade G = 50GPa, tensão admissível τadm = 55 MPa e pode 
sofrer uma rotação entre extremidades de no máximo 0,01 radϕ∆ = . 
 
Determine a dimensão b necessária para se ter uma barra de seção transversal retangular com a = 2 b. 
 
2máx
T
a b
τ
α
= , 0 3L
TL
ab G
ϕ ϕ β− = 
 
ba / 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 10,0 � 
α 0,208 0,231 0,246 0,256 0,267 0,282 0,292 0,312 0,333 
β
 0,141 0,196 0,229 0,249 0,263 0,281 0,291 0,312 0,333 
 
 
Resposta: Para / 2 / 2a b b b= = , 0,246α = e 0,229β = . 
( )2 2
300 55 0,0223
0,246 2
máx
adm
Nm MPa b m
a b b b
τ τ
α
= ≤ → ≤ → ≥T 
( )3 3
300 50,01 0,01 0,0506
0,229 2 50
L Nm m
rad rad b m
a b G b b GPa
ϕ β
×∆ = ≤ → ≤ → ≥
×
T
 
Portanto, 0,0506b m= . 
m
2
Cm
dsd dx
4A G t
ϕ ��
�
	
=
m2A t
τ =
�
L 
a 
b 
T