concreto 2

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Estruturas de Concreto II 
 
Aula 01 
 
Segundo Semestre 2018 
 
Agosto 
Profa. THELMA PATRÍCIA TURCIOS CÁMBAR 
Estruturas de Concreto II 22/08/2018 
ROTEIRO: 
 
 Apresentação do Professor 
 Plano de Ensino 
 Importância da Disciplina 
 Introdução – Casos Especiais de 
Dimensionamento de Vigas 
 Lista de Presença. 
Estruturas de Concreto II 22/08/2018 
EMENTA: 
 
Dimensionamento de Elementos Lineares à Torção, Pilares e a cargas 
Horizontais nas edificações. 
 
Objetivo Geral: 
 
Aprender os principais conceitos sobre o projeto e o dimensionamento de 
estruturas de concreto armado segundo as Normas vigentes. 
 
Objetivos Específicos: 
 
• Conhecer as principais características do concreto armado e identificar os 
parâmetros relevantes ao projeto estrutural; 
• Entender os princípios básicos de ação e segurança em estruturas de 
concreto armado; 
• Identificar e determinar as solicitações em estruturas de concreto armado; 
• Dimensionar elementos estruturais de concreto armado. 
Estruturas de Concreto II 22/08/2018 
Unidade I - Casos Especiais em 
Dimensionamento de Vigas 
 
 1.1 Armadura dupla 
 1.2 Seções em T 
 1.3 Vigas invertidas e apoios indiretos. 
CONTEÚDOS 
Estruturas de Concreto II 22/08/2018 
 
 
 
Unidade II - Lajes nervuradas 
 
 2.1 Forma e Comportamento 
 2.2 Modelos para determinação de esforços 
 2.3 Critérios para dimensionamento como laje maciça 
 2.4 Dimensionamento 
 2.5 Detalhamento. 
Estruturas de Concreto II 22/08/2018 
 
 Unidade III - Dimensionamento de Elementos 
Lineares à Torção 
 
 3.1 Situações de projeto 
 3.2 Teoria de Bredt 
 3.3 Treliça espacial generalizada 
 3.4 Interação de torção, cisalhamento e flexão 
 3.5 Dimensionamento 
 3.6 Prescrições de norma e detalhamento. 
Estruturas de Concreto II 22/08/2018 
 
 Unidade VI - Pilares 
 4.1 Flambagem 
 4.2 Classificação dos pilares 
 4.2.1 Quanto a localização 
 4.2.2 Quanto à esbeltez 
 4.3 Excentricidades de 1ª ordem 
 4.4 Excentricidade de 2ª ordem 
 4.5 Modelos de cálculo 
 4.6 Dimensionamento de seções retangulares à flexão composta reta 
 4.7 Dimensionamento de seções retangulares à flexão composta oblíqua 
 4.8 Dimensionamento pelo modelo simplificado da Norma 
 4.9 Dimensionamento pela curvatura aproximada 
 4.10 Pilares centrais 
 4.11 Pilares laterais 
 4.12 Pilares de canto. 
Estruturas de Concreto II 
22/08/2018 
Unidade V - Carga de Vento em Edificações 
 
 5.1 Norma 
 5.2 Modelos resistentes. 
Estruturas de Concreto II 22/08/2018 
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS: 
 
A disciplina será ministrada em sala de aula com aulas 
expositivas e resolução de exercícios práticos no 
quadro. 
 
RECURSOS DIDÁTICOS: 
 
Serão utilizados quadro branco ou preto, livros, 
recursos audiovisuais, retroprojetor e equipamento de 
multimídia, microfone. 
 
 
Estruturas de Concreto II 22/08/2018 
 
AVALIAÇÃO: 
 
 
Os alunos serão avaliados individualmente a partir de provas e trabalhos. 
 
O processo de avaliação será composto de três etapas: 
 
Avaliação 1 (AV1), Avaliação 2 (AV2) e Avaliação 3 (AV3). A AV1 contemplará o 
conteúdo da disciplina até a sua realização. As AV2 e AV3 abrangerão todo o 
conteúdo da disciplina. Para aprovação na disciplina o aluno deverá: 
 
1. Atingir resultado igual ou superior a 6.0, calculado a partir da média 
aritmética entre os graus das avaliações, sendo consideradas apenas as duas 
maiores notas obtida dentre as três etapas de avaliação (AV1, AV2 e AV3). A 
média aritmética obtida será o grau final do aluno na disciplina. 
 
2. Obter grau igual ou superior a 4,0 em, pelo menos, duas das três avaliações. 
 
3. Frequentar, no mínimo, 75% das aulas ministradas. 
Estruturas de Concreto II 22/08/2018 
AVALIAÇÃO: 
 
Avaliação 1 (AV1), 10,0 pontos (02/10/2018) 
Prova teórica: 8,0 pontos 
Atividades (individuais) e trabalhos grupais: 2,0 pontos 
Avaliação 2 (AV2), 10,0 pontos (20/11/2018) 
 Prova teórica: 8,0 pontos 
 Atividades: 2,0 pontos (listas de exercícios grupais e 
pesquisas) 
OBS: Atividades = Listas de Exercícios e trabalhos 
práticos. 
 
OBS: Atividades = trabalhos práticos, exercícios e pesquisas. 
 
Será aprovado o aluno que obtiver nota final mínima de 6,0 (seis) pontos e 
frequência mínima de 75% da carga horária da disciplina. 
Estruturas de Concreto II 22/08/2018 
 CRONOGRAMA 
Estruturas de Concreto I 
22/08/2018 
OBS.: Este plano poderá sofrer alterações em função das características e necessidades da turma. 
Mês Dia Conteúdo 
Julho 31 Apresentação do professor e do Plano de Ensino da Disciplina/ Introdução 
 07 Unidade I – Armadura Dupla e Seções em T 
 14 Unidade I – Vigas invertidas e Apoios indiretos 
Agosto 21 Unidade II – Torção 
 28 Unidade II – Dimensionamento à Torção 
Setembro 
04 Unidade IV – Pilares 
11 Unidade IV – Pilares: Flexão Composta Reta 
18 Unidade IV – Pilares: Flexão Composta Oblíqua / Pilares Flambagem 
 25 Revisão para a avaliação AV1 
 02 Aplicação da Primeira Avaliação AV1 
Outubro 09 Correção e Entrega das avaliações AV1 
 16 Unidade IV – Pilares: Critérios de Dimensionamento para pilares curtos 
 23 Unidade IV – Pilares: Dimensionamento de pilares medianamente esbeltos 
 30 Unidade IV – Pilares: Projeto de Pilares medianamente esbeltos centrais 
 
 
Novembro 
 
06 Unidade IV – Pilares: Projeto de Pilares medianamente esbeltos laterais 
13 
Unidade IV – Pilares: Projeto de Pilares medianamente esbeltos de canto/ Efeito do Vento 
em edifícios. 
20 Aplicação da Segunda Avaliação AV2 
27 Revisão e entrega das avaliações AV2 
 04 Aplicação da Terceira Avaliação AV3 
Dezembro 11 Entrega de Notas Finais e Revisão de Notas 
 14 Fim do semestre letivo – Presencial e Online (Sexta – Feira). 
 
Estruturas de Concreto II 
Bibliografia 
BIBLIOGRAFIA 
 
Básica 
 
 CARVALHO, Roberto Chust; PINHEIRO, Libânio Miranda. Cálculo e Detalhamento de Estruturas 
Usuais de Concreto Armado. São Paulo: PINI, 2013. Vol. 2. 
 FUSCO, Péricles Brasiliense. Estruturas de Concreto - Solicitações Tangenciais. São Paulo: PINI, 
2008. 
 FUSCO, Péricles Brasiliense. Técnica de Armar as Estruturas de Concreto. 2. ed. São Paulo: PINI, 
2013. 
Complementar 
 
 LEONHARDT, F., MONNING, E. Construções de Concreto, vol. 1 a 4, Editora Interciência. 
 GUERRIN, A; LAVAUR, Roger-Claude. Tratado de concreto armado. São Paulo: Hemus, 2002-2003. 
6v. 
 FUSCO, Péricles Brasiliense, Tecnologia do Concreto Estrutural PINI. 
 SOUZA, Joao Climaco Carlos Teatini de Estruturas de Concreto Armado- 2ª Ed. Revisada. 
 Carvalho, Roberto Chust; Pinheiro, Libânio Miranda Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de 
Concreto Armado - Volume 2 PINI ISBN : 978-85-7266-188-1. 
Estruturas de Concreto II 22/08/2018 
Importância da Disciplina 
 O concreto armado é o material mais utilizado em 
sistemas estruturais. 
 Esta disciplina é continuação de Estruturas de 
Concreto I e, portanto, também possui importante 
papel no curso, pois reúne os conhecimentos de 
desenho técnico, materiais de construção, resistência 
dos materiais e análise estrutural, promovendo os 
conhecimentos iniciais que visam a atuação tanto em 
projeto de estruturas de concreto armado como na 
execução de estruturas em obra. 
Estruturas de Concreto II 22/08/2018 
Estruturas de Concreto II 
CASOS ESPECIAIS DE 
DIMENSIONAMENTO DE 
VIGAS 
Estruturas de Concreto II 22/08/2018 
Estruturas deConcreto II 22/08/2018 
 Podem ocorrer situações em que, por imposições de projeto, arquitetônico etc., seja 
necessário utilizar para a viga uma altura menor que a altura mínima exigida pelo 
momento fletor atuante de cálculo Md. 
 Nesse caso, determina-se o momento (Mlim) que a seção consegue resistir com a sua 
altura real e armadura apenas tracionada (armadura simples As1), trabalhando no 
limite da relação x=0,45·d (domínio 3); a diferença entre o momento atuante Md e o 
momento Mlim, que será chamada de M2 (M2= Md – Mlim), será resistida por uma 
armadura de compressão, e para que seja mantido o equilíbrio, por uma adicional de 
tração. Nessa situação, a viga terá uma armadura inferior tracionada e uma superior 
comprimida (armadura dupla), assim: 
 
 Mlim – Momento obtido impondo que a seção trabalhe no limite da ductilidade x/d=0,45; é 
resistido pelo concreto comprimido e por uma armadura tracionada As1. 
 M2 – Momento que será resistido por uma armadura comprimida As’ e, para que haja 
equilíbrio, por uma armadura tracionada As2 (Além de As1 já calculada para Mlimite). 
 
Cálculo de Seções com Armadura Dupla 
Estruturas de Concreto II 22/08/2018 
 Com x=0,45·d, determina-se Mlim e, com ele a armadura tracionada As1 e também o 
momento M2 (M2=Md-Mlim); com M2 calcula-se finalmente As2 e As’. É preciso, 
ainda, verificar se a armadura comprimida As’ atingiu a deformação de escoamento 
ou não, pois a região comprimida da seção sofre deformações específicas menores que 
a região tracionada (até 0,0035, que é a máxima permitida para o concreto 
comprimido). 
 
Cálculo de Seções com Armadura Dupla 
Equações: 
 O momento Mlim pode ser obtido por: 
 
𝑀𝑙𝑖𝑚 = 𝐹𝑐 ∙ 𝑧𝑙𝑖𝑚 = 0,85 ∙ 𝐹𝑐𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 0,8 ∙ 𝑥𝑙𝑖𝑚 ∙ 𝑑 − 0,4 ∙ 𝑥𝑙𝑖𝑚 = 0,251 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
2 ∙ 𝐹𝑐𝑑. 
 
 A armadura As1 é obtida pela seguinte equação: 
𝐴𝑠1 =
𝑀𝑙𝑖𝑚
1 − 0,4 ∙ (𝐾𝑋)𝑙𝑖𝑚 ∙ 𝑑 ∙ 𝐹𝑦𝑑
 
 
 A armadura As2, correspondente ao Momento M2 é obtida pela seguinte equação: 
𝐴𝑠2 =
𝑀𝑑 − 𝑀𝑙𝑖𝑚
𝑑 − 𝑑′ ∙ 𝐹𝑦𝑑
 
 Chamando de As o total de armadura tracionada, ou seja, As= As1+As2, resulta: 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑙𝑖𝑚
1 − 0,4 ∙ (𝐾𝑋)𝑙𝑖𝑚 ∙ 𝑑 ∙ 𝐹𝑦𝑑
+
𝑀𝑑 − 𝑀𝑙𝑖𝑚
𝑑 − 𝑑′ ∙ 𝐹𝑦𝑑
 
 Fazendo o equilíbrio de momentos em relação ao Centro de Gravidade (CG) da armadura 
tracionada na seção com M2, obtém-se As’ 
𝐴𝑠 =
𝑀2
𝑑 − 𝑑′ ∙ 𝐹𝑠′
+
𝑀𝑑 − 𝑀𝑙𝑖𝑚
𝑑 − 𝑑′ ∙ 𝐹𝑠′
 
Estruturas de Concreto II 22/08/2018 
Equações: 
 Finalmente, é preciso conhecer a deformação específica da armadura comprimida εs’ para 
encontrar a tensão na armadura comprimida fs’. O valor de εs’ é obtido da figura anterior: 
0,35
𝑥𝑙𝑖𝑚
=
εs’
(𝑥𝑙𝑖𝑚−𝑑′)
 então εs’=
0,35∙(𝑥𝑙𝑖𝑚−𝑑′)
𝑥𝑙𝑖𝑚
 
Em que: 
 
d’: Distancia entre o CG da armadura comprimida até a borda superior; 
(d-d’): Braço de alavanca da seção com as armaduras tracionadas e comprimidas; 
εs’, fs’: Deformação específica e tensão na armadura comprimida; 
xlim:: linha neutra limite para atender a condição de ductilidade x=0,45·d para concretos até a 
classe C50. 
 
 
Estruturas de Concreto II 22/08/2018 
EXEMPLO 
Seções com Armadura Dupla 
 Para um momento, M= 45 kN·m, calcular a armadura necessária de uma seção 
retangular com 𝑏𝑤 = 0,12𝑚 e altura útil d=0,29m. 
Considerar 𝑓𝑐𝑘 = 20 𝑀𝑃𝑎 20000
kN
m2
; aço CA50 (𝑓𝑦𝑑=
𝑓𝑦𝑘
1,15
=
500
1,15
= 434,78 𝑀𝑃𝑎 =
43,478 𝑘𝑁/𝑐𝑚^2). Considerar estribos de φ = 6mm e barras longitudinais 
(comprimidas ou tracionadas) de φ = 10mm e cobrimento de 2,5 cm, de acordo com a 
tabela 7.2 da ABNT NBR 6118:2014, para vigas em ambientes com classe de 
agressividade ambiental I. 
Exemplo: 
Estruturas de Concreto II 22/08/2018 
Solução no quadro: 
Estruturas de Concreto II 22/08/2018 
 Em um piso (laje) de concreto armado apoiado no contorno em vigas, as lajes maciças 
e as vigas não são independentes umas das outras; pelo fato de as estruturas de 
concreto serem monolíticas (a não ser que, construtivamente, sejam tomadas medidas 
para que isso não ocorra), seus elementos, lajes e vigas, trabalham em conjunto. 
 
 Quando a viga sofre uma deformação, parte da laje adjacente a ela (em um ou em dois 
lados) também se deforma, comportando-se como se fosse parte da viga, colaborando 
em sua resistência. Dessa forma, a viga incorpora parte da laje, e sua seção deixa de 
ser retangular, passando a ter a forma de um “T” (ou de um “L”). 
 
 Ao fazer um corte transversal em um piso formado por lajes e vigas, observa-se que o 
piso se compõe, na verdade, de um conjunto de vigas com a forma de um “T” 
trabalhando lado a lado. 
 
Cálculo de Armadura em Vigas de seção 
transversal em forma de “T” 
22/08/2018 Estruturas de Concreto II 
Vigas “T” 
 
 
 
 
 
 
 
Nas construções usuais, é pouco comum a ocorrência de vigas retangulares 
isoladas, já que os pisos estruturais (sejam de edifícios, sejam de pontes) são 
normalmente compostos por lajes descarregando em vigas (monolítica), 
obtendo-se seções transversais como aquelas representadas nas figuras abaixo. 
22/08/2018 Estruturas de Concreto II 
Vigas “T” 
 
 
 
 
 
 
 
Quando a viga sofre uma deformação, parte da laje adjacente a ela também se 
deforma, comportando-se como se fosse parte da viga, colaborando em sua 
resistência. 
Seção T Seção L invertida 
22/08/2018 Estruturas de Concreto II 
Vigas “T” 
 
 
 
 
 
 
 
22/08/2018 Estruturas de Concreto II 
Vigas “T” 
 
 
 
 
 
 
 
Estruturas de Concreto II 22/08/2018 
a) A parte vertical da viga é chamada de alma (nervura), e a parte horizontal de mesa, 
que é composta de duas abas (partes salientes), é referida com a seguinte notação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Uma viga de concreto armado, formada por uma nervura e duas abas, só será 
considerada como de seção “T” quando a mesa e parte da alma estiverem 
comprimidas; caso contrário, dependendo do sentido de atuação do momento fletor, 
apenas a parte superior da mesa ou inferior da alma estarão comprimidas (essas 
partes têm a forma retangular), e como as regiões tracionadas de concreto não 
trabalham, ou seja, não colaboram na resistência, a viga será calculada como tendo 
seção retangular. 
 
Considerações importantes 
Estruturas de Concreto II 22/08/2018 
a) A parte vertical da viga é chamada de alma (nervura), e a parte horizontal de mesa, 
que é composta de duas abas (partes salientes), é referida com a seguinte notação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Uma viga de concreto armado, formada por uma nervura e duas abas, só será 
considerada como de seção “T” quando a mesa e parte da alma estiverem 
comprimidas; caso contrário, dependendo do sentido de atuação do momento fletor, 
apenas a parte superior da mesa ou inferior da alma estarão comprimidas (essas 
partes têm a forma retangular), e como as regiões tracionadas de concreto não 
trabalham, ou seja, não colaboram na resistência, a viga será calculada como tendo 
seção retangular. 
 
Considerações importantes 
Estruturas de Concreto II 22/08/2018 
 
Considerações importantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como consequência, nos trechos de momentos negativos junto aos apoios (vigas 
contínuas), provavelmente a seção da viga será retangular (é o caso de viga abaixo da 
laje), pois apenas parte da alma estará comprimida. 
 Outra consequência é que, no caso de momentos positivos, a viga só será considerada 
de seção “T” se a linha neutra estiver passando pela alma; caso contrário, a região de 
concreto comprimida será retangular,com largura igual a bf, e não haverá colaboração 
da alma e de parte da mesa, que estarão tracionadas. 
 
Estruturas de Concreto II 22/08/2018 
 
Considerações importantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nas situações em que a LN passa pela alma da seção, é possível usar os quadros para 
seções retangulares, fazendo o cálculo em duas etapas: 
 
𝑀1 = 1 = 0,85 ∙ 𝐹𝑐𝑑 ∙ ℎ𝑓 ∙ (𝑏𝑓 − 𝑏𝑤) ∙ 𝑑 −
ℎ𝑓
2
 
O momento restante (M2) é absorvido pela nervura (alma), como nas seções 
retangulares: 
 
Estruturas de Concreto II 22/08/2018 
 
Considerações importantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seção “T” dividida em duas seções retangulares. 
𝑀2 = 𝑀𝑑 − 𝑀1 = 𝐹𝑐2 ∙ 𝑑 −
𝑦
2
 
A armadura é obtida somando-se a necessária para resistir a cada um dos momentos: 
 
𝐴𝑠 =
𝑀1
(𝑑 − ℎ𝑓/2) ∙ 𝑓𝑦𝑑
+
𝑀2
(𝐾𝑍) ∙ 𝑑 ∙ 𝐹𝑦𝑑
 
 
 
Estruturas de Concreto II 22/08/2018 
 Não é toda a largura da laje adjacente que colabora na resistência da viga; por 
absurdo, imagine-se que uma viga central estivesse a quilômetros das vigas 
laterais: é evidente que entre uma viga lateral e a central existiria uma parte da laje 
que não ajudaria na resistência nem de uma viga nem de outra, ou seja, estaria 
trabalhando realmente apenas como elemento para transferir cargas às vigas. 
Conclui-se, por tanto, que apenas uma parte da laje, mais próxima à viga, colabora 
com ela. 
Considerações importantes 
 
 
 
 
 
22/08/2018 Estruturas de Concreto II 
 
 
 
 
 
 
 
Deve-se definir qual a largura colaborante da laje que efetivamente está 
contribuindo para absorver os esforços de compressão. A largura da mesa bf, 
deve ser calculada da maneira a seguir: 
Considerações importantes 
22/08/2018 Estruturas de Concreto II 
 
 
 
Considerações importantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
Segundo a NBR 6118/2014, no item 14.6.2.2 
EXEMPLOS 
Vigas “T” 
 Calcular a armadura para a viga simplesmente apoiada, de vão l igual a 30 m, cuja 
seção é a da figura abaixo e está submetida a um momento Md=6770 KN·m. 
Considerar aço CA-50 e fck=30 MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Calcular a armadura necessária para a seção do exemplo 8 supondo Md= 10.000 
KN·m, com aço CA50 e fck = 30 Mpa. 
Exemplos: 
Estruturas de Concreto II 22/08/2018 
Solução no quadro: 
22/08/2018 Estruturas de Concreto II 
 
 
 
 
 
 
Quadro 3.1 
Tabela 3.7 Áreas 
de seções de 
armaduras passivas 
de aço As (cm²) 
para as bitolas 
padronizadas pela 
NBR 7480. 
 Revisar os exercícios resolvidos pags# 154 – 161. 
 
 Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto Armado. 4ta. Edição, 
Volume 1. 
 
 
Tarefa: Exercícios Propostos 
Bibliografia: 
 ABNT. NBR 6118 – Projeto de Estruturas de Concreto – Procedimento. 
Rio de Janeiro, 2004. 
 CARVALHO, R.C.; FIGUEIREDO FILHO, J.R. Cálculo e detalhamento 
de estruturas usuais de concreto armado. 4. Ed. São Carlos: Ed 
UFSCAR, 2017. v. 1. 
 
 
Estruturas de Concreto II 22/08/2018 
BEM VINDOS 
AO NOVO SEMESTRE!!! 
Estruturas de Concreto II 22/08/2018