Matemática - Aula 28 - Matrizes

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MATEMÁTICA
Aula 28
Matrizes
 Esqueleto Numérico Chinês
 3 2 1 39
 2 3 1 34
 1 2 3 26
 Esse esqueleto numérico, corresponde ao sistema de equações abaixo,
tendo sido suprimidas as variáveis. A resolução desse sistema é feita através
da manipulação do esqueleto numérico que hoje chamamos de matriz.
 Sistema de equações Lineares Correspondente
 3x + 2y + z = 39
 2x + 3y + z = 34
 x + 2y + 3z = 26
 A seguir temos uma tabela dos primeiros colocados em um dos grupos do
campeonato brasileiro. Essa tabela é um a matriz de ordem 4 x 5 (lê-se
quatro por cinco).
 Clube PG J V E D
 Corínthians 18 7 6 0 1
 Vasco 17 7 5 2 0
 Grêmio 11 6 3 2 1
 Bahia 10 6 2 4 0
 Com vinte elementos, na matemática é comumente representa entre
parênteses
 
 
ou entre colchetes
 Para identificar um elemento, usaremos uma letra minúscula do nosso
alfabeto com dois sub índices que indicam a posição desse elemento.
 5 = a23 (linha 2 e coluna 3)
 10 = a41 (linha 4 e coluna 1)
˜˜
˜
˜
˜
¯
ˆ
ÁÁ
Á
Á
Á
Ë
Ê
042610
123611
025717
106718
˙
˙
˙
˙
˚
˘
Í
Í
Í
Í
Î
È
042610
123611
025717
106718
˙
˙
˙
˙
˚
˘
Í
Í
Í
Í
Î
È
042610
123611
025717
106718
 Uma matriz pode ser representada de duas formas:
 - Pela tabela de m linhas e n colunas:
 A =
- Forma abreviada :
 A = ( )
mxnij
a
 com
Exemplo de aplicação
 Como podemos escrever uma matriz A = ( )
3x2ij
a
 definida por 
Ó
Ì
Ï
=
≠-
=
jise1
jiseji
aij ?
 Do texto obtemos a ordem:
 A = ( )
3x2ij
a fi ordem 2x3
 A = ˙
˚
˘
Í
Î
È
232221
131211
aaa
aaa
˙
˙
˙
˙
˙
˙
˚
˘
Í
Í
Í
Í
Í
Í
Î
È
mn2m1m
n33231
n22221
n11211
a...aa
............
a...aa
a...aa
a...aa
{ }
{ }n,...,3,2,1j
m,...,3,2,1i
Œ
Œ
Calculo dos elementos da primeira linha:
 a11 = 1 + 1 = 2
 a12 = 1 – 2 = -1
 a13 = 1 – 3 = -2
 fi A = ˙
˚
˘
Í
Î
È -- 212
 a21 = 2 – 1 = 1
 a22 = 2 + 2 = 4
 a32 = 3 – 2 = 1
 fi A = ˙
˚
˘
Í
Î
È --
141
212
Ó
Ì
Ï
=+
≠-
=
jiseji
jiseji
aij fi
Ó
Ì
Ï
=+
≠-
=
jiseji
jiseji
aij fi
Matrizes especiais
 Matriz Linha
 A1xn = [ ]n1131211 a...aaa
 A1x4 = [ ]8521 -
 Matriz Coluna
 Amx1 = 
˙
˙
˙
˙
˙
˙
˚
˘
Í
Í
Í
Í
Í
Í
Î
È
1m
31
21
11
a
:
a
a
a
 A3x1 = 
˙
˙
˙
˚
˘
Í
Í
Í
Î
È
3
5
2
 Matriz nula
 0mxn = 
˙
˙
˙
˙
˙
˙
˚
˘
Í
Í
Í
Í
Í
Í
Î
È
0...000
:...:::
0...000
0...000
0...000
 02x5 = ˙
˚
˘
Í
Î
È
00000
00000
 Matriz Quadrada
 An =
 A2 = ˙
˚
˘
Í
Î
È
24
31
 O conjunto dos elementos que tem os dois índices iguais, formam a
diagonal principal.
 A4 =
 A2 = ˙
˚
˘
Í
Î
È
24
31
 {aij | i = j} = Diagonal Principal
O conjunto dos elementos que tem soma dos índices igual a n+1, formam a
diagonal secundária.
 A4 =
 A2 = ˙
˚
˘
Í
Î
È
24
31
 {aij | i+j = n+1} = Diagonal Secundária
˙
˙
˙
˙
˙
˙
˚
˘
Í
Í
Í
Í
Í
Í
Î
È
nn3n2n1n
....
n3333231
n2232221
n1131211
a...aaa
:...:::
a...aaa
a...aaa
a...aaa
˙
˙
˙
˙
˚
˘
Í
Í
Í
Í
Î
È
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
˙
˙
˙
˙
˚
˘
Í
Í
Í
Í
Î
È
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
 Matriz Diagonal
 
 A4 =
 A3 =
 Matriz Identidade
 A4 =
 A2 =
 Igualdade de Matrizes
 Duas matriz A e B são iguais, se e somente se, o elemento que ocupa a
posição ij de A é igual ao elemento que ocupa a posição ij de B:
 Amxn = Bmxn ¤ aij = bij
 para todo .nj1emi1 ££££
˙
˙
˙
˙
˚
˘
Í
Í
Í
Í
Î
È
44
33
22
11
a000
0a00
00a0
000a
˙
˙
˙
˚
˘
Í
Í
Í
Î
È
000
000
000
˙
˙
˙
˙
˚
˘
Í
Í
Í
Í
Î
È
1000
0100
0010
0001
˙
˚
˘
Í
Î
È
10
01
Exemplo de aplicação
 ˙
˚
˘
Í
Î
È
=˙
˚
˘
Í
Î
È
yw
zx
24
31
 Da igualdade entre as matrizes temos:
 x=1, y=2, z=3 e w=4.
 Adição de Matrizes
 Amxn + Bmxn = Smxn ¤ sij = aij + bij
 para todo .nj1emi1 ££££
 A adição de duas matrizes dá uma outra matriz, em que cada elemento é
a soma dos elementos correspondentes em A e B.
Exemplo de aplicação
 ˙
˚
˘
Í
Î
È
=˙
˚
˘
Í
Î
È
+˙
˚
˘
Í
Î
È
812
106
68
75
24
31
Exercício
 Três amigos saíram juntos para comer no sábado e no domingo. As
tabelas a seguir resumem quantas garrafas de refrigerante cada um
consumiu e como a despesa foi dividida:
 S = 
˙
˙
˙
˚
˘
Í
Í
Í
Î
È
213
010
321
 e D = 
˙
˙
˙
˚
˘
Í
Í
Í
Î
È
211
120
302
 S refere-se às despesas de sábado e D às despesas de domingo.
 S= 
˙
˙
˙
˚
˘
Í
Í
Í
Î
È
213
010
321
 e D= 
˙
˙
˙
˚
˘
Í
Í
Í
Î
È
211
120
302
 Cada elemento aij das matrizes nos dá o número de refrigerantes que i
pagou a j, sendo Paulo o número 1, Sandra o número 2 e Edna o número 3.
 S= 
˙
˙
˙
˚
˘
Í
Í
Í
Î
È
213
010
321
 e D= 
˙
˙
˙
˚
˘
Í
Í
Í
Î
È
211
120
302
 No sábado, por exemplo, Paulo pagou 1 refrigerante que ele próprio bebeu,
2 de Sandra e 3 de Edna (primeira linha da matriz S).
 Quem bebeu mais no fim de semana?
 Matriz Oposta
 Dada a matriz A, indica-se como oposta a matriz –A em que cada
elemento é o oposto do correspondente em A.
 A = (aij)mxn fi -A = (-aij)mxn
 para .nj1emi1 ££££
Exemplo de aplicação
 A = ˙
˚
˘
Í
Î
È
-
-
43
21
 fi -A = ˙
˚
˘
Í
Î
È
-
-
43
21
 Subtração de Matrizes
 A subtração de matrizes corresponde à adição com a oposta.
 Amxn – Bmxn = A + (-B) = (aij – bij)mxnpara .nj1emi1 ££££
 Exemplo de aplicação
 A – B = ˙
˚
˘
Í
Î
È
--
=˙
˚
˘
Í
Î
È
-˙
˚
˘
Í
Î
È
11
21
35
10
24
31
 Multiplicação de número por Matriz
 Dada a matriz A e um número real K, chama-se matriz produto de K por
A a matriz obtida pelos elementos de A todos multiplicados por k.
 k.A = (k.aij)mxn
 com .nj1emi1 ££££
 Exemplo de aplicação
 3. ˙
˚
˘
Í
Î
È
--
=˙
˚
˘
Í
Î
È
-- 612
93
24
31
Exercício
 Sendo A = ˙
˚
˘
Í
Î
È
37
21
 e B = ˙
˚
˘
Í
Î
È
33
02
, obter X e Y tal que 
Ó
Ì
Ï
=-
=+
BYX
AYX
Respostas
 1) Edna com 11 refrigerantes.
 2) ˙
˚
˘
Í
Î
È
=˙
˚
˘
Í
Î
È
=
33
02
B
37
22
A
 
Ó
Ì
Ï
=-
=+
BYX
AYX
 2X = A + B fi X = )BA(
2
1
+
 X = ˙
˚
˘
Í
Î
È
=˙
˚
˘
Í
Î
È
35
12
610
24
2
1
 X + Y = A (1ª equação)
 fi Y = A – X
 fi Y = ˙
˚
˘
Í
Î
È
=˙
˚
˘
Í
Î
È
-˙
˚
˘
Í
Î
È
02
10
35
12
37
22
+