31 Sistemas Lineares

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MATEMÁTICA
Aula 31
Sistemas Lineares
OBTENÇÃO DA INVERSA( dispositivo prático)
Calcular o det A
Matriz dos cofatores (Ac)
Transposta da matriz dos cofatores (Ac)t
 tc
1 )A.(
Adet
1
A =-
Pode-se ter:
det A ≠ 0 - A é inversível ou não singular.
det A = 0 - A é não inversível ou singular.
Exemplo de aplicação:
 Obter a inversa da matriz
 A = ˙
˚
˘
Í
Î
È
32
10
 Resolução:
 1) det A = fi≠-=-= 022.13.0
32
10
 inversível.
 2) Matriz dos cofatores: Ac = ˙
˚
˘
Í
Î
È
-
-
01
23
 3) Transposta da matriz dos cofatores:
 (Ac)
t = 
t
01
23
˙
˚
˘
Í
Î
È
-
-
 = ˙
˚
˘
Í
Î
È
-
-
02
13
 4) ˙
˚
˘
Í
Î
È-
=˙
˚
˘
Í
Î
È
-
-
-
==-
01
2
1
2
3
02
13
.
2
1
)A.(
Adet
1
A tc
1
 Propriedades da inversa
A-1 é única.
 (A-1)-1 = A.
(A.B)-1 = B-1. A-1.
(A-t)-1 = (A-1)t.
 Propriedades da inversa
 A . A-1 = I fi det(A . A-1) = det I
 fi det A . det A-1 = det I
 fi 
Adet
1
Adet 1 =-
 Elemento bij da inversa
 bij da A
-1 = 
Adet
Adaadocofator ji
Exemplo de Aplicação
 Sendo A = 
˙
˙
˙
˚
˘
Í
Í
Í
Î
È
--
-
-
213
230
121
,
 qual o elemento da terceira linha e primeira
 coluna de sua inversa?
 A = 
˙
˙
˙
˚
˘
Í
Í
Í
Î
È
--
-
-
213
230
121
 b31 da A
-1 = 
( )
11
9
11
13
30
.1
Adet
Adaadocofator
31
13 =
-
-
-
=
+
 Teorema de Cramer
 {(x1, x2, x3, ..., xn)} = 
˛
˝
¸
Ó
Ì
Ï
˜˜
¯
ˆ
ÁÁ
Ë
Ê
D
D
,...,
D
D
,
D
D
,
D
D n321
 D : determinante do sistema.
 Di : troca-se a iésima coluna pela independente.
Exemplo de Aplicação:
 Sabendo que x, y e z são números reais e
 ( ) ( ) ( ) 03zyxzyx2 222 =-+-+-+
 quanto vale x + y + z ?
 Resolução:
 
Ô
Ó
Ô
Ì
Ï
=++
=+-
=-+
fi
Ô
Ó
Ô
Ì
Ï
=-
=-
=-+
3z1y0x0
0z0y1x1
0z1y1x2
03z
0yx
0zyx2
 D = 3D
100
011
112
-=fi-
-
 D = 3D
100
011
112
-=fi-
-
 Dx = 3D
103
010
110
X -=fi-
-
 1
3
3
D
D
x x =
-
-
==fi
 D = 3D
100
011
112
-=fi-
-
 Dy = 3D
130
001
102
y -=fi
-
 1
3
3
D
D
y y =
-
-
==fi
 D = 3D
100
011
112
-=fi-
-
 Dz = 9D
300
011
012
z -=fi- 33
9
D
D
z z =
-
-
==fi
 {(x,y,z)} = {(1,1,3)}
 x + y + z = 1 + 1 + 3 = 5
 MÉTODO DE GAUSS(escalonamento)
 Exemplo:
 x -1 x -2
 +
 +
Ô
Ó
Ô
Ì
Ï
=+
=--
-=+-
)c(5zy3
)b(1z3y
)a(2zyx
2
2
1
Ô
Ó
Ô
Ì
Ï
=++
-=--
-=+-
)c(1z3yx2
)b(1z2y2x
)a(2zyx
1
1
1
 x 3
 +
 V = {(1;2;-1)}
Ô
Ó
Ô
Ì
Ï
=+
=--
-=+-
)c(5zy3
)b(1z3y
)a(2zyx
2
2
1
Ô
Ó
Ô
Ì
Ï
=-
=--
-=+-
)c(8z8
)b(1z3y
)a(2zyx
3
2
1
Ô
Ó
Ô
Ì
Ï
-=fi=-
=fi=--
=fi-=+-
1z8z8
2y1z3y
1x2zyx