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98 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 Unidade III Unidade III 5 EQUAÇÕES LINEARES 5.1 Sistema de equações lineares Vamos supor que tenhamos o seguinte problema a ser resolvido: Dois casais foram a um barzinho numa noite quente de verão e lá decidiram comer batata frita e tomar caipirinha. O primeiro casal tomou duas caipirinhas e uma porção de fritas, gastando R$ 50,00. O segundo comeu duas porções de batata e três caipirinhas, gastando R$ 80,00. Como procederíamos se quiséssemos descobrir, a partir dessas informações, somente o valor de cada caipirinha e de cada porção de fritas? Para determinar esses valores, vamos assumir que x seja o valor de cada caipirinha, e y, o valor de cada porção de fritas; então, pode‑se dizer, por meio dessas variáveis, que: Para o casal 1: 2x + y = 50 Para o casal 2: 3x + 2y = 80 Assim, devemos ter: 2x + y = 50 → y = 50 ‑ 2x (I) 3x + 2y = 80 (II) Substituindo (I) em (II), temos: 3x + 2(50 ‑ 2x) = 80 3x + 100 ‑ 4x = 80 ‑x + 100 = 80 → x = 20 Sabendo o valor de x, podemos voltar à equação (I) e obter o valor de y: y = 50 ‑ 2(20) = 10 Assim, cada caipirinha custa R$ 20,00 e cada porção, R$ 10,00. 99 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO Esse é um exemplo simples de como um sistema de equações do 1º grau pode ser usado para resolver problemas do cotidiano. Além disso, nas áreas tecnológicas, científicas e computacionais, vários problemas podem ser solucionados por esse sistema de equações lineares, no menor tempo possível. Por exemplo, para se dimensionar as estruturas triangulares dos tetos de shoppings e centros de exposições, usa‑se um sistema de equações lineares. Nos cálculos dos esforços, na estrutura de um avião, sempre aparecem sistemas de equações lineares gigantescos (10.000 x 10.000 ou mais), na geração de imagens digitais, na Robótica, na tomografia computadorizada, entre outros. Saiba mais Em Robótica, o posicionamento das juntas de um robô é feito pela resolução de sistemas lineares. Essa resolução é feita o tempo todo, umas centenas de vezes. Para saber mais sobre robôs, há alguns filmes bem interessantes, como: O HOMEM bicentenário. Direção: Chris Columbus. Estados Unidos: Columbia Pictures, 1999. VHS (130 min). WALL‑E. Direção: Andrew Stanton. Estados Unidos: Walt Disney Pictures, 2008. VHS (98 min). Antes de iniciarmos os estudos desta unidade, que englobará os sistemas de equações e suas formas de resolução, vamos introduzir alguns conceitos básicos. Equação linear Toda equação do 1º grau com uma ou mais incógnitas é chamada equação linear. São exemplos de equações lineares: a) 2y ‑ 6x = 23 Nesse exemplo, temos que: • os coeficientes de y e x são 2 e ‑6, respectivamente; • as incógnitas são x e y; • o termo independente é 23. Outro exemplo envolvendo mais variáveis: b) 2x ‑ 4y + 3z = 12 100 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 Unidade III • os coeficientes de x, y e z são 2, ‑4 e 3, respectivamente; • as incógnitas são x, y e z; • o termo independente é 12. Por definição, chamamos de equação linear nas variáveis x1, x2,..., xn toda equação do tipo: a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b Onde a1 ,a2 ... an são coeficientes reais e b é o termo independente. Lembrete A função 1 x y+ não constitui uma equação linear, pois o expoente de x é ‑1. A função 6x2 + 2z também não é uma equação linear, mas sim uma equação do 2º grau. E as soluções dessas equações, como são determinadas? A sequência, também chamada n‑upla ordenada, ou seja, (a1, a2, ... an), constituirá solução de uma equação linear a1 x1 + a2 x2 + ...+ an xn = b se a1 x1 + a2 x2 + ...+ an xn = b for uma sentença verdadeira, por exemplo: Dada a equação linear x1 + 2x2 + x3 ‑ x4 = ‑1, podemos ver que a sequência formada por (1, 0, 3, 5) é uma sentença verdadeira, pois, se substituirmos esses valores na equação, por exemplo, 1 no lugar de x1, 2 no lugar de x2 e assim por diante, vamos ver que a equação é satisfeita, pois 1 + 2. 0 + 3 – 5 é uma sentença verdadeira. Por outro lado, a sequência (1, 3, 0, 1) não é solução, pois 1 + 2. 3 + 0 ‑1 = ‑1 é uma sentença falsa. Observação Se não existe uma sequência que satisfaça a equação, dizemos que o sistema é impossível. Importante salientar que sempre uma sequência ou n‑upla obedece à ordem alfabética das variáveis, isto é, (x, y), (x, y, z), (a, b, c) etc. Assim, uma sequência (0, 1, 2) significa, por exemplo, x = 0, y = 1, z = 2, e, assim, deve ser substituída na equação linear, para saber se é essa que a satisfaz ou não. 101 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO Quando a equação apresenta valor igual a zero, ou seja, o termo independente é igual a zero, dizemos que a equação é uma equação linear homogênea. Um exemplo: 2x + 3y = 0 Generalizando, toda equação linear homogênea apresenta como solução a sequência (0, 0, 0,... 0), também chamada de solução trivial. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações lineares. Por definição, um sistema de m equações lineares (m ≥ 1) em n variáveis (n ≥1) (ou incógnitas) é um conjunto de equações da forma: a x a x a x a x b a x a x a x a x n n n n 11 1 12 2 13 3 1 1 21 1 22 2 23 3 2 + + + = + + + = bb2 a xm1 11 2 2 3 3 1+ + + = a x a x a x bm m n n n x1, x2, xn são as incógnitas aij são os coeficientes bi são os termos independentes Na Unidade II, vimos como determinar a solução de uma equação do 1º grau. Para os sistemas lineares, vale o mesmo procedimento; porém, nesse caso, as raízes devem satisfazer todas as equações simultaneamente. Assim, chama‑se solução do sistema toda n‑upla ordenada (x1, x2, ... xn) de números reais que satisfaz as equações do sistema linear, e chama‑se conjunto do sistema o conjunto constituído de todas as soluções. Dizemos que o sistema linear é, respectivamente, impossível, possível determinado ou possível indeterminado, conforme seu conjunto seja vazio, unitário ou tenha, pelo menos, dois elementos. Para obter as soluções de um sistema, consideraremos dois casos, que serão descritos aqui: Método da Substituição e Método da Adição ou do Cancelamento. 5.2 Método da Substituição Nesse método, uma das incógnitas é isolada e substituída na outra equação do sistema, obtendo‑se uma nova equação com apenas uma incógnita. É sempre útil escolher a equação mais simples para isolar uma das variáveis: 102 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 Unidade III Vamos considerar o sistema: 2 3 10 2 2 x y x y + = − = 1º passo: Observar qual das equações apresenta uma incógnita mais fácil de ser isolada. Nesse exemplo, podemos isolar y na segunda equação (equação mais simples). Essa equação foi escolhida pelo fato de o coeficiente de y ser igual a ‑1. Assim: 2x ‑ y = 2 → y = 2x ‑ 2 Lembrete Poder‑se‑ia escolher qualquer uma das equações e variáveis, porém o cálculo ficaria mais complicado e demorado. 2º passo: Substituir y = 2x ‑ 2 na primeira equação. 2 3 10 2 3 2 2 10 2 6 6 10 8 6 10 8 162 x y x x x x x x x + = + − = + − = − = = = ( ) 3º passo: Substituir x = 2 na equação y = 2x ‑ 2. y x y y = − = − = 2 2 2 2 2 2 ( ) 103 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO 4º passo: Escrever a solução do sistema: S = {2,2}. 5.3 Método da Adição ou do Cancelamento Nesse método, as equações do sistema são adicionadas para se obter outra equação com uma única incógnita. Consideremos o sistema: 2 3 6 4 8 x y x y + = − = 1º passo: Devemos multiplicar a segunda linha por ‑2 para obter outra equação análoga, de maneira que a incógnita x tenha coeficiente ‑2; assim, podemos cancelar (adicionar) os termos que contêm x. 2 3 6 4 8 2 x y x y + = − = × −( ) 2º passo: Somar as duas equações e isolar a incógnita y. 2 3 6 2 8 16 11 22 2 x y x y y y + = − + = = = 3º passo: Substituir o valor de y encontrado na primeira equação e obter a solução do sistema. 2 3 2 6 2 0 0 x x x + = = = ( ) 104 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 Unidade III 4º passo: Escrever a solução do sistema: S = {0,2}. Lembrete Na maioria dos casos, podemos obter as soluções de um sistema utilizando qualquer um dos sistemas existentes; contudo, é sempre bom escolher o método mais rápido e seguro. Mais exemplos: Vamos resolver o sistema: x y x y + = − = 5 1 Solução: A primeira coisa que devemos fazer é decidir que método de resolução usar. Podemos ver que é mais fácil utilizar o método da adição, visto que os coeficientes de y apresentam sinais opostos e podem se anular. Isso não significa que não poderíamos usar o método da substituição; poderíamos, sim, mas o trabalho seria um pouco maior; portanto, é preferível usar o da adição, nesse caso. Assim: x y x y x x + = − = = = 5 1 2 6 3 Substituindo na primeira equação, temos: 3 + y = 5 → y = 2 A solução do sistema é S = {3,2}. No caso do sistema: 4 2 3 2 7 x y x y − = + = 105 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO Vamos usar aqui o método da substituição para resolver o problema: 4x ‑ y = 2 → y = 4x ‑ 2 Substituindo y na segunda equação, temos: 3 2 4 2 7 3 8 4 7 11 11 1 x x x x x x + − = + − = = = ( ) Substituindo em y = 4x ‑ 2, temos y = 2. A solução do sistema é: S = {1,2}. Vamos resolver alguns exercícios para fixação: 1) Se x y z y z z + + = + = = 2 3 14 4 5 23 6 18 Então, qual o valor de x? Solução: A última equação fornece o valor de z, já que 6z = → 8 z = 3. Portanto, 4y + 5(3) = 23 → 4y = 8 → y = 2 Só resta calcular x, assim: x + 2y + 3z = 14 → x + 4 + 9 = 14 → x = 1 A solução do sistema é: S = {1,2,3}. 2) Classificar os sistemas seguintes como SPD (Sistema Possível e Determinado), SPI (Sistema Possível e Indeterminado) e SI (Sistema Indeterminado). a) x y y + = = 3 2 106 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 Unidade III b) x y x y + = + = 5 0 0 3 c) x y x y + = + = 1 2 2 2 d) x y+ ={ 2 4 Solução: a) Se y = 2, podemos substituir esse valor na equação x + y = 3 → x + 2 = 3 → x = 1. A única solução do sistema é o par (1, 2); portanto, SPD. b) A segunda equação não tem solução, portanto não existe solução comum às duas equações do sistema, o que indica que o sistema é SI. c) O sistema possui mais de uma solução, portanto é SPI. d) O mesmo caso do item c, portanto SPI. 3) Um clube promoveu um show de música ao qual compareceram 300 pessoas, entre sócios e não sócios. No total, foram arrecadados R$ 1.400,00, e todos pagaram. Os não sócios pagaram R$10,00 e os sócios pagaram R$ 2,00. Qual o número total de sócios presentes no evento? Solução: Sejam x e y os números de sócios e não sócios, respectivamente. Com isso, o número total de pessoas presentes no evento é: x + y = 300 Se os não sócios pagaram R$10,00 e os sócios pagaram R$ 2,00 podemos dizer que 2x + 10y = 1400 Portanto, temos de resolver o sistema: x y x y x y x y + = + = + = + = 300 2 10 1400 300 5 700 107 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO Subtraindo uma equação da outra, temos: 4y = 400 y = 100 Se o número total de pessoas presentes no evento é 300 e 100 correspondem ao número de não sócios, temos 200 sócios. 4) Resolva, pelo método da adição, o sistema: 2 5 3 10 1 x y x y + = − + = Solução: Vamos multiplicar por ‑10 todos os membros da primeira equação, assim: − − = + = 20 10 50 3 10 1 x y x y Somando as duas equações, obtém‑se: ‑17x = 51 → x = ‑3 Substituindo x na segunda equação, tem‑se: ‑9 + 10y = 1 → y = 1 Assim, a solução do sistema é S = {‑3,1}. 5) Um pacote tem 48 balas: algumas de hortelã e as demais de laranja. Se a terça parte do dobro do número de balas de hortelã excede a metade do de laranjas em 4 unidades, então quantas balas de hortelã e laranja estão dentro do pacote? Solução: Chamando o número de balas de hortelã de x e o número de balas de laranja de y, temos que a quantidade total de balas dentro do pacote pode ser escrita como: x + y = 48 108 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 Unidade III A terça parte do dobro do número de balas de hortelã excede a metade do de laranjas em 4 unidades, então: 2 3 2 4 x y = + Temos, portanto, um sistema de equações com as incógnitas x e y. 2 3 2 4 48 x y x y = + + = Reescrevendo: x y x y + = − = 48 2 3 2 4 Para facilitar a resolução, vamos dividir a primeira equação por 2: x y x y 2 2 24 2 3 2 4 + = − = Somando a primeira equação com a segunda, temos: x x x x x x 2 2 3 28 3 4 6 28 6 6 7 28 6 24 + = + = = = . . Substituindo esse valor em qualquer uma das equações, obtemos o valor de y: y = 24 Existem, portanto, 24 balas de hortelã e 24 balas de laranja dentro do pacote. 109 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO 6) Resolva o sistema linear: 3 5 2 3 4 x y x y + = − = − Solução: Multiplicando a primeira equação por 3, temos: 9 3 15 2 3 4 x y x y + = − = − Somando a primeira com a segunda, temos: 11x = 11 x = 1 Para obter y, basta substituir na equação: 3x + y = 5 3 + y = 5 y = 2 A solução do sistema é, portanto, S = {1,2}. 6 MATRIZES E VETORES Quando temos sistemas muito grandes, ou seja, com muitas variáveis e, portanto, muitas incógnitas, a resolução pelosmétodos discutidos anteriormente torna‑se trabalhosa. Existe outro método envolvendo o que chamamos de matrizes que facilita a resolução. Neste tópico, introduziremos o conceito de matriz, sua importância, suas propriedades e aplicações na resolução de problemas envolvendo sistemas lineares. Para introduzir o conceito de matriz, vamos pensar numa tabela de notas de três alunos, A, B e C, em três disciplinas distintas: Estatística, Física e Lógica. 110 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 Unidade III Tabela 8 Aluno Estatística Física Lógica A 8,0 6,0 8,0 B 5,0 7,0 6,0 C 7,0 4,0 6,0 Se quisermos saber a nota de Lógica, por exemplo, do aluno C, bastará olhar a coluna e a linha correspondente a esse aluno e já descobriremos o valor da nota. As tabelas facilitam a visualização de um conjunto de dados. Esse mesmo conjunto de notas pode ser colocado na forma de linhas e colunas, porém entre colchetes ou parênteses, da seguinte maneira: 8 6 8 5 7 6 7 4 6 Cada um dos números colocados dessa forma é chamado de elemento. As colunas são classificadas da esquerda para a direita, e as linhas, de cima para baixo. Uma tabela desse tipo é chamada matriz. Por matriz é entendida uma tabela disposta em linhas e colunas que denotamos por A = (aij)m×n, em que o par de índices j representa a posição de cada elemento aij dentro da matriz, i indica a linha a que pertence o elemento, e j, a coluna. O par de índices m x n representa o tamanho da matriz; m indica o número de linhas, e n, o número de colunas. Genericamente, uma matriz é expressa por: A a a a a n m mn = 11 1 1 As matrizes apresentam uma importância muito grande no campo das aplicações em Matemática, Física, Engenharia, Economia e Computação Gráfica. Na Economia, são ferramentas poderosas que fornecem informações que facilitam interpretação de gráficos, tabelas etc. Na Engenharia Civil, são importantes para a divisão dos metros e a distribuição de material na construção para formar uma estrutura sustentável. Na Informática, os exemplos mais importantes são os programas em que elas aparecem no auxílio de cálculos matemáticos, editores de imagem, e até o próprio teclado de um computador tem seu funcionamento descrito por matrizes, o mesmo ocorrendo com a tela formada por pixels gerados por uma matriz. 111 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO 6.1 Propriedades das matrizes 1) Matriz Quadrada: uma matriz é chamada de matriz quadrada caso m = n, ou seja, quando o número de linhas é igual ao número de colunas. Essa matriz, de ordem n x n, é indicada por Anxn. Os elementos i = j da matriz formam o que chamamos de diagonal principal. Por exemplo, uma matriz A3x3: A a a a a a a a a a 3 3 11 12 13 21 22 23 31 32 33 × = 2) Matriz Nula: toda matriz 0mxn, onde todos os elementos são nulos: A0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 × = 3) Matriz Linha: toda matriz A1xn, tal que A1×n = [a11 a12 a1n]. 4) Matriz Coluna: toda matriz Amx1, tal que A a a a m m × = 1 11 21 1 5) Matriz Diagonal: toda matriz quadrada Anxn, em que cada aij, tal que i = j, e os termos, tais que i ≠ j iguais a zero. Por exemplo, a matriz A3x3 diagonal: A a a a 3 3 11 22 33 0 0 0 0 0 0 × = 6) Matriz Identidade: toda matriz quadrada em que se, i ≠ j, o elemento adquire o valor zero, e, se i = j, o elemento assume i valor 1. Exemplo: A3 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 × = 112 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 Unidade III 7) Matriz Transposta: a matriz transposta de uma matriz A = (aij)m×n é dada por: A t = (aji)n×m. Para obter a transposta, é só trocar a linhas pelas colunas. Se quando obtivermos a matriz transposta, resultar na mesma matriz original A, diremos que a matriz é simétrica, se todos os elementos forem iguais. Se obtivermos uma matriz igual a A, porém com sinais dos elementos opostos, diremos que é uma matriz antissimétrica, ou seja: • simétrica se At = A; • antissimétrica se At = ‑A. 6.2 Operações com matrizes • Igualdade: se A = (aij)m×n e B = (bij)m×n, duas matrizes de mesma ordem, dizemos que A = B ↔ aij = bij, ou seja, todos os elementos de A são iguais aos de B. • Adição: sejam A = (aij)m×n e B = (bij)m×n matrizes de mesma ordem, a soma das matrizes é: A + B = (aij + bij)m×n Na adição, valem as propriedades: • Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C • Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A • Elemento oposto: A + (‑A) = 0 • Comutativa: A + B = B + A • Subtração: sejam A = (aij)m×n e B = (bij)m×n matrizes de mesma ordem, a subtração das matrizes é: A ‑ B = (aij ‑ bij)m×n Observação As propriedades da subtração serão as mesmas da adição, se pensarmos na subtração como uma soma, ou seja, A ‑ B = A + (‑B). • Multiplicação de matrizes: na multiplicação de matrizes, vamos considerar duas matrizes: A = (aij)m×n e B = (ajk)p×q. O produto de duas matrizes A e B, indicado por A . B, existirá somente se n = p. Como consequência, a matriz produto terá ordem m x q e será escrita como C = (cik)m×q. 113 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO A multiplicação de matrizes não pode ser feita, portanto, multiplicando termo a termo as matrizes. Assim, o produto da matriz A pela matriz B é uma matriz do tipo m x q, tal que cada elemento Cik satisfaz: Cik = ai1b1k + ai2b2k + (...) + ainbnk Em outras palavras, cada elemento de C é calculado multiplicando‑se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna k da matriz e, a seguir, somando‑se os pontos obtidos: 2 3 1 0 4 5 3 1 2 4 2 3 3 2 2 1 3 4 1 3 0 2 1 1 0 4 4 3 + + + + + . . . . . . . . . 55 2 4 1 5 4 12 14 3 1 22 24 . . . . + = A B Lembrete Para efetuar o produto de duas matrizes, é sempre necessário que o número de colunas da primeira seja igual ao número de linhas da segunda. Para a multiplicação, valem as seguintes propriedades: • Associativa: A . (B . C) = (A . B) . C • Elemento neutro: o elemento nulo é a matriz identidade A . I = A • Distributiva à direita: A . (B + C) • Distributiva à esquerda: (A + B) . C 114 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 Unidade III Observação Na multiplicação envolvendo matrizes não existe a propriedade comutativa, pois: A . B ≠ B . A Para exemplificar as propriedades, vamos considerar três matrizes: A B C= − = − = − 2 3 0 1 0 1 2 5 1 3 4 2 1 4 2 5 3 Vamos determinar: a) 2A + C b) A . B c) B . C d) At e) B . A f) (A ‑ 3C) g) A2 h) B2 Solução: a) 2 2 2 3 0 1 4 2 5 3 4 6 0 2 4 2 5 3 8 A C+ = − + − = − + − = −88 5 5 b) Não é possível efetuar a multiplicação, pois o número de colunas da matriz A2×2 não é igual ao número de linhas da matriz A3x3. c) Mesmo caso que b. 115 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO d) At = 2 3 0 1 2 0 3 1 − = − t , ou seja, as linhas passam a ser colunas e vice‑versa. e) Mesmo caso que b e c. f) A C−( ) = − − − = − − − − − 3 2 3 0 1 3 4 2 5 3 2 3 0 1 12 6 15 9 = − 10 3 15 9 g) A2 = 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 − = − − 2 2 3 0 2 3 3 1 0 2 1 0 0 3 1 1 4 9 0 1 . ( ) . . ( ) . . . . . + − −( ) + − + −( ) + = − h) B2 = 0 1 2 5 1 3 4 2 1 0 1 2 5 1 3 4 2 1 0 1 2 5 1 3 4 2 1 2 − = − − 0 0 1 5 2 4 0 1 1 1 2 2 0 2 1 3 2 1 5 0 1 5 3 4 5 1 1 . . . . . . . . . . . . . + + + −( ) + + + + −( ) + + −( ) .. . . . . . . . . . . . . −( ) + + −( ) + + + + −( ) + + + 1 3 2 5 2 1 3 3 1 4 0 2 5 1 4 4 1 2 1 2 2 4 2 2 3 1 .. 1 B2 13 3 6 7 12 10 14 2 1 = Mais exemplos: Determine o valor de cada incógnita para que as matrizes sejam iguais. 3 1 4 0 2 5 1 4 3 a b c x y z− = − − + Solução: Igualando cada termo, temos: 116 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 Unidade III x ‑ 2 = 3 → x = 5 a = ‑5 b = 1 c ‑ 1 = 4 → c = 5 4 = y z + 3 = 0 → z = ‑3 Portanto, a = ‑5, b = 1, c = 5, y = 4 e z=‑3. 2) Determine a transposta da matriz A. A = 1 2 3 4 5 6 7 8 8 Solução: A matriz transposta é obtida trocando‑se as linhas pelas colunas e as colunas pelas linhas da matriz: At = 1 4 7 2 5 8 3 6 8 3) Sendo A e B= − = − − 3 2 1 5 2 0 4 3 , calcule a matriz X, tal que: X + A ‑ B = 0. Solução: X = B ‑ A X = − − − − = − − − 2 0 4 3 3 2 1 5 5 2 5 8 4) Sendo A eB= − − = − − − 3 2 1 0 5 4 4 2 0 3 1 1 , determine a matriz X, tal que 2X + A ‑ B = 0. 117 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO Solução: 2X = B ‑ A 2 4 2 0 3 1 1 3 2 1 0 5 4 2 1 4 1 3 6 5 1 2 2 1 X X X = − − − − − − = − − − = − 22 3 2 3 5 2 − 5) Sendo A e B= − = − − 2 1 3 1 0 4 2 1 3 5 , determine A . B e B . A. Solução: A B. . . . . . ( ) . = − − − = = + + − − 2 1 3 1 0 4 2 1 3 5 2 0 1 1 2 4 1 3 2 2(( ) + + − + −( ) − −( ) + − = − 1 5 3 0 1 1 3 4 1 3 3 2 1 5 1 5 1 1 . . ( ) . . . ( ) . ( ) . .A B 115 11− Como a matriz B é do tipo 2 x 3, e A, do tipo 2 x 2, o produto B . A não existe. 6) Sendo A eB= − = − − − 2 3 4 5 1 6 2 1 0 3 5 7 , calcule: a) A + B b) B ‑ A c) (A ‑ B)t Solução: a) A B+ = − + − − − = − − − 2 3 4 5 1 6 2 1 0 3 5 7 0 4 4 8 6 1 118 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 Unidade III b) B A− = − − − − − = − − − − − − 2 1 0 3 5 7 2 3 4 5 1 6 4 2 4 2 4 13 c) A B A B t− = − − − − − = → −( ) 2 3 4 5 1 6 2 1 0 3 5 7 4 2 4 2 4 13 == 4 2 2 4 4 13 7) Resolver a equação matricial A + X = B, onde: A eB= − − = . 3 2 1 1 4 2 7 5 1 1 6 7 Solução: Conforme vimos, resolver uma equação matricial significa que a incógnita é uma matriz. A matriz procurada é de ordem 2 x 3, e podemos escrevê‑la como: C a b c d e f = Assim, A + X = B 3 2 1 1 4 2 7 5 1 1 6 7− − + = a b c d e f Daí: 3 2 1 1 4 2 7 5 1 1 6 7 3 7 4 2 5 + + + − + − + + = + = → = + = → = a b c d e f a a b b 33 1 1 2 4 6 10 1 1 0 2 7 5 − + = → = − + = → = + = → = + = → = d d e e c c f f 119 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO Logo, a matriz X é representada por: X = 4 5 3 0 2 10 6.3 O conceito de determinante A toda matriz quadrada, ou seja, em que o número de linhas é igual ao número de colunas, pode‑se associar um número chamado determinante. Os determinantes são úteis no processo de resolução de sistemas de equações lineares, conforme veremos a seguir. Para matrizes de ordem 2, o determinante de uma matriz A2x2 é calculado da seguinte maneira: A a a a a = 11 12 21 22 det ( ) ( )A a a a a a a a a= = ⋅ − ⋅ 11 12 21 22 11 22 12 21 Por exemplo, dada a matriz A2 2 4 2 5 3× = − det . .A = − = − −( ) = 4 2 5 3 4 3 5 2 22 Podemos ver que o determinante é o resultado da diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e os elementos da diagonal secundária. Para uma matriz de ordem 3 A3x3, o determinante é calculado de uma maneira diferente: det A a a a a a a a a a a a a a a a = 11 12 13 21 22 23 31 32 33 11 12 21 22 31 332 = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅( ) (a a a a a a a a a a a a a11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 aa a a a a23 32 12 21 33⋅ + ⋅ ⋅ ) No caso da matriz A = − 0 1 2 5 1 3 4 2 1 , o determinante é: 120 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 Unidade III det . . . A = − − = −( ) + + 0 1 2 5 1 3 4 2 1 0 1 5 1 4 2 0 1 1 1 3 4 2 .. . ( . . . . . .5 2 2 1 4 0 3 2 5 1 1 32 3 35( ) − −( ) + + = − −( ) = Esse método de cálculo de determinante é chamado Método de Sarrus. Repetem‑se as duas primeiras colunas e procede‑se da mesma maneira que o cálculo do determinante de uma matriz quadrada, ou seja, calcula‑se a diferença entre o produto doselementos da diagonal principal e os elementos da diagonal secundária. Você já aprendeu sobre matrizes e determinantes, e agora podemos voltar ao conceito inicial que desenvolvemos no início desta unidade. Observamos que, em um sistema linear de duas equações, poderíamos obter suas soluções a partir de dois métodos: adição e substituição. Agora, com os conceitos de matrizes e determinantes em mente, podemos olhar os sistemas lineares como uma equação matricial, e é isso o que discutiremos no próximo tópico. 6.4 Solução da equação matricial para sistemas Podemos escrever o sistema linear como uma equação matricial AX = B, onde: A a a a a a a a a n n = + + + + + + 11 12 13 1 21 22 23 2 , a a a a X x x x m m m n n 1 2 3 1 1 2 + + + = = ,C b b bn 1 2 A é a matriz dos coeficientes, X é matriz coluna das variáveis e B é a matriz dos termos independentes. Solucionar uma equação desse tipo é descobrir um conjunto (a1, a2,... an) que satisfaça todas as equações do sistema simultaneamente. Exemplos de equações matriciais: a x y x y x y ) + = − − = − = − 2 1 2 8 1 2 2 1 1 8 121 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO b x y x y x y ) 4 2 100 8 4 100 4 2 8 4 100 100 + = + = = 6.5 Resolução de um sistema linear Existem vários métodos para resolver os sistemas de equações lineares, como os já descritos métodos de substituição e adição (cancelamento). Veremos agora outro método, chamado Método do Escalonamento, que facilita a resolução de equações matriciais. O que seria um sistema escalonado, e como se escalona um sistema? Um sistema estará escalonado se: • as incógnitas da equação estiveram todas na mesma ordem; • em cada equação, existir pelo menos um coeficiente de alguma incógnita não nulo; • existir uma ordem para as equações, tal que o número de coeficientes nulos que precede o primeiro coeficiente não nulo de cada equação aumenta de uma equação para outra. Exemplos de sistemas escalonados: a x y z x y z x y z b x y t z x y t ) ) + + = + + = + + = − + + = − + + 3 9 0 4 5 0 0 2 6 2 3 4 1 0 4 5 44 2 0 0 0 4 12 3 4 4 0 5 1 z x y t z c x y x y = + + + = + = + = ) Escalonamento de um sistema linear Dado o sistema: 122 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 Unidade III A x y x y = + = + = 2 5 3 7 16 Podemos escalonar esse sistema observando os seguintes passos: • 1º passo: trocar as linhas da equação. Quando fazemos isso, não alteramos a solução do sistema, pois temos um sistema equivalente, ou seja, aquele que apresenta a mesma solução do sistema inicial. A x y x y = + = + = 3 7 16 2 5 • 2º passo: queremos eliminar a variável x na segunda linha, deixando isolada apenas a variável y. Portanto, vamos multiplicar a segunda linha por (‑3). A x y x y = + = − − = − 3 7 16 3 6 15 • 3º passo: vamos manter a primeira equação e, na segunda linha, colocar o resultado da diferença entre a primeira linha e a segunda. A x y x y x y A x y x y = + = + − − = − = + = + = 3 7 16 3 7 3 6 16 15 3 7 16 0 1 • 4º passo: o valor de y ficou fácil de ser calculado, já que é a única variável na segunda linha. Calculado y, basta ser substituído na primeira linha e obtém‑se o valor de x. y x x x= → + = → = → =1 3 7 16 3 9 3 • 5º passo: escrever a solução do sistema: S = {3,1}. Para sistemas de ordem maior, o procedimento é o mesmo. 6.6 Aplicações do determinante em sistemas lineares Vamos considerar o sistema de equações lineares: 123 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO A x y x y = + = + = 3 4 9 2 7 1 Podemos escrever essa equação na forma matricial: 3 4 2 7 9 1 = x y Se calcularmos o determinante formado pela matriz dos coeficientes, obteremos informações a respeito das soluções do sistema. Assim: 3 4 2 7 21 8 13= − = O valor desse determinante é 13; portanto, um valor diferente de zero. Toda vez que isso acontecer, ou seja, quando o determinante for diferente de zero, o sistema será chamado de possível e determinado (SPD). Outro exemplo da aplicação de determinantes: A x y x y x y = + = + = = 2 3 1 4 6 5 2 3 4 6 1 5 Resolvendo o determinante: 2 3 4 6 12 12 0= − = Quando o determinante for igual a zero, o sistema poderá ser possível indeterminado (SPI) ou impossível (SI). Para decidirmos qual dessas duas possibilidades o sistema apresenta, vamos escaloná‑lo: 4 6 5 2 3 1 4 6 5 0 0 4 x y x y x y x y + = + = + = + = 124 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 Unidade III ∴ O sistema não apresenta solução; então, é um sistema impossível (SI). Lembrete Importante lembrar aqui os conceitos de matriz e determinante. Matriz é uma tabela, e determinante, um número. 6.7 Sistema linear homogêneo Um sistema será chamado homogêneo se for formado exclusivamente por equações lineares homogêneas, isto é, equações com termos independentes nulos: x y z x y z x y z x y x y − + = − + = − + = + = − = 0 3 5 0 6 2 0 2 0 3 0 Todo sistema linear homogêneo com n incógnitas admite como solução as n‑uplas (0, 0, 0, ... 0), o que é chamado de solução trivial do sistema. 3 2 0 3 5 0 6 2 0 x y z x y z x y z + + = − + = − + = Se atribuirmos o valor 0 às incógnitas, observaremos que: 3 0 2 0 0 0 0 3 0 5 0 0 6 0 2 0 0 0 . . . . . . + + = − + = − + = Isso demonstra que o sistema apresenta uma solução trivial. Porém, existem sistemas com números de equações iguais ao número de incógnitas, que apresentam outras soluções além da trivial. Vejamos o sistema: x y z x y z x y z + − = − + = + + = 2 0 2 4 0 3 3 0 125 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO Esse sistema será satisfeito se substituirmos o valor 0 nas incógnitas x, y e z, porém veremos se ele apresenta mais soluções; para isso, vamos calcular o determinante do sistema: 1 2 1 2 1 4 3 1 3 1 2 2 1 3 1 0 − − − = O determinante é igual a zero; portanto, trata‑se de um sistema possível e indeterminado (SPI), pois, além da solução trivial, apresenta outras possíveis soluções. Se as matrizes forem quadradas de ordem n, como poderemos calcular o determinante? Nesse caso, será calculado por meio de um conceitochamado cofator, que simplifica, ou melhor, facilita o cálculo. 6.8 Cofatores Seja A uma matriz quadrada de ordem n, n > 2, e seja aij um elemento de A. Chamamos de cofator o elemento Aij, tal que: A Dij i j ij= − +( ) .1 Dij é o determinante da matriz que se obtém de A, eliminando‑se sua i‑ésima linha e sua j‑ésima coluna. Por exemplo, na matriz: A = 2 1 5 4 3 2 7 6 8 O cofator do elemento a13 será calculado considerando‑se que, como i = 1 e j = 3, eliminamos a primeira e a terceira coluna de A. A = 2 1 5 4 3 2 7 6 8 126 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 Unidade III Assim, A .13 1 31 4 3 7 6 1 24 21 3= − = −( ) = +( ) . 6.9 Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada M = | aij |nxm pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores. Assim, fixando j, temos: detM a A i m ij ij= = ∑ 1 Onde a somatória indica o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, m ∈ N e Aij é o cofator ij. Calcular, com o auxílio do Teorema de Laplace, os seguintes determinantes: a) D1 2 3 4 2 1 2 0 5 6 = − − Aplicando Laplace na coluna 1, temos: D D 1 1 1 2 1 3 1 1 2 1 1 2 5 6 2 1 3 4 5 6 0 1 3 4 1 2 2 1 2 = − + −( ) −( ) − + − − = + + +( ) ( ) 55 6 2 3 4 5 6 2 6 10 2 18 20 8 76 68 1 1 1 + − = −( ) + + = − + = D D D ( ) 6.10 Propriedades dos determinantes: simplificação de cálculos envolvendo matrizes Muitas vezes, o cálculo dos determinantes pode ser simplificado por meio de algumas propriedades. Vamos descrevê‑las aqui e mostrar como facilitam os cálculos. 127 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO • Linha ou coluna nula: se a matriz A possui uma linha ou coluna na qual todos os elementos são nulos, dizemos que o determinante dessa matriz é zero. • Troca de linhas ou colunas paralelas: se trocarmos a posição de duas linhas ou colunas paralelas de uma matriz A obtendo A', temos que: det A' = ‑ det A. • Multiplicação de uma linha ou coluna por um número real: quando os elementos de uma linha ou coluna são multiplicados por um número real k, k ≠ 0, obtemos a nova matriz A', e vale a relação: detA' = ‑ k det A. • Linhas ou colunas iguais: quando a matriz apresenta linhas ou counas iguais, ou podem ser também proporcionais, o determinante é igual a zero. Por exemplo, Se A = 5 2 3 4 , então detA = 20 ‑ 6 = 14. Vamos multiplicar por 6 os elementos da segunda linha de A: A ’ = 5 2 18 24 , então det A = 120 ‑ 36 = 84. Logo, detA' = 6 det A. Se R é uma matriz quadrada de ordem 3 e det R = x, quanto vale o determinante de 4R? Se R a b c d e f g h i = , então 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 R a b c d e f g h i = Cada linha e cada coluna foram multiplicadas por 4. Aplicando a propriedade de multiplicação, concluímos que: det( ) det det4 4 643R R R= = Mais exemplos: Determine x 2 3 1 1 2 0 1 15x x = . 128 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 Unidade III Solução: Calculando o determinante, temos: 2 3 1 1 2 0 1 2 3 1 2 0 15 2 6 0 2 0 3 15 3 15 5 x x x x x x x = + + − + − = = = 2) Dadas a matriz 2 1 1 3 1 2 1 1 0− e a função f(x) = ‑ x2 ‑ x ‑ 1, calcule f Dx 1 . Solução: Calculando o determinante da matriz, temos: 2 1 1 3 1 2 1 1 0 2 1 3 1 1 1 0 2 3 1 4 0 2 − − = + − − + − = Sendo o determinante igual a 2, então: f Logo f Dx 1 2 1 2 1 2 1 3 4 1 2 = − − − = − = −, 33 4 . 6.11 Vetores Assim como as matrizes são elementos que apresentam várias aplicações em ramos da ciência, os vetores são elementos importantíssimos tanto em Computação quanto em Ciências, Física, Engenharia, Astronomia, entre outras. Como poderíamos entender melhor o conceito de vetor na prática? Vamos começar primeiro fornecendo a noção de algumas grandezas que permeiam nosso cotidiano. Por exemplo, quando você vai a um shopping comprar aquele par de tênis de seus sonhos. Você chega à loja, escolhe, e a vendedora apenas pergunta seu número, e isso já é suficiente. Quando está lendo um livro de curiosidades e descobre que a torre mais alta do mundo é uma que fica em Tóquio, a torre Tokyo Sky Tree, com 634 metros de altura, somente essa informação a respeito da altura basta para você saber por que ela está no topo das mais altas do mundo. Se eu perguntasse quanto tempo falta para você estudar este capítulo do livro, você me responderia alguns minutos, horas etc. 129 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO No entanto, existem outras grandezas que não se caracterizam por uma única informação; por exemplo, você seria capaz de descrever a força de um vento, ou como o fluxo de água se move em um rio, a velocidade de um trem‑bala, o movimento de um planeta? Para responder a essas perguntas, você precisa do conceito de vetor, uma grandeza que fica perfeitamente caracterizada por sua direção, sentido e intensidade. Em um exemplo prático, vamos supor que alguém lhe pergunte como chegar a um determinado lugar; você tem de especificar a direção desse lugar, apontar o sentido em que a pessoa deve ir e quanto ela terá de percorrer, seja a pé ou de carro. Neste exemplo, você utilizou três conceitos fundamentais no estudo dos vetores: • direção: é aquilo que existe de comum em três retas paralelas. As retas r, s e t têm a mesma direção, já as retas t e w não são paralelas; r w s t Figura 57 • sentido: a direção pode ser percorrida da esquerda para a direita, da direita para a esquerda, de cima para baixo, de baixo para cima etc; a b c d e f Figura 58 130 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 Unidade III • intensidade: também chamado módulo, é o tamanho da grandeza, que aqui em nossa representação é de 3 unidades de medida, ou seja, 3 u. O P u uu r Figura 59 Observação Devemos prestar atenção nas unidades; por exemplo, se a unidade de medida da grandeza for dada em centímetros, então a intensidade será dada em centímetros; se for em metros, será dada em metros e assim por diante. 6.12 Representação de um vetor Um vetor é sempre representado simbolicamente por uma letra, e sobre essa letra usamos uma flecha. u Figura 60 – Representação de um vetor Vetores nos planos bidimensional e tridimensional Para representar a posição de um vetor, necessitamos escolher um sistema de coordenadas. Vamos descrever aqui a representação de vetores em dois espaços: bidimensional ou plano cartesiano e tridimensional. 6.13 Sistema cartesiano de coordenadas Um sistemacartesiano de coordenadas é aquele definido quando existe uma unidade linear para medir os comprimentos e dois eixos perpendiculares numa ordem qualquer: 131 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO y x P (x,y) Figura 61 – Posição, no plano xy, de um ponto P em um sistema cartesiano de coordenadas P(x,y) significa que o ponto P apresenta abscissa x e coordenada y. Um vetor, portanto, pode ser representado em um plano cartesiano, de tal maneira que sua origem e sua extremidade podem ser associadas a pontos no plano xy. y y2 y1 x1 x2 X B A Figura 62 – Representação de um vetor AB em um plano de coordenadas cartesiano O vetor pode ser representado como segmento orientado, e seu tamanho é dado por B ‑ A. Se as coordenadas de A são (x1,y1) e as coordenadas de B (x2,y2), o comprimento do vetor AB é dado por: B ‑ A = (x2 ‑ x1, y2 ‑ y1) Vamos considerar o vetor: u = (2,2) = B ‑ A = (3 ‑ 1,4 ‑ 2) = (2,2) No espaço tridimensional, ou seja, o espaço formado pelos eixos coordenados x, y e z, a representação de um vetor é: 132 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 Unidade III u (u1, u2, u3) u2 u1 u3 Figura 63 – Representação tridimensional de um vetor Agora, o vetor é formado por três componentes, que representam as direções x, y e z. 6.14 Igualdade de vetores Para que dois vetores sejam iguais, eles devem necessariamente apresentar mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido, independentemente do local em que se encontram no espaço. Por exemplo, cada par de vetor da figura a seguir é igual. A A A B B B v v v v vv Figura 64 – Representação de três pares de vetores. Note que os vetores A e B de cada par são iguais. Se dois vetores apresentarem mesmo módulo e mesma direção, porém sentidos contrários, dizemos que são opostos. Na figura a seguir, temos o exemplo de vetores opostos: 133 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO A A A B B B v v v v vv Figura 65 – Representação de pares de vetores opostos 6.15 Soma de vetores Em muitos problemas, encontramos mais de um vetor. Para saber o efeito total, considerando esses vetores envolvidos, é necessário calcular o vetor resultante, ou seja, somá‑los para obter um vetor cujo efeito seja igual ao efeito combinado de todos os vetores no problema. O vetor resultante pode ser obtido por meio de métodos gráficos ou analíticos. Dentre os métodos gráficos, temos o do polígono e o do paralelogramo. Método do Polígono: sejam u e v dois vetores quaisquer. Sua soma é definida da seguinte maneira: A B C Figura 66 – Soma de dois vetores u e v por meio do Método do Polígono Para fazer a soma de dois vetores, como AB e BC, considere a extremidade onde se encontra a flecha como extremidade final do vetor. Para fazer a soma, basta ligar a extremidade final de um com a extremidade inicial do outro, ou seja, faremos outra figura associando sequencialmente os segmentos orientados. Portanto, nesse exemplo, o vetor resultante é o AC. 134 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 Unidade III Lembrete Para efetuar a soma dos vetores usando os métodos gráficos, deve‑se lembrar de que as características de cada vetor, ou seja, intensidade, direção e sentido, devem ser preservadas. Outros exemplos de soma de vetores: A A+B A+B A A AA B B B B Figura 67 – Representação da soma de vetores pelo método do polígono Método do Paralelogramo: considere o vetor AB representado na figura. Vamos supor que seus segmentos orientados representativos tenham as mesmas origens no ponto 0 e que o ângulo formado entre eles seja θ. A+B A B Figura 68 – Adição de dois vetores A e B pelo Método do Paralelogramo 135 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO Olhando a figura anterior, podemos ver que o vetor resultante nada mais é que a diagonal do paralelogramo. Para obter o vetor por esse método, traçamos uma reta paralela ao segmento orientado, que representa o outro vetor, e vice‑versa; ligamos a extremidade de um com a extremidade inicial do outro (ou seja, segmento de origem ligado com a extremidade inicial do outro). Outro exemplo de cálculo do vetor resultante usando o Método do Paralelogramo: A+B A B Figura 69 – Adição de dois vetores A e B pelo Método do Paralelogramo O nome paralelogramo vem do fato de a figura formada pelos vetores resultantes ser um paralelogramo. Diferença de vetores: efetuar a diferença entre dois vetores A e B significa somar um vetor A com o oposto do vetor B. Esse vetor oposto de B é idêntico ao vetor original, ou seja, com as mesmas características de intensidade e direção, porém sentido contrário. A+B A‑B A A B ‑B Figura 70 – Subtração de dois vetores A e B 6.16 Multiplicação de um vetor por um escalar Se A é um vetor não nulo e ∝ é um número real não nulo, então a multiplicação do vetor A pelo escalar ∝ é o vetor descrito como: • ∝ A tem a direção de A; • ∝ A terá o mesmo sentido de A se ∝ > 0; • ∝ A terá o sentido oposto de A se ∝ < 0; • ∝ A tem o comprimento ∝ vezes o comprimento de A. 136 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 Unidade III A 2A 0,5A ‑2A Figura 71 – Representação da multiplicação do vetor A Seguem alguns exemplos. 1) Dados os vetores A, B e C, representados na figura, em que cada quadrícula apresenta lado correspondente a uma unidade de medida, qual o módulo do vetor resultante? C B A Figura 72 Solução: Podemos obter o módulo da seguinte maneira: A B R C Figura 73 137 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO Assim, como cada quadrícula corresponde a 1 unidade, o vetor resultante tem módulo igual a 1. 2) Um vetor velocidade é decomposto em dois outros perpendiculares entre si. Sabendo‑se que o módulo do vetor velocidade é 10 m/s e que uma das componentes é igual a 8 m/s, determine o módulo do vetor correspondente à outra componente. V y V = 8 x V = 10 r Figura 74 Solução: O módulo de um vetor é dado por: V V V V V V r x y y y y = ( ) + ( ) = + ( ) ( ) = = 2 2 2 2 2 100 8 36 6 A outra componente do vetor, portanto, tem módulo igual a 6. 3) Determine as componentes x e y do vetor. a a = 20 30º Figura 75 138 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 Unidade III Solução: As componentes x e y do vetor são: a a a a x y = = = = = = cos ” . sin ” . 30 20 3 2 10 3 30 20 1 2 10 4) Um automóvel desloca‑se 6 km para norte e, em seguida, 8 km para o leste. Determine a intensidade do vetor deslocamento. V = 8 x V= 6 y Figura 76 Solução: O módulo de um vetor é dado por: V V V V V r x y r r = ( ) + ( ) ( ) = + = = 2 2 2 2 28 6 100 10 A intensidade do vetor deslocamento, portanto, é de 10 km. 5) Determine o vetor resultante dos vetores a seguir: a) A B 139 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO A = 10 cm B = 20 cm Solução: A soma A+B é dada por: A+B A+B A+B = 30 cm b) A‑B A B A ‑B A‑B A‑B = 10 cm c) B‑A B ‑A B‑A B‑A = 10 cm Observação Diremos que dois vetores não nulos são paralelos se, e somente se, um for múltiplo escalar do outro. 140 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 Unidade III Resumo Nesta unidade, aprendemos sobre sistemas de equações e sua aplicação em nosso cotidiano. Vimos que esses sistemas encontram‑se presentes em vários momentos da nossa vida, como no cálculo de estrutura de pontes, redes elétricas, geração de imagens digitais, tomografia computadorizada, Robótica etc. Começamos a unidade descrevendo o que são esses sistemas e como podem ser resolvidos por dois métodos: adição e substituição. Sabendo o que são sistemas lineares e suas soluções, passamos a estudar as matrizes de importância extrema tanto em Matemática, Física e Engenharia Civil quanto na interpretação de tabelas, gráficos etc. Na Informática, por exemplo, teclados, editores de imagem e computadores, cujas telas são formadas por pixels, são gerados por matrizes. Definimos os principais tipos de matrizes e suas propriedades: adição, subtração e multiplicação. Feito isso, mostramos o que é um determinante e como pode ser usado na determinação de um sistema de equações lineares que pode ser transformado numa equação matricial. Os vetores também foram considerados nesta unidade; definimos essa grandeza, seu sistema de coordenadas e suas propriedades, como se adicionam e se subtraem dois vetores por meio de dois métodos (polígono e paralelogramo) e como eles podem ser utilizados em Física, em Matemática e em Computação Gráfica. Exercícios Questão 1. (Enade 2008) Considere o sistema de equações a seguir. x y z x y z x y z + + = + + = + + = 1 2 2 2 4 3 3 4 5 Analise as asserções seguintes relativas à resolução desse sistema de equações lineares. O sistema não tem solução... 141 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO porque ... o determinante da matriz dos coeficientes é igual a zero. A respeito dessa afirmação, assinale a opção correta. A) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira. B) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira. C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa. D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira. E) Ambas as asserções são proposições falsas. Resposta correta: alternativa B. Justificativa geral Para resolvermos a questão, temos de utilizar a teoria de discussão de um sistema linear. Como o sistema é formado por três equações e três incógnitas, gera matrizes quadradas. Primeiramente, obtemos o determinante dos coeficientes (detA): det detA A( ) = = + + − − − = → ( ) = 1 1 1 2 2 2 3 3 3 8 6 6 8 6 6 0 0 Na segunda etapa, calculamos o determinante da matriz, obtido a partir da matriz dos coeficientes, substituindo a primeira coluna (coeficientes de x) pelos termos independentes. det Ax( ) = = + + − − − = − → 1 1 1 4 2 2 5 3 4 8 10 12 16 6 10 2 det(Ax) = –2 det(Ax) ≠ 0 142 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 Unidade III Na terceira etapa, calculamos o determinante da matriz, obtido a partir da matriz dos coeficientes, substituindo a segunda coluna (coeficientes de y) pelos termos independentes. det Ay( ) = = + + − − − = → 1 1 1 2 4 2 3 5 4 16 6 10 8 10 12 2 det(Ay)=2 det(Ay)≠0 Na quarta etapa, calculamos o determinante da matriz, obtido a partir da matriz dos coeficientes, substituindo a terceira coluna (coeficientes de z) pelos termos independentes. det Az( ) = = + + − − − = → 1 1 1 2 4 2 3 5 4 10 12 6 10 12 6 0 det(Az)=0 det(Az)≠0 Discutindo o sistema, concluímos que, como det A = 0, ele poderia ser possível e indeterminado ou impossível. Para verificar sua real classificação, tivemos que fazer o determinante dos coeficientes, substituindo cada coluna pelos termos independentes. Como det A = 0 e pelo menos um det An ≠ 0, o sistema é impossível (não tem solução). Para o sistema ser impossível, deve‑se ter det A = 0 e pelo menos um det An ≠ 0. Como há pelo menos um det An ≠ 0 e det A = 0, o sistema é impossível. Então, as duas asserções são verdadeiras, não sendo a segunda uma justificativa correta da primeira. Análise das alternativas A) Alternativa incorreta. Justificativa: de acordo com a resolução anterior completa, e considerando a discussão do sistema, as duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira. É, na verdade, uma justificativa incompleta e, logo, incorreta. B) Alternativa correta. Justificativa: de acordo com a resolução anterior completa, e considerando a discussão do sistema, as duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira. Para o sistema ser considerado impossível deve‑se ter det A = 0 e pelo menos um det An ≠ 0. 143 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4- 20 14 MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO C) Alternativa incorreta. Justificativa: a segunda asserção não é falsa (det A = 0). D) Alternativa incorreta. Justificativa: a primeira asserção não é falsa, pois o sistema é impossível (não tem solução). E) Alternativa incorreta. Justificativa: ambas as asserções são proposições verdadeiras, pois o sistema é impossível e det A = 0. Questão 2. (Enade 2005). A transposição do rio São Francisco é um assunto que desperta grande interesse. Questionam‑se, entre outros aspectos, os efeitos no meio ambiente, o elevado custo do empreendimento relativamente à população beneficiada e à quantidade de água a ser retirada — o que poderia prejudicar a vazão do rio, que hoje é de 1.850 m3/s. Visando promover um debate acerca desse assunto, um professor de matemática propôs a seus alunos o problema seguinte, baseando‑se em dados obtidos do Ministério da Integração Nacional. Considere que o projeto prevê a retirada de x m3/s de água. Denote por y o custo total estimado da obra, em bilhões de reais, e por z o número, em milhões, de habitantes que serão beneficiados pelo projeto. Relacionando‑se essas quantidades, obtém‑se o sistema de equações lineares AX = B, em que: A B e X x y z = − − − = = 1 2 2 0 4 1 1 0 2 11 4 2 , 144 Re vi sã o: A nd ré ia A nd ra de - D ia gr am aç ão : L uc as M an sin i - d at a 16 -0 4-20 14 Unidade III Com base nessas informações, assinale a opção correta. A) O sistema linear proposto pelo professor é indeterminado, uma vez que det(A) = 0. B) A transposição proposta vai beneficiar menos de 11 milhões de habitantes. C) Mais de 2% da vazão do rio São Francisco serão retirados com a transposição, o que pode provocar sérios danos ambientais. D) O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais. E) A matriz linha reduzida à forma escalonada, que é linha equivalente à matriz A, possui uma coluna nula. Resolução desta questão na plataforma.
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