t2-2011-2gab

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MAB-515 Avaliação e Desempenho (2011-2) 
Segundo Teste , 2 horas , SEM CONSULTA, 100 pontos, 25/10/2011 
Prof. Paulo Aguiar 
Lembretes (podem não ser necessários na solução da prova!): 
Vida Residual Média = E[Xr] = E[X2]/(2E[X]); T.L. da Vida Residual = (1 – X*(s))/(sE[X]). 
M/G/1: E[WM/G/1]= ρ E[Xr]/(1- ρ) ; ρ = λΕ[X]; G*(s) = X*(s+ λ - λ G*(s)). 
 
1ª Questão (20 pontos) 
Assuma que um observador independente amostra uma fila M/G/1 aleatoriamente e a encontra 
num período ocupado. Estamos interessados em obter a vida residual média do período ocupado. 
Todas as respostas devem ser dadas em função apenas dos momentos de X (calculados a 
partir de X*(s) fornecida) e da taxa de chegada λλλλ. 
 
a) (5) A partir de G*(s), T.L. do período ocupado, calcule E[Gr], vida residual média de G. 
 
b) (5) Qual o número médio de pessoas esperando em fila de espera, dado que o 
observador chegou no período ocupado, ou seja, queremos E[Nq | chegou no período 
ocupado]? Observe que esse valor é diferente de E[Nq], que é uma média no tempo, 
levando em consideração períodos ocupados e ociosos. Cada uma dessas pessoas irá 
contribuir com um subperíodo ocupado para a vida residual do período ocupado. 
 
c) (5) Qual o tamanho do subperíodo ocupado médio que o freguês encontrado em serviço 
irá contribuir para a vida residual do período ocupado? 
 
d) (5) Obtenha E[Gr] a partir da contribuição das pessoas encontradas na fila de espera e no 
servidor. Este valor deve ser igual ao valor obtido no item 1, a partir da transformada. 
 
Solução: 
 
a) (5) ][2
][][
2
GE
GEGE r = 
 ))(()( *** sGsXsG λλ −+= 
 (1) Derivando )(* sG uma vez: ))(1))((()( *'**'*' sGsGsXsG λλλ −−+= 
Fazendo s = 0, temos 
 
ρλλ
λλλλ
−
=
−
=∴+=
−=−−=
1
][
][1
][][])[1]([][
))0(1)(0())0(1))(0(()0( *'*'*'**'*'
XE
XE
XEGEGEXEGE
GXGGXG
 
 
(2) Derivando )(* sG pela segunda vez: 
))())((())(1))((()( '*'**'2*'*'*''*' sGsGsXsGsGsXsG λλλλλλ −−++−−+= 
Fazendo s = 0, temos 
 
3
2
2
2222
'*'**'2*'*'*''*'
)1(
][][
][][])[1]([][
))0())(0(())0(1))(0(()0(
ρ
λλ
λλλλλλ
−
=
++=
−−+−−=
XEGE
GEXEGEXEGE
GGXGGXG
 
Então: 23
22
)1(
][
][2
)1(
)1(
][
][2
][][
ρ
ρ
ρ −
=
−
−
==
r
r
XE
XE
XE
GE
GEGE 
 
b) (5) Seja Nq o número de pessoas encontrado na fila de espera por um observador independente. 
 
E[Nq] = ρE[Nq | ocupado] + (1-ρ)E[Nq | ocioso] = ρE[Nq | ocupado], pois E[Nq | ocioso] = 0. 
 
E[W] = λ 2X /2(1-ρ), E[Nq] = λE[W] = )1(2
22
ρ
λ
−
X
 
E[Nq|ocupado] = E[Nq]/ρ = )1(2
22
ρρ
λ
−X
XX
=
ρ
λρ
)1( ρ−
rX
= )1( ρ
λ
−
rX
 
 
Para M/M/1, E[N] = ρ/(1-ρ). Então, E[N | ocupado] = 1/(1-ρ). 
 
c) (5) O valor do subperíodo ocupado será dado por )1( ρ−
rX
 
d) (5) No caso do M/G/1, quando o observador independente encontra um certo número de pessoas no 
sistema (incluindo o freguês em serviço e aqueles na fila de espera), cada uma das pessoasda fila de 
espera irá com seu serviço gerar um período ocupado normal, enquanto a pessoa enocntrada em 
servico gera um período ocupado iniciado pelo tempo de serviço residual. 
E[Gr] = ρ−1
rX + E[Nq|ocupado] * E[G] = 2)1(111 ρρρ
λ
ρ −
=
−−
+
−
rrr XXXX
 
 
Este resultado é igual ao obtido no item 1. 
 
2ª. Questão ( 20 pontos) 
Uma empresa de manutenção de equipamentos, funcionando na jornada de 8 horas diárias, 
recebe em média 15 equipamentos para conserto por dia (um dia = 8 horas de trabalho), e ela 
consegue entregar também uma média de 15 equipamentos consertados aos seus clientes, por 
dia. Os equipamentos defeituosos são levados para uma oficina, ond 
e são tentativamente consertados. Depois, os equipamentos são enviados para o laboratório de 
avaliação, onde, se OK, são liberados para o cliente, ou, caso NÃO OK, retornam à oficina para 
outra revisão, entrando como um equipamento que estivesse sendo enviado para conserto pela 
primeira vez. A probabilidade de retorno à oficina é de 30%, isto é, 70% dos equipamentos que 
saem da oficina são liberados para os clientes e 30% não passam no teste de avaliação e 
retornam para novo conserto. 
a) (10) Se o tempo médio que um equipamento passa na oficina é de 3 horas, qual o número 
médio de equipamentos sendo consertados na oficina? 
b) (10) Em média, quantos equipamentos o laboratório tem que testar por dia, assumindo a 
jornada de 8 horas/dia? 
 
Solução: 
a) (10) 
λ λ0 λ0 0,70λ0 = λ 
 
 
 
 0,30λ0 
 
 
λ = taxa média de chagada = 15/dia = 15/8 = 1,875 equip/hora 
λ0 = λ/0,70 = 2,68 equip/hora 
T = 3 horas 
N = λ0T = 2,68*3 ≅ 8 equipamentos 
b) (10) λ0 = 2,68 equip/hora =15/0,7 equip/dia = 21,43 equip/dia 
 
 
Oficina 
T, N 
LAB 
3ª. Questão (30 pontos) 
Assuma uma fila M/G/1 FCFS modificada onde apenas o primeiro serviço do período ocupado é 
diferente com )(*0 sX , enquanto os outros serviços têm pdf com T.L. )(* sX . Seja 0K o número de 
chegadas em 0X e K o número de chegadas em X . Seja iN o número de pessoas deixadas para trás 
pelo i-ésimo serviço. Seja N a variável que representa o número de pessoas na fila em equilíbrio. 
a) (5) Usando a técnica da cadeia embutida de Markov, relacione 1+iN com iN , condicionando em 
0>iN e 0=iN . 
b) (5) Mostre que em equilíbrio temos 





−
−
==
zzK
zzKzKNPzN )(
)()()0()( 0 . 
c) (5) Expresse )(zK e )(0 zK em função de )(* sX e )(*0 sX . Não é preciso deduzir a expressão se 
souber de cor. Apenas escreva. Não perca tempo deduzindo. 
d) (5) Obtenha )0( =NP a partir de )(zN . 
e) (5) Calcule a média do serviço, ou seja, ][serviçoE . Dica: A utilização da fila será igual ao 
número médio de pessoas no servidor e será dada por ][][ serviçoENE s λ= . 
f) (5) Sabendo que ])[][1(2
][][][2
)1(2
][][
0
2222
0
22
0
XEXE
XEXEXEXENE λλ
λλλ
ρ
λ
+−
+−
+
−
= , obtenha ][WE , o 
tempo médio de espera nesta fila. 
 
Bônus (pontos extra) (5 pontos): Deduza ][NE . 
 
Solução: 
 
a) (5) 



=
>−+
=+ 0
0,1
,0
1
i
ii
i NK
NKN
N 
 
b) (5) 
)0()()0()0(
))0()()((
)0(][)0(]0|[][
)0(]0|[)0(]0|[][
0
1
1
,0
01
=+>
>
=−
=
=+>>=
==+>>=
−
−++
ii
i
ii
i
K
ii
NK
ii
K
ii
KNN
NPzKNP
NzP
NPzNzK
NPzENPNzEzE
NPNzENPNzEzE
i
ii
 
 
E usando o fato de NN i →+1 e ∞→→ icomNNi , obtemos 






−
−
==
zzK
zzKzKNPzN )(
)()()0()( 0 
c) (5) )()();()( *00* zXzKzXzK λλλλ −=−= 
 
d) (5) Sabemos que 1)1( =N , o que permite obter )0( =NP , após aplicar l’Hôspital, pois teremos 
0/0. 
][][1
][1
)1(')1('1
)1('1)0(
1)1('
)1(')1()1(')0(1)1(
)1)('(lim
))(')()('(lim)0()(lim
)(
)()()0()(
00
00
1
001
1
0
XEXE
XE
KK
KNP
K
KKK
NPN
zK
zzKzKzK
NPzN
zzK
zzKzKNPzN
z
z
z
λλ
λ
−+
−
=
−+
−
==
−
−−
===
−
−−
==






−
−
==
→
→
→
 
 
Como a probabilidade tem que ser positiva, temos que ter 1][ <XEλ para a estabilidade da fila. 
 
e) (5) Sabrmos que 
][][1
][][
][][1
][)0(1)0(][][
0
0
0
0
XEXE
XE
serviçoE
XEXE
XENPNPserviçoENE s
λλ
λλ
λλ
−+
=∴
−+
==−=>==
 
 
* 
 
Outro método seria obter ][serviçoE a partir do número médio de serviços executados durante um 
ciclo médio = número médio de chegadas durante um período ocupado + 1 = 
][1
][[11][1
][ 00
XE
XEXE
XE
XE
λ
λλ
λ
λ
−
+−
=+
−
. 
Destes serviços, o primeiro é sempre 0X e o número restante, ][1
][ 0
XE
XE
λ
λ
−
serviços, é do tipo do tipo 
X . Logo, 
][)(][)(][ 00 XEXtipodoserPXEXtipodoserPserviçoE+= 
][][1
][
][
][1
][[1
1][
][1
][[1
][1
][
][
0
0
0
00
0
XEXE
XE
XE
XE
XEXEXE
XE
XEXE
XE
XE
serviçoE
λλ
λ
λλ
λ
λλ
λ
λ
−+
=
−
+−
+
−
+−
−
=
 
 
 
f) (5) Sabendo que ][][][][ serviçoEWETENE λλλ +== , então 
])[][1(2
][][
)1(2
][
][][1
][
])[][1(2
][][][2
)1(2
][
][][][
0
222
0
0
0
22
0
2
0
0
XEXE
XEXEXE
XEXE
XE
XEXE
XEXEXEXE
serviçoENEWE
λλ
λλ
ρ
λ
λλλλ
λλ
ρ
λ
λ
+−
−
+
−
=
−+
−
+−
+−
+
−
=
−=
 
 
 
Bônus: (5) 
 
)1('][ NNE = . Para obter este valor de uma forma mais fácil a partir da transformada, linearizamos a 
expressão de )(zN e depois derivamos duas vezes, visto que a primeira derivação não permite obter 
)1('N . 
])[][1(2
][][][2
)1(2
][][
)1(2
][][][2
][][1
1
)1(2
][][
)1(2
][][][2)0()1(2
][][
][][2][)(0(][)1]([2
:
][)1(''][)1('],[)1('',][)1('
))1('')1(')1(')1('')(0()1('')1)1(')(1('2
:1
))('')(')(')('')(0(
)('')()1)(')((')1)(')(('))()((''
))(')()(')(0()1)(')(())()(('
))()()(0())()((
)(
)()()0()(
0
222
0
2
0
22
222
0
2
0
0
22
222
0
2
0
22
2
0
2
0
2222
2
0
2
000
22
000
000
00
0
0
XEXE
XEXEXEXENE
XEXEXE
XEXE
XENE
XEXEXENPXENE
XEXEXENPXENE
ndosimplificae
XEKeXEKXEKXEKUsando
KKKKNPKKN
zFazendo
zzKzKzKzKNP
zKzNzKzNzKzNzzKzN
zzKzKzKNPzKzNzzKzN
zzKzKNPzzKzN
zzK
zzKzKNPzN
λλ
λλλ
ρ
λ
ρ
λλλ
λλ
ρ
ρ
λ
ρ
λλλ
ρ
λ
λλλλρ
λλλρλ
−+
−+
+
−
=






−
−+






−+
−
+
−
=
−
−+
=+
−
=
−−==+−
=====
−−−==+−
=
−−−=
=+−+−+−
−−==−+−
−==−






−
−
==
 
 
4ª. Questão (30 pontos) 
 
Seja dado um sistema onde um servidor atende a duas classes de pessoas. A classe 1, mais prioritária, é 
FCFS, com taxa de chegada 1λ e serviço 1X . A classe 2, menos prioritária, é LCFS sem interrupção na 
própria classe, com taxa de chegada 2λ e serviço 2X . A classe 1 interrompe o serviço da classe 2 com 
continuidade, e é servida à exaustão (a classe 2 só recebe atendimento quando não há mais niguém da 
classe 1 no sistema). 
 
a) (5) Se faço uma observação aleatória no tempo deste sistema, qual a quantidade média de serviço 
pendente que encontro? 
b) (10) Obtenha ][ 1WE , ][ 1TE e indique a condição de estabilidade para esta classe. Caso os valores 
obtidos sejam aproximados, explique com detalhes o porquê da aproximação nos resultados. Se mais de 
um fator contribuir para a aproximação, todos eles devem ser identificados, para obter ponto integral no 
item. 
c) (10) Obtenha ][ 2WE , ][ 2TE e indique a condição de estabilidade para esta classe. Caso os valores 
obtidos sejam aproximados, explique com detalhes o porquê da aproximação nos resulatdos. Se mais de 
um fator contribuir para a aproximação, todos eles devem ser identificados, para obter ponto integral no 
item. 
d) (5) Olhando o sistema como um todo (contando as duas classes), qual o tempo médio gasto neste 
sistema? 
 
Solução: 
a) (5) ][][][][][][][ 22221111 rqrq XEXENEXEXENEUE ρρ +++= . que é o serviço 
pendente de todos encontrados no sistema no instante da amostragem aleatória. 
 
b) (5) A classe 1 não sofre interrupção, de modo que calculamos ][ 1WE . 
 
I) ][][][][ 111101 rq XEXENEWE ρ+= (exato) 
 
II) 
1,
1
][][][][][][][][ 1
1
11
11111111011 <
−
=+=+== ρ
ρ
ρρρρ rrrq
XE
XEWEXEXENEWEWE 
Este resultado também é exato, pois nenhuma chegada posterior pode interferir com o freguês típico 
desta classe. 
 
1],[
1
][][]][][ 11
1
11
111 <+
−
=+= ρ
ρ
ρ
XE
XE
XEWETE r (exato). 
 
c) (5) A classe 2 sofre interrupção da classe 1, embora a disciplina seja LCFS sem interrupção na 
própria classe. Logo, temos que calcular o tempo médio gasto no sistema. 
 
I) ][][][][][][ 221111202 rrq XEXEXENEXETE ρρ +++≤ (aproximado, limitante superior) 
 
O freguês da classe 2 enocntrado eventualmente em serviço somente atrasa o freguês típico desta classe 
em ][ 2rXE no pior caso em que não ocorram chegadas na classe 1 durante o serviço residual, o que 
acontece com probabilidade ][
)(1)(
21
1
*
2
1
*
2 XE
X
X r λ
λλ −= . 
Caso alguma chegada da classe 1 ocorra, o serviço residual será interrompido e o freguês da classe 2 
interrompido não mais atrapalhará o freguês típico, que é mais recente na classe LCFS. A explicação 
acima é suficiente para a questão. 
 
*** 
Para ser completo, vamos obter abaixo o atraso correto inicial para a solução exata para a classe 2. 
Bônus será dado para quem discutir na linha do que é apresentado abaixo. 
 
O atraso correto a ser levado em consideração devido ao freguês da classe 2 encontrado em serviço é 
dado por ]|[))(1()(]|[ 2111*21*2212 rrrrr XYYEXXXYXE <−+> λλ , onde obtemos o atraso 
condicionando na chegada da classe 1 ocorrer antes ou depois do serviço residual da classe 2. 
 
Para um valor exato (bônus será dado a quem apontar esta expressão, discutida rapidamente em aula, 
mas que não consta da apostila), 
 
( )( )]|[)(1)(]|[
][][][][][
2111
*
21
*
22122
1111202
rrrrr
rq
XYYEXXXYXE
XEXENEXETE
<−+>
+++=
λλρ
ρ
 
 
*** 
II) 1,
1
][][ 21
21
02
2 <+
−−
≤ ρρ
ρρ
TE
TE (aproximada) 
 
Nesta expressão para o tempo médio de espera, computa-se que todos os fregueses das duas classes que 
chegarem após o freguês típico da classe 2 serão servidos antes dele. Isso é verdade para os fregueses 
da classe 1, mas um pior caso para os fregueses da classe 2. Durante o último intervalo de serviço do 
freguês típico, quando ele não é mais interrompido e deixa definitivamente a fila, todos os fregueses da 
classe 2 que chegarem durante este intervalo de serviço não interferirão, apesar de estarem sendo 
contados como tendo interferido. Para a prova a explicação acima é suficiente. 
 
*** 
Para ser completo, vamos obter a solução exata para a classe 2. 
 
A fórmula 
21
02
2 1
][][
ρρ −−
=
TE
TE pode ser reescrita como 
 






−−
+





−−
+=
−−
+
−−
+=
++=
−−
=
21
2
022
21
1
02102
21
202
21
102
02
221202
21
02
2
1
][][
1
][][][
1
][
1
][][
][][][
1
][][
ρρ
λ
ρρ
λ
ρρ
ρ
ρρ
ρ
ρρ
ρρ
XE
TE
XE
TETE
TETE
TE
TETETE
TE
TE
 
O primeiro termo é o atraso devido aos fregueses que já estão presentes no instante de chegada do 
freguês típico, mas o serviço do próprio freguês. 
 
O segundo termo contempla o atraso devido ao número médio de chegadas da classe 1 durante 
][ 02TE , dado por ][ 021 TEλ , multiplicado pelo período ocupado iniciado por ][ 1XE (fator 






−− 21
1
1
][
ρρ
XE
, que será o impacto de cada uma destas chegadas no atraso do frgeuês típico. Esta 
contribuição da classe 1 é exata. 
 
O terceiro termo contempla o atraso devido ao número médio de chegadas da classe 2 durante ][ 02TE , 
dado por ][ 022 TEλ , multiplicado pelo período ocupado iniciado por ][ 2XE (fator 





−− 21
2
1
][
ρρ
XE
. 
Todavia, como assinalado acima, nem todos os ][ 022 TEλ fregueses irão prejudicar o freguês típico. 
Se a última visita ao serviço tiver uma duração dada por 2, XZZ ≤ , então ][2 ZEλ chegadas em 
média não interferirão com o freguês típico e devem ser subtraídas de ][ 022 TEλ para termos um 
cálculo exato do atraso da classe 2. O resultado correto é então 
21
202
21
2
2
21
02
21
2
2
21
2
022
21
102102
21
2
2022
21
1
021022
1
][][
1
][][
1
][
1
][][
1
][][
1
][][][
1
][])[][(
1
][][][][
ρρ
ρ
ρρ
λ
ρρ
ρρ
λ
ρρ
λ
ρρ
λ
ρρ
λλ
ρρ
λ
−−
−
=





−−
−
−−
=






−−
−





−−
+





−−
+=






−−
−+





−−
+=
ZETEXE
ZE
TE
XE
ZE
XE
TE
XE
TETE
XEZETEXETETETE
 
 
][ZE precisa ser calculado para se ter a solução exata. 
 
Como calcular ][ZE ? 
Vale observar que ][ZE pode ser visto como o intervalo entre a última chegada Poisson com taxa 
1λ durante o serviço 2X , onde cada chegada provoca a interrupção do serviço. Quando novamente o 
freguês interrompido retornar ao servidor, ele continuará de onde parou. O processo de chegada da 
classe 1 continua e tudo se passa como se estivéssemos observando o número de chegadas da classe 1 
durante o serviço 2X . 
 
Se é dado que k chegadas ocorreram em um determinado intervalo fixo x, k > 0, então os instantes de 
chegada são uniformemente distribuídos no intervalo e, neste caso particular, 
1
]|[
+
=
k
x
xemchegadaskZE . Podemos obter ][ZE condicionando no tamanho do serviço 2X 
e no número de chegadas. 
 
1
1
*
2
1
1
*
2
1
2
0
1
1
2
1 0
1
1
1
2
1 0
1
22
1 0
2
)()(1
)()1(1
)()!1(
)(1
)(
!
)(
1
)(]|(],|[][
11
1
1
λ
λ
λ
λ
λ
λλ
λ
λ
λ
λλ
λ
λ
d
dXX
dxxXxPexe
dxxXxPe
k
x
dxxXxP
k
ex
k
x
dxxXxPdxxXxkNPdxxXxkNZEZE
xx
x
k
k
k
xk
k
+−=
+<<−−=
+<<





+






=
+<<











+
=
+<<+<<=+<<==
−
∞
−
∞
=
∞ +
∞
=
∞ −
∞
=
∞
∫
∑∫
∑∫
∑∫
 
Para o caso específico em que )(2 fixoTX = , 
T
T
T
T
TeeTeeZE 1
1
1
1
111
11][ λ
λ
λ
λ
λλλ
−
−
−
−
−
−
=−−= 
Para T=1, esta expressão passa por um máximo no ponto de taxa 1,79328213, onde aconteceria o maior 
erro. Para taxas mais baixas o erro decresce o mesmo acontecendo com a subida da taxa, tendendo a 
zero nos extremos de baixíssima carga e altíssima carga na classe 1. 
 
d) (5) O tempo médio será a ponderação dos tempos médios das classes pela probabilidade do freguês 
vir da classe correspondente: 





+
+





+
=
21
2
2
21
1
1 ][][][ λλ
λ
λλ
λ
TETETE