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Universidade Estadual do Ceará 
Bacharelado em Ciência da Computação 
Fórmulas da Teoria das Filas 
 
 Fila M/M/1 Fila M/M/m 
1. Taxa de Chegada 
Taxa de Serviço 
Número de Servidores 
λ 
µ 
1 
λ 
µ 
m 
2. Fator de Utilização 
µ
λ
ρ ==U 
µ
λ
ρ
.m
U == 
3. Probabilidade de zero usuários no sistema 
ou 
de o sistema estar ocioso 
ρ−=== 1)0( 0PnP s 
1
1
1
0
!
).(
)1(!
).(
1)0(
−
−
=






+
−
+=== ∑
m
n
nm
s
n
m
m
m
PnP
ρ
ρ
ρ
 
4. Probabilidade de n usuários no sistema 
∞=
−===
,...,2,1,0
).1()(
n
PnnP
n
ns ρρ 
mn
m
m
PPnnP
mn
n
m
PPnnP
nm
ns
n
ns
≥===
<===
 ,
!
.
)(
 ,
!
).(
)(
0
0
ρ
ρ
 
5. Probabilidade de n ou mais usuários no 
sistema 
n
ns PnnP ρ==≥ ≥)( 
6. Probabilidade de esperar na fila ρ==≥ ≥1)1( PnP s 
)1(!
).(
)usuários m (),( 0
ρ
ρ
ρ
−
=≥=
m
m
PnPmC
m
s 
7. Número médio de usuários no sistema 
)1(
][
ρ
ρ
−
== ss nEn 
)1(
).,(
.][
ρ
ρρ
ρ
−
+==
mC
mnEn ss 
8. Variância do número de usuários no 
sistema 2)1(
][
ρ
ρ
−
=snVar 





+
−
−+
+= m
mC
mCmnVar s 2)1(
).,(1
).,(.][
ρ
ρρρ
ρρρ 
9. Tempo médio de resposta ou tempo médio 
que um usuário ficou no sistema )1.(
1
][
ρµ −
== ss tEt 





−
+==
)1(
),(
1
1
][
ρ
ρ
µ m
mC
tEt ss 
10. Variância do tempo de resposta 
22 )1(
][
ρµ
ρ
−
=stVar 





−
−
+=
222 )1(
)),(2)(,(
1
1
][
ρ
ρρ
µ m
mCmC
tVar s 
 2
 
 Fila M/M/1 Fila M/M/m 
11. Probabilidade de k usuários na fila 
 0 ,).1()(
0 ,1)(
1
2
>−==
=−==
+
kknP
kknP
k
w
w
ρρ
ρ
 
 
12. Número médio de usuários na fila 
)1(
][
2
ρ
ρ
−
== ww nEn )1(
).,(
][
ρ
ρρ
−
==
mC
nEn ww 
13. Variância do número de usuários na fila 
2
22
)1(
)1(
][
ρ
ρρρ
−
−+
=wnVar 2)1(
)).,(1().,(
][
ρ
ρρρρρ
−
−+
=
mCmC
nVar w 
14. Tempo médio de espera ou tempo médio que 
um usuário fica esperando na fila )1.(
][
ρµ
ρ
−
== ww tEt 
)1(
),(
][
ρµ
ρ
−
==
m
mC
tEt ww 
15. Variância do tempo de espera 
22 )1(
)2(
][
ρµ
ρρ
−
−
=wtVar 222 )1(
)),(2)(,(
][
ρµ
ρρ
−
−
=
m
mCmC
tVar w 
16. Tempo de resposta em q% 






−
=
q
tqt ss
100
100
ln%)( 
 
17. Tempo de espera em q% 












−
=
q
t
qt ww
100
100
ln ,0max%)(
ρ
ρ
 











−
=
q
mC
mC
t
qt ww
100
),(.100
ln
),(
 ,0max%)(
ρ
ρ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3
 Fila M/M/1/B Fila M/M/m/B 
1. Taxa de Chegada 
Taxa de Serviço 
Número de Servidores 
Núemro de Usuários 
λ 
µ 
1 
B (B ≥ 1) 
λ 
µ 
m 
B (B ≥ m) 
2. Fator de Utilização 
 )( estável sempre é sistema O
 sendo )1(
∞<
=−=
ρ
µ
λρρ BPU
 
 )( estável sempre é sistema O
 sendo )1(
∞<
=−=
ρ
µ
λρρ
m
PU B
 
3. Probabilidade de zero usuários no 
sistema ou 
de o sistema estar ocioso 
1 ,
1
1
)0(
1 ,
)1(
)1(
)0(
0
10
=
+
===
≠
−
−
===
+
ρ
ρ
ρ
ρ
B
PnP
PnP
s
Bs
 
1
1
1
1
0
!
).(
)1(!
).)(1(
1)0(
−
−
=
+−






+
−
−
+=== ∑
m
n
nmmB
s
n
m
m
m
PnP
ρ
ρ
ρρ
 
4. Probabilidade de n usuários no 
sistema 
BnPnnP
Bn
B
PnnP
BnPnnP
ns
ns
n
Bns
>===
≤≤=
+
===
≤≤≠
−
−
===
+
 ,0)(
0 e 1 ,
1
1
)(
0 e 1 ,
)1(
)1(
)(
1
ρ
ρρ
ρ
ρ
 Bnm
m
m
PPnnP
mn
n
m
PPnnP
nm
ns
n
ns
≤≤===
≤≤===
 ,
!
.
)(
0 ,
!
).(
)(
0
0
ρ
ρ
 
5. Taxa de chegada efetiva )1(' BP−= λλ )1(' BP−= λλ 
6. Taxa de perda 
BPλ BPλ 
7. Número médio de usuários no 
sistema 1
1
1
)1(
)1(
][
+
+
−
+
−
−
==
B
B
ss
B
nEn
ρ
ρ
ρ
ρ
 ∑
=
==
B
n
nss nPnEn
1
][ 
8. Número médio de usuários na fila 
11
1
)1(
][
+−
+
−
−
==
B
B
ww
B
nEn
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
 ∑
+=
−==
B
mn
nww PmnnEn
1
)(][ 
9. Tempo médio de resposta ou tempo 
médio que um usuário ficou no 
sistema 
)1.(
][
B
s
ss
P
n
tEt
−
==
λ
 
)1.(
][
B
s
ss
P
n
tEt
−
==
λ
 
10. Tempo médio de espera na fila 
)1.(
][
B
w
ww
P
n
tEt
−
==
λ
 
)1.(
][
B
w
ww
P
n
tEt
−
==
λ