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Engenharia de Produção 7º Período – Pesquisa Operacional e Modelagem II Prof. José Maria do Carmo B. Alves Formulário – Teoria das Filas Descrição Fórmula Equações Gerais Intervalo entre Chegadas (IC) λ 1 =IC Tempo de Atendimento (TA) µ 1 =TA Taxa de Utilização do Atendente ( ρ ) µ λρ × = S Relações entre Fila, Sistema e Atendimento NANFNS += TATFTS += Probabilidade de Haver x chegadas ( ) !x e xf x λλ − = Probabilidade do tempo entre chegadas ser de até x unidades de tempo ( ) xexF λ−−=1 Número Médio de Clientes no Atendimento (NA) µ λ =NA Relações de Little TFNF ×= λ TSNS ×= λ Relações entre NS e NF, TSe TF µ λ += NFNS µ 1 += TFTS Equações de Custos Custo Total CACCCT += Custo com Clientes períodoCCNSCC unit ××= Custo com Atendimento períodoCACA unit ××= µ Sistema de uma Fila, um Canal de Atendimento e População Infinita (M/M/1) Probabilidade de haver n clientes no sistema − × = µ λµ µ λ n nP Probabilidade de que o número de clientes no sistema seja superior a r 1+ > = r rnP µ λ Número Médio de Clientes no Sistema (NS) λµ λ − =NS Tempo Médio de Permanência no Sistema (TS) λµ − = 1TS Número Médio de Clientes na Fila (NF) ( )λµµ λ −× = 2 NF Tempo Médio de Permanência na Fila (TF) ( )λµµ λ − =TF Sistema de uma Fila, S Canais de Atendimento e População Infinita (M/M/S) Probabilidade de o sistema estar ocioso ( ) −− + = × − = ∑ µ λ µ λ µ λ SSj P S S j j !1! 1 1 0 0 Probabilidade de que todos os Atendentes estejam ocupados ( ) 0 . !1 P SS P S TotalOcup × × −− = µ λ µ λ Sistema de uma Fila, S Canais de Atendimento e População Infinita (M/M/S) (continuação) Probabilidade de haver n clientes no sistema Se Sn < : 0! 1 P n P n n ×× = µ λ Se Sn ≥ : 0 ! 1 P SS P Sn n n × − × × = µ λ NF e TF, NS e TS TotalOcupP S NF . × − = µ λ µ λ NFTF ×= λ 1 µ λ += NFNS NSTS ×= λ 1 Sistema de uma Fila, um Canal de Atendimento, População Infinita com Capacidade de N clientes no sistema (M/M/1/N) Probabilidade de haver n clientes no sistema = + ≠ − − = + 1 se 1 1 1 se 1 1 1 µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ N P N n n Taxa de Chegada Perdida NP×= λλlost Taxa de Chegada Efetiva losteff λλλ −= ( )NP−= 1eff λλ NS e TS, NF e TF ( ) = ≠ − − + +− = + + 1 se 2 1 se 11 11 1 1 µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ N NN NS N NN effλ NSTS = µ λeff −= NSNF µ 1 −= TSTF Sistema de uma Fila, S Canais de Atendimento, População Infinita com Capacidade de N clientes no sistema (M/M/S/N) Probabilidade de Haver 0 Clientes no sistema ( ) = +− + ≠ − − + = ∑ ∑ − = +− − = 1 se 1 !! 1 1 se 1! 1 ! 1 1 0 1 1 0 0 µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ S SN Sj S S S S j P S S j j SNS S j j Probabilidade de haver n clientes no sistema Se Sn <≤0 : 0! P n P n n = µ λ Se NnS ≤≤ : 0! P SS P Sn n n − = µ λ Taxa de Chegada Perdida NP×= λλlost Taxa de Chegada Efetiva losteff λλλ −= ( )NP−= 1eff λλ Sistema de uma Fila, S Canais de Atendimento, População Infinita com Capacidade de N clientes no sistema (M/M/S/N) (continuação) Número Médio de Clientes na Fila ( ) ( ) ( )( ) = +−− ≠ −+−− − −− = −+− + 1 se !2 1 1 se 111 ! 1 0 0 1 2 1 µ λµ λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ S P S SNSN S P SS SN S SSNF S SNSN S Tempo Médio de Fila effλ NFTF = Número Médio de Clientes no Sistema µ λ eff += NFNS Tempo Médio de Sistema effλ NSTS = Sistema de uma Fila, S Canais de Atendimento, Capacidade Ilimitada e População Finita (K) (M/M/S//K) Probabilidade de Haver 0 Cliente no sistema ∑∑ += − = + = K Sj Sj j K j S j j K j SS j CC P 10 0 ! ! 1 µ λ µ λ Probabilidade de Haver n Clientes no sistema ≤< ≤≤ = − KnSP SS n C SnPC P Sn n K n n K n n se ! ! 0 se 0 0 µ λ µ λ Número Médio de Clientes no Sistema ( )∑ = ×= K j jPjNS 0 Lambda Efetivo ( )NSK −= λλeff Tempo Médio de Sistema effλ NSTS = Número Médio de Clientes na Fila µ λeff −= NSNF Tempo Médio de Fila effλ NFTF =
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