Gabarito com Resolução da Lista 3 Cálculo I

Prévia do material em texto

GABARITO DA 3ª LISTA DE EXERCÍCIOS - CÁLCULO I 
 
1. a) coeficiente angular: 1a = ; coeficiente linear: 1b = ; raiz: 1x −= ; gráfico: figura 1 abaixo. 
Estudo de sinais: 





−<<
−==
−>>
1xse0y
1xse0y
1xse0y
. 
 
 Figura 1 Figura 2 
b) coeficiente angular: 3a= ; coeficiente linear: 4b −= ; raiz: 
3
4
x = ; gráfico: figura 2 acima. 
Estudo de sinais: 








<<
==
>>
3
4
xse0y
3
4
xse0y
3
4
xse0y
. 
c) coeficiente angular: 2a −= ; coeficiente linear: 8b = ; raiz: 4x = ; gráfico: figura 3 abaixo. 
Estudo de sinais: 





><
==
<>
4xse0y
4xse0y
4xse0y
. 
 
 Figura 3 Figura 4 
d) coeficiente angular: 
2
1
a −= ; coeficiente linear: 3b −= ; raiz: 6x −= ; gráfico: figura 4 acima. 
 
 
2 
Estudo de sinais: 





−><
−==
−<>
6xse0y
6xse0y
6xse0y
. 
2. Se ( ) 6x3xfy +== , então ( )
3
6yyfx 1 −== − , ou, trocando y por x e x por y, temos ( )
3
6x
xfy 1 −== − . Os gráficos 
das duas funções f e ( )xf 1− estão esboçados a seguir: 
 
Note a simetria dos gráficos das funções f e ( )xf 1− em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares ( )xfy = . 
3. O gráfico da função é uma reta e, assim, a função é afim do tipo ( ) baxxfy +== . Pelo gráfico, temos que 
( ) ( ) 84fe30f == . Logo, 




=
=
⇒



=+
=
4
5
a
3b
8ba4
3b
, ou seja, a função cujo gráfico é a reta apresentada é 
( ) 3x
4
5
xfy +== . 
4. Se a função é dada por ( ) baxxfy +== tal que . Resolvendo o sistema, temos 2be3a == , ou seja, a função é 
( ) 2x3xfy +== . Portanto, ( ) 144f = e a raiz é 
3
2
x −= . 
5. a) A função que representa o salário mensal do vendedor é x18,0000.1y ⋅+= , em que x é o total de vendas no 
mês, em reais. 
b) Se o total de vendas foi de R$ 10.000,00, então o salário do vendedor é de 800.2000.1018,0000.1y =⋅+= , ou 
seja R$ 2.800,00 
6. a) As expressões são, se x é o tempo, em horas, que determinado aparelho permanece no conserto e y o valor 
a ser pago ao técnico: 
Técnico A: 10x5,2y +⋅= e técnico B: .30x5,1y +⋅= 
b) 
 
3 
 
A intersecção ocorre quando .20x30x5,110x5,2 =⇒+⋅=+⋅ 
c) Se x = 10 horas, então os valores que seriam cobrados seriam: 
Técnico A: 3510105,2y =+⋅= e técnico B: .4530105,1y =+⋅= Portanto, chamaria o técnico A. 
7. a) Como a temperatura em graus Fahrenheit (F) varia linearmente com a temperatura em graus Celsius (C), 
temos bCaF += . 
Com os dados do enunciado, temos o seguinte sistema: 




=
=
⇒



=+
=
5
9
a
32b
212ba100
32b
. Portanto, 32C
5
9F += 
b) Se 37C = , então 6,983237
5
9F =+⋅= , ou seja, 98,6 oF. 
c) Se 20F = , então 67,6C32C
5
920 −=⇒+= , ou seja, -6,67 oC. 
8. a) Temos ( ) 200.1q20qC += . b) Temos ( ) q50qR = . 
c) Ambas as funções, custo total e receita, são funções afins, cujos gráficos serão retas. 
 
d) A quantidade de equilíbrio é tal que ( ) ( ) 40q200.1q30200.1q20q50qCqR =⇒=⇒+=⇒= , ou seja, 40 é a 
quantidade em que a receita e o custo total são iguais (lucro zero). 
 
4 
9. ( )





=
−=
=
+−=
2c
2b
1a
2x2xxf)a 2 
Raízes: 02x2x2 =+− 
( ) 042142 2 <−=⋅⋅−−=∆ (não existem raízes reais) 
Vértice: ( ).1,1V1
a4
ye1
a2
b
x vv ∴=
∆
−==−= 
Gráfico: 
 
Estudo de sinais: x,0y ∀> . 
Imagem da função: { } [ ).,11y|RyIm ∞+=≥∈= 
( )





−=
−=
=
−−=
3c
2b
1a
3x2xxf)b 2 
Raízes: 03x2x2 =−− 
( ) ( ) 0163142 2 >=−⋅⋅−−=∆ (duas raízes reais e distintas) 
.3xou1x
2
42
x =−=⇒
±
= 
Vértice: ( ).4,1V4
a4
ye1
a2
b
x vv −∴−=
∆
−==−= 
Gráfico: 
 
 
5 
Estudo de sinais: 





<<−<
=−==
>−<>
3x1se0y
3xou1xse0y
3xou1xse0y
. 
Imagem da função: { } [ ).,44y|RyIm ∞+−=−≥∈= 
( )





=
−=
=
+−=
8c
8b
2a
8x8x2xf)c 2 
Raízes: 08x8x2 2 =+− 
( ) 08248 2 =⋅⋅−−=∆ (duas raízes reais e iguais) 
.2x
4
08
x =⇒
±
= 
Vértice: ( ).0,2V0
a4
ye2
a2
b
x vv ∴=
∆
−==−= 
Gráfico: 
 
Estudo de sinais: 



==
≠>
2xse0y
2xse0y
. 
Imagem da função: { } [ ) +=∞+=≥∈= R,00y|RyIm . 
( )





−=
=
−=
−+−=
1c
1b
2a
1xx2xf)d 2 
Raízes: 01xx2 2 =−+− 
( ) ( ) 0712412 <−=−⋅−⋅−=∆ (não existem raízes reais) 
Vértice: .
8
7
,
4
1V
8
7
a4
ye
4
1
a2
b
x vv 





−∴−=
∆
−==−= 
Gráfico: 
 
6 
 
Estudo de sinais: x,0y ∀< . 
Imagem da função: .
8
7
,
8
7y|RyIm 





−∞−=






−≤∈= 
( )





=
−=
−=
−−=
0c
2b
1a
x2xxf)e 2 
Raízes: 0x2x2 =−− 
( ) ( ) 040142 2 >=⋅−⋅−−=∆ (duas raízes reais e distintas) 
.0xou2x
2
22
x =−=⇒
−
±
= 
Vértice: ( ).1,1V1
a4
ye1
a2
b
x vv −∴=
∆
−=−=−= 
Gráfico: 
 
Estudo de sinais: 





>−<<
=−==
<<−>
0xou2xse0y
0xou2xse0y
0x2se0y
. 
Imagem da função: { } ( ]1,1y|RyIm ∞−=≤∈= . 
 
7 
( )





−=
=
−=
−+−=
3c
6b
3a
3x6x3xf)f 2 
Raízes: 03x6x3 2 =−+− 
( ) ( ) 033462 =−⋅−⋅−=∆ (duas raízes reais e iguais) 
.1x
6
06
x =⇒
−
±−
= 
Vértice: ( ).0,1V0
a4
ye1
a2
b
x vv ∴=
∆
−==−= 
Gráfico: 
 
Estudo de sinais: 



≠<
==
1xse0y
1xse0y
. 
Imagem da função: { } ( ] .R0,0y|RyIm
−
=∞−=≤∈= 
10. Pelos dados do enunciado, temos que a função é do tipo ( ) cxbxaxfy 2 ++== e 
( )
( )
( )
.
3b
1a
5c
4ba
2ba
5c
9cba
3cba
5c
91f
31f
50f





−=
=
=
⇒





=−
−=+
=
⇒





=+−
=++
=
⇒





=−
=
=
 
Logo, a função é ( ) 5x3xxfy 2 +−== e, portanto, ( ) 352322f 2 =+⋅−= . 
11. Análogo ao anterior. Resposta: ( ) 4x2x2xf 2 −+= . 
12. O custo mínimo será dado pela ordenada do vértice .
a4
Cmín
∆
−= 
Como ( ) ,30000500024100ac4b 22 −=⋅⋅−−=−=∆ temos ,3750
24
30000
a4
Cmín =
⋅
=
∆
−= ou seja, o custo mínimo é 
de R$ 3.750,00. 
 
13. a) Se t = 2 s, então ( ) ( ) .m60252402h 2 =⋅−⋅= 
b) Se h = 75 m., então s5tous3t015t8tt5t4075 22 ==⇒=+−⇒−= (não convém). 
 
8 
c) A altura é máxima na ordenada do vértice, 
a4
hmáx
∆
−= . Como ( ) ,160005440ac4b 22 =⋅−⋅−=−=∆ temos 
( ) ,8054
1600
a4
hmáx =
−⋅
−
=
∆
−= ou seja, a altura máxima atingida pela pedra é 80 m. 
d) 
 
14. a) A equação da altura é dada por ( ) ctbtath 2 ++= . Pelos dados do enunciado, temos 
( )
( )
( )
.
7b
4a
2c
2b2a4
3ba
2c
0cb2a4
5cba
2c
02h
51h
20h





=
−=
=
⇒





−=+
=+
=
⇒





=++
=++
=
⇒





=
=
=
 
Portanto, a equação é ( ) 2t7t4th 2 ++−= . 
b) 
 
c) Se ,.m
2
9h= então ⇒=+−⇒++−=⇒++−= 05t14t84t14t892t7t4
2
9 222
 
( ) ( )
.s
4
5tous
2
1t
16
614
82
5841414
t
2
==⇒
±
=
⋅
⋅⋅−−±−−
=⇒ 
15. Análogo aos anteriores. 
16. 03x2x)a 2 ≤−− 
Raízes da função :3x2xy 2 −−= 
( ) ( ) 0163142 2 >=−⋅⋅−−=∆ (duas raízes reais e distintas) 
.3xou1x
2
42
x =−=⇒
±
= 
Gráfico: 
 
9 
 
Portanto, { } [ ]3,13x1|RxS −=≤≤−∈= . 
04x4x)b 2 >+− 
Raízes da função 4x4xy 2 +−= : 
( ) 04144 2 =⋅⋅−−=∆ (duas raízes reais e iguais) 
.2x
2
04
x =⇒
±
= 
Gráfico: 
 
Portanto, { } { }2R2x|RxS −=≠∈= . 
c) { } [ ]2,22x2|RxS −=≤≤−∈= . 
d) { }0xou2x|RxS ≥−≤∈= . 
01xx)e 2 >−−− 
Raízes da função1xxy 2 −−−= : 
( ) ( ) ( ) 031141 2 <−=−⋅−⋅−−=∆ (não existem raízes reais). 
 
Gráfico: 
 
10 
 
Portanto, φ=S . 
( )( )( ) 03x5x3x2)f >−−+ 
As raízes das funções polinomiais envolvidas são ,3xe5x,
2
3
x ==−= respectivamente. O estudo de sinais das 
funções é feito sobre o esboço das retas que são os gráficos das funções: 
 
3x2y += 5xy −= 3xy −= 
O estudo de sinais do produto baseia-se no seguinte “varal”: 
 
 - 3/2 3 5 
3x2y += 
- 
+ + + 
5xy −= 
- - - 
+ 
3xy −= 
- - 
+ + 
P 
- 
+ 
- 
+ 
 
Portanto, 






><<−∈= 5xou3x
2
3|RxS . 
( )( ) 09x4x)g 22 ≤−− 
O estudo de sinais das funções é feito sobre o esboço dos gráficos das funções quadráticas envolvidas: 
 
11 
 
4xy 2 −= 9xy 2 −= 
O estudo de sinais do produto baseia-se no seguinte “varal”: 
 
 - 3 -2 2 3 
4xy 2 −= + + - + + 
9xy 2 −= + - - - + 
P + 
- 
+ 
- 
+ 
 
Portanto, { }3x2ou2x3|RxS ≤≤−≤≤−∈= . 
( )( ) 04x4x10x9x)h 22 ≤+−−− . Resposta: { }10x1|RxS ≤≤−∈= . 
( )( ) 0
7x
3x2x)i ≥
+
+−+
. Resposta: { }3x2ou7x|RxS ≤≤−−<∈= . 
j) Temos .0
x
2xx01
x
2x1
x
2x 222 ≤−−⇒≤−−⇒≤− 
O estudo de sinais das funções é feito sobre o esboço dos gráficos das funções envolvidas: 
 
2xxy 2 −−= xy = 
O estudo de sinais do produto baseia-se no seguinte “varal”: 
 
 - 1 0 2 
2xxy 2 −−= + - - + 
xy = 
- - 
+ + 
Q 
- 
+ 
- 
+ 
 
Portanto, { }2x0ou1x|RxS ≤<−≤∈= . 
0x6x5x)k 23 >+− 
Temos ( ) 06x5xx0x6x5x 223 >+−⋅⇒>+− . 
O estudo de sinais das funções é feito sobre o esboço dos gráficos das funções envolvidas: 
 
 
12 
 
xy = 6x5xy 2 +−= 
O estudo de sinais do produto baseia-se no seguinte “varal”: 
 
 0 2 3 
xy = 
- 
+ + + 
6x5xy 2 +−= + + 
- 
+ 
Q 
- 
+ 
- 
+ 
 
Portanto, { }3xou2x0|RxS ><<∈= . 
x
1x2
2x
1x
x
1x)l −≥
−
+
−
−
 
Temos ( )( ) ( ) ( )( )( ) 02xx
2x1x2x1x2x1x0
x
1x2
2x
1x
x
1x
x
1x2
2x
1x
x
1x ≥
−
−−−+−−−
⇒≥−−
−
+
−
−
⇒
−≥
−
+
−
−
 
( )
( )
( ) .02x
1x20
2xx
1x2x0
2xx
xx2 2 ≥
−
+−
⇒≥
−
+−
⇒≥
−
+−
⇒ 
Fazendo-se o estudo de sinais das funções envolvidas e o "varal", chegamos à solução 






<≤∈= 2x
2
1|RxS . 
17. a) O domínio da função ( ) 5x4x4xf 2 ++−= é dado por 05x4x4 2 ≥++− , ou seja, 







 +≤≤−∈=
2
61
x
2
61|RxD (fazer gráfico da função quadrática). 
b) O domínio da função ( )
5xx
1x4
xf
2 +−
−
= é dado por 05xx2 >+− , ou seja, RD= (verificar o gráfico da função 
quadrática). 
18. Os gráficos são dados por: 
 
 
2xy)a −= 2xy)b += 
 
13 
 
 
2xy)c += 22xy)d +−= 
19. { }12,2S12xou2x75x75x)a −=∴=−=⇒±=−⇒=− . 
φ=∴−=− S64x2)b . 
2xou1xou1xou0x02xxou0xx11xx11xx)c 2222 =−===⇒=−−=−⇒±=−−⇒=−− { }2,1,0,1S −=∴ . 
{ }10x4|RxS10x473x773x)d <<−∈=∴<<−⇒<−<−⇒<− . 
2x2ou10x264x2ou64x264x2)e ≥−−≤−⇒≥+−−≤+−⇒≥+− 
{ }5xou1x|RxS5xou1x ≥−≤∈=∴≥−≤⇒ .