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Calculando o módulo
Michele Viana Debus de França*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
Considere a reta real:
	
Chamamos a distância de um ponto da reta à origem (distância do ponto até o zero) de módulo ou valor absoluto.
Assim, a distância do ponto 4 à origem é 4. Dizemos que o módulo de 4 é igual a 4. E representamos
|4| = 4
Da mesma forma, a distância do ponto -2 à origem é 2, ou seja, o módulo de -2 é 2, pois não há muito sentido em considerarmos distâncias negativas. Assim:
|-2| = 2
Outros exemplos:
|3| = 3
|-7| = 7
|0| = 0
|-1| = 1
Vamos generalizar:
Qual é o módulo de um número qualquer x?
|x| = ?
A resposta é: depende!
Pelos exemplos, podemos observar que, se x for um número positivo, seu módulo é igual a ele mesmo. Porém, se x for um número negativo, a distância não pode ser negativa, logo devemos mudar o sinal desse número, ou considerar o seu oposto (o mesmo número de sinal trocado).
Portanto, |x| = x, se x for um número positivo e |x| = -x, se x for um número negativo, pois devemos trocar o sinal do número negativo.
Ou:
	
Propriedades do Módulo
1) |a| = |-a|, para todo a real
Não é difícil constatar isso. Observe:
|2| = 2
|10| = 10
|-5| = 5
|-2| = 2
|-10| =10
|5| = 5
2) |x2|=|x|2 = x2, para todo x real
Verifiquemos isso para todas as possibilidades de valores de x: positivo, nulo ou negativo.
a) para x = 5
52 = 25
|5|2 = 52 = 25
|52|=|25|= 25
b) para x = 0
02 = 0
|0|2 = 02 = 0
|02|=|0|= 0
c) para x = -3
(-3) 2 = 9
|-3|2 = 32 = 9
|(-3) 2|=|9|= 9
Associada a essa propriedade está o fato de que 
CUIDADO! É errado pensar que  Isso só é verdadeiro para x ≥ 0.
Veja:
Para x = 7
	
Para x = -2
	
3) |a . b|=|a|.|b|, para quaisquer a e b reais
Veja:
a) a e b positivos
a = 3 e b = 5
|3 . 5|= |15|= 15
|3|.|5|= 3 . 5 = 15
b) a e b de sinais opostos
a = -2 e b = 4
|-2 . 4|= |-8|= 8
|-2|.|4|= 2 . 4 = 8
c) a e b negativos
a = -7 e b = -10
|-7 . (-10)|= |70|= 70
|-7|.|-10|= 7 . 10 = 70
4) |a + b|≤|a|+|b|, para quaisquer a e b reais
a) a e b positivos
a = 6 e b = 5
|6 + 5|= |11|= 11
|6|+|5|= 6 + 5 = 11
|6 + 5|=|6|+|5|
b) a e b de sinais opostos
a = -5 e b =1
|-5 + 1|= |-4|= 4
|-5|+|1|= 5 + 1 = 6
|-5 + 1|<|-5|+|1|
c) a e b negativos
a = -8 e b = -3
|-8 + (-3)|= |-11|= 11
|-8|+|-3|= 8 + 3 = 11
|-8 + (-3)|= |-8|+|-3|
5)||a|-|b||≤|a - b|, para quaisquer a e b reais
d) a e b positivos
a = 4 e b = 1
||4|-|1||=|4 - 1|= |3|= 3
|4 - 1|= |3|= 3
||4|-|1||=|4 - 1|
e) a e b de sinais opostos
a = -1 e b =9
||-1|-|9||=|1 - 9|= |-8|= 8
|-1 - 9|= |-10|= 10
||-1|-|9||<|-1 - 9|
f) a e b negativos
a = -10 e b = -3
||-10|-|-3||=|10 - 3|= |7|= 7
|-10 - (-3)|= |-7|= 7
||-10|-|-3||=|-10 - (-3)|
g) a e de sinais opostos
a = 4 e b = -3
||4|-|-3||=|4 - 3|= |1|= 1
|4 - (-3)|= |7|= 7
||4|-|-3||<|4 - (-3)|
Além dessas propriedades, não é difícil verificar que |a - b|=| b - a|, para quaisquer a e b reais.
Exercícios resolvidos
1) Calcular:
a) |6|+ 1 = 6 + 1 = 7
b) |-5|+ 9 = 5 + 9 = 14
c) |-10|- 1 = 10 -1 = 9
d) |-6|- |-2| = 6 - 2 = 4
e) |0,2 - 0,9|= |-0,7|= 0,7
f) 
g) |3 - x|, para x = -3
|3 - x|= |3 - (-3)|= |6|= 6
h) 
Note que . Assim:
	
2) Escrever uma expressão equivalente sem o módulo:
a) |x - 6|, sendo x um número real qualquer
	
b) |x - 6|, com x > 6
Como x > 6, a expressão de dentro do módulo é positiva.
Logo, nesse caso, |x - 6|= x - 6.
c) |x - 1|+ |x - 3|, com x > 3
Como x > 3, as duas expressões são positivas.
Logo, nesse caso, |x - 1|+ |x - 3|= x - 1+ x - 3 = 2x - 4.
3) Achar os possíveis valores de x, em cada caso:
a) x = | - 1|
Resposta: x = 1
b) |x|= 1
Resposta: x = 1 ou x = -1, pois |1|= |-1|= 1
c) |x|= -1
Resposta: x não existe, pois não existe um número tal que seu módulo seja negativo.
d) X2 = 36
Resposta: x = 6 ou x = -6
e) |x|= |-2|
Resposta: x = -2 ou x = 2, pois |2|= |-2|= 2
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http://minerva.ufpel.edu.br/~camila.costa/Arquivo/2012_01/cap2_abs_2012.pdf
http://www.fund198.ufba.br/expo/praiz.pdf
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/polinom/prodnot.htm
http://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos020.asp