REVISAO DE FUNÇAO

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 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
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FUNÇÃO DO 1º GRAU 
Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma 
correspondência: 
Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro 
elemento pertence ao primeiro conjunto dado e o segundo elemento pertence ao 
segundo conjunto dado. 
Assim: Dado os conjuntos A={1,2,3} e B={1,2,3,4,5,6} consideremos a 
correspondência de A em B, de tal modo que cada elemento do conjunto A se 
associa no conjunto B com o seu sucessor. Assim ; ; . A 
correspondência por pares ordenados seria: 
 
NOÇÕES DE FUNÇÃO: 
Considere os diagramas abaixo: 
 
 
1 
 
2 
 
3 
 
4 
 
5 
 
Condições de existência: 
 
(1) Todos os elementos de x têm 
um correspondente em y. 
 
(2) Cada elemento de x tem um 
e somente um correspondente 
em y. 
 
Analisando os diagramas acima: 
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O diagrama 1 não satisfaz a condição (1); os diagramas 3, 4 e 5 não satisfazem a 
condição (2). 
Logo, somente o diagrama 2 representa uma função. 
DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM: 
Observe o diagrama a seguir: 
 
 
 
Chamemos esta função de f, logo o conjunto de pares ordenados será: 
f={(1,2),(2,3),(3,4)} 
O conjunto X={1,2,3} denomina-se domínio da função f. 
D(F)=X 
O conjunto Y={1,2,3,4,5} denomina-se contradomínio da função f. 
C(F)=Y 
Dizemos que 2 é a imagem de 1 pela função f. 
f(1)=2 
Ainda, f(2)=3 e f(3)=4. 
Logo o conjunto das imagens de f e dado por: 
Im(f)={2,3,4} 
 
 
 
 
 
 
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DETERMINAÇÃO DE FUNÇÃO: 
OBSERVE: 
1) Associe cada elemento de X com o seu consecutivo: 
 
 
 
2) Associe cada elemento de X com a sua capital. 
 
 
 
3) Determine o conjunto imagem de cada função: 
a) D(f) = {1,2,3} 
 y = f(x) = x + 1 
[Sol] f(1) = 1+1 = 2 
 f(2) = 2+1 = 3 
 f(3) =3+1 = 4 
Logo: Im(f)={2,3,4} 
b) D(f) = {1,3,5} 
 y = f(x) = x² 
[Sol] f(1) = 1² = 1 
 f(3) = 3² = 9 
 f(5) = 5² = 25 
Logo: Im(f)={1,9,25} 
 
 
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PLANO CARTESIANO 
 
Consideremos dois eixos x e y perpendiculares em 0, os quais determinam o plano 
A. 
Dado um plano P qualquer, pertencente ao plano A, conduzamos por ele duas 
retas: 
x // x' e y // y' 
Denominemos P1 a interseção de x com y' e P2 a interseção de y com x' 
Nessas condições, definimos: 
- Abscissa de P é um número real representado por P1 
- Ordenada de P é um número real representado por P2 
- A coordenada de P são números reais x' e y' , geralmente indicados na forma de 
par ordenado ( x' , y' ) 
- O eixo das abscissas é o eixo x 
- O eixo das ordenadas é o eixo y 
- A origem do sistema é o ponto 0 
- Plano cartesiano é o plano A. 
 
 
Depois desta revisão, vamos finalmente ver a Função do 1º grau! 
Exemplo: 
Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é 500 reais. Além disso, ele 
recebe de comissão 50 reais por produto vendido. 
a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em 
função do número x de produto vendido. 
[Sol] y=salário fixo + comissão 
 y=500 + 50x 
b) Quanto ele ganhará no final do mês se vendeu 4 produtos? 
[Sol] y=500+50x , onde x=4 
 y=500+50.4 = 500+200 = 700 
c) Quantos produtos ele vendeu se no final do mês recebeu 1000 reais? 
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[Solução] y=500+50x , onde y=1000 
 1000=500+50x » 50x=1000-500 » 50x=500 » x=10 
A relação assim definida por uma equação do 1º grau é denominada função do 1º 
grau, sendo dada por: 
 
y=f(x)=ax+b com , e 
 GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU: 
 
O gráfico de uma função do 1º grau de R em R é uma reta. 
 
EXEMPLO: 
1) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=x+1: 
[Solução] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes 
para y. 
 
x y=f(x)=x+1 
-2 -1 
-1 0 
0 1 
1 2 
2 3 
 
O conjunto dos pares ordenados determinados 
é f={(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)} 
 
 
2) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=-x+1. 
 
[Solução] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes 
para y. 
 
x y=f(x)=-x+1 
-2 3 
-1 2 
0 1 
1 0 
2 -1 
 
O conjunto dos pares ordenados 
determinados é f={(-2,3),(-
1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)} 
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Gráficos crescente e decrescente respectivamente: 
 
y = x+1 ( a> 0 ) ; onde a = 1 
 
Função crescente 
 
 y = -x+1 ( a<0 ); onde a=-1 
 
Função decrescente 
 
 
 
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RAIZ OU ZERO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU: 
 
Para determinarmos a raiz ou zero de uma função do 1º grau, 
definida pela equação y=ax+b, como a é diferente de 0, basta 
obtermos o ponto de intersecção da equação com o eixo x, 
que terá como coordenada o par ordenado (x,0). 
 
 
1) Considere a função dada pela equação y=x+1, determine a raiz desta função. 
[Solução] Basta determinar o valor de x para termos y=0 
x+1=0 » x=-1 
Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função. 
 
 
 
Note que o gráfico da função y=x+1, interceptará (cortará) o eixo x em -1, que é a 
raiz da função. 
 
 
 
 
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2) Determine a raiz da função y=-x+1 e esboce o gráfico. 
[Solução] Fazendo y=0, temos: 0 = -x+1 » x = 1 
Gráfico: 
 
 
Note que o gráfico da função y=-x+1, interceptará (cortará) o eixo x em 1, que é a 
raiz da função. 
SINAL DE UMA FUNÇÃO DE 1º GRAU: 
Observe os gráficos: 
 
 
 
a>0 a<0 
 
Note que para x=-b/a, f(x)=0 (zero da função). Para x>-b/a, f(x) tem o mesmo 
sinal de a. Para x<-b/a, f(x) tem o sinal contrário ao de a. 
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EXEMPLOS: 
1) Determine o intervalo das seguintes funções para que f(x)>0 e f(x)<0. 
a) y=f(x)=x+1 
[Solução] x+1>0 » x>-1 
 Logo, f(x) será maior que 0 quando x>-1 
 x+1<0 » x<-1 
 Logo, f(x) será menor que 0 quando x<-1 
b) y=f(x)=-x+1 
[Solução] * -x+1>0 » -x>-1 » x<1 
Logo, f(x) será maior que 0 quando x<1 
 -x+1<0 » -x<-1 » x>1 
 Logo, f(x) será menor que 0 quando x>1 
 
(*ao multiplicar por -1, inverte-se o sinal da desigualdade) 
DETERMINANDO UMA FUNÇÃO AFIM 
Descobrindo a lei de formação de uma função afim, conhecendo apenas os 
valores de dois pontos. Para isso, veremos as expressões para determinarmos os 
coeficientes por meio de uma expressão que depende apenas dos valores de cada 
ponto. 
Vamos determinar a função que passa por dois pontos. Para isso, precisamos 
encontrar as coordenadas destes dois pontos, sendo que a coordenada y’ é 
determinada pelo valor da função na coordenada x’ (x1, f(x1)), (x2, f(x2)). 
 
Pela definição de função afim, temos que ela é determinada pela seguinte 
expressão f(x)=ax+b, ou seja, para determinar tal função, basta encontrarmos os 
coeficientes a, b. Veremos que para descobrir estes coeficientes
precisamos apenas 
de dois pontos e o valor da função nesses pontos. 
 
Antes de mostrarmos a expressão do caso geral, vejamos como proceder em um 
exemplo. 
Com f(1)=4 e f(2)=6, temos, então, dois pontos e os valores da função nestes 
pontos. 
Para f(1) temos: f(1) = 4 = a.1+b 
Para f(2) temos: f(2) = 6 = a.2+b 
Destacaremos essas duas relações de igualdade: 
 
6=2a+b (-), se subtrairmos uma igualdade da outra, teremos o seguinte 
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resultado: 
4=a+b 
2=a, ou seja, a é igual a 2. Descobrimos o valor de um dos coeficientes. Para 
encontrarmos o outro, basta substituirmos o resultado em uma das igualdades. 
Usaremos a segunda: 
4=a+b 
como a=2 teremos , 4=2+b assim teremos, b=2 
Como f(x)=ax+b e a=2 e b=2, temos que esta função, para f(1)=4 e f(2)=6, 
será a seguinte: 
f(x)=2x+b. 
Mas este é o processo realizado para um caso específico. Como seria a expressão 
para determinarmos os valores dos coeficientes de qualquer função? Veremos 
agora. 
 
Seja y1=f(x1) e y2=f(x2), sendo estes pontos, pontos distintos. Teremos que a 
expressão destes pontos será dada da seguinte forma: 
y1=f(x1)=ax1+b 
y2=f(x2)=ax2+b, faça a subtração da expressão debaixo pela de cima. Com isso, 
teremos: 
 
Tendo a expressão para o coeficiente a, substituiremos a expressão para esse 
coeficiente em y1. 
 
Desta forma, veja que as expressões para os coeficientes a, b, são determinadas 
apenas pelos valores dos pontos, valores estes que conhecemos. 
Desta forma, fica demonstrado que é possível determinar uma função afim, 
conhecendo apenas os valores de dois pontos. 
 
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COEFICIENTE LINEAR DE FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
As funções do tipo f(x) = y = ax + b, com a e b números reais e a ≠ 0, 
são consideradas do 1º grau. Ao serem representadas no plano cartesiano, 
constituem uma reta crescente ou decrescente. E no caso de a = 0, a função é 
chamada de constante. 
Uma função possui pontos considerados essenciais para a composição correta de 
seu gráfico, e um desses pontos é dado pelo coeficiente linear da reta representado 
na função pela letra b, que indica por qual ponto numérico a reta intercepta o eixo 
das ordenadas (y). 
Nas funções a seguir, observe o valor numérico do coeficiente linear e o gráfico 
representativo da função: 
 
 
 
 
y = x + 1 
b = 1 
 
 
 
 
 
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y = –x – 1 
b = –1 
 
 
 
 
 y = 2x + 4 
b = 4 
 
 
 
 
 
 
 
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y = 2x – 4 
b = – 4 
 
 
 
 
 
y = 6x – 3 
b = – 3 
 
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y = 5x 
b = 0 
 
 
 
APLICAÇÕES DE FUNÇÃO DE 1º GRAU 
 
APLICAÇÃO 1 
 
 Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B. 
Condições dos planos: 
Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 140,00 e R$ 20,00 por consulta num 
certo período. 
Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 110,00 e R$ 25,00 por consulta num 
certo período. 
 Temos que o gasto total de cada plano é dado em função do número de consultas 
x dentro do período pré – estabelecido. 
Vamos determinar: 
a) A função correspondente a cada plano. 
b) Em qual situação o plano A é mais econômico; o plano B é mais econômico; os 
dois se equivalem. 
 
a) Plano A: f(x) = 20x + 140 
Plano B: g(x) = 25x + 110 
 
 
 
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b) Para que o plano A seja mais econômico: 
g(x) > f(x) 
25x + 110 > 20x + 140 
25x – 20x > 140 – 110 
5x > 30 
x > 30/5 
x > 6 
 
Para que o Plano B seja mais econômico: 
g(x) < f(x) 
25x + 110 < 20x + 140 
25x – 20x < 140 – 110 
5x < 30 
x < 30/5 
x < 6 
 
Para que eles sejam equivalentes: 
g(x) = f(x) 
25x + 110 = 20x + 140 
25x – 20x = 140 – 110 
5x = 30 
x = 30/5 
x = 6 
O plano mais econômico será: 
Plano A = quando o número de consultas for maior que 6. 
Plano B = quando número de consultas for menor que 6. 
 
Os dois planos serão equivalentes quando o número de consultas for igual a 6. 
 
APLICAÇÃO 2 
 
Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$ 16,00 mais um custo 
variável de R$ 1,50 por unidade produzida. Sendo x o número de peças unitárias 
produzidas, determine: 
 
a) A lei da função que fornece o custo da produção de x peças; 
b) Calcule o custo de produção de 400 peças. 
 
Respostas 
 
a) f(x) = 1,5x + 16 
 
b) f(x) = 1,5x + 16 
f(400) = 1,5*400 + 16 
f(400) = 600 + 16 
f(400) = 616 
 
O custo para produzir 400 peças será de R$ 616,00. 
 
 
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APLICAÇÃO 3 
 
Um motorista de táxi cobra R$ 4,50 de bandeirada mais R$ 0,90 por quilômetro 
rodado. Sabendo que o preço a pagar é dado em função do número de quilômetros 
rodados, calcule o preço a ser pago por uma corrida em que se percorreu 22 
quilômetros? 
 
f(x) = 0,9x + 4,5 
f(22) = 0,9*22 + 4,5 
f(22) = 19,8 + 4,5 
f(22) = 24,3 
 
O preço a pagar por uma corrida que percorreu 22 quilômetros é de R$ 24,30 
 
 
função do 2o grau (exercícios resolvidos e propostos).pdf
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 1 
FUNÇÃO DE 2º GRAU 
 
 
 
A função de 2º grau, ou função quadrática é aquela que possui a forma 
cbxxaxf ++= 2)( , com a, b e c reais e a ≠ 0. Tem uma grande aplicação prática, 
principalmente no cálculo de maximização e minimização. 
 
 
 
 
 
 A ilustração acima, nos dá uma idéia de onde podemos encontrar algumas apli-
cações da função de 2º grau. No 1º desenho temos um arco de ponte, o 2º desenho nos 
mostra uma ponte com passagem para o barco, a 3ª figura que nos mostra um coletor 
solar, embaixo, temos um túnel. Veja que com isso, percebemos que o gráfico da função 
de 2º grau descreve uma curva denominada parábola. 
 
Exemplos de função de 2º grau: 
a) 342 +−= xxy , onde a = 1, b = −4 e c = 3 
b) 32)( 2 ++−= xxxf , onde a = −1, b = 2 e c = 3 
 
 
 
 
 
 
 
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 2 
CÁLCULO DOS ZEROS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Denomina-se zero ou raiz da função cbxxaxf ++= 2)( , o valor de x que anula a fun-
ção, isto é 0)( =xf . 
 
Exemplos: 
Calcule os zeros (ou raízes) da função: 
a) 342 +−= xxy 
Basta igualar a função f(x) a zero, daí temos: 
0342 =+− xx (agora temos uma equação de 2º grau, que pode ser resolvida pela 
fórmula de Bháskara) 
02 =++ cbxxa ⇒ 
a
b
x
2
∆±−
= , onde ∆ é chamado de discriminante e é calcu-
lado por acb 42 −=∆ . 
Note que esse discriminante ∆ é quem vai nos dizer a quantidade de raízes que pos-
sui a equação de 2º grau. 
 
 
Se ∆ > 0 (isto é, positivo, significa que teremos duas raízes reais e diferentes na e-
quação) 
Se ∆ = 0 (isto é, nulo, significa que teremos duas raízes reais e iguais, ou uma única 
raiz) 
Se ∆ < 0 (isto é, negativo, significa que não teremos nenhuma raiz real)
Assim, voltando a nossa equação 0342 =+− xx , vamos calcular o valor de ∆ 
acb 42 −=∆ ⇒ 41216314)4( 2 =−=⋅⋅−−=∆ , como ∆ = 4 (positivo, então te-
remos duas raízes reais e diferentes) 
a
b
x
2
∆±−
= ⇒ 
2
24
12
4)4( ±
=
⋅
±−−
=x ⇒ 1
2
2
2
24
==
−
=′x e 
3
2
6
2
24
==
+
=′′x , logo, as raízes são: 1 e 3. 
 
 
b) 32)( 2 ++−= xxxf 
Igualando a função a zero, temos 0322 =++− xx (fica mais fácil fazer as contas, 
se multiplicarmos a expressão 0322 =++− xx por −1) 
O que temos agora 0322 =−− xx , calculando acb 42 −=∆ 
)3(14)2( 2 −⋅⋅−−=∆ 
16124 =+=∆ , mais uma vez, teremos duas raízes reais e diferentes. 
a
b
x
2
∆±−
= ⇒ 
2
42
12
16)2( ±
=
⋅
±−−
=x ⇒ 1
2
2
2
42
−=
−
=
−
=′x e 
3
2
6
2
42
==
+
=′′x , 
logo, as raízes são −1 e 3. 
 
 
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 3 
c) xxxf 105)( 2 += 
Igualando a função a zero, temos 0105 2 =+ xx , e podemos notar que a equação de 
2º grau que se apresentou é incompleta, pois está faltando o termo c, que neste caso, 
será zero. 
Fica mais fácil, então, no lugar de usar a fórmula de Bháskara, colocar o x em evi-
dência, assim: 0105 2 =+ xx ⇒ 0)105( =+xx ⇒ 0=′x e 0105 =+x ⇒ 
105 −=x ⇒ 
5
10−
=x ⇒ 2−=′′x , logo, as raízes são 0 e −2. 
 
d) 4)( 2 −= xxf 
Igualando a função a zero, temos 042 =−x , e também podemos notar que essa 
equação, também é incompleta, pois está faltando o termo b, que neste caso, é zero. 
Também fica mais fácil resolver sem usar a fórmula de Bháskara, assim: 
042 =−x ⇒ 42 =x ⇒ 4±=x ⇒ 2±=x , logo, as raízes são −2 e 2. 
 
 
GRÁFICO 
Como vimos, na definição introdutória, o gráfico da função de 2º grau é uma curva de-
nominada parábola, que terá concavidade voltada “para cima” se a > 0 ou voltada “pa-
ra baixo” se a < 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Concavidade voltada para cima (a > 0) 
Corta o eixo x em 
dois pontos, logo, 
temos duas raízes 
reais e diferentes, 
isto é, ∆ > 0 
Corta o eixo x em 
um único ponto, 
logo, temos uma 
única raiz real, 
isto é, ∆ = 0 
Não corta o eixo x, 
logo, não temos 
raízes reais, isto é, 
∆ < 0 
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COORDENADAS DO VÉRTICE 
 Podemos observar que, se a concavidade da parábola, estiver voltada “ para ci-
ma” (ou seja a > 0), a parábola apresenta um ponto que é o “mais baixo” (ponto de mí-
nimo da função), mas, se a concavidade estiver voltada “para baixo” (a < 0), então a 
parábola apresenta um ponto que é o “mais alto” (ponto de máximo da função). Esse 
ponto (mínimo ou máximo) é chamado de vértice ),( VV yxV da parábola e suas coor-
denadas são 
a
b
xv 2
−= e 
a
yv 4
∆
−= , sendo que a reta que contém o vértice da parábola 
e é paralela ao eixo y é denominada de eixo de simetria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eixo de simetria 
V (vértice) 
Eixo de simetria 
V (vértice) 
a > 0 a < 0 
Concavidade voltada para baixo (a < 0) 
Corta o eixo x em 
dois pontos, logo, 
temos duas raízes 
reais e diferentes, 
isto é, ∆ > 0 
Corta o eixo x em 
um único ponto, 
logo, temos uma 
única raiz real, 
isto é, ∆ = 0 
Não corta o eixo x, 
logo, não temos 
raízes reais, isto é, 
∆ < 0 
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 5 
Com esses dados, podemos calcular maximização ou minimização em várias situações: 
Exemplo: 
O lucro mensal de uma empresa é dado por 1610)( 2 −+−= xxxL , em que x é a quanti-
dade vendida. 
a) Para que valores de x, o lucro é nulo, ou seja, não houve lucro? 
b) Qual será o valor de x para obtermos o maior lucro possível? 
c) Qual é esse maior lucro? 
 
Resolução 
a) se queremos saber, para que valor de x o lucro é nulo, basta igualar a função a zero 
)1(016102 −=−+− xx ⇒ 016102 =+− xx (usando a fórmula de Bháskara, te-
mos) 2x =′ e 8x =′′ , ou seja, quando para x = 2 ou x = 8 
b) basta calcular o xv, então temos: 
a
b
xv 2
−= ⇒ 5
2
10
12
)10(
==
⋅
−
−=vx , significa que 
quando vender 5 unidades, a empresa terá conseguido seu lucro máximo. 
c) agora é só calcular o yv, que nesse caso, fica mais fácil se substituirmos o xv na fun-
ção assim, 1610)( 2 −+−= xxxL ⇒ 165105)5( 2 −⋅+−=L ⇒ 
9165025)5( =−+−=L , ou seja, quando a empresa tiver conseguido vender 5 uni-
dades, então terá o seu maior lucro que será de 9 unidades monetárias. 
 
EXERCÍCIOS 
 
Questão 01 
Dadas as funções de IR em IR, marque com um X aquelas que são funções de 2º grau: 
a) ( ) 163)( 2 +−= xxxf 
b) ( ) xxy 42 +−= 
c) ( ) 82)( −= xxf 
d) ( ) 73)( += xxf 
e) ( ) 
xx
xf 45)( 2 −= 
f) ( ) 
6
5
8
2
−=
xy 
g) ( ) 3
316)(
x
xf −= 
 
Questão 02 
Dada a função 65)( 2 +−= xxxf , calcule: 
a) f(−1) b) f(0) c) f(1) d) f(2) e) f(3) 
 
Questão 03 
Calcule os zeros (raízes) de cada função: 
a) 2452 −−= xxy 
b) 24 2 +−= xxy 
c) 96)( 2 +−= xxxf 
d) 9)( 2 −= xxf 
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 6 
Questão 04 
Dizer se as funções quadráticas abaixo têm concavidade voltada para cima ou para bai-
xo: 
a) 432 2 +−= xxy 
b) 96)( 2 −+−= xxxf 
c) 2)( xxf = 
d) 162)( 2 +−= xxf 
 
 
Questão 05 
O valor mínimo de y em 652 +−= xxy é: 
a) −0, 25 
b) −0, 5 
c) 0 
d) 2, 5 
e) 3, 0 
 
 
Questão 06 
A temperatura, em graus centígrados, no interior de uma câmara, é dada pela função 
Atttf +−= 7)( 2 , onde t é medido em minutos e A é constante. 
Se, no instante t = 0, a temperatura é de 10º C, o tempo gasto pra 
que a temperatura seja mínima, em minutos, é: 
a) 3, 5 
b) 4, 0 
c) 4, 5 
d) 6, 5 
e) 7, 5 
 
 
 
Questão 07 
Para um indivíduo sadio em repouso, o número N de batimentos cardíacos por minuto 
varia em função da temperatura ambiente t (em graus Celsius), segundo a função 
9041,0)( 2 +−= tttN . Nessas condições, em qual tem-
peratura o número de batimentos cardíacos por minuto é 
mínimo? 
a) 31º C 
b) 12, 4º C 
c) 20º C 
d) 25º C 
 
 
 
 
 
 
 
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 7 
Questão 08 
O físico francês Poiseuille, foi o primeiro a descobrir que o sangue flui mais perto do 
centro de uma artéria do que nas extremidades. 
Testes experimentais mostraram que a velocidade do sangue num 
ponto a r cm do eixo central de um vaso sanguíneo é dada pela 
função )()( 22 rRCrV −= em cm/s 
em que C é uma constante e R é o 
raio do vaso. 
Supondo, para um determinado vaso, 
que seja 4108,1 ⋅=C e 210−=R cm, 
calcule: 
 
a) a velocidade do sangue no eixo central do vaso sanguíneo; 
b) a velocidade do sangue no ponto médio entre as parede do vaso e o eixo central. 
 
 
Questão 09 
Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita em fun-
ção do tempo (em segundos) pela expressão 233)( ttth −= , onde h é a altura máxima 
atingida em metros. 
a) Em que instante t o grilo retorna ao solo? 
b) Qual é a altura máxima, em metros, atingida pelo grilo? 
 
 
Questão 10 
Uma espécie animal, cuja família no início era composta de 200 elementos, foi testada 
num laboratório
sob a ação de uma certa droga. Constatou-se que a lei de sobrevivência 
nesta família obedecia à relação battn += 2)( em que n(t) é igual ao número de ele-
mentos vivos no tempo t (dado em horas); a e b são parâmetros que dependem da droga 
ministrada. Sabe-se que a família desapareceu (morreu seu último elemento) quando 
t = 10h (após o início da experiência). Calcular quantos elementos tinha essa família 8 
horas após o início da experiência. 
 
 
Questão 11 
Num certo dia, numa praia, a temperatura atingiu o seu valor máximo às 14 horas. Su-
ponhamos que, nesse dia, a temperatura f(t) em graus era uma função do tempo t, medi-
do em horas, dada por 160)( 2 −+−= tbttf , quando 208 ≤≤ t . Obtenha: 
a) o valor de b; 
b) a temperatura máxima atingida nesse dia; 
 
 
Questão 12 
De uma folha de papel retangular de 30 cm por 20 cm são retirados, de seus quatro can-
tos, quadrados de lado x. Determine a expressão que indica a área da parte que sobrou 
em função de x. 
 
 
 
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 8 
Questão 13 
Os diretores de um centro esportivo desejam cercar uma quadra de basquete retangular e 
o espaço em volta dela com tela de alambrado. Tendo recebido 200 m de tela, os direto-
res desejam saber quais devem ser as dimensões do terreno a cercar com tela para que a 
área seja a maior possível. 
 
Questão 14 
Deseja-se construir uma casa térrea de forma retangular. O retângulo onde a casa será 
construída tem 80 m de perímetro. 
Calcule as dimensões desse retângulo sabendo que a área de sua região deve ser a maior 
possível. 
 
Questão 15 
Um fazendeiro precisa construir um galinheiro de forma retangular utilizando-se de uma 
tela de 16 metros de comprimento. Sabendo que o fazendeiro vai usar um muro como 
fundo do galinheiro, determine as dimensões do mesmo para que a sua área seja máxi-
ma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 16 
O espaço percorrido S por um corpo em queda livre, durante um certo tempo t, é dado 
pela função 29,4)( ttS = . 
 
 
Considerando que um corpo está em queda livre: 
 
a) Qual é o espaço, em metros, que ele percorre após 3s? 
b) Em quanto tempo ele percorre 122, 5m? 
 
 
 
 
Questão 17 
Uma bola é lançada ao ar. Suponha que a altura h, em metros, t segundos após o lança-
mento, seja 642 ++−= tth . 
Determine: 
 
 
a) o instante em que a bola atinge a sua altura 
máxima; 
b) a altura máxima atingida pela bola; 
c) quantos segundos depois de lançada, ela toca 
o solo? 
 
x x 
y 
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 9 
Questão 18 
A trajetória de uma bola, num chute a gol, descreve aproximadamente uma parábola. 
Supondo que a sua altura h, em metros, t segundos após o chute, seja dada pela fórmula 
tth 62 +−= , determinar: 
 
 
a) em que instante a bola atinge a altura má-
xima? 
b) qual é a altura máxima atingida pela bola? 
 
 
Questão 19 
Nos acidentes de trânsito, uma das preocupações dos especialistas em tráfego é desco-
brir qual a velocidade do veículo antes da colisão. 
Uma das fórmulas utilizadas é 
250
1,0
2v
vd += na qual v é a velocidade, em quilômetros 
por hora, desenvolvida pelo veículo antes do choque e d, a distância, em metros, que o 
mesmo percorre desde que o motorista pressente o acidente até o mesmo parar. 
Essa é uma função do 2º grau que relaciona uma 
distância, muitas vezes determinada pelas marcas de 
pneus na pista, após utilização brusca dos freios, e a 
velocidade que o carro trafegava. 
 
Quantos metros percorre um carro a 80 km/h, desde 
o momento em que vê o obstáculo, até o carro pa-
rar? 
 
 
 
 
 
Questão 20 
O impacto de colisão I (energia cinética) de um automóvel com massa m e velocidade v 
é dado pela fórmula 2vmkI = . Se a velocidade triplica, o que acontece ao impacto de 
colisão de um carro de 1.000 kg? 
 
Questão 21 
Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de certo produto é dado pela fórmula 
000.3802 +−= xxC . 
Nessas condições, calcule: 
a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo. 
b) o valor mínimo do custo. 
 
Questão 22 
A receita diária de um estacionamento para automóveis é 25100 ppR −= , em que p é 
o preço cobrado por dia de estacionamento por carro. 
a) Qual o preço que deve ser cobrado para dar uma receita diária de R$ 375,00? 
b) Qual o preço que deve ser cobrado para que a receita seja máxima? 
 
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 10 
Questão 23 
Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula L = R − C, em que L é o 
lucro total, R é a receita total e C é o custo total da produção. 
Numa empresa em que se produziu x unidades, verificou-se que 2000.6)( xxxR −= e 
xxxC 000.2)( 2 −= . Nessas condições, qual deve ser a produção x para que o lucro da 
empresa seja máximo? 
 
Questão 24 
A venda de x milhares de unidades de um determinado CD-ROM produzido para mi-
crocomputadores Compaq gera uma receita dada por 27 xxR −= unidades monetárias. 
O custo para produzir estas unidades é dado por 5+= xC unidades monetárias (u.m). 
Nestas condições: 
a) determine o valor do lucro máximo (em u.m) 
b) o nível de produção x para que o lucro seja máximo. 
 
 
Questão 25 
Define-se custo médio de produção Cm (x) o valor de produção de uma peça de um lote 
de x peças. Assim, o custo médio é calculado dividindo-se o custo total pelo número de 
peças produzidas: 
x
xC
xCm )()( = . Se o custo médio de produção de certa mercadoria é 
dado por 
x
xxCm 103)( ++−= e a função receita é dada por 2210)( xxxR −= (x é dado 
em milhares), obtenha o número de peças a serem produzidas para que o lucro seja má-
ximo. 
 
Questão 26 
O custo médio de fabricação de x unidades de um produto é x
x
xCm ++= 20000.2)( e a 
função receita é 22200)( xxxR −= . Nestas condições, obtenha a quantidade que deve 
ser produzida e vendida para maximizar o lucro. 
 
Questão 27 
Um sitiante plantou 30 abacateiros e cada árvore produz 100 abacates em média. Pre-
tendendo aumentar o número de árvores, o sitiante consultou um especialista que o in-
formou que cada árvore nova plantada fará diminuir em 2 abacates o número médio 
produzido pelas árvores. Nestas condições, quantas árvores ele deverá plantar para obter 
o número máximo de abacates? 
 
Questão 28 
Para uma determinada viagem, foi fretado uma avião com 100 lugares. Cada pessoa de-
ve pagar à companhia R$ 500,00 além de uma taxa de R$ 6,00 para cada lugar não ocu-
pado do avião. 
a) Qual a receita arrecadada se compareceram 80 pessoas para a viagem? 
b) Qual a receita máxima que pode ser arrecadada nas condições do problema? 
 
 
 
Funções (exercícios).pdf
 
 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
 Faculdade de Matemática – Departamento de Matemática 
 Cálculo Diferencial e Integral I 
 
 
 
Lista de Exercícios – Funções 
 
1) O gráfico abaixo expressa a temperatura em graus Fahrenheit em função da temperatura em graus Celsius. 
 
 
 
)( Fo 
)212,100(•
)32,0(• )( Co 
 
a) Encontre a equação que expressa os graus Fahrenheit em função dos graus Celsius; 
b) Determine o valor aproximado da temperatura na escala Celsius correspondente a zero graus Fahrenheit. 
 
2) Dada a função = 3x + 5, determine )(xf
4
)0()3(
−
+− ff
 . 
 
3) Considere f: IR → IR dada por f(x) = 3x – 2 e determine o número real x de modo que f(x) = 0. 
 
4) Os esboços seguintes representam funções; observando-os, determine o domínio e o conjunto imagem de cada 
uma das funções.
2
5) Numa câmara onde se desenvolve um processo químico, um termômetro marca a temperatura T no decorrer da 
experiência. Sendo t o tempo passado após o início, que se deu às 12 horas, tem-se T , 
relação válida no intervalo de tempo , onde T está em graus Celsius, e em horas. Baseando-se no 
gráfico a seguir, que representa a função acima definida, pede-se: 
101812−2 23 ++= ttt
]
40 ≤≤ t t
a) a máxima temperatura atingida e a hora em que isso ocorreu; 
b) a mínima temperatura atingida e a hora em que isso ocorreu; 
c) os valores máximo e mínimo da função, bem como os pontos de máximo e de mínimo; 
d) os (maiores) subintervalos de onde a função é crescente e onde a função é decrescente; [ 4;0
e) a temperatura às 14 horas; 
f) o número de vezes que a temperatura atingiu 16o e aproximadamente a hora que isso ocorreu pela primeira 
vez; 
g) verifica se a temperatura às 12h45min foi maior ou menor do que a temperatura às 14h30min. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Dadas as funções e f g definidas por : 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−
≤≤−−
−<+
=
2,12
21,4
1,2
)( 2
xsex
xsex
xsex
xf , ⎪⎩
⎪⎨⎧ >−
≤−=
0,1
0,
)(
3 xsex
xsex
xg , pede-se: 
a) ; b) )1()2( −+ ff ))5(( −ff ; c) ( )
)4(
23
−g
f
; 
d) )2()3( g
g
f −⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
 ; e) )2()( −⋅ gf ; f) ; ))1((gf
g) o gráfico cartesiano e a imagem da função ; f
h) o gráfico cartesiano e a imagem da função . g
 
7) Considerando o gráfico da função (abaixo), esboçe o gráfico cartesiano das funções que seguem: f
a) 2)( +−= xfy
1−
1
2
4
x 0
y 
 
b) )(
2
1 xfy = 
 
c) 1)( −= xfy 
 
d) 1)2( −+= xfy
 
 3
8) Dadas as funções definidas por 
4
1)(,4)( 2 −=+= xxgxxf e , pede-se: 13)( −=
xxh
a) b) )(1 xh− )1(−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
f
gh
 c) d) )( fgDom o )( gfDom ⋅
e) f) o gráfico cartesiano de g) )()( xfg o )( fg o )( hag + 
 
9) Encontre a função inversa de f(t)= 50e0,1t
 
10) Relacione adequadamente um gráfico a cada situação relatada: 
 
(a) Eu tinha acabado de sair de casa, quando percebi que havia esquecido meus livros; então eu voltei para 
buscá-los. 
(b) Tudo ia bem até que o pneu furou. 
(c) Eu iniciei calmamente, mas aumentei a velocidade quando me dei conta de que iria me atrasar. 
(d) Saí rapidamente de casa, mas comecei a andar mais lentamente para poder apreciar as vitrines das lojas. 
 (1) (2) 
 
 
 
(3) (4) 
 
 
 
 
11) Determine e representa graficamente o domínio das seguintes funções, considerando x como variável real de 
entrada. 
a) xy −= 3 b) 
3 2 2
5)(
−
=
x
xxf c) 26)( xxxy −+= 
d) 
2
12
−
−=
x
xz e) 412)( −−= xxf f) 
7
1
+= xy 
 
12) Determine o domínio das seguintes funções reais: 
a) =)(xf
3−x
x
 e) =)(xf
2x
2-x
+ 
b) =)(xf
7x
1x
2 −
+
 f) =)(xf
1x
144x7x- 2 +−++ 
Distância 
de casa 
tem
Distância 
de casa 
tempo po
tempo
Distância 
de casa 
tempo 
Distância 
de casa 
 4
c) =)(xf
4
24
2 −
+
x
x
 g) =)(xf 225 22 −+− xx 
d) =)(xf
4
1
56
1
2 +++− xxx h) =)(xf 32 −x
x
 
13) Uma panela contendo um pedaço de gelo a - 40oC, é colocada sobre a chama de um fogão. O gráfico abaixo 
mostra a evolução da temperatura T (em graus Celsius) em função do tempo t (em minutos). 
Expresse T em função de t, nos seguintes intervalos de t. 
 a) 0 ≤ t < 4 b) 4 ≤ t < 8 c) 8 ≤ t < 12 d) 12 ≤ t ≤ 20 
 
 2 4 6 8 10 12 14 16 
-40 
0 
 100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) Determine as funções g(x) e h(x), sabendo que =)(xf goh(x). 
 a) =)(xf 2x + b) =)(xf 53xx2 +− c) =)(xf
x-3
1
 
 
15)Represente geometricamente cada função y = f(x). Determine seu domínio e sua imagem. 
 
a) y = x2 b) y = x2 –1 c) y = x2 + 2 
 
d) y = ( x – 1 )2 e) y = ( x + 2 )2 f) y = ⏐ x ⏐ 
 
g) y = ⏐x ⏐- 1 h) y = ⏐ x ⏐+ 3 i) y = ⏐ x – 1 ⏐ 
 
j) y = ⏐ x + 2 ⏐ k) y = ⏐ x2 – 1 ⏐ x y l) = 
 
 x- y o) 1x y n) 1-x y m) =+== 
 
 
3
6x y r) 
2
4x y q) x- y p) 
22
−
−−=+
−==
x
x
x
 
 
 
2 xse , 1
20 se ,3x
0 xse 3,-2x
y v)
 1 
x
1 y u)
1-x
1 y t) 
x
1 y s)
2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤<−
<
=
+===
x
 
16) Estima-se que, daqui a t anos, a população de um certo país será de P(t) = 50e0,02t milhões de habitantes. 
 a) Qual é a população atual do país? 
 b) Qual será a população, daqui a 30 anos? 
 
 
 5
17) Fazer um esboço do gráfico das seguintes funções: 
 a) y = sen ( 2t) b) y = sen( t/2) c) y = 2cos t 
 
 d) y = -3cos t e) y= 2sen ( 2t) f) y= 1+ 2 sen t 
 
Nota: Seja f(t) = A sen ( Bt) ou g(t) = A cos ( Bt): 
 A é a amplitude: (metade da distância entre os valores máximo e mínimo) 
 Período : 
B
2π ( tempo necessário para que a oscilação complete um ciclo) 
 
Respostas 
 
1) 328,1)()( += CCFa o77,17)( −≅Cb
2) –1/4 
 
3) 2/3 
 
4) (a) (b) 
)2,2[f Im
)3,2[ 
−=
−=fDom
)3,2(f Im
)4,2( 
−=
−=fDom
 (c) 
]2,0[f Im
]5,0[f 
=
=Dom
 
 (d) (e) 
]3,1[f Im
)3,3(f 
−=
−=Dom
]3,2(f Im
}1{]4,3[f 
−=
−−=Dom
 (f) 
)3,1(f Im
}1{)3,3(f 
−=
−−=Dom
 
5) (a) e (b) e hàs 13,18o hàs 16 hàs 12,10o hàs 15
 (c) máximo : e mínimo : o18 o10
 pontos de máximo : 1 e 4 
 pontos de mínimo : 0 e 3 
 (d) crescente : [ ] [ 4;31;0 ∪ ]
h
 decrescente : [ ] 3;1
 (e) 14 Co
 (f ) 3 vezes; primeira vez aproximadamente às 12 min30
 (g) maior 
6) (a) (b) (c) 3− 5
8
7− (d) 
26
177− (e) (f ) 0 4− (g) [ )∞+− ;4
 
 
 (h) ( )∞+− ;1 
 
 
o 
o 
• 
• 
f 
g
• 
o 
 
 
 6
 
7) 
(a) (b) 
 
 
(c) (d) 
 
 
8) (a) (b) )1(log3 +x 3
3− (c) [ ) { }0;4 −∞+− 
 (d) [
(e) ) { 2,2;4 −−∞+− }
xx
1
4)4(
1
2
=
−+
 
 
 (f) 
 
o - 1/4 
 (g) 
42
1
22 −++ haha 
 
 
 7
9) 101 50lnln10)( −=− ttf 
 
10) d→1 b→2 a→3 c→4
 •
3 
 
11) (a) ( ]3;∞−=fDom
 
 (b) { }2;2−−= IRfDom o o
2− 2 
 ••
2− 3 (c) [ ]3;2−=fDom
 
 (d) [ ] ( )∞+∪−= ;21;1fDom o1− 1 2•• 
 (e) ⎟⎠
⎞⎢⎣
⎡ ∞+∪⎥⎦
⎤⎜⎝
⎛ −∞−= ;
2
5
2
3;fDom 
2
3− 
2
5
 
• •
o
7 
 
 (f) { }7−= IRfDom
 
 
12) (a) IR - {3} (e) [2, +∞ ) 
 (b) IR – { 7± } ( f ) [-4, 11] – {-1} 
 (c) (- , -2)U(2, + ) ( g) [-5, -∞ ∞ 2 ] U [ 2 , 5] 
 (d) IR – {-4, 1, 5} (h) (3/2, +∞ ) 
 
 
13) 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
−
=
se
set
se
set
T
,100
,20025
,0
,4010
2012
128
84
40
≤≤
<≤
<≤
<≤
t
t
t
t
 
 
14) 
x
xgxxhc
xxgxxxhb
xxgxxha
1)(3)()(
)(53)()(
)(2)()(
2
=−=
=+−=
=+=
 
 
16) a) 50 milhões b) 91,11 milhões 
		Respostas
Funções 2 - Função do 1º grau.pdf
APOSTILA FUNÇÃO DO 1º GRAU - PROF. CARLINHOS 
 
 1
 
 
 
 
 
 
 
ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI 
 
 
UNITAU 
 
 
APOSTILA 
 
 
FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
 
 
PROF. CARLINHOS 
 
 
 
 
 
 
 
NOME: NO: 
 
 
 
APOSTILA FUNÇÃO DO 1º GRAU - PROF. CARLINHOS 
 
 2
FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
DEFINIÇÃO 
Chama-se função do 1.° grau toda função definida de por f(x) = ax + b com a, b e a 0. 
Exemplos: 
f(x) = 5x – 3, onde a = 5 e b = – 3 (função afim) 
f(x) = 6x, onde a = 6 e b = 0 (função linear) 
f(x) = x, onde a = 1 e b = 0 (função identidade) 
 
GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1.º GRAU 
 
O gráfico de uma função do 1.º grau é uma reta não-paralela nem ao eixo x nem ao eixo y. Seu domínio é 
D(f) = e sua imagem é Im(f) = . 
 
1.º exemplo: Construir o gráfico da função y = 2x + 3 (a = 2 > 0) 
Resolução: Sabendo que o gráfico da função y = 2x + 3 é do 1.º grau, precisamos somente conhecer dois 
de seus pontos para traçá-lo. Esses dois pontos podem ser obtidos atribuindo-se dois valores arbitrários 
para x e determinando suas ../imagens (y). 
Para x = 0 y = 3 
Para x = – 2 y = -1 
Para x = – 1 y = 1 
 
2.º exemplo: Construir o gráfico da função 
f (x) = – 2x + 3 (a = – 2 < 0) 
 
Conclusão: 
Se a > 0, a função y = ax + b é crescente. 
Se a < 0, a função y = ax + b é decrescente. 
 
ZERO OU RAIZ DA FUNÇÃO DO 1.º GRAU 
 
Chama-se zero ou raiz da função do 1.º grau f(x) = ax + b o valor de x para o qual f(x) = 0, logo: 
ax + b = 0 ⇒ ax = -b ⇒ x = -
a
b
. 
 
 
 
 
 raiz ou zero 
 
 -
a
b
 
 
 
Observação: geometricamente, o zero da função do 1.º grau é a abscissa do ponto em que a reta corta o 
eixo x. Então, no exemplo, temos: 
 o x 
 f(x) 
x 
APOSTILA FUNÇÃO DO 1º GRAU - PROF. CARLINHOS 
 
 3
COEFICIENTES ANGULAR E LINEAR DA RETA: 
 
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta, que é o valor da tangente do ângulo do αααα 
que reta forma com o eixo 0x, medido do eixo para reta no sentido anti-horário. 
O termo constante b, é, chamado coeficiente linear da reta, que é, o valor da ordenada do ponto em que a 
reta corta o eixo 0y. 
 
 f(x) a = tg α 
 
 α 
 o 
 x 
 coeficiente linear (b) 
 
 
Observando os gráficos dos exemplos anteriores, podemos concluir que: 
 
1º) Quando o coeficiente angular é positivo, ou seja , a>0, a função é crescente. 
2º) Quando o coeficiente angular é negativo, ou seja , a<0, a função é decrescente. 
 
Exemplos 
1) Determinar a raiz e fazer a representação gráfica das funções: 
 
a) f(x) = 3x+6 
 
Resolução: 3x + 6 = 0 ⇒ 3x = -6 ⇒ x = -2(raiz) 
 
 
 f(x) 
 
 
 6 coeficiente 
 linear 
 
 raiz 
 
 -2 o x 
 
 
b) f(x)= -x+3 
 
Resolução: -x+3=0 ⇒ -x = -3 (-1 ⇒ x = 3(raiz) 
 
 f(x) 
 
 3 (coef. Linear) 
 
 
 raiz 
 
 o 3 x 
 
2) Determine os coeficientes angular e linear das retas representadas pelas funções abaixo e classifique-as 
em crescente ou decrescente. 
 
a) f(x) = 5x+9 
APOSTILA FUNÇÃO DO 1º GRAU - PROF. CARLINHOS 
 
 4
 
Resolução: Coeficiente angular a=5, linear b=9. 
a = 5 > 0, logo, é crescente a função. 
 
b) f(x) = -4x+8 
 
Resolução: Coeficiente angular a = -4, linear b = 8. 
a = -4 < 0, logo, é decrescente a função. 
 
 
ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO DE 1º GRAU 
 
Estudar o sinal da função de 1º grau y = ax + b significa determinar para quais valores de x a função é 
positiva , nula ou negativa. No estudo do sinal devemos considerar 2 casos: 
 
1º caso: a > 0 (função crescente) 
 
 
 
 y 
 
 
 
 y>0 
 + 
 -b/a 
 _ o x 
 
y<0 
 
• x > -
a
b
⇒ y > 0 • x = - 
a
b
 ⇒ y = 0 • x < -
a
b
 ⇒ y < 0 
 
 
 y>0 
 + 
 _ -b/a x 
 y<0 
 
 
2º caso: a < 0 (função decrescente) 
 
 
 y 
 
 + 
 y>0 
 
 -b/a 
 o _ x 
 y<0 
 
 
APOSTILA FUNÇÃO DO 1º GRAU - PROF. CARLINHOS 
 
 5
• x < -
a
b
⇒ y > 0 • x = - 
a
b
 ⇒ y = 0 • x > -
a
b
 ⇒ y < 0 
 
+ 
 y>0 
 -b/a 
 _ x 
 y<0 
 
 
Exemplo: Estudar o sinal das funções: 
 
a) y = x-4 
 
Resolução: x-4 = 0 ⇒ x = 4 
Como a =1> 0, a função é crescente, logo: 
 
 
 y>0 
 4 + 
 _ x 
 y<0 
 
 
• x > 4 ⇒ y > 0 
 
• x = 4 ⇒ y = 0 
 
• x < 4 ⇒ y < 0 
 
b) y = -2x + 5 
 
Resolução: -2x + 5 =0⇒ -2x = -5 (-1 ⇒ 2x = 5 ⇒ x =
2
5
 
Como a = -2 < 0, a função é decrescente,logo:
+ 
 y>0 
 x 
 
2
5
 y<0 - 
 
• x < 5/2 ⇒ y > 0 
 
• x = 5/2 ⇒ y = 0 
 
• x > 5/2 ⇒ y < 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA FUNÇÃO DO 1º GRAU - PROF. CARLINHOS 
 
 6
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM 
 
 
1) Classifique as funções do 1º grau abaixo em afim(A), linear(L) e identidade(I); 
 
a) y = 3x resp: L b) f(x) = x resp: I c) f(x) = 4x - 7 resp: A d) y = =5x +9 resp: A 
 
2) Determine m, de modo que f(x) = (4m + 16)x - 6, seja uma função: 
a) constante resp: m = - 4 b) do 1º grau resp: m ≠ -4 
 
3) Determine p, de modo que f(x) = (5p + 15)x + 6, seja uma função do 1º grau: 
a) crescente resp: p > - 3 b) decrescente resp: p < - 3 
 
4) Determine o valor de m, de modo que a função f(x) = 5x + ( m - 5), intercepte o eixo 
x, no ponto de abscissa 1. resp: m = 0 
 
5) Determine o valor de m, de modo que o coeficiente angular da reta definida pela 
função f(x) = (m + 7)x - 8, seja igual a 10. resp: m = 3 
 
6) Determine o valor de p, de modo que o coeficiente linear da reta definida pela função 
f(x) = x - (p + 8), seja igual a -1. resp: m = - 7 
 
7) Determine o valor de m, de modo que a raiz da função f(x) = (2m + 7)x - 8, seja 
igual a 1. resp: m = 1/2 
 
8) Dada a função f(x)= 4x-8. Determine: 
a)Os coeficientes angular e linear da reta. resp: angular a = 4 linear b = -8 
b) Se ela é crescente ou decrescente. resp: crescente 
c) A raiz. resp: 2 
d) O gráfico. resp: y 
 
 
 o 2 x 
 
 
 8 
 
9) Dada a função f(x)= -3x-3. Determine: 
a)Os coeficientes angular e linear da reta. resp: angular a = -3 linear b = -3 
b) Se ela é crescente ou decrescente. resp: decrescente 
c) A raiz. resp: -1 
d) O gráfico. resp: y 
 
 -1 
 0 x 
 -3 
 
 
 
 
APOSTILA FUNÇÃO DO 1º GRAU - PROF. CARLINHOS 
 
 7
10) Determine a função do 1º grau cujo o gráfico passa pelos pontos A(0; -1) e B(1; 3). 
 resp: f(x) = 4x - 1 
 
11) O custo de produção de um determinado produto é dado pelo gráfico abaixo: 
 y (reais) Determine o custo de produção de 15 produtos. 
 
 
 20 
 
 5 
 
 0 5 x (unidades produzidas) resp: R$ 40,00 
 
12) Estude o sinal da função do 1º grau: 
 
a) y = 3x+9 resp. y>0 para x>-3, y=0 para x=-3 e y<0 para x<-3 
b) y = -4x+16 resp: resp. y>0 para x<4, y=0 para x=4 e y<0 para x>4 
c) y= 6x-30 resp: resp. y>0 para x>5, y=0 para x=5 e y<0 para x<5 
d) y= -2x+1 resp: resp. y>0 para x< 1/2, y=0 para x=1/2 e y<0 para x>1/2 
 
13) Resolva os sistemas: 
a) 



>+
≥−
106
15154
x
x
 resp: S= { x∈ℜ/ x≥ 5} b) 





>−
<−
−>−
02
1022
105
x
x
x
 resp: S= { x∈ℜ/ 2<x<6} 
14) Resolva as inequações: 
 
 a) 1<3x-2≤10 resp: S = { x∈ℜ/ 1<x≤4} 
 b) 2x-5<3x+4<6x+6 resp: S = { x∈ℜ/ x > -2/3} 
 c) (x+2).(-2x+3) ≥0 resp: S = { x∈ℜ/ -2≤ x ≤ 3/2} 
 d) (-x+1).( -2x+10).(x+3) >0 resp: S = { x∈ℜ/ -3< x <1 ou x > 5} 
 e) 
2
43
−
−
x
x
< 0 resp: S = { x∈ℜ/ 4/3 < x < 2} 
 f) 
3
)4).(2(
+
−−
x
xx
≥0 resp: S = { x∈ℜ/x < -3 ou 2≤ x ≤4} 
 
15) (Unesp) A unidade usual de medida para a energia contida nos alimentos é kcal 
(quilocaloria). Uma fórmula aproximada para o consumo diário de energia (em kcal) 
para meninos entre 15 e 18 anos é dada pela função f(h) = 17.h, onde h indica a altura 
em cm e, para meninas nessa mesma faixa de idade, pela função g(h) = (15,3).h. Paulo, 
usando a fórmula para meninos, calculou seu consumo diário de energia e obteve 2.975 
kcal. Sabendo-se que Paulo é 5 cm mais alto que sua namorada Carla (e que ambos têm 
idade entre 15 e 18 anos), o consumo diário de energia para Carla, de acordo com a 
fórmula, em kcal, é 
a) 2501 b) 2601 c) 2770 d) 2875 e) 2970 resp: b 
 
16) (Puc-MG) A receita R, em reais, obtida por uma empresa com a venda de q 
unidades de certo produto, é dada por R(q) = 115q, e o custo C, em reais, para produzir 
q dessas unidades, satisfaz a equação C(q) = 90q + 760. Para que haja lucro, é 
APOSTILA FUNÇÃO DO 1º GRAU - PROF. CARLINHOS 
 
 8
necessário que a receita R seja maior que o custo C. Então, para que essa empresa tenha 
lucro, o número mínimo de unidades desse produto que deverá vender é igual a: 
a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 resp: d 
 
17) (Uel 2008) Um consumidor adquiriu um aparelho de telefonia celular que 
possibilita utilizar os serviços das operadoras de telefonia M e N. A operadora M cobra 
um valor fixo de R$ 0,06 quando iniciada a ligação e mais R$ 0,115 por minuto da 
mesma ligação. De modo análogo, a operadora N cobra um valor fixo de R$ 0,08 e mais 
R$ 0,11 por minuto na ligação. 
Considere as afirmativas a seguir: 
I. O custo de uma ligação de exatos 4 minutos é o mesmo, qualquer que seja a 
operadora. 
II. O custo da ligação pela operadora M será menor do que o custo da ligação pela 
operadora N, independentemente do tempo de duração da ligação. 
III. Uma ligação de 24 minutos efetuada pela operadora M custará R$ 0,10 a mais do 
que efetuada pela operadora N. 
IV. O custo da ligação pela operadora N será menor do que o custo da ligação pela 
operadora M, independentemente do tempo de duração da ligação. 
 
Assinale a alternativa que contém todas as afirmativas corretas. 
 
a) I e II. b) I e III. c) III e IV. d) I, II e IV. e) II, III e IV. resp: b 
 
18) Uma empresa de táxi E1 cobra R$ 2,00 a "bandeirada", que é o valor inicial da 
corrida, e R$ 2,00 por km rodado. Outra empresa E‚ fixa em R$ 3,00 o km rodado e não 
cobra a bandeirada. As duas tarifas estão melhor representadas, graficamente, em: 
 
 resp: b 
 
 
19) (Puc_MG) Uma pessoa encontra-se no aeroporto (ponto A) e pretende ir para sua 
casa (ponto C), distante 20 km do aeroporto, utilizando um táxi cujo valor da corrida, 
em reais, é calculado pela expressão V(x) = 12 + 1,5 x, em que x é o número de 
quilômetros percorridos. 
APOSTILA FUNÇÃO DO 1º GRAU - PROF. CARLINHOS 
 
 9
 
Se B = 90°, C = 30° e o táxi fizer o percurso AB + BC, conforme indicado na figura, 
essa pessoa deverá pagar pela corrida: 
a) R$ 40,50 b) R$ 48,00 c) R$ 52,50 d) R$ 56,00 resp: c 
 
20) Sejam as funções f e g, definidas por f(x) = ax + b e g(x) = mx + n, representadas no 
gráfico. É correto afirmar que (a - m)/(b + n) é igual a 
 
 
 
a) -1/3 b) 0 c) 2/3 d) 1 resp: d 
 
Prof. Carlinhos 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia: 
Curso de Matemática – Volume Único 
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna 
Matemática Fundamental - Volume Único 
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD 
Contexto&Aplicações – Volume Único 
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática 
Apostila elaborada pelo : 
Prof. Luiz Carlos Souza Santos 
 
Funções 3 - Função do 2º grau.pdf
APOSTILA-FUNÇÃO DO 2º GRAU-ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 
 1 
FUNÇÃO
DO 2º GRAU 
1. DEFINIÇÃO 
Chama-se função de 2.º grau ou quadrática , toda função definida, de f: , por f 
(x) = ax2 + bx + c com a, b, c e a 0. 
Exemplos: 
a) f(x) = 3x2 – 5x + 6 
b) g(x) = x2 – 5x 
c) h(x) = 3x2 + 6 
2. GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2.° GRAU 
O gráfico de uma função do 2.° grau é uma curva aberta chamada parábola. A 
concavidade da parábola depende do coeficiente a. Assim: 
 
3. RAÍZES OU ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Raízes de f(x) = ax2 + bx + c são os valores de x que satisfazem a equação de 2.º grau 
ax2 + bx + c = 0. As raízes de f(x) = ax2 + bx + c podem ser calculadas pela conhecida 
fórmula de Báskara: 
 
O número de raízes reais da função do 2.º grau é determinado pelo discriminante . 
Há três casos a considerar: 
1.º) > 0 a função possui duas raízes reais e distintas, o gráfico intercepta x em 
dois pontos distintos: 
 
 
APOSTILA-FUNÇÃO DO 2º GRAU-ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 
 2 
2.º) = 0 a função possui duas raízes reais e iguais. Nesse caso, também dizemos 
que a função possui uma raiz dupla, o gráfico tangencia o eixo x: 
 
 
3.º) < 0 a função não possui raízes reais, o gráfico não intercepta o eixo x: 
 
4. VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA 
É o ponto de maior ou menor valor que a função y = ax2 + bx + c pode atingir e 
coincide com a intersecção do eixo de simetria com o gráfico: 
 
Sendo xv e yv as coordenadas do vértice, temos: 
 
Observação: eixo de simetria (R) é uma reta que divide a parábola em duas partes 
simétricas. 
5. VALOR MÍNIMO OU MÁXIMO 
A ordenada do vértice pode ser o valor mínimo ou máximo da função quadrática, 
dependendo de sua concavidade. Com isso temos: 
APOSTILA-FUNÇÃO DO 2º GRAU-ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 
 3 
a) Se a < 0, 
4a
 - y v
∆
= é valor máximo. 
 
0bs: O conjunto imagem é dado por: Im = }
4a
 - y /{ ∆≤ℜ∈y 
b) Se a > 0, 
4a
 - y v
∆
= é valor mínimo. 
 
0bs: O conjunto imagem é dado por: Im = }
4a
 - y / y { ∆≥ℜ∈ 
6. ESTUDO DO SINAL 
O estudo do sinal da função do 2.º grau é feito determinando-se os seus zeros (caso 
existam) e analisando o esboço do gráfico. Lembre-se de que o valor de está 
relacionado com as raízes e o valor de a determina a concavidade da parábola que a 
representa. 
1º caso: ∆ > 0 
 





 ≥ℜ∈=





 ≤ℜ∈=
2a
b
 - /x edecrescent
2a
b
 -/xx crescente





 ≤ℜ∈=





 ≥ℜ∈=
2a
b
 - / x x decrescete
2a
b
 - / x x crescente
 
APOSTILA-FUNÇÃO DO 2º GRAU-ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 
 4 
2º caso: ∆ = 0 
 
3º caso: ∆ < 0 
 
EXERCÍCICOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM 
1) Dada a função f(x) = x2-4x+3.Determine: 
a) A suas raízes; resp: 1 e 3 
b) As coordenadas do vértice da parábola; resp: V(2;-1) 
c) O gráfico 
d) Se a função admite valor máximo ou mínimo e, calcule esse valor; resp: min=-1 
e) O conjunto imagem; resp: Im= {y∈ℜ/ y≥ -1} 
f) Para que valores de x é crescente a função; resp: { x∈ℜ/ x ≥ 2} 
g) Para que valores de x é decrescente a função; resp: { x∈ℜ/ ≤ 2} 
 
2) Dada a função f(x) = -x2+4x-4.Determine: 
a) A suas raízes; resp: 2 
b) As coordenadas do vértice da parábola; resp: V(2;0) 
APOSTILA-FUNÇÃO DO 2º GRAU-ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 
 5 
c) O gráfico 
d) Se a função admite valor máximo ou mínimo e, calcule esse valor; resp: max=0 
e) O conjunto imagem; resp: Im= {y∈ℜ/ y≤0} 
f) Para que valores de x é decrescente a função; resp: { x∈ℜ/ x ≥ 2} 
g) Para que valores de x é crescente a função; resp: { x∈ℜ/ ≤ 2} 
 
3) Determine o valor de k de modo que a função f(x)= -x2+12x+k, tenha 2 raizes reais e 
iguais. Resp: -36 
 
4) Determine m de modo que o valor mínimo da função f(x) = x2-2x+m , admita –4 como 
valor mínimo. Resp: -3 
 
5) O lucro de uma empresa é dado por L(x)= -30x2+360x-600, em que x é o número 
unidades 
 vendidas. Nestas condições, calcule : 
 
a) a quantidade de unidades produzidas para que o lucro seja máximo; resp: 6 
b)a valor máximo do lucro. resp: 480 
 
6) Em um certo pomar em que existem 30 laranjeiras produzindo, cada uma, 600 
laranjas por ano, foram plantadas n laranjeiras. Depois de certo tempo constatou-se que 
devido à competição por nutrientes do solo, cada laranjeira (tanto nova como velha) 
estava produ-zindo 10 laranjas a menos, por ano, por cada laranjeira plantada no pomar. 
Se P(n) é a produção anual do pomar.Determine: 
 
a) a expressão algébrica P(n) resp: P(n) = -10n2+300n+18000 
b) quantas novas laranjeiras deveriam ter sido plantadas para que o pomar tenha produção 
máxima; resp: 15 
c) o valor dessa produção. resp: 20250 
 
7) O diretores de um centro esportivo desejam cercar uma quadra de basquete retangular e 
outros aparatos esportivos que estão a sua volta com tela de alambrado. Tendo recebido 
200m de tela. Determine: 
 
 
 
8) 
 
a) as dimensões do terreno de modo que a área seja 
a maior possível; resp: 50mx50m 
b) a área máxima. resp: 2500 m2 
A trajetória da bola, num chute a gol, descreve uma 
parábola. Supondo que a sua altura h, em metros, t 
segundos após o chute, seja dada por h(t)=-t2+6t, 
determine: 
a) Em que instante a bola atinge a altura máxima? 
 Resp: 3s 
 b) Qual a altura máxima atingida pela bola ? 
 Resp: 9m 
APOSTILA-FUNÇÃO DO 2º GRAU-ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 
 6 
 
9) 
 
Um projétil é lançado do alto de um morro e cai numa praia, conforme mostra a figura 
acima. Sabendo-se que sua trajetória é descrita por h = –d2 + 200d + 404, onde h é a sua 
altitude (em m) e d é o seu alcance horizontal (em m), a altura do lançamento e a 
altitude máxima alcançada são, respectivamente: resp: a 
( ) A - superior a 400m e superior a 10km 
( ) B - superior a 400m e igual a 10km 
( ) C - superior a 400m e inferior a 10km 
( ) D - inferior a 400m e superior a 10km 
( ) E - inferior a 400m e inferior a 10km 
 
10) Estude o sinal das funções: 
 
a) f(x) = x2 - 6x + 5 
 
 Resp: y > 0 para x < 1 ou x >5; y = 0 para x = 1 ou x = 5; y < 0 para 1< x < 5 
 
b) f(x) = -x2 + 2x + 8 
 
Resp: y < 0 para x < -2 ou x > 4; y = 0 para x = -2 ou x = 4; y >0 para 2< x < 4 
 
c) f(x) = 2x2 - 8x + 8 
Resp: y < 0 ∃ x; y=0 para x=2; y>0 para x≠2 
 
 
Prof. Carlinhos 
Funções 4 trigonometria (até a página 33).pdf
João Batista 
<jmnbpt@yahoo.com> 
Novembro de 2000 
RReevviissõõeess ddee 
TTrriiggoonnoommeettrriiaa 
 
 
 
“Não tenho aqui espaço suficiente para dar a explicação completa.” 
Pierre de Fermat (1601-1665), matemático francês 
 
REVISÕES DE TRIGONOMETRIA João Batista <jmnbpt@yahoo.com> 
4 
Índice 
PREÂMBULO ....................................................................................................................................................... 5 
ÂNGULOS ............................................................................................................................................................. 6 
1.1. Ângulo trigonométrico .............................................................................................................................. 6 
1.2. Classificação de ângulos ...........................................................................................................................
7 
1.3. Arcos de circunferência ............................................................................................................................ 8 
2. TRIÂNGULOS .................................................................................................................................................. 9 
1.1. Semelhança de triângulos ......................................................................................................................... 9 
1.2. Classificação de triângulos ..................................................................................................................... 10 
3. TRIGONOMETRIA E RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................... 11 
1.1. Teorema de Pitágoras ............................................................................................................................. 11 
1.2. Relações trigonométricas de ângulos ...................................................................................................... 12 
1.3. Fórmula fundamental da trigonometria .................................................................................................. 13 
1.4. Um problema de trigonometria ............................................................................................................... 14 
4. SENO, COSENO E TANGENTE COMO FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL .......................... 16 
5. PROPRIEDADES IMPORTANTES DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ...................................... 18 
5.1. Valores das funções trigonométricas para alguns ângulos-chave ........................................................... 18 
1.2. Paridade das funções trigonométricas ..................................................................................................... 19 
1.3. Sinal das funções trigonométricas .......................................................................................................... 19 
1.4. Monotonia das funções trigonométricas ................................................................................................. 20 
1.5. Redução ao primeiro quadrante .............................................................................................................. 22 
1.6. Periodicidade das funções trigonométricas ............................................................................................. 23 
1.7. Resumo das propriedades das principais funções trigonométricas ......................................................... 24 
6. RELAÇÕES IMPORTANTES DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS .................................................. 27 
1.1. Fórmulas de adição e subtracção ............................................................................................................ 27 
1.2. Fórmulas de duplicação .......................................................................................................................... 28 
1.3. Fórmulas de bissecção ............................................................................................................................ 28 
1.4. Fórmulas de transformação ..................................................................................................................... 28 
7. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS ......................................................................................... 30 
1.1. Arco seno: arcsen(a) ............................................................................................................................... 30 
1.2. Arco coseno: arccos(a) ........................................................................................................................... 31 
1.3. Arco tangente: arctg(a) ........................................................................................................................... 31 
1.4. Arco co-tangente: arccotg(a) .................................................................................................................. 31 
1.5. Resumo: domínio e contradomínio das funções trigonométricas inversas ............................................. 31 
8. RESOLUÇÃO DE ALGUMAS EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ..................................................... 32 
8.1. Resolução de equações de funções trigonométricas do tipo f(x) = y ...................................................... 32 
1.2. Exemplo .................................................................................................................................................. 33 
1.3. Funções trigonométricas inversas ........................................................................................................... 33 
9. DERIVADAS DE FUNÇÕES CIRCULARES E RESPECTIVAS INVERSAS ........................................ 34 
9.1. Estudo do 
x
x
x
senlim
0→ .............................................................................................................................. 34 
9.2. Derivadas de funções trigonométricas .................................................................................................... 35 
1.3. Derivadas de funções trigonométricas inversas ...................................................................................... 36 
1.4. Resumo das derivadas de funções trigonométricas e trigonométricas inversas ...................................... 37 
10. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS .................................................................................................................... 38 
BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................................................. 41 
 
REVISÕES DE TRIGONOMETRIA João Batista <jmnbpt@yahoo.com> 
5 
Preâmbulo 
Este texto resume os assuntos respeitantes a trigonometria e geometria do plano leccionada no ensino 
público secundário, do 9º ao 12º ano. Como tal, não se discutem neste texto funções trigonométricas hiperbólicas 
– seno hiperbólico, coseno hiperbólico, etc. – que são abordadas em contextos adequados, mais especificamente 
ao nível de cursos superiores de Matemática e Física. Pressupõe-se que o leitor possui já conhecimentos 
razoáveis sobre as matérias abordadas. Para um maior aprofundamento, recomenda-se a consulta de livros de 
texto aprovados e usados nas escolas, tais como os indicados na bibliografia. 
Esta é uma segunda versão do texto original, datado de Setembro de 1997. Foram feitas revisões e 
acréscimos relativamente à primeira versão – essencialmente, esta revisão consistiu numa profunda remodelação 
do aspecto visual. Foi incluído um capítulo com alguns exercícios resolvidos, no final, dos quais se recomenda 
uma reflexão adequada à compreensão dos passos envolvidos. É desejável que o leitor tente resolver os 
exercícios antes de ler a resolução possível apresentada (porque em geral, como em muitas outras coisas na 
Matemática, existe habitualmente mais que uma resolução). De facto, identificar mais que uma resolução, e 
comparar as várias possíveis, pode revelar-se útil no desenvolvimento de técnicas de solução de problemas. 
Alguns parágrafos são de leitura opcional em virtude da sua utilização pouco frequente na maior parte 
das aplicações em Trigonometria, e foram introduzidos apenas com o intuito de providenciar uma revisão dos 
conceitos neles abordados. Assim, os seguintes parágrafos poderão ser ignorados sem grande prejuízo para a 
revisão de conhecimentos fundamentais: 
1.2.b. Classificação de ângulos quanto ao posicionamento (relativamente a outros ângulos) 
1.3. Arcos de circunferência 
2.1. Semelhança de triângulos 
Declaração 
Este texto é do domínio público, e pode ser distribuído livremente desde que as seguintes condições sejam 
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1. O meu nome e elementos de contacto não poderão ser removidos, substituídos, alterados, ou de outro modo
deliberada ou acidentalmente omitidos por terceiros ao divulgar, modificar ou corrigir este texto. 
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respectivos autores. A eles cabe acrescentar numa página nova no texto, que em momento algum poderá ser 
omitida, o(s) seu(s) nome(s), pelo menos um contacto, a data, e onde foi feita a correcção. 
3. Nenhuma compensação, monetária, em géneros, ou qualquer outra, poderá ser obtida a partir da divulgação 
deste texto, salvo para cobrir as despesas necessárias à cópia e distribuição do texto (e.g. fotocópias, suporte 
informático – como disquetes –, ou outro meio que sirva para armazenar e permitir a leitura deste texto). 
Consciente de que estas condições são razoáveis, espero que sejam respeitadas integralmente. O conhecimento é 
um património que não tem dono e como tal deve ser divulgado sem restrições. 
João Miguel Nobre Batista 
Setúbal, Novembro de 2000 
Como contactar o autor 
Pode contactar o autor deste texto pelo endereço, telefone, endereço de correio electrónico ou página de Internet 
seguintes: 
João Miguel Nobre Batista 
Avenida Luísa Tódi, 110, 2ºEsq. 
2900-450 Setúbal 
Tel. 265 228 384 / 91 427 0853 
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1. Ângulos 
Os ângulos de que se fala dizem respeito a ângulos no plano. (Existe os chamados ângulos sólidos, 
definidos no espaço, mas estão fora do âmbito desta Revisão.) 
Assim, temos que o ângulo ao centro α é definido pela duas semi-rectas da figura 1. Este é o ângulo 
mais pequeno definido pelas duas semi-rectas (repare que têm a mesma origem, o vértice no centro da figura). 
Outro ângulo definido pelas semi-rectas é o ângulo β, que é de abertura visivelmente maior que o ângulo α. Por 
definição, uma volta completa no plano define o ângulo de 360º, isto é, 
α + β = 360º . 
No plano, o sentido positivo atribuído aos ângulos é contrário ao dos ponteiros do relógio. Na figura 2 
está indicado o sentido de crescimento de um ângulo. O ângulo α aumenta se a abertura aumentar no sentido 
indicado pela seta. O sentido negativo é definido pela semi-recta OA movendo-se no sentido horário. 
Em trigonometria, especialmente quando se usam funções trigonométricas, definidas mais adiante, é 
costume usar outra unidade para os ângulos em vez da indicada: é o radiano. É definido de tal forma que um 
ângulo de π radianos é igual a 180º: 
π radianos = 180º, 
em que π é o número irracional π=3,1415927..., definido pelo quociente entre o perímetro de uma circunferência 
e o seu diâmetro. É usual não indicar a unidade “radianos” quando nos referimos a um ângulo nestas unidades, 
quando não há perigo de confusão. Assim teremos, por exemplo, que α = π/4 = 45º. Para ângulos em unidades de 
grau de arco, é necessário indicar o símbolo " º " para distinguir da unidade radiano. Há mais outra unidade de 
ângulo no plano, o grado, definida tal que 90º = 100 grados, mas é menos utilizada que qualquer das anteriores. 
1.1. Ângulo trigonométrico 
Um ângulo pode ter o valor real que se desejar. No entanto, a semi-recta que dá o ângulo (com outra 
semi-recta, fixa, de referência) completa uma volta após 360º, duas voltas após 720º, etc., ou uma volta no 
sentido contrário, e nesse caso diz-se que descreveu um ângulo de –360º. O menor ângulo α descrito pela 
semi-recta é o ângulo trigonométrico, e para o ângulo ϕ descrito pela semi-recta tem-se: 
 ϕ = α + k · 360º, (1.1) 
em que k é um número inteiro. O ângulo α é o de maior interesse em trigonometria, em particular no que toca às 
funções trigonométricas, abordadas posteriormente. Por exemplo, se x = α + m · 360º e y = α + n · 360º (m e n 
números inteiros), para igualar os ângulos x e y é necessário que m=0 e n=0 (por exemplo), uma condição trivial. 
A razão para a existência desta periodicidade para ângulos prende-se com o carácter das funções 
trigonométricas, o qual será discutido adiante. No entanto, é necessário definir univocamente a aplicação que dá 
o ângulo definido por duas rectas que se intersectam. Portanto, e para esse efeito, medem-se os ângulos num 
domínio que vai de 0º a 360º (ou, o que é equivalente, de 0 a 2π radianos), para que nγo haja lugar para dϊvidas; 
no caso de um βngulo no plano, serα de 0Ί a 180º, visto que para ângulos entre 180º e 360º já haverá outro 
ângulo mais pequeno definido pelas duas rectas dadas – e que será inferior a 180º. 
Figura 1. Ângulo α. Figura 2. O ângulo α é definido no sentido horário. 
β α 
vértice 
A 
α 
O 
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1.2. Classificação de ângulos 
1.2.a. quanto à abertura 
1) Ângulo nulo: α = 0º – figura 3.a. 
2) Ângulo agudo: 0º < α < 90º – figura 3.b. 
Reparar que um ângulo agudo α toma sempre um valor entre 0º e 90º, nunca tomando qualquer 
destes valores. Exemplos: α = 30º , α = 75,4º , α = 89,99º (nunca é igual a 90º ou 0º !). 
3) Ângulo recto: α = 90º – figura 3.c. 
4) Ângulo obtuso: 90º < α < 180º – figura 3.d. 
Novamente, o ângulo obtuso apenas toma os valores intermédios, nunca os dos extremos que o 
define. 
5) Ângulo raso: α = 180º – figura 3.e. 
6) Ângulo giro: α = 360º – figura 3.f. 
Quando se chega a um ângulo 360º, já se descreveu uma volta completa no plano – pelo que a abertura 
definida por um ângulo giro (de 360º) é a mesma que é definida pelo ângulo raso. Na verdade, e por essa razão, 
muitos autores identificam o ângulo de 0º (ou 360º, o que é equivalente como acabámos de ver) como ângulo 
raso ou giro. Para ângulos superiores a 360º, voltamos novamente ao princípio – daí a definição periódica para o 
ângulo dada pela expressão (1.1). Assim sendo, um ângulo de 390º será equivalente a outro de 30º: 
390º = 30º + 1 · 360º . 
 Figura 3.d. Ângulo obtuso. Figura 3.e. Ângulo raso. Figura 3.f. Ângulo giro. 
 (90º < α < 180º) (α = 180º) (α = 360º) 
α α α 
 Figura 3.a. Ângulo nulo. Figura 3.b. Ângulo agudo. Figura 3.c. Ângulo recto. 
 (α = 0º) (0º < α < 90º) (α = 90º) 
Figura 3.g. Ângulos complementares. Figura 3.h. Ângulos suplementares. Figura 3.i. Ângulos vertic. opostos. 
 (α + β = 180º) (α + β = 90º) (α + β + α’ + β’ = 360º) 
β 
β α α β α 
α’ β’ 
α α α 
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1.2.b. quanto ao posicionamento (relativamente a outros ângulos) 
1) Ângulos complementares: α + β = 180º – figura 3.g. 
Diz-se que α e β são complementares, ou que α é complementar de β, e vice-versa. Naturalmente, 
0º < α < 180º, e β também (com α + β = 180º)! 
2) Ângulos suplementares: α + β = 90º – figura 3.h. 
Diz-se que α e β são suplementares, ou que α é suplementar de β, e vice-versa. Naturalmente, 
0º < α < 90º, e β também (com α + β = 90º)! 
3) Ângulos verticalmente opostos: α + α’ + β + β’ = 360º – figura 3.i. 
Os ângulos α e α’ dizem-se verticalmente opostos. Temos que α = α’, e também β = β’, que 
também são verticalmente opostos. 
1.3. Arcos de circunferência 
Um arco de circunferência é definido de uma maneira semelhante à que foi feita para um ângulo no 
plano. Desta feita, define-se um arco sobre uma circunferência. 
Sobre uma circunferência, um ponto pode-se mover em dois sentidos. O sentido positivo para os 
ângulos é, por convenção, anti-horário, e o negativo é o sentido horário. Dessa forma, quando um ponto da 
circunferência se desloca sobre ela do ponto A para B, diz-se que esse ponto da circunferência descreveu o arco 
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AB . 
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2. Triângulos 
São figuras geométricas definidas numa superfície plana, constituídas 
por três segmentos de recta cujas extremidades