Calculo Numerico 01

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CÁLCULO NUMÉRICO 
 
Professor Avelino 2 Semestre 2018 1 
CÁLCULO NUMÉRICO 
O que é o Cálculo Numérico? 
O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos usados 
para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se 
aplicam principalmente a problemas que não apresentam uma solução exata, portanto precisam 
ser resolvidos numericamente. 
 O que isso quer dizer? Vamos tomar um exemplo para entender melhor os objetivos do 
Cálculo Numérico. Seja um circuito elétrico composto de uma fonte de tensão (uma pilha, por 
exemplo) e um resistor. Digamos que desejamos obter a corrente que circula no circuito, dado o 
valor da tensão V e da resistência R. O primeiro passo é formular um modelo matemático para o 
nosso sistema físico (o circuito), e encontrar a solução do problema representado por esse 
modelo. 
 No caso do circuito, o modelo matemático também é bastante simples. Utilizando-se a 
Lei de Kirchoff (não se preocupe com essa lei caso você não a conheça), teremos a seguinte 
equação para o circuito: 
 
 Esse é o nosso modelo matemático para o circuito (sistema físico). O modelo apresenta 
uma equação bastante simples que tem uma solução exata. Portanto, nosso problema (encontrar 
a corrente elétrica do circuito) pode ser resolvido de maneira exata, cuja solução é dada por: 
i
V
R

 
 Por exemplo, se V=10 V e R=100 , teremos que i=0,1 a. 
 Como esse problema tem uma solução exata, não é preciso utilizar os métodos do cálculo 
numérico para resolve-lo. Porém, digamos que um outro componente eletrônico seja incluído no 
circuito: um diodo semicondutor. Esse dispositivo tem uma curva característica, isto é, a tensão 
nesse componente em função da corrente, que é dada por: 
 v i
kT
q
i
I s
 





ln 1
 
onde k e Is são constantes, q é a carga do elétron e T a temperatura do dispositivo. Essa equação 
corresponde ao modelo matemático do diodo (não se preocupe em entender esta equação, pois 
isto é só um exemplo). Portanto, ao se incluir o diodo no circuito, tem-se a seguinte equação 
descrevendo o comportamento da corrente elétrica no circuito: 
V R i
kT
q
i
I s
   





 ln 1 0
 
0 iRV
 
 
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 A inclusão desse novo componente no circuito tornou nosso problema mais complicado e 
de difícil solução analítica. O que isso quer dizer? Tornou-se difícil se obter uma expressão para 
i, principalmente quando comparado ao caso anterior, quando tínhamos simplesmente i=V/R. 
 Como resolver esse problema então? Como obter o valor de i? A solução está na 
utilização de métodos numéricos. 
 
A importância do Curso de Cálculo Numérico 
Ao resolver um problema matemático numericamente, o mais comum é o profissional utilizar 
um pacote computacional. Porém, ele terá que tomar uma série de decisões antes de resolver o 
problema. E para tomar essas decisões, é preciso ter conhecimento de métodos numéricos. O 
profissional terá que decidir: 
 Pela utilização ou não de um método numérico (existem métodos numéricos para 
se resolver este problema?); 
 Escolher o método a ser utilizado, procurando aquele que é mais adequado para o 
seu problema. Que vantagens cada método oferece e que limitações eles 
apresentam; 
 Saber avaliar a qualidade da solução obtida. Para isso, é importante ele saber 
exatamente o que está sendo feito pelo computador ou calculadora, isto é, como 
determinado método é aplicado. 
 
Tipos de Erros 
O erro cometido ao se calcular o valor de
2
, por exemplo, é apenas um tipo de erro que 
pode surgir ao se resolver um problema real. Outros tipos de erros também podem aparecer 
devido a outros tipos de problemas ou limitações. 
 A solução matemática de um determinado problema envolve diversas etapas. A solução 
do problema se inicia com a criação de um modelo matemático do sistema em questão. Esse 
modelo sempre apresentará aproximações e limitações. Além disso, na grande maioria das vezes, 
dados experimentais serão utilizados para se obter a solução. Como toda medida experimental 
apresenta uma incerteza, a solução do problema será influenciada pelas mesmas. Portanto, logo 
de início, existem diversos fatores que introduzem incertezas na solução numérica do problema. 
Esse tipo de erro é chamado de erro inicial. 
 O problema discutido cálculo de
2
, que se refere a inevitável limitação na representação 
de números irracionais (por exemplo), introduz erros no resultado. Esse tipo de erro é chamado 
de erro de arredondamento. 
 
 
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 Vamos considerar um outro tipo de problema prático que pode surgir ao realizarmos 
determinadas operações. Digamos que precisamos calcular o valor de ex. Mais uma vez, iremos 
utilizar uma máquina digital (calculadora ou computador). Como esse equipamento irá realizar 
essa operação? Sabemos que a exponencial é uma função que pode ser representada por uma 
série infinita dada por: 




1n
nn32
x
!n
x
!n
x
!3
x
!2
x
x1e 
 
 
e na prática é impossível calcular seu valor exato. Portanto, mais uma vez, teremos que fazer 
uma aproximação, que levará a um erro no resultado final de ex. Neste caso, faremos um 
truncamento dessa série, e o erro gerado no valor de ex é chamado de erro de truncamento. 
 
Cálculo de Raízes de Funções 
Introdução 
O cálculo de raízes de funções encontra uso na obtenção da solução de uma ampla gama 
de problemas de engenharia. Usualmente, a forma analítica de problemas matemáticos y = f(x) 
requer o conhecimento dos valores da variável independente x para os quais f(x) = 0. Por 
exemplo, considere a função f(x) = ax² + bx + c, que é um polinômio de 2º grau com 
coeficientes a, b, e c, que possui duas raízes. Essas raízes podem ser determinadas pela 
conhecida fórmula de Baskhara: 
 
 
 
Para uma equação particular f(x) = x² - 5x + 6, temos que a = 1, b = -5 e c = 6, resultando 
na solução: 
 
 
 
Substituindo-se o valor das raízes na expressão de f(x) = x² - 5x + 6, veremos que tanto 
x1, quanto x2 fazem com que esta função se anule, ou seja, que f(x1) = 0 e f(x2) = 0. As equações 
polinomiais também conduzem a soluções cujo domínio seja o dos números complexos. Por 
exemplo, a equação de 2º grau f(x) = x² - 2x + 2 apresenta as seguintes raízes: 
 
a
cabb
x
.2
..42 

3
1.2
6.1.4)5()5( 2
1 

x
2
1.2
6.1.4)5()5( 2
2 

x
 
 
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Sendo que 
1i
 
Na prática, nem sempre um problema pode ser equacionado na forma de uma função que 
possui uma solução analítica como a função de 2º grau. As funções transcendentes, por exemplo, 
não possuem fórmula analítica para o cálculo das raízes. Nesses casos, pode-se calcular as raízes 
através de dois métodos: 
 Método da Dicotomia ou Bisseção 
 Método Iterativo de Newton-Raphson 
 
 
Método da Bisseção 
O método da bisseção é um método conceitualmente simples e baseia-se na idéia de 
"cercar" a raiz xR por doisvalores: um à esquerda da raiz (xE) e outro à direita (xD), formando 
um intervalo que vai ser continuamente reduzido até que a largura final do intervalo seja tão 
pequena quanto o erro absoluto da raiz. A redução contínua da largura do intervalo é feita 
dividindo-se o intervalo em dois e definindo um valor médio (xM) pela fórmula: 
 
 
 
O valor médio (xM) estabelece dois sub-intervalos: um, entre (xE) e (xM), outro entre (xM) 
e (xD). A raiz (xR) estará em um dos dois sub-intervalos. Para determinar em qual dos dois sub-
intervalos está localizada a raiz, calculamos f(xE), f(xD) e f(xM) e realizamos a seguinte 
comparação: 
Se o sinal [f(xM)] = sinal[f(xE)], então 
xR está no intervalo [xM; xD], senão 
xR está no intervalo [xE; xM]. 
 
 
 
 
 
ix 

 1
1.2
2.1.4)2()2( 2
1
ix 

 1
1.2
2.1.4)2()2( 2
2
2
)( DE
M
xx
x


 
 
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Exemplo: 
Método da Bisseção para o caso do valor xM estar localizado à esquerda da raiz xR. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinado em qual dos dois sub-intervalos está localizada a raiz, atribui-se o valor de 
xM ao valor de xE ou xD. Uma vez estabelecido o novo intervalo [xE; xD], repete-se o cálculo do 
valor de xM e aplica-se novamente o teste para verificação do sub-intervalo em que está 
localizado a raiz. Atribui-se o valor de xM ao valor de xE ou xD, e redefine-se o novo intervalo. 
Os cálculos e testes se repetem até uma determinada variável alcançar um critério de 
convergência: 
 DE xx
 
A este procedimento de cálculo automático denomina-se ITERAÇÃO (não confundir 
com interação, que tem outro significado) ou cálculo iterativo, que se baseia na repetição de 
cálculos à partir de valores iniciais arbitrariamente estabelecidos. 
 
Exemplo: 
1-) Vamos ilustrar a aplicação do método da Bisseção no cálculo da raiz da função 
xexf x 3)( 
 
 localizada no intervalo [0; 1], com erro de 10-5. 
Solução 
A função, 
xexf x 3)( 
, possui duas raízes, sendo que será calculada a raiz localizada no intervalo [0; 1]. 
Assim, esses valores serão os valores iniciais de xE ou xD. Como o erro é 10-5, vamos apresentar os resultados do 
cálculo com cinco casas decimais na tabela. A 1ª coluna contém o contador do número de iterações, denotado pela 
letra i. 
Os conteúdos das outras colunas estão identificados pelo nome das variáveis na 1ª linha. 
 
 
 
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Resultado do cálculo da raiz da função 
xexf x 3)( 
 no intervalo [0; 1], pelo método da Bisseção. 
A raiz calculada após 18 iterações, com erro igual a 10-5, é igual a 0,61906, 
Método Iterativo de Newton-Raphson 
O método de Newton-Raphson é um método numérico iterativo para o cálculo de raiz de 
uma função f(x). A fórmula para o cálculo iterativo pode ser obtida através da aproximação de 
uma função f(x1) em torno de um ponto x0 por uma série de Taylor de 1º grau: 
 
)).((')()( 01001 xxxfxfxf 
 
 
Se considerarmos que o valor de x = x1, está próximo à raiz, então podemos considerar 
que 
0)( 1 xf
, de modo que podemos escrever a equação na forma: 
)('
)(
0
0
01
xf
xf
xx 
 
 
À partir de x1 podemos calcular um novo valor x2 mais próximo ainda da raiz através da 
mesma aproximação anterior: 
 
)).((')()( 12112 xxxfxfxf 
 
 
Se prosseguirmos, podemos escrever uma equação geral para o cálculo de x na iteração 
i+1 à partir do valor de x, f(x) e f’(x) em x = x0: 
 
)('
)(
1
1
xf
xf
xx iii 
 
Este cálculo, denominado de cálculo iterativo, é realizado até que o critério de 
convergência seja satisfeito: 
 1 ii xx
 
 
 
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Exemplo 
1-) Vamos calcular novamente a raiz da função 
xexf x 3)( 
 localizada próxima ao valor x = 0 
pelo método iterativo de Newton-Raphson. A tabela apresenta os valores calculados. 
 
A raiz calculada após 4 iterações é igual a 0,61906 com erro menor do que 10-5. Comparando-se este resultado 
com o obtido pelo método da bisseção, observa-se que a convergência do método da bisseção foi muito mais lenta 
do que a do método de Newton-Raphson. Isto deve-se ao fato que o método da bisseção apresenta erro 
proporcional ao intervalo |xE – xD|, isto é, de primeira ordem na variável x, ao passo que o método de Newton-
Raphson apresenta erro de segunda ordem sobre a variável x. 
 
 
Dificuldades no Cálculo de Raízes pelo Método de Newton-Raphson 
O método de Newton-Raphson apresenta dificuldades no cálculo de raízes de funções 
polinomiais que apresentam pontos de mínimos e/ou máximos na vizinhança da raiz, como 
mostrado na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No exemplo, a função f(x) = 3x3 – x2 – 4x + 5 é uma função polinomial de 3º grau que 
possui apenas uma raiz real (x = -1,42433) e duas raízes complexas. O gráfico cartesiano x-y 
mostra somente a raiz real e mostra também que a função possui um ponto de máximo local em 
 
 
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x -0,57 e um ponto de mínimo local em x 0,79. Para exemplificar o problema da 
convergência do método de Newton-Raphson, vamos calcular a raiz real empregando o método 
de Newton-Raphson com x0 = 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por causa da presença de pontos de mínimo e máximo na vizinhança da raiz observa-se que o 
método de Newton-Raphson apresenta uma convergência lenta, principalmente quando o valor 
calculado de xi+1 cai na região compreendida pelos pontos de mínimo e máximo (iteração 22) 
para a qual f’(x) 0. 
 
 
 
 
 
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Exercícios propostos: 
1-) Encontre pelo menos uma das raízes para f(x) = 0, empregando o método da Bisseção e o 
método de Newton-Raphson: 
a-) 
5)(2)( 3  xnxxf l
, no intervalo de [1; 2]. 
b-) 
4)(2)(  xsenxxf
, no intervalo de [-3; -2]. 
c-) 
)cos(2)( xxxf 
, no intervalo de [0; 1]. 
d-) 
35)( 23  xxxxf
, no intervalo de [-2,44; -0,38]. 
e-) 
)()( xnxxf l
, no intervalo de [0,5; 0,6]. 
 
 
 
Resolução de Equações pelo Método de Newton-Raphson 
1-) O volume de um recipiente em forma de semi-esfera de raio R e que contém um líquido até 
uma altura h, é dado pela fórmula 
)3.(.
3
2 hRhV 

. Calcule, com 3 casa decimais exatas, o 
valor de h quando R = 5 m e V = 60 m3. 
)5.3.(.
3
60 2 hh 

 
32 ...15180 hh   (dividir toda a equação por ) 
3215295,57 hh 
 
296,5715)( 23  hhhf
 
hhhf 303)(' 2 
 
 
testar 
h f(h) 
0 + 
1 + 
2 + 
3 - 
 Então, [2; 3]. 
5,2
2
32


h
 
Altura h aproximadamente 2,108 metros. 
 
 
i hi f(h) f’(h) hi+1 
0 2,5 -20,829 -56,250 2,130 
1 2,130 -1,094 -50,289 2,1082 2,108 -0,008 -49,909 2,108 
3 2,108 
 
 
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Taxas de Juros 
 Em Matemática Financeira existe um modelo de financiamento chamado Sistema Price, 
que se caracteriza por terem as prestações o mesmo valor nominal. A equação do Sistema Price 
é: 
1 . )1( . )( 1   nn xkxkxf
 
 
PM
VF
k 
 
VF = Valor Financiado 
PM = Valor das Prestações Mensais 
n = número de prestações mensais 
i = taxa mensal de juros (% ao mês) 
x = 1 + i 
i = x – 1 
 
2-) Use a equação 
1 . )1( . )( 1   nn xkxkxf
 para encontrar a taxa mensal (i a.m.) de juros 
do financiamento. Sabendo que uma mercadoria de R$ 20.000,00 foi financiado com R$ 
2.850,00 de entrada, e o saldo em 8 parcelas mensais fixas de R$ 2.526,26. Suponha que a taxa 
esteja entre 1% e 10%. 
Testar 
1 7887,7 7887,6)( 89  xxxf
 
 
78 3096,62 0983,61)(' xxxf 
 
 
 
 
 
 
Então, [1,04; 1,03]. 
035,1
2
03,104,1
0 

x
 
26,526.2
850.2000.20 
k
 
7887,6k
 
 
i = x – 1 
i = 1,0383 – 1 i = 3,8 % a.m. 
x f(x) 
 1,1 + 
1,05 + 
1,04 + 
1,03 - 
i xi f(x) f’(x) xi+1 
0 1,0350 -0,0039 1,1796 1,0383 
1 1,0383 0,0004 1,4691 1,0380 
2 1,0380 0,0000 
 
 
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Exercícios propostos: 
 
1-) Uma moto foi comprada por R$ 18.000,00 com R$ 4.000,00 de entrada e saldo em 5 parcelas 
mensais fixas de R$ 3.162,47 (Sistema Praice). Calcule a taxa mensal de juros do financiamento. 
R.: i = 4,2 % a.m. 
 
 
2-) Achar a taxa de juros para um financiamento de R$ 100.000,00, pagos em 3 prestações de R$ 
64.058,00, sem entrada. 
R.: i = 41,4 % a.m. 
 
 
3-) Um terreno custa R$ 202.000,00 (à vista); à prazo, é vendido com 25% de entrada e o saldo 
em 4 parcelas iguais de R$ 92.751,00. Calculara taxa de juros. 
R.: i = 48,7 % a.m. 
 
 
4-) O aquecimento de uma caldeira obedece a equação T = ln(t+1)+5t . Em quanto tempo ela 
atingirá a temperatura T=30º? Usar o Método de Newton-Raphson e duas casas decimais de 
precisão. Há no mínimo uma raiz no intervalo [4, 7] 
R.: O tempo t em que a temperatura é 30º u.m. é t=5,62 u.t. 
 
 
5-) Em estequiometria industrial, aparece uma equação do tipo f(x) = 26,04.ln(x) - x - 51,44. Use 
o método de Newton Raphson para achar o valor de XR, sabendo que a raiz é mior que 48. 
 
R.: XR = 50,8869. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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BIBLIOGRAFIA BÁSICA: 
Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª. ed., de Márcia 
Ruggiero e Vera Lúcia Lopes. Makron, 1998 – SP. 
Cálculo Numérico, de Décio Sperandio e outros. Pearson, 2003 – SP. 
Cálculo Numérico, de Leila Z. Puga e outros. Ed. LCTE, 2009 – SP. 
 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR: 
Cálculo Numérico com Aplicações, 2.ª ed., de Leônidas Barroso e outros. Ed. 
Harbra, 1987 – SP. 
Análise Numérica, de Burden e Faires. Ed. Thomson, 2003 – SP. 
Cálculo Numérico Computacional, 3.ª ed., de Dalcídio e Marcus. Ed. Atlas, 
2000 – SP. 
Cálculo Numérico, de Mirshawha. Ed. Nobel, SP. 
Advanced Engineering Mathematics, de Erwin Kreyszig. Ed. John Wiley & 
Sons; 1999 – NJ-USA.