exercicios resolvidos

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ELIABE BATISTA 
JOÃO CARDOSO 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
Telêmaco Borba - PR 
2017 
ELIABE BATISTA 
JOÃO CARDOSO 
 
 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
Trabalho apresentado para a 
disciplina de Cálculo III, do Curso de 
Engenharia Civil, da Faculdade de 
Telêmaco Borba, como requisito 
parcial para avaliação desta 
disciplina. 
Prof. Fabiana Oliveira da Rosa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Telêmaco Borba - PR 
2017 
17. O calor transferido de um corpo para seu ambiente por radiação, baseado na 
lei de Stefan-Boltzman, é descrito pela equação diferencial: 
 
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= −𝛼( 𝑢4 − 𝑇4) 
 
Onde u (t) é a temperatura absoluta do corpo no instante t, T é a temperatura 
absoluta do ambiente e α é uma constante que depende dos parâmetros físicos 
do corpo. No entanto, se u for muito maior do que T, as soluções da Eq (i) podem 
ser bem aproximadas por soluções da equação mais simples: 
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= −𝛼𝑢4 
Suponha que um corpo, a uma temperatura inicial de 2000k, está em um meio à 
temperatura de 300k e que 𝛼 = 2,0 ∗ 10−12
𝐾−3
𝑠
 
(A) . Determine a temperatura do corpo em um instante qualquer resolvendo 
e Eq (ii). 
 
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= −𝛼𝑢4 
Separando as variáveis 
𝑑𝑢
𝑢4
= −𝛼𝑑𝑡 
 
Integrando as variáveis 
∫ 𝑢−4𝑑𝑢 = −𝛼 ∫ 𝑑𝑡 → (
−𝑢−3
3
= −𝛼𝑡 + 𝐶) ∗ −1 = (
𝑢−3
3
= 𝛼𝑡 + 𝐶) 
(
1
𝑢3
= 3 ∗ 𝛼𝑡 + 𝐶) 
 
Substituindo o alpha 
 
1
𝑢3
 = 3 ∗ 2 ∗ 10−12𝑡 + 𝐶 
 
 
 
Para (t) = 0 (u) =2000 
1
(2∗103)3
 = 6 ∗ 10−12 ∗ 0 + 𝐶 → 𝐶 =
1
8∗109 
=
10−9
8
= 
 
Isolando o u e substituindo a constante C: 
𝑢3 =
1
6∗10−12𝑡+
10−9
8
 → 𝑢3 =
1
48∗10−12𝑡+10−9
8
 → 𝑢3 =
1
48∗10−12𝑡+10−9
∗
8
1
 
𝑢3 =
8
10−9(48∗10−3𝑡+1)
 → 𝑢3 =
8∗109
0,048𝑡+1
→ 𝑢 = √
8∗109
0,048𝑡+1
3
→ 𝑢 =
2∗103
√0,048𝑡+1
3 
𝒖 =
𝟐𝟎𝟎𝟎
√𝟎, 𝟎𝟒𝟖𝒕 + 𝟏
𝟑 
 
 
 
(B). Encontre o instante σ no qual u (𝜏)=600, ou seja, o dobro da temperatura 
ambiente. Até esse instante o erro ao se usar a Eq (ii) para aproximar as soluções 
da Eq (i) não é maior que 1%. 
600 =
2000
√0,048𝑡+1
3 → √0,048𝑡 + 1
3 ∗ 600 = 2000 → √0,048𝑡 + 1
3 =
2000
600
 
0,048𝑡 + 1 = (
2000
600
)
3
→ 1 + 0,048𝑡 = 37,037 → 0,048𝑡 = 37,037 − 1 
𝑡 =
36,037
0,048
→ 𝒕 = 𝟕𝟓𝟎, 𝟕𝟕 𝒔