Lei de Resfriamento de Newton

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Lei de resfriamento de 
newton 
 
 
 
 
 
 
Universidade Federal de Mato Grosso Do Sul 
Disciplina: Laboratório de Física II 
Professor: Bruno Spolon Marangoni 
Aluno: Pedro Henrique de Queiroz Ramos 
RGA: 2018.1905.057-2 
Turma: P06 
Semana: 27/09/2020 – 04/10/2020 
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SUMÁRIO 
 
 
 
 
Objetivo 3 
Introdução Teórica 3 
Desenvolvimento Teórico 4 
Materiais e Métodos 5 
Resultados e Discussões 6 
Conclusão 10 
Referências Bibliográficas 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
OBJETIVO 
 
Neste experimento será analisado o comportamento de dois 
corpos em contato térmico, onde suas temperaturas eram diferentes, 
utilizando o princípio da lei zero da termodinâmica. A mesma permite 
a comparação de temperatura entre dois corpos sem coloca-los em 
contato e cria o conceito do termômetro, através do seguinte 
princípio: quando dois corpos tem igualdade de temperatura com um 
terceiro corpo, eles terão igualdade entre si. Também será verificado 
se a equação de Resfriamento de Newton tem caráter de decaimento 
exponencial como proposto. 
• Nota importante 
Este experimento não foi realizado de maneira prática. Foi 
utilizado um computador para simular os acontecimentos físicos 
do mesmo, portanto, o único erro numérico a ser considerado é de 
aproximações de casas decimais para números que tenham 
dízimas periódicas. Todo erro de imprecisão, tanto por parte do 
instrumento ou do experimentador, foi desconsiderado. 
 
INTRODUÇÃO TEÓRICA 
 
A lei de resfriamento proposta por Isaac Newton tem aplicação 
em inúmeros casos no cotidiano. Imagine que ocorreu um homicídio 
ou uma morte acidental. Ao instante que o corpo é encontrado, deve-
se medir a temperatura e tentar estimar há quanto tempo a morte 
ocorreu, verificando a temperatura do corpo, que tentará entrar em 
equilíbrio térmico com o ambiente. 
Newton propôs que a taxa de variação de temperatura de um 
corpo quente ao se resfriar é aproximadamente proporcional à 
diferença de temperatura entre a temperatura do objeto quente e a 
temperatura do ambiente, isto nos dá a equação 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= −𝑘(𝑇 − 𝑇𝑎). (1) 
A temperatura de um corpo é influenciada pelo material de 
que esse é constituído. Ela depende da condutividade térmica, que 
difere de material para material. As três escalas de temperatura 
mais utilizadas são: Celsius (°C), Kelvin (K) e Fahrenheit (°F). 
 
 
4 
 
 
 
DESENVOLVIMENTO TEÓRICO 
 
- Taxa de variação de temperatura (
𝒅𝑻
𝒅𝒕
): Taxa em que a 
temperatura do corpo varia com o tempo; 
 
- Constante de proporcionalidade (𝒌): Constante que determina a 
proporção da taxa de variação da temperatura; 
 
- Temperatura do objeto (𝑻): Trata-se da temperatura em que o 
objeto se encontra; 
 
- Temperatura do ambiente (𝑻𝒂): Trata-se da temperatura em que 
o ambiente se encontra; 
 
- Temperatura inicial do objeto (𝑻𝟎): Trata-se da temperatura do 
objeto quando o 𝑡 = 0; 
 
- Tempo (𝒕): Consiste no intervalo a ser analisado no experimento. 
 
 Relacionando a equação encontrada por Newton, temos que: 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= −𝑘(𝑇 − 𝑇𝑎). (1) 
 
1
𝑇 − 𝑇𝑎
𝑑𝑇 = −𝑘 𝑑𝑡 
 
∫
1
𝑇 − 𝑇𝑎
𝑑𝑇 = ∫ −𝑘 𝑑𝑡 
 
ln|𝑇 − 𝑇𝑎| + 𝐶1 = −𝑘𝑡 + 𝐶2 
 
ln|𝑇 − 𝑇𝑎| = −𝑘𝑡 + 𝐶 
 
𝑒ln|𝑇−𝑇𝑎| = 𝑒−𝑘𝑡+𝑐 
 
|𝑇 − 𝑇𝑎| = 𝑒
−𝑘𝑡𝑒𝑐 
5 
 
 
|𝑇 − 𝑇𝑎| = 𝑒
−𝑘𝑡𝐶 (2) 
 
 Para determinar a constante C, adota-se o seguinte critério: 
quando 𝑡 = 0 → 𝑇 = 𝑇0, logo 
|𝑇0 − 𝑇𝑎| = 𝑒
−𝑘0𝐶 
 
𝐶 = |𝑇 − 𝑇𝑎| (3) 
 
Como 𝑇0 e 𝑇 são sempre maiores que 𝑇𝑎, podemos tirar o 
módulo. Assim, substituindo (3) em (2) e fazendo os ajustes 
chegamos a seguinte equação: 
 
𝑇 − 𝑇𝑎 = (𝑇0 − 𝑇𝑎)𝑒
−𝑘𝑡 (4) 
 
MATERIAIS E MÉTODOS 
 
Nesta seção são apresentados os materiais e métodos 
utilizados na execução dos experimentos. 
 
Materiais: 
• Recipiente revestido de cobre com água quente; 
• Cronômetro digital; 
• Termômetro de mercúrio; 
 
Procedimento 
Para a execução do experimento, inicialmente, foi utilizado um 
recipiente revestido de cobre, de raio 2 cm e massa 50g, contendo 
água. Observe a figura 1. 
 
6 
 
 
 
Figura 1 - Fonte: Amrita University Under research grant from 
Department Of Electronics & Information Technology 
 Logo, a água foi aquecida até 100°C e iniciou-se o experimento. 
Anotou-se todos os dados do resfriamento da água até entrar em 
equilíbrio térmico com o ambiente. A temperatura ambiente era de 
20°C. 
 
RESULTADOS E DISCUSSÕES 
 Foram registradas todas as temperaturas em um intervalo de 
tempo de 2h30m (150 minutos). Nos primeiros 30 minutos, obteve-
se a temperatura da água a cada 2 minutos. Após 30 minutos 
decorridos do experimento, as temperaturas foram registradas a 
cada 5 minutos. Observe a tabela 1: 
Tempo (segundos) Temperatura (°C) 
0 100 
120 95,6 
240 91,4 
360 87,6 
480 83,8 
600 80,3 
720 76,9 
840 73,8 
960 70,8 
1080 68,0 
1200 65,4 
7 
 
1320 62,9 
1440 60,5 
1560 58,3 
1680 56,2 
1800 54,2 
2100 49,7 
2400 45,8 
2700 42,4 
3000 39,4 
3300 36,8 
3600 34,6 
3900 32,7 
4200 31,0 
4500 29,6 
4800 28,3 
5100 27,2 
5400 26,2 
5700 25,4 
6000 24,7 
6300 23,5 
6600 23,1 
6900 22,7 
7200 22,3 
7500 22,0 
7800 21,7 
8100 21,5 
8400 21,3 
8700 21,2 
Tabela 1 – Fonte: Própria 
 Linearizando a tabela 1, obtemos um gráfico exponencial de 
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑥 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 observado na figura 1: 
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Figura 1 – Fonte: Excel 
Desse modo, podemos calcular ln(𝑇 − 𝑇𝑎) e fazer a regressão 
linear, resultando no gráfico apresentado pela figura 2. 
 
Figura 2 – Fonte: Excel 
 
 Com os resultados obtidos é possível calcular a equação do 
decaimento exponencial observado na figura 2, através equação 
(5). 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
Te
m
p
er
at
u
ra
 (T
 -
Ta
) 
(°
C
)
Tempo (segundos)
Gráfico temperatura (T - Ta) x tempo (segundos)
y = 82,385e-5E-04x
R² = 0,9992
1
10
100
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
Te
m
p
er
at
u
ra
 ln
(T
 -
Ta
) 
(°
C
)
Tempo (segundos)
Gráfico temperatura ln(T - Ta) x tempo (segundos)
9 
 
𝑦 = 82,385 ∙ 𝑒−0,0005𝑥 (5) 
 
Temos que 𝑦 é a temperatura no recipiente e 𝑥 o tempo. Logo: 
𝑦 = 𝑇 − 𝑇𝑎 e 𝑥 = 𝑡 
Igualando as equações (4) e (5): 
𝑇 − 𝑇𝑎 = (𝑇0 − 𝑇𝑎)𝑒
−𝑘𝑡 (4) 
 
82,385 ∙ 𝑒−0,0005𝑥 = (𝑇0 − 𝑇𝑎)𝑒
−𝑘𝑡 
 
 Observa-se que 𝑇0 − 𝑇𝑎 = 86,385, logo: 
86,385 ∙ 𝑒−0,0005𝑡 = 86,385 ∙ 𝑒−𝑘𝑡 
𝑒−0,0005𝑡 = 𝑒−𝑘𝑡 
ln 𝑒−0,0005𝑡 = ln 𝑒−𝑘𝑡 
−0,0005𝑡 = −𝑘𝑡 
𝑘 = 0,0005 
𝑘 = 5 ∙ 10−4 
 
 Encontra-se o valor aproximado da constante 𝑘, e, percebe-se 
que há discrepâncias nos resultados obtidos. Inicialmente, quando 
foram realizadas as medidas, a temperatura do objeto 𝑇0 = 100°𝐶, e 
a temperatura do ambiente é 𝑇𝑎 = 20°𝐶. Esses desvios foram 
gerados através do ajuste exponencial na linearização do gráfico, 
onde 
(Valor obtido através das medidas) 
𝑇0 = 100°𝐶 e 𝑇𝑎 = 20°𝐶 
 
(Valor obtido através do ajuste exponencial) 
𝑇0 − 𝑇𝑎 = 86,385 
𝑇0 = 106,385 °𝐶 ou 𝑇𝑎 = 13,615 °𝐶 
 
10 
 
 
 
CONCLUSÃO 
 Após concluído o experimento, foi observado que o 
resfriamento do corpo foi possível pois obedeceu à lei zero da 
termodinâmica, onde a água entrou em equilíbrio térmico com o 
ambiente. No início, a temperatura do corpo cai rapidamente, e, 
depois de um certo tempo, seu resfriamento torna-se mais lento. 
Nota-se que, através dos dados registrados nas tabelas e nos 
gráficos, a relação temperatura x tempo tem um decaimento 
exponencial propriamente expressado pela equação (4). 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
[1] – Lei de Resfriamentode Newton | Matematica | Khan Academy. 
Disponível em <https://www.youtube.com/watch?v=vvreo-X2ga4> 
[2] – RESPONDE AÍ. Disponível em 
<https://www.respondeai.com.br> 
[3] – H. D. Young e R. A. Freedman, Física II, Pearson, São Paulo 
(2006) 
[4] – Lei de Resfriamento de Newton – UEMA/CCT/Departamento 
de Física. Disponível em < 
http://www.academico.uema.br/DOWNLOAD/LeideresfriamentodeN
ewtonJP.pdf>