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Análise combinatória é um estudo realizado na matemática e na lógica, responsável pela análise das possibilidades e das combinações. Observe alguns exemplos de exercícios que são resolvidos utilizando análise combinatória.
Se quiser saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise combinatória.
Um homem possui cinco camisas, quatro calças, três paletós e dois pares de sapatos. De quantos modos diferentes ele pode se vestir? Para saber essas combinações é necessário utilizar as propriedades da análise combinatória.
Para efetuar os cálculos desses problemas, devemos estudar algumas propriedades da análise combinatória:
- Princípio fundamental da contagem
- Fatorial
- Arranjos simples
- Permutação simples
- Combinação
- Permutação com elementos repetidos
Fatorial 
Considerando n um número natural maior que 1 (um), podemos definir como fatorial desse número n (n!) o número: 
n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) * ...* 3 * 2 * 1 
Lê-se n! como n fatorial ou fatorial de n. 
Veja alguns exemplos: 
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 
8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40320 
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720 
10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3.628.800 
Princípio Fundamental da Contagem 
Quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal forma que as possibilidades da primeira etapa é m e as possibilidades da segunda etapa é n, consideramos então que o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m*n. 
Exemplo 1 
Ao lançarmos uma moeda e um dado temos as seguintes possibilidades: 
Moeda: cara ou coroa (duas possibilidades) 
Dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (seis possibilidades) 
Observando o ocorrido, vemos que o evento tem duas etapas com 2 possibilidades em uma e 6 em outra, totalizando 2*6 = 12 possibilidades. 
Exemplo 2 
Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 4 e 6? E de algarismos distintos? 
Podemos escrever 3 * 3 * 3 = 27 números de 3 algarismos. 
Três algarismos distintos: 3 * 2 * 1 = 6 números de 3 algarismos distintos.
Simplifique a expressão a seguir de acordo com as regras do Fatorial de um número:  
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Questão 2
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Questão 3
De quantas maneiras 6 pessoas podem sentar-se num banco de 6 lugares de modo que duas delas fiquem sempre juntas, em qualquer ordem?
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Questão 4
(Unifor–CE)
Um casal e seus quatro filhos vão ser colocados lado a lado para tirar uma foto. Se todos os filhos devem ficar entre os pais, de quantos modos distintos os seis podem posar para tirar a foto?
a) 24
b) 48
c) 96
d) 120
e) 720
 
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Questão 5
(UFJF–MG)
Newton possui 9 livros distintos, sendo 4 de Geometria, 2 de Álgebra e 3 de Análise. O número de maneiras pelas quais Newton pode arrumar esses livros em uma estante, de forma que os livros de mesmo assunto permaneçam juntos, é:
a) 288
b) 296
c) 864
d) 1728
e) 2130
 
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Questão 6
(ITA–SP) 
Quantos números de seis algarismos distintos podemos formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes (juntos), mas o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes? 
a) 144
b) 180
c) 240
d) 288
e) 360
 
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Respostas
Resposta Questão 1
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Resposta Questão 2
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Resposta Questão 3
Como duas pessoas ficarão sempre juntas, podemos considerá-las uma única pessoa. Dessa forma temos que:
P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
Sabendo que as duas pessoas podem se sentar de duas maneiras, teremos 2 * 120 = 240. Portanto as 6 pessoas podem ocupar o banco de 6 lugares, em que 2 fiquem sempre juntas, de 240 maneiras. 
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Resposta Questão 4
Os pais deverão ocupar os extremos:
P ____ ____  ____ ____ M  ou M ____ ____ ____ ____ P
2 * P4 = 2 * 4! = 2 * 4 * 3 * 2 * 1 = 48 maneiras
Resposta correta item b. 
 
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Resposta Questão 5
4 livros de Geometria = P4                                          
2 livros de Álgebra = P2
3 livros de Análise = P3
P4 * P2 * P3 * P3 = 4! * 2! * 3!
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
2! = 2
3! = 3 * 2 * 1 = 6
P4 * P2 * P3 * P3 = 24 * 2 * 6 * 6
P4 * P2 * P3 * P3 = 1728 maneiras
Resposta correta item d.
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Resposta Questão 6
3 e o 4 ocupando posições adjacentes
5! * 2! = 120 * 2 = 240 números
1 e o 2 juntos e o 3 e o 4 juntos
4! * 2! * 2! = 24 * 2 * 2 = 96 números
3 e o 4 juntos e o 1 e o 2 nunca juntos
240 – 96 = 144 números
Resposta correta item a.
 
voltar a questão A análise combinatória estuda dois tipos de agrupamentos: Arranjos e combinações. Sendo que diferem em arranjos simples, combinações simples.
Arranjos são agrupamentos nos quais a ordem dos seus elementos faz a diferença. Por exemplo, os números de três algarismos formados pelos elementos {1, 2 e 3} são:
312, 321, 132, 123, 213, 231
Esse agrupamento é um arranjo, pois a ordem dos elementos 1, 2 e 3 diferem. E é considerado simples, pois os elementos não se repetem.
Para que tenhamos arranjos simples é preciso ter um conjunto de elementos distintos com uma quantidade qualquer de elementos, sendo que os arranjos simples formados irão possuir n elementos, sendo que essa quantidade será igual ou menor que a quantidade de elementos do conjunto.
Veja o exemplo abaixo:
Dado o conjunto B = {5,6,7}, veja os possíveis agrupamentos formados com 2 elementos de B.
Então, os agrupamentos formados com 2 elementos do conjunto b são: 56,57,65,67,75,76. Esse agrupamento é formado por arranjos simples pelos elementos do conjunto B.
Nesse exemplo percebemos que é possível formar 6 arranjos, essa quantidade pode ser representada da seguinte forma: A3,2 (três elementos distintos formados de dois a dois). Utilizando o processo do princípio fundamental da contagem, calculamos a quantidade de elementos:
A3,2 = 3 . 2 . 1 = 6
Se em um agrupamento compararmos os arranjos simples formados perceberemos que eles se diferem de duas maneiras diferentes: pela ordem de seus elementos ou pela natureza de seus elementos. Por exemplo:
Se compararmos os arranjos 56 e 65 do exemplo anterior, perceberemos que eles são diferentes pela ordem dos seus elementos.
Se compararmos os arranjos 75 e 76 do exemplo anterior, perceberemos que eles são diferentes pela natureza de seus elementos, pois são diferentes.
Considerando n a quantidade de elementos de um conjunto qualquer e p um número natural menor ou igual a n. p será a classe ou a ordem do arranjo. Indicado da seguinte forma: A n , p
A fórmula geral utilizada no cálculo da quantidade de arranjos simples é:
Exemplo 2:
Quantas “palavras” (com sentido ou não) de 5 letras distintas podemos formar com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto?
Não é necessário montar todas os arranjos possíveis para saber a sua quantidade, basta aplicar a fórmula:
A n , p =    n!
            (n – p)!
Sendo que o conjunto é formado por 20 elementos (n = 20) que serão unidos de 5 em 5 (p = 5). Substitua a fórmula.
Portanto, a quantidade de arranjos formados com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto unidas de 5 em 5 é 1860480.
Questão 1
Em uma empresa, quinze funcionários se candidataram para as vagas de diretor e vice-diretor financeiro. Eles serão escolhidos através do voto individual dos membros do conselho da empresa. Vamos determinar de quantas maneiras distintas essa escolha pode ser feita.
Trata-se de um agrupamento de 15 pessoas tomadas 2 a 2.
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Questão 2
Um número de telefone é formado por 8 algarismos. Determine quantos números de telefone podemos formar com algarismos diferentes, que comecem com 2 e terminem com 8.
 
O número 2 deve ser fixado na 1ª posição e o 8 na última. Restaram, por tanto, 6 posições e 8 algarismos, pois eles precisam ser diferentes. Considerando que a ordem dos algarismos diferencie dois númerosde telefone, vamos arranjar 8 algarismos 6 a 6.
 
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Questão 3
Em uma urna de sorteio de prêmios existem dez bolas enumeradas de 0 a 9. Determine o número de possibilidades existentes num sorteio cujo prêmio é formado por uma sequência de 6 algarismos.
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Questão 4
Uma família é composta por seis pessoas (pai, mãe e quatro filhos) que nasceram em meses diferentes do ano. Calcule as sequências dos possíveis meses de nascimento dos membros dessa família.
Sabemos que 1 ano é composto de 12 meses, então devemos determinar o número de sequência através do arranjo de 12, tomados 6 a 6.
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Respostas
Resposta Questão 1
Os cargos poderão ser ocupados de 210 maneiras distintas.
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Resposta Questão 2
Podemos formar 20.160 números de telefones com os algarismos distintos e que comecem com 2 e terminem com 8.
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Resposta Questão 3
O sorteio terá 151.200 possibilidades de sequência de 6 algarismos.
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Resposta Questão 4
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Nas situações envolvendo problemas de contagem podemos utilizar o PFC (Princípio Fundamental da Contagem). Mas em algumas situações os cálculos tendem a se tornar complexos e trabalhosos. Visando facilitar o desenvolvimento de tais cálculos, alguns métodos e técnicas foram desenvolvidos no intuito de determinar agrupamentos nos problemas de contagem, consistindo nos Arranjos e nas Combinações.
Vamos estabelecer algumas diferenças entre arranjos e combinações. Os arranjos são caracterizados pela natureza e pela ordem dos elementos escolhidos. Já as combinações são caracterizadas pela natureza dos elementos.
Arranjos
Dado o conjunto B = {2, 4, 6, 8}. Os agrupamentos de dois elementos do conjunto B, são:
{(2,4), (2,6), (2,8), (4,2), (4,6), (4,8), (6,2), (6,4), (6,8), (8,2), (8,4), (8,6)}
Veja que cada arranjo é diferente do outro. Portanto, são caracterizados:
Pela natureza dos elementos: (2,4) ≠ (4,8)
Pela ordem dos elementos: (1,2) ≠ (2,1)
Combinação
Em uma festa de aniversário será servido sorvete aos convidados. Serão oferecidos os sabores de morango (M), chocolate (C), baunilha (B) e ameixa (A) e o convidado deverá escolher dois entre os quatro sabores. Notemos que, não importa a ordem em que os sabores são escolhidos. Se o convidado escolher morango e chocolate {MC} será a mesma coisa que escolher chocolate e morango {CM}. Nesse caso, podemos ter escolhas repetidas, veja: {M,B} = {B,M}, {A,C} = {C,A} e assim sucessivamente.
Portanto, na combinação os agrupamentos são caracterizados somente pela natureza dos elementos.
Exemplo 1 – Arranjos simples
Em um colégio, dez alunos candidataram-se para ocupar os cargos de presidente e vice-presidente do grêmio estudantil. De quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita?
Temos dez alunos disputando duas vagas, portanto, dez elementos tomados dois a dois.
 
Exemplo 2 – Combinações
Lucas vai realizar uma viagem e quer escolher quatro entre nove camisetas. De quantos modos distintos ele pode escolher as camisetas?
Temos nove camisetas tomadas quatro a quatro. 
Questão 1
Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP) – Minas Gerais
No meio da “invasão tecnológica” que toma conta de nossas vidas, dona Antônia esqueceu sua senha bancária justamente na hora de efetuar um saque. Ela lembra que a senha é formada por quatro algarismos distintos, sendo o primeiro 5 e o algarismo 6 aparece em alguma outra posição. Qual é o número máximo de tentativas que o banco deveria permitir para que dona Antônia consiga realizar o saque?
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Questão 2
Universidade Estadual do Rio de Janeiro (EU-RJ)
Para montar um sanduíche, os clientes de uma lanchonete podem escolher:
• Um entre os tipos de pão: calabresa, orégano e queijo;
• Um entre os tamanhos: pequeno e grande;
• De um até cinco entre os tipos de recheio: sardinha, atum, queijo, presunto e salame; sem possibilidade de repetição de recheio num mesmo sanduíche.
Calcule:
a) Quantos sanduíches distintos podem ser montados;
b) O número de sanduíches distintos que um cliente pode montar, se ele não gosta de orégano, só come sanduíches pequenos e deseja dois recheios em cada sanduíche.
 
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Questão 3
Universidade Federal de Juiz de Fora – Minas Gerais
Um jornalista foi designado para cobrir uma reunião de ministros de Estado. Ao chegar ao local da reunião, descobriu que havia terminado. Perguntou ao porteiro o número de ministros presentes e ele disse: “Ao saírem, todos os ministros se cumprimentaram mutuamente, num total de 15 apertos de mão”.
Com base nessa informação, qual foi o número de ministros que estiveram presentes na reunião?
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Questão 4
Júlia deseja viajar e levar 5 pares de sapatos, sabendo que ela possui em seu guarda-roupa 12 pares, de quantas maneiras diferentes Júlia poderá escolher 5 pares de sapatos para a sua viagem?
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Questão 5
Em época de eleição para o grêmio estudantil do colégio, tiveram 12 candidatos aos cargos de presidente, vice-presidente e secretário. De quantos modos diferentes estes candidatos poderão ocupar as vagas deste grêmio?
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Respostas
Resposta Questão 1
Primeiramente temos que identificar se este problema está relacionado a um ARRANJO ou a uma COMBINAÇÃO.
Basicamente devemos saber se a ordem dos elementos a serem combinados é importante ou não. Em se tratando de senhas, a ordem de cada número é muito importante, pois a senha 5123 é diferente da senha 5321.
Sendo assim, usaremos Arranjo.
O exercício nos informa que o primeiro dígito é o número 5, e o número 6 estará em algum dos outros 3 dígitos.
Sendo assim, teremos a seguinte situação.
1º Caso (6 no segundo dígito):      5_       6_   _8 possibilidades__   _7 possibilidades__       = A8,2
2º Caso (6 no terceiro dígito) :      5_     _8 possibilidades__   _6_   _7 possibilidades__      = A8,2
3º Caso (6 no quarto dígito):      5_     _8 possibilidades__   _7 possibilidades__      _6_      = A8,2
Teremos a resposta somando as possibilidades de cada caso, ou seja:
A8,2+A8,2+A8,2=3.A8,2
Esse número três é proveniente das possibilidades que existem para as posições do número 6 nesta senha.
Com isso teremos que as tentativas deveriam ser:
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Resposta Questão 2
Este é um problema de Combinação, pois podemos ver que cada elemento é de natureza diferente, então, cada organização feita deste sanduíche resultará em um tipo de sanduíche.
Aqui temos três Combinações diferentes, uma referente ao tipo de pão, outra ao tamanho e outra ao recheio. Quando fazemos a combinação do recheio devemos nos atentar, pois existem 5 modos diferentes do cliente rechear seu sanduíche.
A)
Caso 1 – Um item no recheio.
B)
Neste caso o cliente tem algumas preferências, logo restringirá algumas de nossas opções para combinação.
Ele escolherá apenas dois recheios, com isso teremos a seguinte combinação:
 
Este cliente terá 20 opções de sanduíche à sua escolha.
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Resposta Questão 3
Novamente trata-se de elementos de natureza diferente, pois o fato de o ministro A apertar a mão do ministro B é o mesmo acontecimento do ministro B apertar a mão do ministro A, portanto, trata-se de um problema envolvendo combinação.
Essa quantidade de ministros é o nosso fator de combinação, ou seja, quantos ministros eu tenho que combinar, dois a dois, de modo que eu tenha um total de 15 apertos de mão. Transcrevendo isso na linguagem matemática:
Deveremos desenvolver esta equação envolvendo fatorial para que possamos encontrar o valor de m.
Ao desenvolvermos a equação do segundo grau na incógnita m, encontramos o seguinte conjunto solução.  S={m=6 ou m=-5}
Como m é a quantidade de ministros, não é possível ter uma quantidade negativa, logo, teremos que o valor de m é 6.
Então, o número de ministros presentes na reunião foi de 6 ministros.
 
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 Resposta Questão 4
Se Júlia leva o sapato pretoe o sapato rosa, é a mesma coisa que ela levar o sapato rosa e o sapato preto, logo, a sequência dos elementos não importa, com isso usaremos Combinação, para eliminarmos os arranjos repetidos.
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 Resposta Questão 5
Cada combinação é diferente da outra neste caso, existe diferenciação entre o Candidato A ser presidente e o Candidato B ser vice-presidente, com a possibilidade de B ser presidente e A ser vice. Por isso usaremos Arranjo.
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Arranjos simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n) são os diferentes agrupamentos ordenados que se podem formar com p dos n elementos dados.
Indica-se por An,p ou Anp o total desses agrupamentos, que calculamos assim:
An,p = n(n – 1)(n – 2) * ...*(n – p + 1) ou
Exemplos:
A8,4 (onde n = 8 e p = 4)
Combinações Simples
Combinações simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n) são os subconjuntos com exatamente p elementos que se podem formar com os n elementos dados.
Indica-se por Cn,p , Cnp o número total de combinações de n elementos tomados p a p
e calcula-se por C n,p =
(Observação: Por serem subconjuntos, a ordem dos elementos não importa.)
Exemplos:
C6,2 (onde n = 6 e p = 2)
Questão 1
Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP) – Minas Gerais
No meio da “invasão tecnológica” que toma conta de nossas vidas, dona Antônia esqueceu sua senha bancária justamente na hora de efetuar um saque. Ela lembra que a senha é formada por quatro algarismos distintos, sendo o primeiro 5 e o algarismo 6 aparece em alguma outra posição. Qual é o número máximo de tentativas que o banco deveria permitir para que dona Antônia consiga realizar o saque?
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Questão 2
Universidade Estadual do Rio de Janeiro (EU-RJ)
Para montar um sanduíche, os clientes de uma lanchonete podem escolher:
• Um entre os tipos de pão: calabresa, orégano e queijo;
• Um entre os tamanhos: pequeno e grande;
• De um até cinco entre os tipos de recheio: sardinha, atum, queijo, presunto e salame; sem possibilidade de repetição de recheio num mesmo sanduíche.
Calcule:
a) Quantos sanduíches distintos podem ser montados;
b) O número de sanduíches distintos que um cliente pode montar, se ele não gosta de orégano, só come sanduíches pequenos e deseja dois recheios em cada sanduíche.
 
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Questão 3
Universidade Federal de Juiz de Fora – Minas Gerais
Um jornalista foi designado para cobrir uma reunião de ministros de Estado. Ao chegar ao local da reunião, descobriu que havia terminado. Perguntou ao porteiro o número de ministros presentes e ele disse: “Ao saírem, todos os ministros se cumprimentaram mutuamente, num total de 15 apertos de mão”.
Com base nessa informação, qual foi o número de ministros que estiveram presentes na reunião?
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Questão 4
Júlia deseja viajar e levar 5 pares de sapatos, sabendo que ela possui em seu guarda-roupa 12 pares, de quantas maneiras diferentes Júlia poderá escolher 5 pares de sapatos para a sua viagem?
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Questão 5
Em época de eleição para o grêmio estudantil do colégio, tiveram 12 candidatos aos cargos de presidente, vice-presidente e secretário. De quantos modos diferentes estes candidatos poderão ocupar as vagas deste grêmio?
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Respostas
Resposta Questão 1
Primeiramente temos que identificar se este problema está relacionado a um ARRANJO ou a uma COMBINAÇÃO.
Basicamente devemos saber se a ordem dos elementos a serem combinados é importante ou não. Em se tratando de senhas, a ordem de cada número é muito importante, pois a senha 5123 é diferente da senha 5321.
Sendo assim, usaremos Arranjo.
O exercício nos informa que o primeiro dígito é o número 5, e o número 6 estará em algum dos outros 3 dígitos.
Sendo assim, teremos a seguinte situação.
1º Caso (6 no segundo dígito):      5_       6_   _8 possibilidades__   _7 possibilidades__       = A8,2
2º Caso (6 no terceiro dígito) :      5_     _8 possibilidades__   _6_   _7 possibilidades__      = A8,2
3º Caso (6 no quarto dígito):      5_     _8 possibilidades__   _7 possibilidades__      _6_      = A8,2
Teremos a resposta somando as possibilidades de cada caso, ou seja:
A8,2+A8,2+A8,2=3.A8,2
Esse número três é proveniente das possibilidades que existem para as posições do número 6 nesta senha.
Com isso teremos que as tentativas deveriam ser:
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Resposta Questão 2
Este é um problema de Combinação, pois podemos ver que cada elemento é de natureza diferente, então, cada organização feita deste sanduíche resultará em um tipo de sanduíche.
Aqui temos três Combinações diferentes, uma referente ao tipo de pão, outra ao tamanho e outra ao recheio. Quando fazemos a combinação do recheio devemos nos atentar, pois existem 5 modos diferentes do cliente rechear seu sanduíche.
A)
Caso 1 – Um item no recheio.
B)
Neste caso o cliente tem algumas preferências, logo restringirá algumas de nossas opções para combinação.
Ele escolherá apenas dois recheios, com isso teremos a seguinte combinação:
 
Este cliente terá 20 opções de sanduíche à sua escolha.
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Resposta Questão 3
Novamente trata-se de elementos de natureza diferente, pois o fato de o ministro A apertar a mão do ministro B é o mesmo acontecimento do ministro B apertar a mão do ministro A, portanto, trata-se de um problema envolvendo combinação.
Essa quantidade de ministros é o nosso fator de combinação, ou seja, quantos ministros eu tenho que combinar, dois a dois, de modo que eu tenha um total de 15 apertos de mão. Transcrevendo isso na linguagem matemática:
Deveremos desenvolver esta equação envolvendo fatorial para que possamos encontrar o valor de m.
Ao desenvolvermos a equação do segundo grau na incógnita m, encontramos o seguinte conjunto solução.  S={m=6 ou m=-5}
Como m é a quantidade de ministros, não é possível ter uma quantidade negativa, logo, teremos que o valor de m é 6.
Então, o número de ministros presentes na reunião foi de 6 ministros.
 
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Resposta Questão 4
Se Júlia leva o sapato preto e o sapato rosa, é a mesma coisa que ela levar o sapato rosa e o sapato preto, logo, a sequência dos elementos não importa, com isso usaremos Combinação, para eliminarmos os arranjos repetidos.
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Resposta Questão 5
Cada combinação é diferente da outra neste caso, existe diferenciação entre o Candidato A ser presidente e o Candidato B ser vice-presidente, com a possibilidade de B ser presidente e A ser vice. Por isso usaremos Arranjo.
Permutação de elementos repetidos deve seguir uma forma diferente da permutação, pois elementos repetidos permutam entre si. Para compreender como isso acontece veja o exemplo abaixo:
A permutação da palavra MATEMÁTICA ficaria da seguinte forma:
Sem levar em consideração as letras (elementos) repetidas, a permutação ficaria assim:
P10 = 10! = 3.628.800
Agora, como a palavra MATEMÁTICA possui elementos que repetem, como a letra A que repete 3 vezes, a letra T repete 2 vezes e a letra M repete 2 vezes, assim a permutação entre si dessas repetições seria 3! . 2! . 2!. Portanto, a permutação da palavra MATEMÁTICA será:
Portanto, com a palavra MATEMÁTICA podemos montar 151200 anagramas.
Seguindo esse raciocínio podemos concluir que, de uma maneira geral, a permutação com elementos repetidos é calculada utilizando a seguinte fórmula:
Dada a permutação de um conjunto com n elementos, alguns elementos repetem n1 vezes, n2 vezes e nn vezes. Então, a permutação é calculada:
Exemplo 1:
Quantos anagramas podem ser formados com a palavra MARAJOARA, aplicando a permutação teremos:
Portanto, com a palavra MARAJOARA podemos formar 7560 anagramas.
Exemplo 2:
Quantos anagramas podem ser formados com a palavra ITALIANA, aplicando a permutação teremos:
Portanto, com a palavra ITALIANA podemos formar 3360 anagramas.
Exemplo 3:
Quantos anagramas com a palavra BARREIRA podem ser formados, sendo que deverá começar com a letra B?B ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
↓                          ↓
1                       P2,37
1 . P2,37 =   7!    = 420
                  2! . 3!
Portanto, com a palavra BARREIRA podemos formar 420 anagramas.
Questão 1
Determine o número de anagramas que podem ser formados com as letras do nome ALEMANHA. 
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Questão 2
Utilizando o nome COPACABANA, calcule o número de anagramas formados desconsiderando aqueles em que ocorrem repetições consecutivas de letras.  
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Questão 3
Ao preencher um cartão da loteria esportiva, André optou pelas seguintes marcações: 4 coluna um, 6 coluna do meio e 3 coluna dois. De quantas maneiras distintas André poderá marcar os cartões? 
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Questão 4
Em um torneio de futsal um time obteve 8 vitórias, 5 empates e 2 derrotas, nas 15 partidas disputadas. De quantas maneiras distintas esses resultados podem ter ocorrido?
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Questão 5
Em uma prova composta de 20 questões envolvendo V ou F, de quantas maneiras distintas teremos doze respostas V e oito respostas F? 
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Respostas
Resposta Questão 1
No nome ALEMANHA, a letra A se repete três vezes, dessa maneira, temos que calcular os anagramas de forma a desconsiderar aqueles em que a letra A se apresenta consecutivamente. 
São possíveis 6720 anagramas. 
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Resposta Questão 2
Na palavra COPACABANA, temos quatro letras A e duas letras C. O número de anagramas formados será dado pela expressão:
Poderão ser formados 75.600 anagramas.
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Resposta Questão 3
Os cartões poderão ser marcados de 60.060 maneiras diferentes. 
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Resposta Questão 4
Os resultados podem ser dispostos de 135.135 maneiras distintas. 
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Resposta Questão 5
Podemos ter 125.970 maneiras distintas de respostas envolvendo doze questões V e oito F. 
Podemos considerar a permutação simples como um caso particular de arranjo, onde os elementos formarão agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem. As permutações simples dos elementos P, Q e R são: PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP. Para determinarmos o número de agrupamentos de uma permutação simples utilizamos a seguinte expressão P = n!.
n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*....*3*2*1
Por exemplo, 4! = 4*3*2*1 = 24
Exemplo 1
Quantos anagramas podemos formar com a palavra GATO?
Resolução:
Podemos variar as letras de lugar e formar vários anagramas, formulando um caso de permutação simples.
P = 4! = 24
Exemplo 2
De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Carla, Maria, Paula e Silvia para a produção de um álbum de fotografias promocionais?
Resolução:
Note que o princípio a ser utilizado na organização das modelos será o da permutação simples, pois formaremos agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem dos elementos.
P = n!
P = 5!
P = 5*4*3*2*1
P = 120
Portanto, o número de posições possíveis é 120.
Exemplo 3
De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis homens e seis mulheres:
a) em qualquer ordem
Resolução
Podemos organizar as 12 pessoas de forma distinta, portanto utilizamos
12! = 12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 479.001.600 possibilidades
b) iniciando com homem e terminando com mulher
Resolução
Ao iniciarmos o agrupamento com homem e terminarmos com mulher teremos:
Seis homens aleatoriamente na primeira posição.
Seis mulheres aleatoriamente na última posição.
P = (6*6) * 10!
P = 36*10!
P = 130.636.800 possibilidades
Questão 1
Os resultados do último sorteio da Mega-Sena foram os números 04, 10, 26, 37, 47 e 57. De quantas maneiras distintas pode ter ocorrido essa sequência de resultados?
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Questão 2
Na palavra NORTE, quantos anagramas podem ser formados? Quantos começam com vogal?
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Questão 3
(U.F.Pelotas-RS) Tomando como base a palavra UFPEL, resolva as questões a seguir.
Quantos anagramas podem ser formados de modo que as vogais estejam sempre juntas?
Quantos anagramas podem ser formados com as letras UF juntas?
Quantos anagramas podem ser formados com as letras PEL juntas e nessa ordem?
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Questão 4
(Vunesp-SP) Considere todos os números formados por seis algarismos distintos obtidos permutando-se, de todas as formas possíveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
Determine quantos números é possível formar (no total) e quantos números se iniciam com o algarismo 1.
Escrevendo-se esses números em ordem crescente, determine qual posição ocupa o número 512346 e que número ocupa a 242ª posição.
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Respostas
Resposta Questão 1
Os números sorteados da mega sena formam uma sequência de seis números. Para calcular as formas distintas que esse resultado pode ter sido sorteado, basta calcular: P6=6!=6*5*4*3*2*1 = 720.
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Resposta Questão 2
Na palavra NORTE, temos 5 letras e a quantidade de anagramas distintos é dada por P5=5!= 5*4*3*2*1 =120. Para sabermos quantos começam com vogal, sabemos que, fixado que a primeira letra é uma vogal, restam apenas quatro posições a serem permutadas. Então temos 4!= 4*3*2*1 = 24. Como temos duas vogais, basta multiplicar 2*24=48. Assim, dos 120 anagramas que podem ser formados, apenas 48 começam com vogais.
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Resposta Questão 3
Na palavra UFPEL, temos 5 letras e a quantidade de anagramas distintos é dada por P5 = 5! = 5*4*3*2*1 = 120
Para sabermos quantos anagramas podem ser formados de modo que as vogais estejam sempre juntas, vamos considerar um bloco de vogais, por exemplo, UE.  Então, basta realizar a permutação como se tivéssemos apenas quatro itens a serem permutados. Então temos P4 = 4*3*2*1 = 24 . Como temos também outro bloco de vogais, EU, o cálculo será análogo ao anterior, portanto basta dobrarmos o último resultado. Assim, dos 120 anagramas que podem ser formados, apenas 48 apresentam as vogais juntas.
 
Para calcular quantos anagramas tem as letras UF juntas, o raciocínio é o mesmo do item a, e o resultado também é o mesmo. Só que agora estamos considerando os blocos UF e FU.
 
Para saber quantos anagramas podem ser formados com as letras PEL juntas, basta considerar que essas letras formam um único bloco, e, assim, teremos apenas a permutação de 3 elementos, U, F e PEL. Como foi fixado que as letras PEL devem aparecer nessa ordem, basta calcular P3 = 3*2*1 = 6, e não se deve analisar outros grupos. 
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Resposta Questão 4
No total, as possíveis permutações de seis algarismos são dadas por P6=6!=6*5*4*3*2*1 = 720. Fixando aquelas que iniciam com o algarismo 1, basta permutar os outros algarismos. Portanto, temos P5=5!= 5*4*3*2*1 =120 números que começam com o algarismo 1.
Escrevendo esses números em ordem crescente, temos a seguinte situação: o primeiro conjunto de números são aqueles que começam com 1, e, conforme calculado no item anterior, formam 120 elementos. O segundo conjunto a ser ordenado são aqueles números que começam com o algarismo 2, e seguindo o mesmo raciocínio, também contém 120 elementos. Segue que temos 6 conjuntos numéricos começando com cada algarismo (1, 2, 3, 4, 5 e 6), cada um com 120 elementos. Queremos saber qual posição ocupa o número 512346. De imediato, sabemos que sua posição deve estar entre 481ª e 600ª, que são as posições ocupadas pelos números que começam com o algarismo 5. Agora, note que 512346 é o menor número desse conjunto. Portanto, sua posição é justamente a posição 481ª. Para saber qual número ocupa a 242ª posição, já sabemos que é um número que começa com o algarismo 3, isso porque até o 120 são os que começam com 1, do 121 até 240 são os que começam com o número 2 e da posição 241 até a posição 360 são aqueles que começam com o algarismo 3. Como queremos o número na posição 242ª, queremos o segundo menor número desse conjunto que inicia com o número 3. Temos que o menor é o número 312456. Para encontrar o segundo menor, basta permutar os dois últimos algarismos; assim, temos que o número que ocupa a posição 242ª é o 312465.Análise Combinatória
A análise combinatória é um dos tópicos que a matemática é dividida, responsável pelo estudo de critérios para a representação da quantidade de possibilidades de acontecer um agrupamento sem que seja preciso desenvolvê-los.
Veja um exemplo de um problema de análise combinatória e como montamos os seus agrupamentos.
Dado o conjunto B dos algarismos B = { 1,2,3,4}. Qual a quantidade de números naturais de 3 algarismos que podemos formar utilizando os elementos do grupo B?
Esse é um tipo de problema de análise combinatória, pois teremos que formar agrupamentos, nesse caso formar números de 3 algarismos, ou seja, formar agrupamentos com os elementos do conjunto B tomados de 3 em 3.
Veja como resolveríamos esse problema sem a utilização de critérios ou fórmulas que o estudo da análise combinatória pode nos fornecer.
Esse esquema construído acima representa todos os números naturais de 3 algarismos que podemos formar com os algarismos 1,2,3,4, portanto, concluindo que é possível formar 24 agrupamentos.
Para descobrir essa quantidade de agrupamentos possíveis não é necessário montar todo esse esquema, basta utilizar do estudo da análise combinatória que divide os agrupamentos em Arranjos simples, Combinações simples, Permutações simples e Permutações com elementos repetidos. Cada uma dessas divisões possui uma fórmula e uma maneira diferente de identificação, que iremos estudar nessa seção.
O estudo da análise combinatória é dividido em:
Princípio fundamental da contagem
Fatorial
Arranjos Simples
Permutação Simples
Combinação Simples
Permutação com elementos repetidos.
Arranjos simples
Os agrupamentos formados nos exercícios de análise combinatória podem ser considerados Arranjos simples. Será assim classificado se levarmos em consideração a ordem de seus elementos, ou seja, se os agrupamentos forem diferentes entre si pela ordem de seus elementos. 
Por exemplo, vamos considerar dois agrupamentos dos números divisíveis por 3, de 5 algarismos formados com os elementos (algarismos) do conjunto A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. 
Os números 12345 e 54321 são divisíveis por 3 e possuem 5 algarismos do conjunto A. E os algarismos utilizados na construção desses números são iguais, mas estão dispostos em ordens diferentes, tornando-os diferentes entre si. Portanto, esse exercício de análise combinatória é um exemplo de arranjo simples. 
Quando os agrupamentos de um exercício de análise combinatória forem caracterizados como Arranjos simples, para calcular a quantidade de agrupamentos formados não é preciso esquematizar todos eles, basta utilizar a seguinte fórmula: 
A n,p =   n! 
           (n – p)! 
n é a quantidade de elementos do conjunto. 
p é um número natural menor ou igual a n, que representa a união dos elementos na formação dos agrupamentos. 
Assim, podemos definir arranjo simples como sendo: 
Dado um conjunto qualquer com n elementos e um valor para natural p. Será formado um arranjo simples de p elementos distintos de um conjunto qualquer seqüência formada por p elementos do conjunto. 
Exemplo: 
Considere o conjunto I = {a,b,c,d}: 
• Quantos são os arranjos simples dos elementos de I, tomados dois a dois? 
Como o exercício já informou que se trata de um arranjo simples, devemos retirar os dados e aplicá-los na fórmula. 
n = 4 
p = 2 
A n,p = n! 
         (n – p)! 
A 4,2 = 4! 
          (4 – 2)! 
A 4,2 = 4 . 3 . 2! 
                  2! 
A4,2 = 4 . 3 
A4,2 = 12 
Combinação simples
Combinação simples é um tipo de agrupamento onde os arranjos são diferenciados pela natureza de seus elementos.
Combinação simples é um tipo de agrupamento no estudo sobre análise combinatória. Os agrupamentos formados com os elementos de um conjunto serão considerados combinações simples se os elementos dos agrupamentos diferenciarem apenas pela sua natureza.
Se considerarmos o conjunto B ={A,B,C,D} formados por 4 pontos não colineares (que não pertence a mesma reta), qual a quantidade de triângulos que podemos formar?
Esse é um problema de análise combinatória, pois iremos formar agrupamentos. Nesse caso o agrupamento é formar triângulos utilizando 4 pontos não colineares. Se destacarmos dois agrupamentos formados teremos: ABC e BCA, esses são triângulos formados com os mesmos pontos, mas em ordens diferentes que torna os triângulos iguais. Portanto, os agrupamentos formados nesse exercício são combinações.
As combinações simples podem ser consideradas um tipo particular de arranjo simples, pois os agrupamentos formados nos arranjos são diferenciados pela ordem e pela natureza dos seus elementos. A combinação simples são esses arranjos diferenciados apenas pela natureza de seus elementos.
Considerando o exemplo acima veja todas as possibilidades de triângulos formados com os quatro pontos não colineares:
ABC, BAC, CAB, DAB
ABD, BAD, CAD, DAC
ACB, BCA, CBA, DBA
ACD, BCD, CBD, DBC
ADB, BDA, CDA, DCA
ADC, BDC, CDB, DCB
Percebemos que há vários agrupamentos que se diferem pela ordem de seus elementos, esses representam o mesmo triângulo, por isso que consideramos esse exercício como sendo uma combinação simples, assim a quantidade de combinações simples que os 4 pontos não colineares (A,B,C,D), tomados 3 a 3 irão formar será 4, pois os seus agrupamentos se diferem pela natureza de seus elementos e não pela ordem.
Para encontrar essa quantidade de agrupamentos formados em uma combinação simples utilizamos a seguinte fórmula:
Cn,p =      n!     
          p! (n – p)
n é a quantidade de elementos de um conjunto
p é um número natural menor ou igual a n, que representa a quantidade de elementos que irão formar os agrupamentos.
Substituindo os dados acima na fórmula teremos:
n = 4
p = 3
C4,3 =       4!     
            3! (4-3)!
C4,3 = 4 . 3! 
           3! . 1
C4,3 = 4
Critérios para identificação de arranjo ou combinação
Os exercícios de análise combinatória podem ser resolvidos por arranjo ou combinação, mas como identificar qual dos dois agrupamentos o exercício está se referindo? Para isso é preciso que coloquemos em prática alguns critérios que ajudarão nessa identificação. 
Esses critérios são aplicados da seguinte forma: Em um problema de análise combinatória iremos encontrar vários agrupamentos, monte pelo menos um deles e modifique a ordem dos elementos desse agrupamento. 
Se depois da mudança tiver formado um agrupamento diferente, esse problema será de arranjo. 
Se depois da mudança tiver formado o mesmo agrupamento, esse problema será de combinação, ou seja, mesmo se os elementos em ordem diferentes continuar identificando o mesmo agrupamento. 
Veja como funciona a aplicação desse critério: 
Considere nove pontos diferentes de uma circunferência, conforme a figura. 
Quantas retas ficam determinadas por esses nove pontos? 
Pra descobrir se o exercício é de arranjo ou combinação é preciso que montemos pelo menos um dos agrupamentos (reta). 
Uma reta é formada por, no mínino, 2 pontos, como os pontos não são colineares podemos unir qualquer ponto, assim podemos dizer que (A,B) é um agrupamento, se trocarmos a ordem dos seus elementos (B,A) a reta (agrupamento) continua sendo a mesma, portanto, esse exercício será resolvido por combinação. 
Assim, aplicamos a fórmula da combinação, sendo que n = 9 e p = 2. 
C9,2 = 9! 
          2! (9-2)! 
C9,2 =  9 . 8 . 7! 
              2 . 1 . 7! 
C9,2 = 72 
              2 
C9,2 = 36 
Serão formados com os 9 pontos da circunferências 36 retas.
Permutação simples 
Este texto apresentará uma explicação diferenciada para o conceito de permutação. Assim como você já deve ter lido nos outros artigos de análise combinatória, permutação é uma das formas de se combinar os elementos de um determinado grupo, combinação esta que se assemelha à expressão do Arranjo Simples. 
Nesse artigo mostraremos para você, estudante, que não é preciso sair decorando diversas fórmulas, pois muitasdelas são idênticas, apenas com uma interpretação diferente. 
Vejamos a expressão para o arranjo simples e analisemos suas informações. 
Note que n é a quantidade de elementos que você tem para combinar e k é a quantidade de posições que estes elementos podem ocupar, ou seja, tudo indica que a quantidade k seja menor do que a quantidade de elementos que serão trocados. 
O que aconteceria se tivéssemos posições para todos os elementos (n)? Em outras palavras, o que aconteceria se k fosse igual a n? Ao respondermos esta pergunta utilizando a expressão do arranjo, iremos obter uma expressão que corresponderá à permutação simples. Pois ela consiste em você organizar n elementos distintos, entre n posições distintas. Vejamos então esta expressão: 
Por sua vez, como permutamos n elementos, todos eles em n posições distintas, podemos afirmar que esta expressão obtida remete à expressão da permutação simples. 
Sendo assim, a expressão da permutação é dada da seguinte forma: 
Veja que não é necessário sair decorando diversas fórmulas na matemática, pois muitas destas são apenas um caso específico de uma expressão mais abrangente. Caso um dia você se esqueça de como é que se calcula uma permutação simples, basta lembrar que só é preciso pegar a expressão do arranjo e permutar os elementos em todas as posições
Permutação Envolvendo Elementos Repetidos 
Entendemos por permutações uma sequência ordenada, construída por elementos disponíveis. O número de permutações de n elementos é dado pelo fatorial de n, isto é, basta calcularmos o fatorial do número de elementos do conjunto fornecido. Para o melhor entendimento vamos considerar os anagramas da palavra LUA. Lembrando que anagrama de uma palavra corresponde à permutação das letras de uma palavra, formando ou não outra palavra. Observe: 
No caso da palavra LUA, não existe repetição de letras, então podemos determinar os anagramas através da seguinte expressão matemática: Pn = n! 
P3 = 3! = 3*2*1 = 6 
A palavra LUA possui 6 anagramas. 
Permutação envolvendo um elemento repetido 
Determinar os anagramas da palavra MORANGO. 
Os anagramas serão formados a partir de uma sequência de 7 letras, das quais duas são iguais a O. Dessa forma temos: 
Permutação envolvendo dois elementos diferentes repetidos 
Determine os anagramas da palavra MARROCOS. 
Os anagramas serão formados a partir da sequência de 8 letras, das quais duas são iguais a R e duas iguais a O. Temos que: 
Outras situações envolvendo elementos repetidos 
Anagramas da palavra MATEMÁTICA. 
Nesse caso temos 10 letras, onde ocorrem as seguintes repetições: duas letras M, três letras A e duas letras T. Então: 
Princípio Fundamental da Contagem e Fatorial 
Para entendermos o princípio fundamental da contagem vamos analisar a seguinte situação: João possui 4 camisas, 3 calças, 2 pares de meia e 2 pares de sapatos. De quantas maneiras diferentes ele pode se vestir? 
Observe os esquemas a seguir: 
Cada esquema representa todas as possíveis combinações envolvendo os objetos do vestuário de João. Uma maneira mais simplificada e eficaz de resolver tal situação consiste em determinar a multiplicação entre a quantidade de elementos de cada conjunto. Observe: 
4 * 3 * 2 * 2 = 48 combinações. 
De acordo com o princípio fundamental da contagem, se um evento é composto por duas ou mais etapas sucessivas e independentes, o número de combinações será determinado pelo produto entre as possibilidades de cada conjunto. 
Observe outro exemplo: 
Numa lanchonete há 8 tipos de sanduíche, 5 tipos de sucos e 6 tipos de sorvetes. Quantas são as possíveis combinações de um lanche nessa lanchonete? 
Utilizando o princípio fundamental da contagem temos: 
8 * 5 * 6 = 240 maneiras de realizar um lanche. 
Fatorial 
O fatorial é uma ferramenta matemática utilizada na análise combinatória, na determinação do produto dos antecessores de um número maior que 1. Por exemplo: 
1! = 1 
2! = 2 * 1 = 2 
3! = 3 * 2 *1 = 6 
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 
6! = 6 * 5 *4 * 3 * 2 * 1 = 720 
7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5 040 
8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40 320 
9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362 880 
10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3 628 800 
E assim sucessivamente. 
Um exemplo de utilização de fatorial está presente no cálculo de anagramas de uma palavra. Lembrando que anagrama é a quantidade de novas palavras formadas com ou sem sentido, utilizando as letras de outra palavra. Por exemplo, vamos determinar os anagramas da palavra AMOR. 
A palavra AMOR é formada por quatro letras, portanto: 
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 palavras 
Determinando os anagramas da palavra MATEMÁTICA. 
10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3 628 800 palavras formadas. 
Probabilidade
O estudo da probabilidade vem da necessidade de em certas situações, prevermos a possibilidade de ocorrência de determinados fatos.
Ao começarmos o estudo da probabilidade, normalmente a primeira ideia que nos vem à mente é a da sua utilização em jogos, mas podemos utilizá-lo em muitas outras áreas. Um bom exemplo é na área comercial, onde um site de comércio eletrônico pode dela se utilizar, para prever a possibilidade de fraude por parte de um possível comprador.
Para iniciarmos o estudo da probabilidade, vamos a seguir definir alguns conceitos importantes sobre a matéria.
Evento
Quando lançamos um dado ou uma moeda, chamamos a ocorrência deste fato de evento. Qualquer subconjunto de um espaço amostral é um evento.
Em relação ao espaço amostral do lançamento de um dado, veja o conjunto a seguir:
A = { 2, 3, 5 }
Note que ( A está contido em S, A é um subconjunto de S ). O conjunto A é a representação do evento do lançamento de um dado, quando temos a face para cima igual a um número primo.
Classificação de Eventos
Podemos classificar os eventos por vários tipos. Vejamos alguns deles:
Evento Simples
Classificamos assim os eventos que são formados por um único elemento do espaço amostral.
A = { 5 } é a representação de um evento simples do lançamento de um dado cuja face para cima é divisível por 5. Nenhuma das outras possibilidades são divisíveis por 5.
Evento Certo
Ao lançarmos um dado é certo que a face que ficará para cima, terá um número divisor de 720. Este é um evento certo, pois 720 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1, obviamente qualquer um dos números da face de um dado é um divisor de 720, pois 720 é o produto de todos eles.
O conjunto A = { 2, 3, 5, 6, 4, 1 } representa um evento certo pois ele possui todos os elementos do espaço amostral S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.
Evento Impossível
No lançamento conjunto de dois dados qual é a possibilidade de a soma dos números contidos nas duas faces para cima, ser igual a 15?
Este é um evento impossível, pois o valor máximo que podemos obter é igual a doze. Podemos representá-lo por , ou ainda por A = {}.
Evento União
Seja A = { 1, 3 } o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, ímpar e menor ou igual a 3 e B = { 3, 5 }, o evento de ocorrência da face superior, ímpar e maior ou igual a 3, então C = { 1, 3, 5 } representa o evento de ocorrência da face superior ímpar, que é a união dos conjuntos A e B, ou seja, .
Note que o evento C contém todos os elementos de A e B.
Evento Intersecção
Seja A = { 2, 4 } o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, par e menor ou igual a 4 e B = { 4, 6 }, o evento de ocorrência da face superior, par e maior ou igual a 4, então C = { 4 } representa o evento de ocorrência da face superior par, que é a intersecção dos conjuntos A e B, ou seja, .
Veja que o evento C contém apenas os elementos comuns a A e B.
Eventos Mutuamente exclusivos
Seja A = { 1, 2, 3, 6 } o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, um número divisor de 6 e B = { 5 }, o evento de ocorrência da face superior, um divisor de 5, os eventos A e B são mutuamenteexclusivos, pois , isto é, os eventos não possuem elementos em comum.
Evento Complementar
Seja A = { 1, 3, 5 } o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, um número ímpar, o seu evento complementar é A = { 2, 4, 6 } o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, um número par. 
Os elementos de A são todos os elementos do espaço amostral S que não estão contidos em A, então temos que A = S - A e ainda que S = A + A.
 
Probabilidade de Ocorrência de um Evento
Os três irmãos Pedro, João e Luís foram brincar na rua. Supondo-se que as condições de retorno para casa são as mesmas para cada um deles, qual é a probabilidade de Luís voltar para casa primeiro?
Como 3 é o número total de irmãos, então Luís tem 1 chance em 3 de voltar para casa primeiro, por isto a probabilidade de Luís voltar para casa antes dos seus irmãos é igual a 1/3.
Definição
A probabilidade de um evento ocorrer (Luís voltar para casa primeiro) considerando-se um espaço amostral (Pedro, João e Luís) é igual a razão do número de elementos do evento (1, apenas Luís) para o número de elementos do espaço amostral (3, o número de irmãos que foram brincar na rua), desde que espaço o amostral seja um conjunto equiprovável, ou seja, todos os seus elementos tenham a mesma possibilidade de ocorrer (as condições de retorno para casa são as mesmas para os três irmãos).
Sendo E um evento, n(E) o seu número de elementos, S o espaço amostral não vazio e n(S) a quantidade de elementos do mesmo, temos que a probabilidade de E ocorrer é igual a:
, sendo n(S)≠0.
A probabilidade é um número entre zero e um, inclusive, o que significa que no mínimo não a nenhuma hipótese do evento acontecer e no máximo o evento sempre ocorrerá:
0 ≤ P(E) ≤ 1
Normalmente representamos probabilidades através de frações, mas também podemos representá-las por números decimais, ou até mesmo por porcentagens.
Exemplos
Um dado é lançado. Qual é a probabilidade de obtermos um número divisor de 6?
Como vimos acima, o espaço amostral do lançamento de um dado é:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Como estamos interessados apenas nos resultados divisores de 6, o evento E é representado por:
E = { 1, 2, 3, 6 }
Então n(E) = 4 e n(S) = 6, portanto:
Podemos também apresentar o resultado na forma de uma porcentagem:
A probabilidade de se obter um número divisor de 6 é 2/3 ou 66,67%.
 
Uma moeda é lançada 4 vezes. Qual é a probabilidade de obtermos ao menos uma coroa?
Recorrendo ao princípio fundamental da contagem podemos calcular o número de elementos do espaço amostral deste exemplo:
n(S) = 2 . 2 . 2 . 2 = 16
Agora precisamos saber o número de elementos do evento E, referente a quatro lançamentos de uma moeda, quando obtemos ao menos uma coroa.
Lembra-se do evento complementar explicado acima? Sabendo quantos são os resultados que não apresentam nenhuma coroa, ele nos permite descobrir o número dos que possuem ao menos uma.
E quantos são os eventos que não possuem nenhuma coroa? Apenas o evento E = { cara, cara, cara, cara }, ou seja, apenas 1. Como o número total de eventos é 16 e 1 deles não apresenta qualquer coroa, então os outros 15 apresentam ao menos uma. Então:
Na forma de porcentagem temos:
A probabilidade de obtermos ao menos uma coroa é 15/16, 0,9375 ou 93,75%.
Conceito 
Consideremos a experiência do lançamento de uma moeda e leitura da face voltada para cima. Ao realizarmos n vezes a experiência, se obtivermos m vezes o resultado “cara” é  . É claro que lançada a moeda o resultado é imprevisível, pois não podemos dizer com absoluta certeza que o resultado será “cara”, pois nada impede que dê “coroa”.
A experiência provou que conforme se aumenta n, ou seja, à medida que mais lançamentos da moeda são feitos, a frequência relativa  tende a estabilizar-se em torno de  .
Exemplo:
Em 1000 lançamentos (n = 1000), 529 resultados foram favoráveis (m = 529), o que nos dá para  o valor de 0,529.
Em 4040 lançamentos, 2048 resultados foram favoráveis o que nos da  = 0,50693, isso significa que no lançamento de uma moeda “honesta” a probabilidade de se obter “cara” é  . Essa experiência foi realizada por Kerrich e Buffon.
A definição que permite calcular teoricamente a probabilidade de um evento, sem realizar a experiência é:
Dado um espaço amostral S, com n (S) elementos, e um evento a de S, com n(A) elementos, a probabilidade do evento A é o P(A) tal que:
Propriedades
Sendo S ≠  um espaço amostral qualquer, A um evento de S e  o complementar de A em S, valem as seguintes propriedades: 
? P( ) = 0 
? P(S) = 1 
? 0 ≤ P(A) ≤ 1 
? P(A) + P( ) =1
Geometria Plana
	
A Geometria Plana ou Euclidiana, assim como toda a matemática, nasceu da necessidade humana de compreender aquilo que estar ao seu redor, mas também de poder utilizar-se dos artefatos da natureza em seu favor, compreender as formas e poder operar com elas, descobrir uma representação das coisas que antes era somente possível comprovar através do concreto.
Euclides de Alexandria (c. 330 a. C. - 260 a. C.)
No século III a.C., na cidade de Alexandria, no Egito, prosperou grandes estudos nos grandes campos da matemática, mas especificamente na aritmética, álgebra e geometria, advindos do grande professor-matemático Euclides, que por conta da residência naquela localidade ficou conhecido como Euclides de Alexandria. Euclides teve, em sua formação, forte influência da matemática grega, devido ter estudado em Atenas, Grécia. Ele foi – e ainda é – conhecido com o pai da geometria, pois foi através de seus estudos e da reunião de diversos estudos realizados anteriormente aos dele, organização e formalização dos mesmos, que podemos conhecer uma matemática tão bem alicerçada em princípios dedutivos e, ao mesmo tempo, regida pelo mais fervoroso rigor matemático.
Fragmento de “Os Elementos”
Na principal obra de sua vida, Os Elementos, Euclides demonstrou em treze volumes toda matemática da época, inclusive as suas descobertas no campo da aritmética, álgebra e geometria. Os Elementos  é um dos livros mais importantes de todos os tempos e da história da matemática – se não for o mais. Exímio escritor, Euclides defendeu diversos temas, além da geometria, como o discurso, o rigor, teoria dos números, geometria esférica e outros.
O que é Geometria Plana?
A geometria euclidiana ocupa-se do estudo das formas e das ligações algébricas conectadas a elas. A geometria euclidiana (plana)  fundamenta-se na ideia intuitiva de ponto, sendo que a partir dele formam-se as ideias de retas e planos. A retas e os planos nada mais são que um conjunto de pontos, sem limitar-se a um fim, ou seja, são infinitos em ambas as direções.
Figuras geométricas planas.
Dentro do contexto da geometria plana estudam-se as formas geométricas planas tais como quadrado, triângulo, retângulo, losango, círculo, trapézio, paralelogramo, ou seja, polígonos regulares e irregulares, todas as suas propriedades e todas as relações existentes entre eles.
Veja algumas definições de Euclides para elementos da geometria e compreenda melhor do que ela trata e como ela se forma.
Ponto é o que não tem partes, ou o, que não tem grandeza alguma. (D1)
Linha é o que tem comprimento sem largura. (D2)
Superfície é o que tem comprimento e largura. (D5)
Superfície plana é aquela, sobre a qual assenta toda uma linha reta entre dois pontos quaisquer, que estiverem na mesma superfície. (D7)
Termo se diz aquilo que é extremidade de alguma coisa. (D13)
Figura é um espaço fechado por um ou mais termos. (D14)
Circulo é uma figura plana, fechada por uma só linha, a qual se chama circunferência: de maneira que todos as linhas retas, que de um certo ponto existente no meio da figura, se conduzem para a circunferência, são iguais entre si. (D15)
Existem várias outras definições realizadas por Euclides no livro Os Elementos, mas creio que essas possam dar uma ótima noção ao leitor da ideia de geometria plana e seus objetos de estudos.
Últimas considerações
Geometria Plana: conceitoshistóricos e cálculo de áreas
	
Nesse estudo sobre a Geometria Euclidiana ou Plana, serão abordados os principais conceitos e um pouco da história desse ramo da matemática milenar que desempenha tão grande representatividade na vida da humanidade. Não há dúvidas da importância da Geometria na vida humana. O conhecimento geométrico revolucionou o saber, tornando-se o seu estudo, necessário à realização de grandes feitos nas áreas da construção e na partilha de terras. Se dividirmos a palavra Geometria conseguimos chegar ao seu significado etimológico: geo (terra) + metria (medida), portanto Geometria significa medida de terra.
Passeio pela História
O conhecimento geométrico como conhecemos hoje nem sempre foi assim. A geometria surgiu de forma intuitiva, e como todos os ramos do conhecimento, nasceu da necessidade e da observação humana. O seu início se deu forma natural através da observação do homem à natureza. Ao arremessar uma pedra num lago, por exemplo, observou-se que ao haver contato dela com a água, formavam-se circunferências concêntricas – centros na mesma origem. Para designar esse tipo de acontecimento surgiu a Geometria Subconsciente.
Conhecimentos geométricos também foram necessários aos sacerdotes. Por serem os coletores de impostos da época, a eles era incumbida a demarcação das terras que eram devastadas pelas enchentes do Rio Nilo. A partilha da terra era feita diretamente proporcional aos impostos pagos. Enraizada nessa necessidade puramente humana, nasceu o cálculo de área.
Muitos acontecimentos se deram, ainda no campo da Geometria Subconsciente, até que a mente humana fosse capaz de absorver propriedades das formas antes vistas intuitivamente. Nasce com esse feito a Geometria Científica ou Ocidental. Essa geometria, vista nas instituições de ensino, incorpora uma série de regras e sequências lógicas responsáveis pelas suas definições e resoluções de problemas de cunho geométrico.
Foi em 300 a.C. que o grande geômetra Euclides de Alexandria desenvolveu grandiosos trabalhos matemático-geométricos e os publicou em sua obra intitulada Os Elementos. Essa foi, e continua sendo, a maior obra já publicada - desse ramo - de toda a história da humanidade.  A Geometria plana, como é popularmente conhecida nos dias atuais, leva também o título de Geometria Euclidiana em homenagem ao seu grande mentor Euclides de Alexandria.
Cálculo de Áreas
Conhecer sobre área é conhecer sobre o espaço que podemos preencher em regiões poligonais convexas – qualquer segmento de reta com extremidades na região só terá pontos pertencentes a esta.
O cálculo de áreas tem muita aplicabilidade em diferentes momentos, seja em atividades puramente cognitivas, ou até mesmo trabalhistas. Um exemplo de profissional que faz uso dessa ferramenta para tornar possível o desempenho do seu trabalho é o pedreiro. É através do conhecimento de área que é possível estimar a quantidade de cerâmica necessária para pavimentar um determinado cômodo de uma casa, por exemplo.
O quadrado
O quadrado é uma figura geométrica plana regular em que todos os seus lados e ângulos são iguais. Veja um exemplo de quadrado na figura a seguir:
Para calcular a área de um quadrado basta que se multipliquem dois dos seus lados l entre si.
Exemplo 1
Para pavimentar a sala de sua casa D. Carmem comprou 26 m2 de piso. Sabendo que a sala tem o formato quadrangular e que um dos lados mede 5 m, diga se o piso comprado por D. Carmem será suficiente para pavimentar a sua sala.
A sala tem o formato quadrangular;
O seu lado mede 5 m;
A área do quadrado é A = l 2.
Com base nos dados acima temos:
Conclui-se então que o piso comprado por D. Carmem será suficiente para pavimentar sua sala e ainda sobrará 1 m2.
Lembrete: a unidade de medida de área mais utilizada é o metro quadrado (m2), porém em alguns casos usa-se o km2, cm2, etc.
O retângulo
O retângulo é uma figura geométrica plana cujos lados opostos são paralelos e iguais e todos os ângulos medem 90º. Confiram o retângulo abaixo:
 
Para calcular a área do retângulo, basta que se multipliquem seu comprimento c pela largura l.
Exemplo 2
Num campeonato de futebol a equipe organizadora do evento está providenciando o gramado que será plantado em toda área do campo. Para comprar as gramas, a equipe precisa saber a área do campo, pois a grama é vendida por metro quadrado. Sabendo que o campo tem 115 m de comprimento por 75 m de largura e ainda que o campo tem o formato retangular, ajude a equipe a solucionar o problema, diga quantos metros quadrados de área tem o campo de futebol?
O triângulo
O triângulo é uma figura geométrica plana formada por três lados e três ângulos. A soma dos seus ângulos internos é igual 180º.
Para calcular a área do triângulo multiplica-se a base b pela altura h e divide o resultado por 2 (metade da área do retângulo).
 
Exemplo 3
Encontre a área de um triângulo cuja base mede 8,2 cm e a altura 3,6 cm.
O trapézio
O trapézio é uma figura plana com um par de lados paralelos (bases) e um par de lados concorrentes.
Para calcular a área do trapézio adiciona-se a base maior c à base menor a, ao resultado da soma multiplica-se a altura, e por fim, divide-se o resultado final por 2.
Exemplo 4
Um fazendeiro quer saber a área de um lote de terra que acabara de comprar. O lote tem o formato de um trapézio. Sabendo que a frente mede 1020 m, o fundo, 815 m e a distância da frente ao fundo é de 510 m. Determine a área do lote.
 Denominamos ângulo a região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem. As semirretas recebem o nome de lados do ângulo e a origem delas, de vértice do ângulo.
A unidade usual de medida de ângulo, de acordo com o sistema internacional de medidas, é o grau, representado pelo símbolo º, e seus submúltiplos são o minuto ’ e o segundo ”.
Temos que 1º (grau) equivale a 60’ (minutos) e 1’ equivale a 60”(segundos).
O objeto capaz de medir o valor de um ângulo é chamado de transferidor, podendo ele ser de “meia volta” (180º) ou volta inteira (360º).
Classificação de ângulos 
Os ângulos são classificados de acordo com suas medidas:
Agudo: ângulo com medida menor que 90º.
Reto: ângulo com medida igual a 90º.
Obtuso: ângulo com medida maior que 90º.
Raso: ângulo com medida igual a 0º ou 180º.
           agudo                                   reto                               obtuso                                  raso
Bissetriz de um ângulo
Bissetriz de um ângulo pode ser definida como a semirreta que se origina no vértice do ângulo principal, dividindo-o em outros dois ângulos com medidas iguais.
Retas paralelas cortadas por uma transversal 
Ângulos correspondentes: a e e, d e h, b e f, c e g               Congruentes
Ângulos colaterais externos: a e h, b e g                                Suplementares
Ângulos colaterais internos: e e d, c e f                                  Suplementares
Ângulos alternos externos: a e g, b e h                                   Congruentes
Ângulos alternos internos: d e f, c e e                                     Congruentes
Triângulo é uma figura geométrica formada por três retas que se encontram duas a duas e não passam pelo mesmo ponto, formando três lados e três ângulos.
Para fazer o cálculo do perímetro de um triângulo basta fazer a soma da medida de todos os lados, a soma dos ângulos internos é sempre 180º.
Observando o triângulo podemos identificar alguns de seus elementos: 
♦ A, B e C são os vértices. 
♦ Os lados dos triângulos são simbolizados pelo encontro dos vértices (pontos de encontros): , ,  segmentos de retas. 
♦ Os ângulos têm duas formas de representá-los: no caso do triângulo ele tem 3 lados, consequentemente, 3 ângulos: Â ,  , ? ou A C, B?A, BÂC.
Tipos de triângulos 
♦ O triângulo pode ser classificado segundo a medida do seu lado.
Triângulo escaleno: Todos os lados e ângulos são diferentes.
Triângulos isósceles: dois lados iguais e os ângulos opostos a esses lados iguais.Triângulo equilátero: Todos os lados e ângulos iguais. Concluímos que seus ângulos serão de 60°. 
♦ O triângulo pode ser classificado segundo seus ângulos internos.
Triângulo retângulo: tem um ângulo que mede 90º.
Obtusângulo: tem um ângulo maior que 90°.
Acutângulo: Tem todos os ângulos menores que 90°. 
 
Condição de existência de um triângulo
Para construir um triângulo não podemos utilizar qualquer medida, tem que seguir a condição de existência:
Para construir um triângulo é necessário que a medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da diferença entre essas medidas.
| b - c | < a < b + c
| a - c | < b < a + c
| a - b | < c < a + b 
Exemplo:
14 – 8 < 10 < 14 + 10
14 – 10 < 8 < 14 + 10
10 – 8 < 14 < 10 + 8
Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Quadrilátero
  Definição:
	Quadrilátero é um polígono de quatro lados.
 
	
Quadrilátero ABCD
	   Em um quadrilátero, dois lados ou dois ângulos não-consecutivos são chamados opostos.
 
  Elementos
   Na figura abaixo, temos:
	
Quadrilátero ABCD
	Vértices:  A, B, C, e D.
Lados: 
Diagonais: 
Ângulos internos ou ângulos do 
quadrilátero ABCD: .
   Observações
Todo quadrilátero tem duas diagonais.
O perímetro de um quadrilátero ABCD é a soma das medidas de seus lados, ou seja: AB + BC + CD + DA.
 
   Côncavos e Convexos
    Os quadriláteros podem ser convexos ou côncavos.
    Um quadrilátero é convexo quando a reta que une dois vértices consecutivos não encontra o lado formado pelos dois outros vértices.
	
Quadrilátero convexo
	
Quadrilátero côncavo
Quadrilátero
  Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo
	A soma do ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360º.
   Podemos provar tal afirmação decompondo o quadrilátero ABCD nos triângulos ABD e BCD.
 Do triângulo ABD, temos : 
                 a + b1 + d1 = 180º.      1
   Do triângulo BCD, temos:
                 c + b2 + d2 = 180º.       2
   Adicionando 1 com 2 , obtemos:
                 a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 180º + 180º
                 a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 360º
                 a + b + c + d = 360º 
 
Observações
  1.Termos  uma fórmula geral para determinação da soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo:
	Si = (n - 2)·180º, onde n é o número de lados do polígono.
  2. A soma dos ângulos externos de um polígono convexo qualquer é 360º.
	Se = 360º
 
Quadriláteros Notáveis
Paralelogramo
	Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.
Exemplo:
	
	
h é a altura do paralelogramo.
	O ponto de intersecção das diagonais (E) é chamado  centro de simetria.
    Destacamos alguns paralelogramos:
Quadrilátero
  Retângulo
	Retângulo é o paralelogramo em que os quatro ângulos são congruentes (retos).
Exemplo:
	
	
  
  Losango
	Losango é o paralelogramo em que os quatro lados são congruentes.
Exemplo:
	
	
  
  Quadrado
	Quadrado é o paralelogramo em que os quatro lados e os quatro ângulos são congruentes.
Exemplo:
	
   É o único quadrilátero regular. É, simultaneamente retângulo e losango.
	
 
   Trapézio
	É o quadrilátero que apresenta somente dois lados paralelos chamados bases.
  Exemplo:
       
	
	
    Denominamos trapezóide o quadrilátero que não apresenta lados paralelos.
Quadrilátero
  Destacamos alguns trapézios:
  Trapézio retângulo
	É aquele que apresenta dois ângulos retos.
Exemplo:
	
	
  
  Trapézio isósceles
	É aquele em que os lados não-paralelos são congruentes.
Exemplo:
  
  Trapézio escaleno
    
	É aquele em que os lados não-paralelos não são congruentes.
Exemplo:
	
	
 Polígonos Regulares e Circunferência 
O cálculo de algumas medidas de polígonos regulares, como lado e apótema, pode ser realizado com a ajuda de uma circunferência. Para eventuais cálculos o polígono deve estar inscrito na circunferência, onde determinaremos a medida do lado e do apótema em função da medida do raio.
Quadrado inscrito na circunferência 
 
 Aplicando o Teorema de Pitágoras temos as seguintes relações:
Lado 
 
Apótema 
Hexágono inscrito na circunferência 
 
 Lado 
Observe pela figura que foram formados 6 triângulos, todos equiláteros. Para verificarmos essa afirmação basta lembrarmos que o giro completo na circunferência possui 360º, dividindo esse valor entre os seis triângulos criamos ângulos com vértice no centro da circunferência iguais a 60º. Dessa forma, os ângulos da base de cada triângulo também medem 60º, assim concluímos que são equiláteros. Nesse caso temos que a medida do raio da circunferência é igual à medida do lado do hexágono.
 
Apótema 
 
Para o cálculo da medida do apótema e do lado em relação a outros polígonos, devemos utilizar como referência as demonstrações realizadas, estabelecendo dependência com a medida do raio da circunferência.