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Capítulo 4
TEORIA DE GRUPOS
Evariste Galois
Evariste Galois nasceu em Bourg La Reine França, em 25 de
outubro de 1811 e faleceu em Paris, França 31 de maio de 1832.
Entre 1829 e 1830 deu a conhecer seus primeiros trabalhos so-
bre frações contínuas, questões de análise, teoria das equações e sobre
teoria de números. Em 1831 com o desejo de se dedicar ao ensino pri-
vado, anuncia um curso de álgebra superior que mostraria o seguinte:
• uma nova teoria dos números imaginários;
• a teoria das equações solúveis por radicais;
• a teoria de números, e;
• teoria das funções elípticas tratadas por álgebra pura.
O curso não teve ouvintes, e Galois é chamada para o exército,
simultaneamente redige uma memória, a última, hoje chamada Teoria
de Galois, que remitira à Academia onde Poisson (1781 − 1840) a
qualifica de “incompreensível”. Mais tarde Galois é detido e passa quase um ano trás as grades. Ao
receber sua liberdade se vê envolto em uma questão de honra por uma questão de saias e more em duelo
no dia seguinte.
Na véspera do duelo, ao chegar a casa de um amigo entrega umas notas que as pressas redigiu, um
testamento científico, logo pede que, se seu adversário vença, deveria fazer conhecer suas descobertas a
Gauss o Jacobi para que eles emitam uma opinião ”não respeito á verdade, mais se respeito da importância
dos teoremas”, ainda mais ele diz que :
“ Espero que alguém mais tarde encontre proveito ao decifrar todo este embrulho”.
Hoje este testamento científico é conhecida como “Teoria de Galois”. Evariste Galois em 1831 foi o
primeiro em realmente entender que a solução algébrica de uma equação está relacionada com a estrutura
do grupo de permutações relativas à equação. Em 1832 Galois havia descoberto que aqueles subgrupos
especiais (hoje são chamados subgrupos normais) são fundamentais.
A existência de uma condição necessária e suficiente para a solução da equação de quinto grau com
coeficientes racionais e por meio de radicais foi resolvido por Evariste Galois, utilizando as estruturas de
grupos e corpos.
Galois mostra que a decomposição de um grupo em classes lateral à direita e esquerda coincidem.
Também mostra que o grupo não-abeliano mais simples não tem ordem menor que 60.
O trabalho de Galois não foi conhecido até a publicação por Joseph Liouville (1809− 1882) em 1846.
Liouville percebeu claramente a conexão entre a teoria de permutações de Cauchy e o trabalho de Galois.
Não obstante, Liouville não deu importância o trabalho de Galois como conceito de “teoria de grupo”.
103
104 Introdução às Estruturas Algébricas
4.1 GRUPOS
Na matemática elementar, encontram-se vários casos de conjuntos cujos elementos podem ser
combinados algebricamente por meio de uma operação de adição, de modo que sejam satisfeitas
algumas propriedades usuais, a saber, a comutatividade, a associatividade, a existência do zero e
a existência do simétrico. Neste capítulo pretendo apresentar uma introdução à teoria de grupos.
Exemplo 4.1.
A operação usual de adição no conjunto Z inteiros é uma aplicação de Z × Z −→ Z, que a
cada par ordenado (x, y) ∈ Z× Z, associa o elemento x+ y ∈ Z. Tal que a adição é associativa
e comutativa. Além disso, em Z existe um elemento zero, representado por 0 tal que 0 + x =
x+ 0 = x para todo x ∈ Z.
Definição 4.1. Grupo.
Um sistema matemático da forma (G, ?) diz-se que é um grupo em relação à lei de composição
interna ? se, e somente se satisfaz as seguintes propriedades:
1. Associatividade: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) ∀ a, b, c ∈ G.
2. Elemento identidade: ∃ e ∈ G tal que e ∗ a = a ∗ e = a ∀ a ∈ G
3. Elemento simétrico a−1 ∈ G para todo a ∈ G de modo que a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e
Do fato ser (G, ?) um sistema matemático, fica implícito que se a, b ∈ G, tem-se que a?b ∈ G
(é fechado).
Definição 4.2. Grupo abeliano.
Dizemos que G é um grupo abeliano ou comutativo se, para todo a, b ∈ G temos a igualdade
a ∗ b = b ∗ a.
Um grupo que não é abeliano, é denominado naturalmente de “grupo não abeliano”.
Outra característica de um grupo, é o número de elementos que êle contém.
Definição 4.3. Ordem de um grupo.
Chamamos de ordem do grupo G e denotamos o(G), ao número de elementos pertencentes
ao conjunto G.
Se a ordem de um grupo G é finita, o par (G, ?) é chamado de “grupo finito” e denotado
o(G) <∞; caso a ordem de um grupo (G, ?) seja infinito, a ordem do “grupo infinito” denotamos
por o(G) = ∞.
Evidentemente pelos resultados da teoria de grupos, é mais interessante quando o grupo é da
ordem finita.
Exemplo 4.2.
• O conjunto dos números inteiros Z em relação à adição é grupo infinito.
• As rotações de um polígono regular em torno de um de seus vértices, em geometria plana
constituem um grupo comutativo, é grupo finito.
Christian José Quintana Pinedo 105
• O conjunto G = { 1, −1 } com a multiplicação de números reais, é um grupo abeliano de
ordem 2.
Exemplo 4.3.
O conjunto A = {−2, −1, 0, 1, 2} com a operação usual de adição + em Z, não é um grupo.
Observe neste exemplo que a adição é associativa em A, o elemento identidade é o zero, e
cada elemento de A tem simétrico em A. O fato não ser grupo é que (A, +) não é um sistema
matemático, + não é operação binária em A; isto é A não é fechado respeito adição. Observe,
se 2 ∈ A e 1 ∈ A isso não implica que 2 + 1 /∈ A.
Exemplo 4.4.
Dados dois grupos (G, �) e (H, ◦) com suas respectivas identidades eG e eH , podemos obter
o conjunto G×H = { (a, b) /. a ∈ G, b ∈ H }, e; para seus elementos definir a operação:
(a, b) ? (a′, b′) = (a � a′, b ◦ b′) ∀ a, a′ ∈ G, ∀ b, b′ ∈ H
É imediato que a identidade de G × H é o elemento eG×H = (eG, eH). Verifique! que,
(G×H, ?) é um grupo.
Notação.
• Seja a ∈ G qualquer elemento do grupo (G, ?), denotamos: a0 = e, a1 = a, a2 =
a ? a, a3 = a ? a2, · · · , ak = a ? ak−1 e a−2 = (a−1)2, a−3 = (a−1)3 · · · etc.
O leitor pode verificar que as regras usuais de expoentes continuam sendo válidas, a saber,
para dois inteiros m e n:
am ? an = am+n
(am)n = amn
• Com esta notação, se G é um grupo, an significa: a ? a ? a ? a ? · · · ? a︸ ︷︷ ︸
n− vezes
• Dados dois elementos a, b de um grupo, ao invés de escrever a?b simplesmente escreveremos
a · b ou ab
Exemplo 4.5.
Seja Zm = { [0], [1], [2], [3], · · · , [m− 2], [m− 1] } o conjunto das classes residuais módulo
m. Tem-se que:
i) Zm é um grupo respeito da adição ⊕ módulo m.
Isto é [i] ⊕ [j] = [i + j] se i + j < m e [i] ⊕ [j] = [i + j − m] se i + j ≥ m, para todo
[i], [j] ∈ Zm.
ii) Seja p número primo, Zp − {[0]} é um grupo respeito da multiplicação ⊗ módulo p.
Isto é [i]⊗ [j] = [i · j] se i · j < p e [i]⊗ [j] = [i · j− kp] se i · j ≥ kp, para todo [i], [j] ∈ Zp
e algum k ∈ Z.
106 Introdução às Estruturas Algébricas
Exemplo 4.6.
Seja G = S3, o conjunto de todas as aplicações bijetoras de {x1, x2, x3 } em si mesmo, com
a operação composição de aplicações ◦, tem-se que (G, ◦) é um grupo de ordem 6.
Com efeito, consideremos as aplicações φ e ψ definida sobre o conjunto {x1, x2, x3 } por:
x1 7−→ x2
φ : x2 7−→ x1
x3 7−→ x3
x1 7−→ x2
ψ : x2 7−→ x3
x3 7−→ x1
Fazendo apropriadamente a composição de aplicações, obtemos φ2 = e, ψ3 = e, e:
x1 7−→ x3
ψ o φ : x2 7−→ x2
x3 7−→ x1
x1 7−→ x1
φ ◦ ψ : x2 7−→ x3
x3 7−→ x2
Observe que φ ◦ ψ 6= ψ ◦ φ, eles não levam x2 na mesma imagem. Sendo ψ3 = e segue que
ψ−1 = ψ2, assim obtém-se que:
x1 7−→ x3
ψ2 : x2 7−→ x1
x3 7−→ x2
x1 7−→ x3
φ ◦ ψ−1 : x2 7−→ x2
x3 7−→ x1
É evidente que, ψ oφ = φ ◦ ψ−1, considerando os elementos e, φ, ψ, ψ2, ψ ◦ φ, φ ◦ ψ todos
eles são distintos e estão em G, assim temos que (G, ◦) é um grupo de seis elementos. Qualquer
combinação de composição de aplicações entre estes seis elementos sempre será um elemento de
G (pois G é fechado).
Exemplo 4.7.
Sejam n ∈ N e a ∈ Z um elemento qualquer, consideremos:G = { ai / a0 = an = e, ai ? aj = ai+j se i+ j ≤ n e ai ? aj = ai+j−n se i+ j > n }
Podemos verificar que (G, ? ) é um grupo.
Definição 4.4. Grupo cíclico.
Um grupo G, é denominado “grupo cíclico”, se existe um elemento a ∈ G tal que G =
{ am /. m ∈ Z }, e denotamos G = 〈 a 〉.
Nesta definição, dizemos que o elemento a ∈ G é um gerador de G.
Um grupo cíclico G, é denominado “grupo cíclico de ordem n”, se o(G) = n.
Evidentemente, todo grupo cíclico indexGrupo!cíclicoé abeliano; porém nem todo grupo
abeliano é cíclico como mostra o Exemplo (4.9).
Exemplo 4.8.
Tem-se que (Z4, +) é um grupo cíclico de ordem 4.
Christian José Quintana Pinedo 107
Com efeito, sabe-se que Z4 = { [0], [1], [2], [3] }.
Vejamos que [3] gera Z4, observe que:
[0] = [3] + [3] + [3] + [3]; [1] = [3] + [3] + [3]; [2] = [3] + [3]; [3] = [3]
Logo, podemos escrever Z4 = 〈 [3] 〉.
Exemplo 4.9.
Suponha G = Z2 × Z2, com a operação de adição módulo 2; logo:
G = { ([0], [0]), ([0], [1]), ([1], [0]), ([1], [1]) }
Assim, (G, ⊕) é um grupo aditivo, seu elemento identidade é e = ([0], [0]).
É imediato que este grupo é abeliano, porém, para todo ([m], [n]) ∈ G temos que ([m], [n])2 =
([m], [n])⊕ ([m], [n]) = (2[m], 2[n]) = ([0], [0]) = e.
Portanto, G é um grupo abeliano não cíclico.
Definição 4.5. Grupo cíclico infinito.
Sejam a ∈ G, onde G é grupo com elemento identidade e. Dizemos que G é grupo cíclico de
ordem infinito, se am = e, m ∈ Z se, e somente se, m = 0.
Exemplo 4.10.
Seja G = 〈 2 〉, subconjunto de R com a operação usual de multiplicação de números reais.
Assim, G = { · · · , 1
4
,
1
2
, 1, 2, 4, · · · } é um grupo cíclico de ordem infinito.
Propriedade 4.1.
Se G é um grupo, então:
i) O elemento identidade de G é único.
ii) Para todo a, x, y ∈ G tem-se que: a ? x = a ? y ⇒ x = y.
iii) Para todo a ∈ G, existe um único elemento simétrico a−1 ∈ G.
iv) Para todo a ∈ G, tem-se que (a−1)−1 = a.
v) Para todo a, ∈ G, tem-se que (a ? b)−1 = b−1 ? a−1.
Demonstração. (i)
Suponhamos existam e, f dois elementos identidade de G, logo e ? f = f ? e = e (caso
f elemento identidade) assim como f ? e = e ? f = f (caso e elemento identidade); porém
e = e ? f = f ? e = e ? f = f .
Portanto e = f .
Demonstração. (ii)
Com efeito, para todo elemento a ∈ G, existe seu elemento simétrico b (pode não ser único)
tal que b ? a = e, assim x = e ? x = (b ? a) ? x = b ? (a ? x) = b ? (a ? y) = (b ? a) ? y = e ? y = y.
Portanto, da hipótese a?x = a?y concluímos que x = y (de modo análogo podemos mostrar
que se, x ? a = y ? a ⇒ x = y.
108 Introdução às Estruturas Algébricas
Em geral para grupos, a igualdade a ? x = y ? a, não implica que x = y.
Demonstração. (iii)
Suponhamos existam dois elementos em x, y ∈ G tais que sejam simétricos de a ∈ G; isto é
a ?x = e e a ? y = e, logo a ?x = a ? y, pela parte (ii) desta propriedade temos que x = y, assim
na verdade existe somente um simétrico para a ∈ G; este simétrico é denotado por a−1 ∈ G.
Demonstração. (iv)
Demonstra-se isto utilizando a parte (ii); observe, (a−1)−1 ? (a−1) = e = a ? a−1 onde de (ii)
segue que (a−1)−1 = a.
Demonstração. (v)
Para todo a, b ∈ G tem-se que a?b ∈ G, logo existe (a?b)−1 ∈ G, assim (a?b)? (b−1 ?a−1) =
a ? (b ? b−1) ? a−1 = a ? e ? a−1 = a ? a−1 = e, onde pela própria definição de simétrico tem-se
que b−1 ? a−1 = (a ? b)−1.
Exemplo 4.11.
Demonstre que, se todo elemento do grupo G é seu próprio simétrico, então G é abeliano.
Demonstração.
Sendo (G, ?) um grupo, então para dois elementos quaisquer x, y ∈ G tem-se que x ? y ∈ G.
Por hipótese (x?y) = (x?y)−1, logo das propriedades da potência segue que x?y = y−1?x−1.
Porém todo elemento do grupo é seu próprio simétrico, logo x ? y = y−1 ? x−1 = y ? x.
Portanto G é um grupo abeliano.
Exemplo 4.12.
O grupo SM das simetrias espaciais de um triângulo equilátero.indexSimetrias espaciais
A1
B1
S
S
S
S
S
SS
HH
HH
HH
HH
H
A3
B2
�
�
�
�
�
��
��
��
��
��
�
A2
B3
o
Figura 4.1:
Quando falamos das simetrias de uma determinada
figura, devemos obter a partir da figura original, o máx-
imo possível de outras figuras análogas à primeira, com
suas mesmas características de forma.
Sejam A1A2A3 os vértices de um triângulo equilátero.
Consideremos B1, B2, B3 as medianas e O o centro de
gravidade como mostra a Figura (4.1).
Temos a considerar o conjunto das transformações es-
paciais que preservam o triângulo, com a operação de com-
posição de transformações.
Estas transformações consistem em:
• As rotações planas centradas em o, no sentido anti-horário, de ângulos 0, 2pi
3
,
4pi
3
, denota-
mos id, R 2pi
3
, R 4pi
3
respectivamente.
• As rotações espaciais do ângulo pi com eixos B1, B2, B3 denotamos R1, R2, R3 respecti-
vamente.
Christian José Quintana Pinedo 109
Podemos verificar que SM = { id, R 2pi
3
, R 4pi
3
, R1, R2, R3 } com a operação composição de
aplicações é um grupo.
Observe que este grupo não é comutativo, temos na Figura (4.2) que:
A1
B1
S
S
S
S
S
SS
HH
HH
HH
HH
H
A3
B2
�
�
�
�
�
��
��
��
��
��
�
A2
B3
o
-
R2
A3
B3
S
S
S
S
S
SS
HH
HH
HH
HH
H
A1
B2
�
�
�
�
�
��
��
��
��
��
�
A2
B1
o
-
R1
A2
B2
S
S
S
S
S
SS
HH
HH
HH
HH
H
A1
B3
�
�
�
�
�
��
��
��
��
��
�
A3
B1
o
Figura 4.2:
Isto é, R1 o R2 = R 4pi
3
.
Por outro lado, na Figura (4.3) tem-se:
A1
B1
S
S
S
S
S
SS
HH
HH
HH
HH
H
A3
B2
�
�
�
�
�
��
��
��
��
��
�
A2
B3
-
R1
o
A1
B1
S
S
S
S
S
SS
HH
HH
HH
HH
H
A2
B3
�
�
�
�
�
��
��
��
��
��
�
A3
B2
o
-
R2
A3
B3
S
S
S
S
S
SS
HH
HH
HH
HH
H
A2
B1
�
�
�
�
�
��
��
��
��
��
�
A1
B2
o
Figura 4.3:
Isto é, R2 ◦ R1 = R 2pi
3
.
É exercício para o leitor mostrar que R 2pi
3
e R1 geram um grupo, isto é, qualquer elemento
de SM é um produto de alguns R 2pi
3
com alguns R1.
Exemplo 4.13.
Consideremos um polígono regular de n vértices. Imagine no plano do polígono um sistema
ortogonal xy de coordenadas cartesianas, de modo que sua origem seja o centro do polígono, e
um de seus vértices descanse no eixo 0x.
Nestas condições, as rotações em torno da origem e no sentido anti-horário segundo os ân-
gulos:
0,
2pi
n
,
2(2pi)
n
,
3(2pi)
n
, · · · (n− 2)(2pi)
n
,
(n− 1)(2pi)
n
radianos transformam o polígono nele mesmo.
Indiquemos por e a primeira destas rotações, e por a a segunda rotação; considerando a com-
posição de aplicações, podemos dizer que o conjunto dessas rotações é: G = {e, a, a2, · · · , an−1 }
é óbvio que an = e.
Portanto (G, ◦) é um grupo cíclico de ordem n
Exemplo 4.14.
Indiquemos por b a reflexão em torno do eixo-x de um polígono regular que satisfaz o Exemplo
110 Introdução às Estruturas Algébricas
(4.13), então temos que b2 = e. Seja D2n o seguinte conjunto:
D2n = { e, a, a2, · · · , an−1, b, ba, ba2, · · · ,ban−1 }
cujos elementos são rotações entorno da origem de coordenadas, seguida por uma reflexão.
O conjunto D2n com essas características denomina-se grupo diedral de ordem 2n.
4.1.1 Subgrupos.
Definição 4.6. Subgrupo.
Seja, o grupo (G, ∗) e H ⊆ G, diz-se que H é subgrupo de G, se H constitui um grupo
munido da mesma operação ∗ de G.
Desta definição é claro que se, H é subgrupo de G, e K é subgrupo de H, então K é subgrupo
de G.
Exemplo 4.15.
O conjunto dos números inteiros pares 2Z é um subgrupo comutativo de Z em relação à
adição.
Seria de muita utilidade ter um critériopara decidir se, um dado subconjunto H de um grupo
G, este é um subgrupo de H.
Propriedade 4.2.
Um subconjunto não vazio H de um grupo (G, ?) é subgrupo de G se, e somente se, satisfaz
as duas condições:
i) Para todo a, b ∈ H implica a ? b ∈ H.
ii) Para todo a ∈ H, implica que a−1 ∈ H.
Demonstração.
(⇒ )
Suponhamos que H seja um subgrupo, pela Definição (4.6) tem-se que H é um grupo, logo
é óbvio que satisfaz (i) e (ii).
(⇐ )
Inversamente; suponhamos que no subconjunto H ⊆ G satisfaz-se (i) e (ii), para mostrar
que H é subgrupo é suficiente mostrar que e ∈ H e que a lei associativa vale para elementos de
H.
Como a propriedade associativa vale em G, conseqüentemente vale para qualquer subconjunto
de G em particular para H, assim em H vale a associatividade. Por outro lado, de (ii) tem-se
que os elementos a, a−1 ∈ H e de (i) segue que a ? a−1 ∈ H, porém a ? a−1 = e, portanto
e ∈ H.
Observação 4.1.
1. Para um grupo finito, podemos dispensar a situação (ii) da Propriedade (4.2).
Christian José Quintana Pinedo 111
2. Pela definição de subgrupo, tem-se que G e a identidade H = {e} são os únicos subgrupos
triviais do grupo (G, ?).
Propriedade 4.3.
Se H é um subconjunto finito não vazio de um grupo (G, ∗) e H é fechado com relação à
operação ∗, então H é um subgrupo de G.
Demonstração.
Devido à Propriedade (4.2) é suficiente mostrar que se, a ∈ H, então a−1 ∈ H.
Com efeito, suponhamos que a ∈ H, logo a2 = a ? a ∈ H, a3 = a2 ? a ∈ H, · · · , am ∈ H
pois H é fechado, assim pois a coleção infinita de elementos a, a2, a3, a4, a5, · · · , am, · · · está
toda em H, que é um subconjunto finito de G, onde m ≥ 0.
Logo concluímos que há repetições nesta coleção de elementos, isto é, para certos elementos
r e s, com r > s > 0, ar = as.
Pela a lei de cancelamento (Propriedade (4.1)) em G, resulta ar−s = e onde e ∈ H, do fato
r − s− 1 ≥ 0, ar−s−1 ∈ H e a−1 = ar−s−1 ∈ H
Exemplo 4.16.
Seja (G, +) onde G = Z , e H = { 10x /. x ∈ Z }, então H é subgrupo de G.
Neste exemplo poderíamos definir o subgrupo Hn = { nx/. x ∈ Z } para algum n ∈ Z fixo.
Que podemos dizer sobre Hn ∩ Hm? Determine H5 ∩ H7.
Exemplo 4.17.
Seja S um conjunto finito qualquer, A(S) o conjunto das aplicações bijetoras de S em S.
Mostramos, no Exemplo (4.6) que (A(S), o) é um grupo.
Para x0 ∈ S, seja H(x0) = {ϕ ∈ A(S)/. ϕ(x0) = x0 }, tem-se que H(x0) é um subgrupo de
A(S). Se para x0 6= x1 ∈ S definimos do mesmo modoH(x1), pergunta-se, o que éH(x0)∩H(x1)?
Definição 4.7.
Seja G um grupo, e H subgrupo de G; para a, b ∈ G dizemos que a é congruente com b
módulo H, e indicamos por a ∼= b mod H se, a ? b−1 ∈ H.
Propriedade 4.4.
A relação a ∼= b mod H é uma relação de equivalência.
Demonstração.
Afirmo, a ∼= a mod H. Com efeito pela Definição (4.7) tem-se que a ? a−1 ∈ H, mais
a ? a−1 = e ∈ H do fato ser H subgrupo, logo ∼= é uma relação reflexiva.
Suponhamos que a ∼= bmodH, então a?b−1 ∈ H, como H é subgrupo segue que (a?b−1)−1 ∈
H. Pelas Propriedades (4.2) e (4.1) sabe-se que (a ? b−1)−1 = (b−1)−1 ? a−1 = b ? a−1 ∈ H, logo
b ∼= a mod H assim ∼= é simétrica.
Finalmente, suponhamos que a ∼= bmodH e b ∼= cmodH, então a ? b−1 ∈ H e b ? c−1 ∈ H,
logo do fato H ser subgrupo (a ? b−1) ? (b ? c−1) = a ? (b−1 ? b) ? c−1 = a ? e ? c−1 = a ? c−1 ∈ H;
isto é a ∼= c mod H, logo ∼= é transitiva.
Portanto ∼= é uma relação de equivalência.
112 Introdução às Estruturas Algébricas
4.1.2 Classe lateral.
Definição 4.8. Classe lateral à direita.
Se H é um subgrupo de (G, ?), e a ∈ G, então Ha = {h?a/. h ∈ H } é denominado “classe
lateral à direita de H em G”.
Propriedade 4.5.
Para todo a ∈ G, tem-se que: Ha = { x ∈ G /. a ∼= x mod H }
Demonstração.
Definimos o conjunto:
[a] = { x ∈ G /. a ∼= x mod H } (4.1)
Mostrarei que [a] = Ha, isto é, que Ha ⊆ [a] e [a] ⊆ Ha.
Seja ha ∈ Ha, então da Definição (4.8) segue que h ∈ H, e a ∈ G, do fato H ser subgrupo
de G tem-se que h−1 ∈ H, logo h−1 = (a ? a−1) ? h−1 = a ? (a−1 ? h−1) = a ? (h ? a)−1 ∈ H; isto
é a ? (h ? a)−1 ∈ H.
Pela Definição (4.7) segue por (4.1) que a ∼= ha mod H, então ha ∈ [a] . Isto significa que
ha ∈ [a] para todo h ∈ H, então Ha ⊆ [a].
Reciprocamente, suponhamos que x ∈ [a], logo a ∼= x mod H, assim ax−1 ∈ H, logo
(ax−1)−1 = xa−1 ∈ H, isto é xa−1 = h para algum h ∈ H, multiplicando a a ambos os
membros pela direita tem-se x = ha ∈ Ha. Assim [a] ⊆ Ha
Portanto [a] = Ha, e ∀ a ∈ G, tem-se que: Ha = { x ∈ G /. a ∼= x mod H }.
Pela Propriedade (4.4) tem-se que Ha, é uma classe de equivalência de a em G, pela Pro-
priedade (1.7) estas classes de equivalência produzem uma decomposição de G em subconjuntos
distintos.
Assim duas distintas classes laterais à direita de H em G não têm elemento em comum ou
são idênticas.
Propriedade 4.6.
Existe uma correspondência bijetora entre duas classes laterais à direita de H em G.
Demonstração.
Afirmamos que, entre duas classes laterais á direita Ha e Hb de H em G, existe uma
correspondência injetora.
Com efeito.
Seja ϕ : Ha −→ Hb definido por ϕ(h1a) = h1b onde h1a ∈ Ha , h1b ∈ Hb e a, b ∈ G.
Evidentemente esta aplicação é injetora, pois suponhamos que ϕ(h1a), ϕ(h2a) ∈ Hb são tais
que ϕ(h1a) = ϕ(h2a), então hib = h2b, e como H ⊆ G, pela lei do cancelamento em G segue que
h1 = h2 e portanto h1a = h2a.
Assim, ϕ(h1a) = ϕ(h2a) implica h1a = h2a.
O fato ser sobrejetora é imediata, é exercício para o leitor.
Esta propriedade é bastante interessante quando H seja um grupo finito, pois ela afirma que
duas classes laterais direita distintas têm o mesmo número de elementos.
Christian José Quintana Pinedo 113
4.1.3 Teorema de Lagrange.
Observe que se H é subgrupo de G com elemento identidade e, então He é uma classe lateral
direita de H em G que possui o(H) elementos.
Propriedade 4.7. Teorema de Lagrange.
Se G é um grupo finito e H um subgrupo de G, então o(H) é um divisor de o(G).
Demonstração.
Observe que se e ∈ G é o elemento identidade, H = He é uma classe lateral à direita de H
e portanto em virtude da Propriedade (4.6) qualquer classe lateral à direita de H em G possui
o(H) elementos.
Suponhamos para o grupo finito G que k seja o número de classes laterais à direita distintas
de H em G, pelas Propriedades (4.5) e (4.6) duas quaisquer classes laterais à direita de H em G
não têm elemento em comum, logo cada uma delas tem o(H) elementos.
Como todo a ∈ G está em uma classe lateral à direita Ha, as classes laterais à direita
esgotam G; assim se k representa o número de classes laterais à direita distintas de H em G,
tem-se que k.o(Ha) = o(G), em particular quando a = e (elemento identidade de G, tem-se que
k · o(H) = o(G).
Portanto o(H) | o(G)
Definição 4.9. Índice
Seja G um grupo finito. Se H é um subgrupo de G, o índice de H em G é o número das
distintas classes laterais à direita de H em G.
Denotemos com inG(H) o índice de H em G; logo, sendo G um grupo finito, tem-se que
indG(H) =
o(G)
o(H)
.
Pela Propriedade (4.7) é possível que sendo G um grupo infinito, tenha um subgrupo H 6= G
de índice finito em G.
Observação 4.2.
É importante destacar o fato que a recíproca da Propriedade (4.7) em geral é falsa, se m é
um divisor de o(G) não necessariamente existe um subgrupo H de G com m elementos. Como
mostra o seguinte exemplo:
Exemplo 4.18.
Seja S4 um conjunto com quatro elementos e A(S4) o conjunto de todas as aplicações bijetoras
de S4 em S4. Sabe-se que a ordem o(A(S4)) = 4! = 24. Existe em um subgrupo H de A(S4) com
exatamente 12 elementos.
Por outro lado, sendo H um grupo com 12 elementos, o(H) = 12, este grupo H não possui
um subgrupo com exatamente 6 elementos. Verifique !
Definição 4.10. Ordem de um elemento.
Se G é um grupo e a ∈ G, a ordem (ou período) de a é o menor inteiro positivo m tal que
am = e.
114 Introdução às EstruturasAlgébricas
Se não existe tal inteiro, dizemos que a tem ordem infinita. Usamos a notação o(a) para
indicar a ordem de a.
Propriedade 4.8.
Se G é um grupo finito e a ∈ G, então o(a) | o(G).
Demonstração.
A partir do elemento a ∈ G podemos obter um subgrupo cíclico 〈 a 〉 de G gerado por a onde
〈 a 〉 = { e, a, a2, a3, · · · , ai, · · · , aj , · · · , ao(a) }.
Pergunta-se quantos elementos distintos existem em 〈 a 〉 ?
Afirmo: Realmente o número de elementos distintos é igual à ordem de a.
Suponhamos que o um número de elementos distintos seja menor do que este número o(a),
então ai = aj para alguns inteiros 0 ≤ i < j < o(a). Assim aj−i = e, mas 0 ≤ j − i < o(a) o que
contradiz o próprio significado de ordem do elemento a, pois o(a) = e.
Portanto, o subgrupo cíclico gerado por a tem o(a) elementos, e pela Propriedade (4.7),
tem-se que o(a) | o(G).
Propriedade 4.9.
Se G é um grupo finito e a ∈ G, então ao(G) = e.
Demonstração.
Pela Propriedade (4.8) tem-se que o(a) | o(G), logo existe um inteirom tal que o(G) = m·o(a).
Portanto, ao(G) = am·o(a) = (ao(a))m = em = e.
Propriedade 4.10. Euler.
Sejam ϕ a aplicação de Euler, a, n ∈ N onde (a, n) = 1 sendo a < n, então aφ(n) ∼= 1modn.
Demonstração.
Seja n ∈ N, e consideremos G o conjunto de todos os números naturais menores do que n
relativamente primos com n.
Mostra-se que todos os números menores que n relativamente primos com n formam um
grupo com a operação de multiplicação � em Zn (Veja Miscelânea 4− 1 (23)).
Este grupo tem ordem o(G) = φ(n), aplicando a Propriedade (4.9) tem-se que se a ∈ G,
então ao(G) = 1 isto é aφ(n) = 1 ⇒ aφ(n) ∼= 1mod n.
Propriedade 4.11. Fermat.
Se p é um número primo e a um inteiro qualquer, então ap ∼= a mod n.
Demonstração.
Do fato ser p primo tem-se que φ(p) = p − 1. Suponhamos que a e p sejam relativamente
primos, então pela Propriedade (4.10) tem-se que aφ(p) = ap−1 ∼= 1modp , isto é ap−1−1 = kp
onde k ∈ Z, logo ap − a = sp onde s = ka ∈ Z. Portanto ap ∼= a mod p.
Suponhamos que a e p não sejam relativamente primos, então temos que p | a pois p é primo,
logo a = kp de onde ap = kppp, assim ap − a = kppp − kp = sp onde s = kppp−1 − k. Portanto
ap ∼= a mod p.
Christian José Quintana Pinedo 115
Propriedade 4.12.
Se G é um grupo finito, cuja ordem é um número primo p, então G é um grupo cíclico.
Demonstração.
Do fato ser o(G) = p, então G não possui subgrupos não triviais H, logo tem que acontecer
que o(H) = 1 ou o(H) = p. Se o(H) = 1 então H =< e >= e, e se o(H) = p então H = G.
Suponhamos para a 6= e ∈ G que H =< a >, logo H é um subgrupo de G. Observe que
H 6=< e > pois a 6= e ∈ H, assim H = G.
Isto quer dizer que G, é um grupo cíclico gerado por a ∈ G ou que todo elemento de G é uma
potência de a.
4.1.4 Um Principio da Contagem.
Definimos anteriormente que se H é um subgrupo de (G ?) e a ∈ G, então Ha = { h ? a ∈
G /. h ∈ H }. Esta definição podemos estender para dois subgrupos H e K de G. Seja
HK = { h ? k ∈ G /. h ∈ H, k ∈ K }.
Por exemplo, em A(S3) sejam H = { e, φ } e K = { e, φψ }, onde φ = (x1 x2)(x3), e
ψ = (x1 x2 x3) . Como φ2 = (φψ)2 = e, tanto H como K são subgrupos de A(S3).
Pergunta-se: Que podemos dizer de HK ?
Usando a definição, podemos obter que HK = { e, φ, φψ, φ2ψ = ψ } e pela Propriedade
(4.7) resulta que HK não é subgrupo de G, pois o(HK) = 4 e o(A(S3)) = 6. Observe que
KH = { e, φ, φψ, φψφ = ψ−1 } 6= HK.
Propriedade 4.13.
Sejam H e K subgrupos de (G, ?). Tem-se que, HK é um subgrupo de g se, e somente se,
HK = KH.
Demonstração.
Se HK é um subgrupo de G, então para todos os h ∈ H, k ∈ K tem-se que y = h−1k−1 ∈
HK, assim y−1 = (h−1k−1)−1 ∈ HK. Por outro lado, kh ∈ KH ⇒ kh = (k−1)−1(h−1)−1 =
(h−1k−1)−1 = y−1 ∈ HK, logo KH ⊆ HK.
Seja x = hk ∈ HK, como HK é subgrupo então x−1 ∈ HK ⇒ x−1 = (hk)−1 =
k−1h−1 ∈ KH logo HK ⊆ KH.
Portanto, se HK é um subgrupo de G então, HK = KH.
Inversamente (⇐ ).
Suponhamos que HK = KH, se h ∈ H e k ∈ K, então hk = k1h1 para alguns h1 ∈ H e
k1 ∈ K (não necessariamente h = k1 ou k = h1).
Afirmo: HK é fechado.
Suponhamos que x = hk ∈ HK e y = h′k′ ∈ HK, então xy = (hk)(h′k′) = h(kh′)k′, mas
kh′ ∈ KH = HK, kh′ = h2k2 com h2 ∈ H e k2 ∈ K.
Portanto xy = (hk)(h′k′) = h(kh′)k′ = h(h2k2)k′ = (hh2)(k2k′) ∈ HK; assim HK é fechado.
Afirmo: Se x ∈ HK então x−1 ∈ HK.
Seja x = hk ∈ HK então x−1 = (hk)−1 = k−1h−1 ∈ KH = HK.
Destas duas afirmações temos que HK é um subgrupo de G.
116 Introdução às Estruturas Algébricas
Propriedade 4.14.
Se H e K são subgrupos de um grupo abeliano G, então HK é um subgrupo de G.
Demonstração.
Esta propriedade é conseqüência da Propriedade (4.13), observe que se H e K são subgrupos
de um grupo abeliano G, então HK = KH; logo se HK = KH , então HK é subgrupo de
G.
Mesmo sendo H e K subgrupos de G não necessariamente HK é um subgrupo de G, mesmo
assim é interessante perguntar: quantos elementos distintosHK existem no grupoG ? A seguinte
propriedade resolve o problema ao denotar o número de elementos de HK por o(HK) .
4.1.5 Classes laterais.
Seja G o grupo A(S3) e H = { e, φ} subgrupo de G, onde φ = (12)(3). Como o inG(H) = 3,
existem três classes laterais à direita de H e três classes laterais à esquerda de H em G, considere
Ψ = (1 2 3) estas classes são:
Classes laterais
à direita
H = { e, φ }
Hψ = { ψ, φψ }
Hψ2 = { ψ2, φψ2 }
Classes laterais
à esquerda
H = { e, φ }
ψH = { ψ, ψφ = φψ2 }
ψ2H = { ψ2, ψ2φ = φψ }
Observe o fato interessante que a classe lateral à direita não é uma classe lateral à esquerda.
Assim as noções de classe lateral à direita e à esquerda não coincidem necessariamente.
Por outro lado, para o mesmo grupo G = A(S3) considere o subgrupo N = { e, ψ, ψ2 } do
fato inGN = 2, então existem duas classes laterais à direita e duas classes laterais à esquerda de
N em G como observamos a continuação:
Classes laterais
à direita
N = { e, ψ, ψ2}
Hφ = { φ, ψφ, ψ2φ }
Classes laterais
à esquerda
N = { e, ψ, ψ2}
φH = { φ, φψ, φψ2 } = { φ, ψ2φ, ψφ }
Observe que toda classe lateral à direita de N em G é uma classe lateral à esquerda de N em
G e você-versa. Assim para alguns subgrupos a noção de classe lateral à direita coincide com a
classe lateral à esquerda.
Christian José Quintana Pinedo 117
Exercícios 4-1
1. Determine se o conjunto G para o qual está definida a lei de composição interna ? é um
grupo:
1. G = Z e ? é a multiplicação usual de inteiros.
2. G = Q e ? é a multiplicação usual em Q.
3. G = { q ∈ Q /. q > 0 } e ? é a multiplicação usual em números racionais.
4. G = { z ∈ Z /. z = √2 } e ? é a multiplicação usual em Z.
5. G = R e ? é a adição usual em números reais.
6. G = Z e ? define-se por a ? b, ∀ a, b ∈ Z.
2. Determine se o conjunto G = {−2,−1, 0, 1, 2} junto com a operação usual de multiplicação
em Z constitui um grupo.
3. Mostre que elemento identidade e do grupo (G, ?) é único.
4. Mostre que se (G, ?) é um grupo e para a ∈ G, então o elemento a−1 (simétrico de a) é
único.
5. Seja (G, ?) um grupo e, x, y, z ∈ G. Mostre que:
1. x ? y = x ? z ⇒ y = z 2. y ? x = z ? x ⇒ y = z
3. (x ? y)−1 = y−1 ? x−1 4. (x−1)−1 = x
6. Demonstrar que o conjunto de números reais G = {a+ b√2 /. a, b ∈ Z } forma um grupo
com a operação de adição.
7. Seja G = { 5a /. a ∈ Z }. Mostre que (G, +) é um grupo.
8. Seja (G, ?) um grupo e um elementos x ∈ G. Prove que:
1. xm ? xn = xm+n 2. (xm)n = xmn ∀m, n ∈ Z
9. Seja (G, ?) um grupo, mostre que, dados a, b ∈ G, então as equações a ? x = b e y ? a = b
têm soluções únicas para x e y em G.
Em particular, valem as duas leis do cancelamento:
a ? x = a ? y ⇒ x = y
x ? a = y ? a ⇒ x = y
10. Seja G um conjunto não vazio provisto de um produto associativo, então G é grupo se, e
somente se, as equações ax = b, ya = b tem solução única para cada a, b ∈ G.
118 Introduçãoàs Estruturas Algébricas
11. Seja G 6= ∅ um conjunto finito e ∗ uma operação binária associativa em G. Mostre que se
em G são válidas as leis de cancelamento, então (G, ∗) é um grupo.
12. Suponhamos que um conjunto finito G seja fechado com relação a um produto associativo
e que ambas as leis do cancelamento sejam válidas em G. Demonstrar que G é um grupo.
13. a) Usando a definição do Exercício 4.1.12 , demonstrar que os inteiros não nulos módulo
p, sendo p um número primo, constitui um grupo com a multiplicação mod p.
b) Fazer a parte a) para os inteiros não nulos relativamente primos com n, com a multi-
plicação mod p.
14. Seja G um conjunto não vazio fechado em relação a um produto associativo, que além disso
satisfaz:
a) Existe em e ∈ G tal que ae = a para todo a ∈ G.
b) Dado a ∈ G, existe um elemento y[a] ∈ G tal que a · y[a] = e.
Demonstrar que G é um grupo com relação a este produto.
15. Demonstre que, se todo elemento do grupo G é seu próprio simétrico, então G é abeliano.
16. Demonstrar que, se G é um grupo abeliano, então, para todos a, b ∈ G e todo número
inteiro n, tem-se que (ab)n = anbn.
17. Seja G um grupo com elemento identidade e. Mostre que se x2 = e, ∀ x ∈ G, então G é
abeliano.
18. Seja G um grupo abeliano. Prove que se x, y ∈ G, e m ∈ Z então (xy)m = xm · ym.
19. Se G é um grupo tal que (ab)2 = a2b2, para todos os a, b ∈ G, demonstrar que G é abeliano.
20. Se G é um grupo tal que (ab)i = aibi, para três inteiros consecutivos i e para todos os
a, b ∈ G, demonstrar que G é abeliano.
21. Mostre que a conclusão do problema anterior não vale se assumirmos a relação (ab)i = aibi,
para apenas dois inteiros consecutivos quaisquer.
22. Em A(S3) demonstrar que existem quatro elementos que satisfazem a2 = e e três elementos
que satisfazem b3 = e.
23. Considere o conjunto A(S3) das aplicações bijetoras de S3 em S3.
1. Determine aplicações f e g em A(S3) tais que:
a) (fog)3 6= f3og3 b) (fog)2 6= f2og2.
2. Determine todos os elementos de A(S3) tais que:
c) f2 = e, f 6= e d) f3 = e, f 6= e.
24. Seja G um grupo, dizemos que G é grupo cíclico, se existe x ∈ G tal que G =< x >, o
elemento x é chamado de gerador de G. Prove que:
Christian José Quintana Pinedo 119
a) Todo grupo cíclico é abeliano.
b) Todo número n ∈ Z, se decompõe de modo único na forma n = εpα11 · pα22 · pα33 · · · pαkk
onde todos os pi i = 1, 2, 3 · · · , k são primos absolutos, ademais p1 < p2 < p3 <
· · · < pk, ε = ±1.
25. Seja V = { e, f, g, h} o seguinte subconjunto do grupo A(S4) onde f = (1, 2)(3, 4), g =
(1, 3)(2, 4), h = (1, 4)(2, 3). Prove que:
a) (V, o) é um grupo de quatro elementos, onde o é a operação de composição de
aplicações de A(S4).
b) Determine se (V, o) é um grupo cíclico.
26. Consideremos M o conjunto dos movimentos aplicados a um quadrado ABCD que con-
servam sua posição no plano.
E : Movimento idêntico (identidade)
S1 : Simetria axil, de eixo a mediatriz dos lados AB e CD.
S2 : Simetria axil, de eixo a mediatriz xos lados AD e BC.
S3 : Simetria axil, de eixo a diagonal BD.
S4 : Simetria axil, de eixo a diagonal AC.
S5 : Simetria central, de centro o centro do quadrado.
S6 : Giro de 90o (dextrógiro) com centro no centro do quadrado.
S7 : Giro de 90o (evógiro) com centro no centro do quadrado.
Definamos em M a operação ? considerando como resultado de efetuar ? entre dois ele-
mentos de M o movimento que se obtém aplicando sucessivamente o primeiro movimento
e o segundo S2 ? S1, logo:
1. Obter S1 ? S2, S3 ? S1, S1 ? S2, S1 ? S3.
2. Formar uma tabela da operação ?.
3. (M, ?) tem estrutura de grupo?. É abeliano?
4. Provar que S3 ? S2 = S1 ? S3. Podemos deduzir que S2 = S1?
27. Se G é um grupo finito, demonstrar que existe um inteiro positivo n tal que an = e para
todo a ∈ G.
28. Demonstrar que qualquer subgrupo de um grupo cíclico também é um grupo cíclico.
29. Se H e K são subgrupos de G, então H ∩K também é subgrupo de G ?
30. Para um subgrupo H de G definamos uma classe lateral à esquerda de H em G como o
subconjunto de todos os elementos da forma ah, onde h ∈ H. Mostrar que existe uma
correspondência bijetora entre o conjunto das classes laterais á direita de H em G e o
conjunto das classes laterais à esquerda de H em G.
31. Se G não possui subgrupos não triviais demonstrar que G é de ordem prima.
120 Introdução às Estruturas Algébricas
32. Seja G o grupo dos inteiros com a operação de adição, Hn o subgrupo constituído de todos
os múltiplos de um inteiro fixo n em G. Determinar o índice de Hn em G e explicitar todas
as classes laterais de Hn em G.
33. No problema anterior o que é Hn ∩Hm ?
34. Se G é um grupo e H e K são dois subgrupos de G de índices finitos em G, demonstrar
que H ∩K é de índice finito em G. Pode-se encontrar o limite superior para o índice de
H ∩K em G ?
35. Seja a aplicação de R em R definida por τab : x −→ ax+b onde a, b ∈ R são fixos. Considere
G = {τab/. a 6= 0}, demonstrar que G é um grupo em relação à composição de aplicações.
Deduzir uma fórmula para τabτcd.
36. No Exercício (35), seja H = { τab ∈ G /. a é racional }. Mostrar que H é um subgrupo
de G. Fazer a lista de todas as classes laterais à direita de H em G,
37. 1. No Exercício (35) mostrar que toda classe lateral à esquerda de H em G é uma classe
lateral direita de H em G.
2. Dar um exemplo de um grupo G e um subgrupo H tais que nem toda classe lateral à
esquerda de H em G seja uma classe lateral direita de H em G.
38. No grupo do Exercício (35) seja N = { τab ∈ G }. Demonstre que:
1. N é um subgrupo de G.
2. Se a ∈ G, n ∈ N , então ana−1 ∈ N .
39. Se um grupo abeliano tem subgrupos de ordens n e m, respectivamente, então mostrar
que ele possui um subgrupo cuja ordem é o mínimo múltiplo comum de n e m.
40. Quantos geradores possui um grupo cíclico de ordem n ? (b ∈ G é um gerador se< b >= G).
41. Mostre que em S7 não existe subgrupo H tal que, o(H) = 11.
42. Se a ∈ G definimos N(a) = { x ∈ G /. xa = ax }. Demonstrar que N(a) é um subgrupo
de G. N(a) usualmente é denominado normalizador ou centralizador de a em G.
43. Se G é um grupo, o centro de G denotado Z, é definido por Z = {z ∈ G/. za = az ∀a ∈
G }. Demonstrar que Z é um subgrupo de G.
44. Mostre o Teorema de Lagrange: Se, G é um grupo de ordem finito e H é um subgrupo de
G, então o(H) é um divisor de o(G).
Christian José Quintana Pinedo 121
4.1.6 Subgrupos Normais.
Definição 4.11. Subgrupo Normal.
Dizemos que o subgrupo N de G é “subgrupo normal de G” se para todo g ∈ G e n ∈ N ,
tem-se que gng−1 ∈ N .
Do mesmo modo, se entendemos gNg−1 como o conjunto de todos os gng−1 ∈ N , então N
é subgrupo normal de G se, e somente se, gNg−1 ⊂ N para todo g ∈ G.
Propriedade 4.15.
N é um subgrupo normal de G se, e somente se, gNg−1 = N para todo g ∈ G.
Demonstração.
Suponhamos que N seja normal de G, assim para g ∈ G, gNg−1 ⊂ N e g−1Ng =
g−1N(g−1)−1. Agora, como g−1Ng ⊂ N, N = g(g−1Ng)g−1 ⊂ gNg−1, portanto N = gNg−1.
Reciprocamente (⇐ ).
Se gNg−1 = N para todo g ∈ G ⇒ gNg−1 ⊂ N , logo todo elemento da forma gng−1 ∈ N
para todo g ∈ G.
É importante evitar confusão na Propriedade (4.15) ela não afirma que, para todo g ∈ G, e
∀n ∈ N, gng−1 = n, isto pode ser falso; apenas afirma o conjunto de elementos em gNg−1 é o
mesmo que o conjunto de elementos de N . O seguinte exemplo justifica nossa conclusão.
Seja G = A(S3) e N = {e, ψ, ψ2}. O conjunto φNφ−1 = {e, φψφ−1, φψ2φ−1 } = { e, ψ@, ψ}
por outro lado, φψφ−1 6= φ.
Propriedade 4.16.
O subgrupo N de G é um subgrupo normal de G se, e somente se, toda classe lateral à
esquerda N de G é uma classe lateral à direita de N em G.
Demonstração.
Se N é um subgrupo normal de G, então, para todo g ∈ G, gNg−1 = N , portanto
(gNg−1)g = Ng ⇒ gN = Ng, de modo análogo mostra-se que g−1N = Ng−1, e então
a classe lateral àesquerda gN é a classe lateral direita Ng.
Recíprocamente (⇐).
Suponhamos que toda classe lateral à esquerda N de G é uma classe lateral à direita de N
em G. Assim, para cada g ∈ G do fato gN ser uma classe lateral à esquerda, é uma classe lateral
direita. Pergunta-se “que classe lateral à direita pode ela ser?
Como g = ge ∈ gN , qualquer que seja a classe lateral à esquerda que gN venha a ser, ela
deve conter o elemento g; não entanto g está na classe lateral direita Ng e duas classes laterais
direitas não possuem elemento em comum.
Portanto esta classe lateral direita é única, assim segue-se que gN = Ng; isto é gNg−1 =
Ngg−1 = N , e portanto N é um subgrupo normal de G.
Dados dois subconjuntos A e B do grupo G, definimos AB = { x ∈ G /. x = ab, a ∈
A, b ∈ B }. Como um caso particular, observe que se A = B = H onde H é subgrupo de G
122 Introdução às Estruturas Algébricas
tem-se que HH = { x ∈ G/. x = h1h2, h1 ∈ H, h2 ∈ H } ⊂ H pois H é fechado respeito da
operação. Porém H = He ⊂ HH isto do fato e ∈ H, assim HH = H.
Propriedade 4.17.
Um subgrupo N de G é um subgrupo normal de G se, e somente se, o produto de duas classes
laterais à direita de N em G é também uma classe lateral à direita de N em G.
Demonstração.
Suponhamos que N seja subgrupo normal de G e que a, b ∈ G. Consideremos (Na)(Nb);
como N é subgrupo normal de G, aN = Na, e portanto:
NaNb = N(aN)b = N(Na)b = NNab = Nab
Recíprocamente (⇐).
Exercício para o leitor.
Exemplo 4.19.
Seja (Z4, ⊕) o grupo, tem-se que H = { 0, 1, 2 } é um subgrupo normal de Z4.
Observe que as classes laterais direitas são equivalentes que as classes laterais a esquerda:
0 +H = { 0, 1, 2 } H + 0 = { 0, 1, 2 }
1 +H = { 1, 2, 3 } H + 1 = { 1, 2, 3 }
2 +H = { 2, 3, 0 } H + 2 = { 2, 3, 0 }
3 +H = { 3, 0, 1 } H + 3 = { 3, 0, 1 }
Exemplo 4.20.
Consideremos o grupo diedral D6 = { e, a, a2, b, ba, ba2 } do Exemplo (4.20), onde b a
reflexão em torno do eixo-x de um polígono regular que satisfaz o Exemplo (4.13), tem-se que
N = { e, a, a2, } é subgrupo normal de D6.
Definição 4.12.
Definimos por G/N como a coleção de todas as classes laterais à direita de N em G, munido
da operação de produto de subconjuntos de G.
Exemplo 4.21.
Do Exemplo (4.19) segue que Z4/H = {H + 0, H + 1, H + 2, H + 3 } é grupo quociente.
Propriedade 4.18.
Seja G um grupo, N subgrupo normal de G, então G/N também é um grupo. É denominado
o grupo quociente de G por N .
Demonstração.
G/N é fechado: Com efeito, sejam X, Y ∈ G/N , então X = Na, Y = Nb para certos
a, b ∈ G, logo XY = NaNb = Nab ∈ G/N .
Christian José Quintana Pinedo 123
Associatividade: Sejam X, Y, Z ∈ G/N , então X = Na, Y = Nb, Z = Nc para certos
a, b, c ∈ G, logo (XY )Z = (NaNb)Nc = NabNc = Nabc = Na(bc) = Na(Nbc) = Na(NbNc) =
X(Y Z).
Elemento identidade: Considere o elemento N = Ne ∈ G/N . Se X = Na ∈ G/N , para
a ∈ G então XN = NaNe = Nae = Na = X ⇒ XN = X, análogamente NX = X, assim
Ne é um elemento identidade para G/N .
Elemento simétrico: Suponhamos X = Na ∈ G/N para a ∈ G, assim Na−1 ∈ G/N ,
NaNa−1 = Naa−1 = Ne. Análogamente Na−1Na = Ne. Portanto, Na−1 é o simétrico de Na
em G/N .
Pelo mostrado em tem-se que G/N é um grupo.
Se, além disso G é um grupo finito, a pergunta natural sería, qual a ordem do grupo G/N?.
Do fato G/N ter como elementos todas as distintas classes laterais à direita de N em G, e
como pela Teorema de Lagrange ( Propriedade (4.7)) existem inG(N) =
o(G)
o(N)
distintas classes
laterais à direita, podemos afirmar a seguinte propriedade:
Exemplo 4.22.
Seja G = Z, munido com a operação de adição, e N = { 3x /, x ∈ Z }.
A notação para Na é N + a, logo as únicas distintas classes laterais à direita de N em G
são: N, N + 1, N + 2, de fato, se c ∈ Z ⇒ c = 3q + r onde 0 ≤ r < 3, q, r ∈ Z, logo
r = 0, 1 ou 2. A Tabela (4.1) mostra que G/N é um grupo abeliano.
+ N N + 1 N + 2
N N N + 1 N + 2
N + 1 N + 1 N + 2 N
N + 2 N + 2 N N + 1
Tabela 4.1:
Portanto G/N = {N, N + 1, N + 2 }.
Notação.
Se N é subgrupo normal de G, também é costume denotar N4G.
4.1.7 Homomorfismo de Grupos.
Quando fazemos estudo geral dos conjuntos, as transformações que consideramos entre vários
conjuntos não se supõem sujeitos a quaisquer restrições.
Sejam (G, ∗) e (G, ⊕) dois grupos com as operações indicadas.
Definição 4.13. Homomorfismo.
Um homomorfismo de (G, ∗) em (G, ⊕) é uma aplicação φ : G −→ G definida em G com
valores em G, tal que:
φ(x ∗ y) = φ(x)⊕ φ(y), x, y ∈ G
124 Introdução às Estruturas Algébricas
Definição 4.14. Núcleo de um homomorfismo.
Se φ é um homomorfismo de (G, ∗) em (G, ⊕), o núcleo (ou kernel) de φ denotado Kφ, é
definido por Kφ = { x ∈ G /. φ(x) = e } onde e é o elemento identidade em G.
Exemplo 4.23.
Seja G = R o grupo aditivo dos números reais, G = G, φ(x) = x+ 1 ∀ x ∈ G Verifique se
esta aplicação é homomorfismo, determine seu núcleo.
Solução.
A aplicação φ : G −→ G é definida por x 7−→ x+ 1, isto é φ(x) = x+ 1, ∀ x ∈ G = R.
Para todo x y ∈ G tem-se que φ(x+ y) = (x+ y) + 1 = x+ 1 + y = φ(x) = y 6= φ(x) + φ(y).
Logo φ não é homomorfismo de G sobre G. �
Propriedade 4.19.
Para todo homomorfismo φ, de (G, ∗) em (G, ⊕) tem-se:
φ(e) = e, φ(x−1) = φ(x)−1, φ(x ∗ y−1) = φ(x)⊕ φ(y)−1
Demonstração.
Suponhamos os grupos (G, ∗) e (G, ⊕).
• Tem-se que φ(x)⊕ e = φ(x) = φ(x ∗ e) = φ(x)⊕ φ(e) ⇒ φ(x)⊕ e = φ(x)⊕ φ(e), pela
Lei do cancelamento em G segue que φ(e) = e.
• Por outro lado, e = φ(e) = φ(x ∗ (x−1)) = φ(x)⊕ φ(x−1), pela própria definição de φ(x)−1
em G segue-se que φ(x−1) = (φ(x))−1.
• Por último, φ(x ? y−1) = φ(x) ⊕ φ(y−1) aplicando o resultado anterior, φ(x ? y−1) =
φ(x)⊕ φ(y)−1
A Propriedade (4.19) mostra que e está no núcleo de qualquer homomorfismo, portanto
nenhum núcleo de homomorfismo é vazio.
Propriedade 4.20.
Se φ é homomorfismo de G em G, com núcleo Kφ, então Kφ é um subgrupo normal de G.
Demonstração.
Primeiramente temos a verificar que Kφ é um subgrupo de G.
Com efeito, se x, y ∈ Kφ, então φ(x) = e, φ(y) = e, onde e é o elemento identidade de G, e
portanto φ(xy) = φ(x)φ(y) = ee = e, de onde xy ∈ Kφ.
Por outro lado, se x ∈ Kφ, φ(x) = e, e portanto pela Propriedade (4.19) φ(x−1) = φ(x)−1 =
e−1 = e, logo Kφ é um subgrupo de G.
Mostremos que Kφ é normal, isto é, a mostrar que se g ∈ G e k ∈ Kφ então gkg−1 ∈ Kφ.
Seja g ∈ G, sabe-se que φ(g), φ(g−1) ∈ G e se k ∈ Kφ ⇒ φ(k) = e, logo φ(gkg−1) =
φ(g)φ(k)φ(g−1 = φ(g) e φ(g−1 = φ(g)φ(g−1) = φ(g)φ(g)−1 = e assim φ(gkg−1) = e ⇒
gkg−1 ∈ Kφ
Christian José Quintana Pinedo 125
Seja φ um homomorfismo sobrejetivo de grupo G no grupo G, e suponhamos que Kφ seja o
núcleo de φ. Se g ∈ G, dizemos que um elemento x ∈ G é a imagem inversa de g com relação a
φ se, φ(x) = g.
Uma pergunta natural é: quais são as imagens inversas de g ? Sabe-se que Kφ = { x ∈
G /. φ(x) = e }, logo a resposta é Kφ.
Propriedade 4.21.
Se φ é um homomorfismo sobrejetivo de G em G com núcleo Kφ, então o conjunto das
imagens inversas de g ∈ G com relação a φ é dado por Kφx onde x é uma imagem inversa.
Demonstração.
Para o caso g 6= e tem-se o seguinte: Suponhamos que x ∈ G e seja k ∈ Kφ, se y = kx ⇒
φ(y) = φ(kx) = φ(k)φ(x) = e g = g. Assim todos os elementos de Kx estão na imagem inversa
de g sempre que x seja imagem inversa de g.
Suponhamos que existam outras imagens inversas de g, suponhamos que φ(z) = g = φ(x) ⇒
= g = φ(z)φ(x)−1 = φ(zx−1), conseqüentemente zx−1 ∈ Kφ; assim z ∈ Kφx.
Portanto Kφx esgota todas as imagens inversas de g desde que x seja imagem inversa de
g.
4.1.8 Isomorfismo de Grupos.
Definição 4.15. Isomorfismo.
Um isomorfismo de G em G é, por definição todo homomorfismo biunívoco de G em G.
A existência de, ao menos um isomorfismo f : G −→ G entre G e G significa que, do ponto
de vista algébrico, os grupos G e G comportam-se do mesmo modo.
Os doisgrupos G e G são ditos isomorfos quando existe, ao menos, um isomorfismo de G
sobre G.
De maneira mais geral, diz-se que o grupo G é uma imagem homomorfa de G quando existe,
ao menos um homomorfismo de G sobre G.
Note-se que dados os grupos G e G, a aplicação 0 : G −→ G que a cada elemento de G
associa sempre o identidade de G, é um homomorfismo, dito homomorfismo identidade de G em
H.
Exemplo 4.24.
Consideremos o grupo aditivo R dos números reais. Dado a ∈ R, a aplicação f : R −→ R
definida por f(x) = ax é um homomorfismo de R em R, pois f(x+ y) = a(x+ y) = ax+ ay =
f(x) + f(y).
Se a 6= 0, então f é um homomorfismo de R sobre R. Alias, há um teorema clássico de
Cauchy, afirmando que toda aplicação g : R −→ R contínua, tal que g(x + y) = g(x) + g(y)
quaisquer que sejam x, y ∈ R, é da forma g(x) = ax. Em outros termos, todo homomorfismo
contínuo de R em R é do tipo x 7−→ ax.
126 Introdução às Estruturas Algébricas
Exemplo 4.25.
No grupo aditivo C dos complexos, a correspondência z 7−→ z que a cada z ∈ Z associa seu
conjugado, é um isomorfismo de C sobre C.
De fato sabe-se que:
z + w = z + w, z, w ∈ C
Exemplo 4.26.
Consideremos o conjunto C das aplicações reais contínuas no intervalo limitado fechado [a, b].
Mostra-se que C é um subgrupo das aplicações F reais em [a, b].
Portanto C é um subgrupo em relação á adição usual de aplicações reais.
A correspondência de C em R dada por:
f 7−→
b∫
a
f(x)dx
que, a cada f ∈ C, associa sua integral em [a, b], é um homomorfismo de C em R, pois
b∫
a
[f(x) + g(x)]dx =
b∫
a
f(x)dx+
b∫
a
g(x)dx
Este homomorfismo não é um isomorfismo.
Em geral, dados os grupos (G, �) e (G, ?), um homomorfismo de G em G, é uma aplicação
φ : G −→ G, que possui a seguinte propriedade:
φ(x � y) = φ(x) ? φ(y), x, y ∈ G
Notemos então que, φ(e) = e, e φ(x−1) = (φ(x))−1, onde e ∈ G e e ∈ G são os elementos
identidades.
Exemplo 4.27.
Indiquemos por R∗+ o grupo multiplicativo dos números reais positivos, e seja a ∈ R um
número real fixo. A aplicação f : R∗+ −→ R∗+ definida por x 7−→ xa é um homomorfismo de
R∗+ em si próprio, pois f(xy) = (xy)a = xaya = f(x)f(y). Quando a = 1, então f é um
homomorfismo identidade. Se a 6= 0, então f é um isomorfismo de R∗+ sobre si próprio.
Exemplo 4.28.
A correspondência z 7−→ z que a todo número complexo z 6= 0 associa seu conjugado, é um
homomorfismo do grupo multiplicativo C∗ em C∗.
Do fato z = z resulta logo que z 7−→ z é um isomorfismo de C∗ sobre si próprio.
Exemplo 4.29.
Seja D = { f ∈ F /. f derivável em [a, b] }. A correspondência de D em F dada por
f −→ d
dx
f que, a cada f ∈ D, associa a sua derivada, é um homomorfismo de D em F . (este
homomorfismo não é isomorfismo).
Christian José Quintana Pinedo 127
Demonstração.
Sabe-se que F = { f /. f é função definida em [a, b] } consideremos φ : D −→ F definido
por f −→ d
dx
f , isto é φ(f(x)) =
d
dx
f(x) ∀ x ∈ [a, b], então, para f, g ∈ D por definição
f+g ∈ D e por propriedade da derivada d
dx
(f+g)(x) =
d
dx
f(x)+
d
dx
g(x), assim φ((f+g)(x)) =
d
dx
(f + g)(x) =
d
dx
f(x) +
d
dx
g(x) = φ(f(x)) + φ(g(x)).
Esta aplicação φ não é isomorfismo, considere por exemplo as funções f(x) = 5 e g(x) = 7
definidas em [a, b], então f, g ∈ D observe que f(x) 6= g(x) ∀ x ∈ [a, b] porém φ(f(x)) =
φ(g(x)) =
d
dx
f(x) = 0 ∈ F . Assim φ não é biunívoca, logo φ não é isomorfismo.
Definição 4.16. Endomorfismo.
A todo homomorfismo φ : G −→ G de um grupo G em si próprio dá-se o nome de endomor-
fismo de G.
Definição 4.17. Automorfismo.
A todo isomorfismo Φ : G −→ G de um grupo G em si próprio dá-se o nome de automorfismo
de G.
Note que a aplicação identidade I : G −→ G é sempre um automorfismo do grupo G. Em
todo grupo aditivo G, a correspondência x 7−→ −x é um automorfismo de G, pois −(x + y) =
(−x) + (−y), e esta correspondência é injetora.
O mesmo pode ser dito para a correspondência x 7−→ x−1 no caso de um grupo multiplicativo
comutativo de G. Na ausência da comutatividade, f : x 7−→ x−1 no é um homomorfismo de G
em G.
Denotaremos por:
End(G) = { f : G −→ G /. f homomorfismo }
Aut(G) = { f : G −→ G /. f isomorfismo }
Propriedade 4.22.
Suponhamos que G seja subgrupo, N subgrupo normal de G; definamos a aplicação de G em
G/N por φ(x) = Nx para todo x ∈ G. Então φ é um homomorfismo sobrejetivo de G em G/N .
Demonstração.
Que φ seja sobrejetivo vem do fato que todo elemento X ∈ G/N é da forma X = Ny, para
y ∈ G portanto X = φ(y).
Para verificar a propriedade multiplicativa para ser φ um homomorfismo, observe, aplicando
a Propriedade (4.17) que se, x, y ∈ G, ⇒ φ(xy) = Nxy = NxNy = φ(x)φ(y).
Exemplo 4.30.
Suponhamos que exista n ∈ Z tal que x −→ xn seja um automorfismo de G. Demonstre que,
para todo x ∈ G, onde G é abeliano, tem-se xn−1 pertence ao centro de G.
128 Introdução às Estruturas Algébricas
Demonstração.
Pela definição de centro de G denotado, Z(G), a mostrar que xn−1 ∈ Z(G); isto é xn−1y =
yxn−1 para todo y ∈ G.
Para todo x, y ∈ G, pelo fato ser grupo, existe z ∈ G tal que y = xz.
A aplicação x −→ xn é automorfismo, logo é sobrejetivo, assim existe u ∈ G tal que z = un.
Por outro lado, x −→ xn, y −→ yn, logo xu −→ (xu)n isto é xu −→ xnun, assim, pela
injetividade xnun = (xu)n. Do fato G abeliano tem-se que xu = ux. Logo:
xn−1y = xn−1(xz) = xnun = (xu)n = (ux)n = x(unxn)x−1 = (xun)xn−1 = yxn−1
Isto último pelo fato ser Z(G) um subgrupo normal de G. Portanto, xn−1 ∈ Z(G).
4.1.9 Grupo de permutações.
Lembre que todo grupo pode ser representado mediante isomorfismo como um subgrupo de
A(S) para algum conjunto S; em particular todo grupo finito G pode ser representado como um
subgrupo de Sn para algum n ∈ N, onde Sn é o grupo simétrico de grau n.
Segundo a Subseção ?? tem-se que se: α = (132) e β = (23) então αoβ = (132)(23) = (12).
Seja S um conjunto, e β ∈ A(S), dados dois elementos a, b ∈ S definimos a ∼=β b se, e
somente se, b = βi(a) para algum i ∈ Z. Afirmamos que isto define uma relação de equivalência.
Com efeito.
1. a ∼=β a pois a = β0(a) = ae, existe i = 0.
2. a ∼=β b então b = βi(a), de modo que a = β−1i (b), onde b ∼=β a, para algum i ∈ Z.
3. a ∼=β b ∧ b ∼=β c, então b = βi(a) ∧ c = βj(b), logo c = βj(b) = βj(βi(a)) = βi+j(a), o
que implica a ∼=β c, para algum i, j ∈ Z.
Esta relação de equivalência, pela Propriedade (??) induz uma decomposição de S em sub-
conjuntos distintos, a saber, as classes de equivalência.
Definição 4.18. Órbita.
Seja S um conjunto finito, s ∈ S e β ∈ A(S), a órbita de s sob β consiste nos elementos
s, β(s), β2(s), · · · , βt−1 sendo t ∈ Z o menor inteiro positivo tal que βt(s) = s.
Definição 4.19. Ciclo.
Definimos um ciclo de β como o conjunto ordenado (s β(s) β2(s) · · · βt−1).
Se conhecemos todos os ciclos de β, conheceremos evidentemente β, pois conheceremos a
imagem de qualquer elemento sob β.
Exemplo 4.31.
Suponhamos temos β =
(
1 2 3 4 5 6
2 1 3 5 6 4
)
, onde S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, logo β =
(1 2)(3)(4 5 6).
Christian José Quintana Pinedo 129
A órbita de 1 é o conjunto de elementos 1 e 2, a órbita do 3 é o próprio 3 e, a órbita do 4
é o conjunto de elementos 4, 5 e 6.
Os ciclos da permutação β são (1 2), (3) e (4 5 6)
Exemplo 4.32.
Se S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } e suponha os ciclos das permutações que elas representam
(1 2 3) e (5 6 4 1 8). Observe que
(1 2 3)(5 6 4 1 8) =
(
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 3 1 4 5 6 7 8 9
)(
1 2 3 4 5 6 7 8 9
8 2 3 1 6 4 7 5 9
)
=
(
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 3 8 1 6 4 7 5 9
)
= (1 2 3 8 5 6 4 )(7)(9)
Assim obtemos a permutação β = (1 2 3 8 5 6 4 )(7)(9)
Propriedade 4.23.
Toda permutação é o produto de seus ciclos.
Demonstração.
Seja β a permutação, então seus ciclos são da forma s β(s) β2(s) · · · βt−1(s).
Pelamultiplicação dos ciclos tal como definida no Exemplo 40.4, e como os ciclos de β são
disjuntos, a imagem de s′ ∈ S sob β, é β(s′) sendo que esta é a mesma imagem sob o produto ψ
de todos os ciclos distintos de β.
Portanto, ψ e β têm o mesmo efeito em cada elemento de S, logo ψ = β, que é o que
procurávamos demonstrar.
A Propriedade (4.23) pode ser expressa na forma:
Toda permutação pode ser expressa de maneira única como o produto de ciclos
disjuntos.
Propriedade 4.24.
Toda permutação é um produto de 2-ciclos.
Demonstração.
Consideremos o m-ciclo (1 2 3 · · · m), um simples cálculo mostra que, (1 2 3 · · · m) =
(1 2)(1 3)(1 4) · · · (1m− 1)(1m).
De forma mais geral, o m-ciclo (a1 a2 a3 · · · am) = (a1 a2)(a1 a3)(a1 a4) · · · (a1 am−1)(a1 am).
Esta decomposição não é única; com isto queremos dizer que um m-ciclo pode ser escrito
como um produto de 2-ciclos de mais de uma maneira.
Exemplo 4.33.
A permutação (1 2 3) = (1 2)(1 3) = (3 1)(3 2)
Exemplo 4.34.
Determine o subconjunto de S4 de modo que:
130 Introdução às Estruturas Algébricas
1.) O elemento 2 seja invariante.
2.) O elemento 2 e 4 sejam invariantes.
Solução.
1.) (1), (1 3), (1, 4), (3, 4), (1 3 4), (1 4 3)
2.) (1), (1 2), (3, 4), (1 2)(3, 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), (1 4 2 3) , (1 3 2 4)
Definição 4.20. Permutação par.
Uma permutação θ ∈ Sn é dita uma permutação par, se ela pode ser representada como um
produto de um número par de transposições.
A definição dada insiste apenas que theta possua uma representação como um produto de
um número par de transposições.
Observação 4.3.
Mostra-se que:
1. O produto de duas permutações pares é uma permutação par.
2. O produto de uma permutação par (ímpar) por uma ímpar (par) é ímpar
3. O produto de duas permutações ímpares é uma permutação par.
Definição 4.21. Translação.
Seja (G, .) um grupo, para cada g ∈ G a translação à esquerda definida por g é a aplicação
δg : G −→ G dada por δg(a) = ag, ∀, a ∈ G.
Seja T (G) o conjunto das translações à esquerda definidas por G1. Pela propriedade de
cancelamento em G, como ga = gb ⇒ a = b, é imediato que toda translação é uma aplicação
injetora. Por outro lado, para todo h ∈ G vale a igualdade h = g(g−1h), o que mostra que a
translação é necessariamente sobrejetora. Portanto, T (G) ⊂ A(G) (conjunto das permutações
sobre G).
Propriedade 4.25.
Tem-se que T (G) é um subgrupo de A(G).
Demonstração.
Com efeito, notemos que, para todo g ∈ G:
(δg−1oδg)(a) = δg−1(ga) = g
−1(ga) = a
de modo análogo mostra-se que (δgoδg−1)(a) = a, ∀a ∈ G, isto significa que (δg)−1 = δg−1 , ∀g ∈
G.
1Análogamente, poderíamos definir translações à direita γg(a) = ag.
Christian José Quintana Pinedo 131
Por outro lado, para todo g, h ∈ G tem-se que:
(δgoδh)(a) = δg(ha) = g(ha) = (gh)a = δgha, ∀ a ∈ G
logo, δgoδh = δgh.
Assim, δgo(δh)−1 = δgoδh−1 = δgh−1 , ∀ g, h ∈ G
A propriedade seguinte nos fornece um exemplo importante de isomorfismo.
Propriedade 4.26.
Todo grupo G é isomorfo a um subgrupo de permutações.
Isto é, todo grupo G é isomorfo a A(G) mediante a aplicação ϕ : G −→ T (G) onde g 7−→
δg, ∀ g ∈ G.
Demonstração.
Para todo g, h ∈ G, tem-se que ϕ(g) = ϕ(h) ⇒ δg = δh ⇒ δg(a) = δh(a), ∀ a ∈
G ⇒ ga = ha, ∀ a ∈ G ⇒ g = h. Logo ϕ é injetora.
É imediato que ϕ é sobrejetora.
Para todo g, h ∈ G, tem-se ϕ(gh) = δgh = δgoδh = ϕ(g)oϕ(h).
Exemplo 4.35.
Suponha que o grupo G = { e, a, b } obedece a Tabela (4.2).
+ e a b
e e a b
a a b e
b b e a
Tabela 4.2:
Um modelo deste grupo, obtido através do teorema de Cayley, é formado pelas seguintes
aplicações:
e 7−→ ee = e
δe : a 7−→ ea = a
b 7−→ eb = b
e 7−→ ae = a
δa : a 7−→ aa = b
b 7−→ ab = e
e 7−→ be = b
δb : a 7−→ ba = e
b 7−→ bb = a
Que constituem o grupo T (G) = { δe, δa, δb }, cuja tabela é:
o δe δa δb
δe δe δa δb
δa δa δb δe
δb δb δe δa
Tabela 4.3:
132 Introdução às Estruturas Algébricas
A Tabela (4.3) é obtida pela composição dos elementos de T (G) entre si como segue:
(δaoδb)(e) = δa(δb(e)) = δa(b) = e
(δaoδb)(a) = δa(δb(a)) = δa(e) = a
(δaoδb)(b) = δa(δb(b)) = δb(b) = b
Logo, δaoδb = δe, compare a tabela de G com a de T (G) ⊂ A(G).
Christian José Quintana Pinedo 133
Exercícios 4-2
1. Mostre que, se H e K são subgrupos finitos de G, de ordens o(H) e o(K), respectivamente,
então:
o(HK) =
o(H)o(G)
o(H ∩K)
2. Mostre que, se H e K são subgrupos de G e o(H) >
√
o(G); o(K) >
√
o(G) então
H ∩K 6= (e).
3. Demonstrar que, se H é um subgrupo de G, e K subgrupo normal de G então HK é um
subgrupo de G.
4. Mostre que se G é um grupo finito, e N é subgrupo normal de G, então o(G/N) =
o(G)
o(N)
.
5. Mostre que se H é um subgrupo de G de tal modo que o produto de duas classes laterais
à direita de H em G é uma classe lateral à direita de H em G, então H é normal de G.
6. Sejam G um grupo, e H subgrupo de G tal que indGH = 2, mostre que H é subgrupo
normal de G.
7. Se N é subgrupo normal de um grupo G, e H é um subgrupo qualquer de G, mostre que
NH é um subgrupo de G.
8. Mostre que a intersecção de dois subgrupos normais de um grupo G é um subgrupo normal
de G. Que podemos afirmar respeito da união?
9. Seja H subgrupo do grupo G, e N é subgrupo normal de G mostre que H ∩ N é um
subgrupo normal de H.
10. Mostre que todo subgrupo de um grupo abeliano é subgrupo normal. O recíproco desta
afirmação é verdadeira?
11. Seja H subgrupo do grupo G, para g ∈ G define-se gHg−1 = { ghg−1 /. h ∈ H }. Mostre
que gHg−1 é um subgrupo de G.
12. Suponhamos que H é o único subgrupo de ordem o(H) para o grupo finito G. Mostre que
H é um subgrupo normal de G
13. Se H é subgrupo de G, seja N(H) = { g ∈ G /. gHg−1 = H } mostre que:
1) N(H) é subgrupo de G.
2) H é normal de N(H).
3) Se H é subgrupo normal do subgrupo K em G, então K ⊂ N(H). (isto é N(H) é o
máximo subgrupo de G tal que H é normal.
4) H é normal de G se e, somente se, N(H) = G.
134 Introdução às Estruturas Algébricas
14. Mostre que se, N e H são subgrupos normais de G, então NH também é subgrupo normal
de G.
15. Suponhamos que M e N sejam dois subgrupos normais de G e que N ∩M =< e >. Mostre
que para quaisquer n ∈ N, m ∈M tem-se que mn = nm.
16. Demonstrar que se n ∈ Z+, tem-se que An é subgrupo normal de Sn.
17. Seja H um subgrupo cíclico finito de G, e seja H subgrupo normal de G. Mostre que se K
é um subgrupo próprio de H, então K é subgrupo normal de G.
18. Seja G um grupo, denotamos o centro de G como Z(G), e definimos por:
Z(G) = { z ∈ G /. ∀g ∈ G, gz = zg }
Mostre que se G é qualquer grupo, então Z(G) é subgrupo normal de G.
19. O centralizador de C(H) de H em G é definido por:
C(H) = { c ∈ G /. ∀h ∈ H, ch = hc }
Mostre que C(H) é subgrupo de G, e se H é um subgrupo abeliano, então H é subgrupo
normal de C(H).
20. O normalizador N(A) de A em G é definido por:
N(A) = { n ∈ G /. Na = aN }
Mostre que N(A) é subgrupo de G, e se A é um subgrupo, então A é subgrupo normal de
N(A).
21. Seja N subgrupo do grupo G. Determine se, a seguinte afirmação é equivalente:
“ N é subgrupo normal de G se, e somente se, ∀ g ∈ G, ∀ n ∈ N tem-se que gng ∈ N .
22. Verifique se em cada um dos seguintes casos, as aplicações indicada são homomorfismos,
determine seu núcleo caso afirmativo.
1. G = R conjunto dos números reais distintos de zero, com a operação de multiplicação,
G = G, φ(x) = x2 ∀ x ∈ G
2. G e G como na parte (1), φ(x) = 2x, ∀ x ∈ G
3. G = R o grupo aditivo dos números reais, G = G, φ(x) = x+ 1 ∀ x ∈ G
4. G e G como na parte (3), φ(x) = 13x, ∀ x ∈ G
5. G grupo qualquer, G = G, φ(x) = x5 ∀ x ∈ G
Christian José Quintana Pinedo 135
23. Determine quais das seguintes aplicações são homomorfismos. Determine a imagem e o
núcleo caso seja homomorfismo.
Notação: Seja o grupo aditivo(Zn, ⊕), se x ∈ Zn denotamos [x]n.
a) φ : Z12 −→ Z12, φ([x]12) = [x⊕ 1]12;
b) φ : Z −→ Z2 × Z4, φ(x) = ([x]2, [x]4)
c) φ : Z8 −→ Z2, φ([x]8) = [x]2
24. Se φ é uma aplicação homomorfa do grupo G no grupo G, o conjunto φ(G) é um subgrupo
de G?
25. Se φ é uma aplicação homomorfa do grupo G no grupo G, mostre que o conjunto φ(G) é
um subgrupo invariante de G?
26. Seja G um grupo, N subgrupo normal de G, defino φ : g −→ G/N como φ(x) = Nx ∀x ∈
G. Mostre que φ é um homomorfismo de G sobre G/N .
27. Mostre que φ : Z −→ Zn definido por φ(m) = [m], é homomorfismo do grupo aditivo Z
sobre o grupo aditivo Zn.
28. Seja D = { f ∈ F /. f com derivada em [a, b] }. Mostre que a correspondência de D em
F dada por f −→ d
dx
f que, a cada f ∈ D, associa a sua derivada, é um homomorfismo de
D em F . (este homomorfismo não é isomorfismo).
29. Mostre que se φ é um homomorfismo de G sobre G com núcleo Kφ, então G/Kφ ' G.
30. Considere os grupos aditivos Z e Zm, o primeiro em relação à adição usual, o segundo
relativamente à adição módulo m, onde m ≥ 1 é dada. Mostre que, a aplicação φ : Z −→
Zm que, a cada x ∈ Z, associa o resto φ(x) na divisão de x por m, é um isomorfismo.
31. Mostre que a correspondência x 7−→| x | que a todo número real x 6= 0 associa seu valor
absoluto, é um homomorfismo do grupo multiplicativo R∗ no grupo multiplicativo R∗+
32. Mostre que todo subgrupo diferente do 0 do grupo aditivo Z, é isomorfo a Z.
33. Mostre que, para que um homomorfismo φ : G −→ H no caso de grupos aditivos seja
um isomorfismo, é necessário e suficiente que φ(x) = 0 ⇒ x = 0. Idem no caso
multiplicativo.
34. Mostre que a correspondência dada por x 7−→ e 2piixm é um isomorfismo do grupo aditivo Zm
sobre o grupo multiplicativo das raízes complexas m- ésima da unidade.
35. Mostre que se, Se φ : G −→ H e ψ : H −→ I forem homomorfismos entre os grupos G, H
e I, existe um homomorfismo de G sobre I.
36. Mostre que não existe um isomorfismo de Q/Z sobre Q o grupo aditivo dos racionais.
37. Mostre que Z/2Z ' C2 onde C2 é o grupo cíclico de ordem 2.
136 Introdução às Estruturas Algébricas
38. Mostre que se, o(G) ≥ 3, então o(Aut G) ≥ 2.
39. Demonstrar que todo grupo cíclico de ordem infinito, é isomorfo ao grupo aditivo Z.
40. Encontrar as órbitas e todos os ciclos das seguintes permutações:
1.
(
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 3 4 5 1 6 7 8 9
)
2.
(
1 2 3 4 5 6
6 5 4 3 1 2
)
41. Exprimir como o produto de ciclos disjuntos:
1. (1 2 3)(4 5)(1 6 7 8 9)(1 5) 2. (1 2)(1 2 3)(1 2)
42. Demonstrar que (1 2 3 · n)−1 = (n n− 1 n− 2 · · · 2 1).
Christian José Quintana Pinedo 137
Miscelânea 4-1
1. Seja S = { (x, y) /. x, y ∈ R, x+ y 6= 0 }.
Mostre que, S definido com a operação binária ? determina um grupo.
(x1, y1) ? (x2, y2) = (x1x2, (x1 + y1)(x2 + y2)− x1x2)
2. Mostre que o conjunto dos números complexos não nulos C é um grupo multiplicativo.
3. Quais dos seguintes subconjuntos de Z13 é um grupo em relação à multiplicação?
1. { [1], [2] } 2. { [1], [2], [3], [4], [6], [8], [10], [12] } 3. { [1], [5], [8], [12] }
4. Determine se o conjunto Z8 das classes residuais módulo 8, forma um grupo respeito da
operação � da multiplicação das classes residuais.
5. Defina uma operação binária ∇ sobre R∗ = R− {0} por:
a∇b =
{
ab, se; a > 0
a
b
, se. a < 0
É (R∗,∇) um grupo, justifique sua resposta.
6. Determine se em C, o conjunto de todas as raízes n-ésima da unidade, formam um grupo
respeito à multiplicação.
7. Mostre que o conjunto dos números complexos não nulos C é um grupo multiplicativo.
8. Seja m ∈ Z número inteiro fixo, e S = { 0, 1, 2, 3, 4, · · · , m − 1 }. Define-se em S uma
operação binária ∗ do seguinte modo:
a ∗ b =
a+ b se, a+ b < mr se, a+ b = m+ r, 0 ≤ r < m
Determine se (S, ∗) é um grupo de ordem m.
9. Determine se o conjunto de números reais R1 = { a+ b
√
2 /. a, b ∈ Z } forma um grupo
com a operação usual de multiplicação em R.
10. Seja G um grupo contendo exatamente 2n elementos, n ≥ 1 inteiro. Prove que, existe
x 6= e tal que x2 = e sendo e a identidade em G.
11. Resolver:
1. Se o grupo G tem três elementos, demonstrar que G é abeliano.
138 Introdução às Estruturas Algébricas
2. Fazer a parte 1. para quatro elementos.
3. Fazer a parte 1. para cinco elementos.
12. Sejam (G1, ?), (G2, �) grupos abelianos e (G3, M) um grupo não abeliano. Determine em
G1 ×G2 ×G3 uma estrutura de grupo. Este grupo será abeliano ?
13. Seja T o conjunto das matrizes da forma:(
x y
−y x
)
onde x, y ∈ R
Mostre que (T − {0}, ×) é um grupo (× é produto usual de matrizes).
14. Determine o grupo de simetria da Figura (4.4):
�
�
�
@
@
@
@
@
@
�
�
�
@
@
@
@
@
@
�
�
�
�
�
�
Figura 4.4:
15. Seja G = Q+ o grupo multiplicativo dos números racionais não nulos.
1. Determine se os conjuntos H = { 2n /. n ∈ Z } e K = { 1 + 2n
1 + 2m
/. m, n ∈ Z } são
subgrupos de G.
2. Mostre que H = { [0], [4], [8], [12]} é um subgrupo de Z16 respeito da adição.
16. Seja G um grupo, tal que se, x, y ∈ G. Mostre por indução que para todo número natural
positivo n temos que: (x−1yx)n = x−1ynx.
17. Seja G um grupo, e N subgrupo normal de G. Mostre que se, G é cíclico, então G/N
também é cíclico.
18. Seja G = { x ∈ R /. x2 < 1 }.
1. Mostre que se, x, y ∈ G, então x+ y
1 + xy
∈ G.
2. Mostre que (G, ?) definida por: x ? y =
x+ y
1 + xy
é um grupo.
3. Considere a aplicação ϕ : G −→ R definida por x 7−→ log 1 + x
1− x . Mostre que o grupo
G e o grupo aditivo R são isomorfos.
Christian José Quintana Pinedo 139
19. Suponhamos que exista n ∈ Z tal que x −→ xn seja um automorfismo de G. Demonstre
que, para todo x ∈ G, onde G é abeliano, tem-se xn−1 pertence ao centro de G.
20. Qual é a ordem de um grupo G gerado somente por dois elementos x e y que satisfaz as
relações x3 = y2 = (xy)2 = e onde e é o elemento identidade de G? Descreva todos os seus
subgrupos
21. Determine se o conjunto Z6 das classes residuais módulo 6, forma um grupo respeito da
operação ⊕ da adição das classes residuais.
22. Seja Q o grupo de matrizes, gerado pelas matrizes complexas:
A =
(
0 1
−1 0
)
B =
(
0 i
i 0
)
onde i2 = 1. Mostre que Q junto com a operação de multiplicação usual de matrizes é um
subgrupo não abeliano de ordem 8.
23. A aplicação de Euler φ : Z −→ N é definida por: φ(1) = 1, e para n > 1, φ(n) = quan-
tidade de inteiros positivos menores que n relativamente primos a n. Assim por exemplo,
φ(8) = 4, pois 1, 3, 5, 7 são os únicos números primos menores que 8 e relativamente primos
com 8.
1. Construa um grupo abeliano G de ordem o(G) = φ(10).
2. Construa um grupo abeliano G de ordem o(G) = φ(12)
24. Determine se o conjunto Z7 das classes residuais módulo 7, forma um grupo respeito da
operação ⊕ da adição das classes residuais.
25. Seja F = { f : X −→ G } o conjunto de aplicações definidas num conjunto dado X com
valores num grupo dado G. Determine se (G, .) é um grupo multiplicativo .
Sugestão: Considere o elemento identidade em G como e(x) = 1 ∀ x ∈ X.
26. Mostre que se {Sλ}λ∈I é qualquer conjunto de subgrupos de um grupo G, a intersecção
destes subgrupos é também um subgrupo de G.
27. Seja {Sλ}λ∈I qualquer conjunto de subgrupos de um grupo G, a união destes subgrupos é
também um subgrupo de G? Justificar sua resposta.
28. Quais dos seguintes conjuntos é um grupo em relação à operação indicada:
1. O conjunto das classes residuais módulo m; adição.
2. S = { z /. z ∈ C, | z |= 2 }; multiplicação
3. S = { [a] /. [a] ∈ Z, (a, m) = 1 }; adição.
29. Demonstrar que, se H é um subgrupo de G, e K subgrupo normal de G então HK é um
subgrupo de G.
140 Introdução às Estruturas Algébricas
30. Demonstrar que todo grupo cíclico de ordem infinito, é isomorfo ao grupo aditivo Z.
31.Todo grupo de permutações de n elementos dizemos que é regular, se cada um do seus
elementos movimenta todos os n símbolos. Determine os grupos de permutações de quatro
elementos.
32. Mostre que toda permutação é o produto de seus ciclos de ordem dois.
33. Mediante contra-exemplo determine se o grupo (A(S3), ◦) é abeliano.