EAD 529 2ª Lista de exercícios

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Introdução à Teoria dos Números 
 
2ª Lista de exercícios: Relação de equivalência 
 
 
 
 
 
Aluno (a): Neila Chaves de Abreu Rosa Silva 
Número de Matrícula: 13.1.9842 
Polo: Caratinga MG 
 
 
 
 
 
 
Professor: Dr. Frederico da Silva Reis 
Tutor Presencial: Anderson Aristides 
 
 
 
 
 
Caratinga MG 
 
 
Resp.: 
Dado um produto cartesiano A´B, uma relação binária de A em B é um subconjunto R qualquer 
do produto cartesiano A´B. Nesse caso A é chamado conjunto de partida e B é chamado 
conjunto de chegada da relação R. 
 
Exemplo 1: P = {2, 4, 6}, Q = {1, 3} 
 
P×Q = {(2, 1), (2, 3), (4, 1), (4, 3), (6, 1), (6, 3)} 
 
Um exemplo de relação binária de P em Q é R1 = {(2, 1), (4, 3)} que é um subconjunto do 
produto cartesiano P×Q. Podemos também descrever R1 assim: 
 
R1 = {(x, y) Î P´Q x – y = 1} 
 
Neste caso o conjunto R1 está sendo descrito por abstração. 
 
Exemplo 2: R = {(a, b): a é a capital do País b} 
a R b ↔(a, b) ∈ R 
A = {Porto, Lisboa, Madrid} 
B = {Portugal, Espanha, Brasil} 
R = {(Lisboa, Portugal), (Madrid, Espanha)} 
Uma relação (binária) R entre (os conjuntos) A e B é um subconjunto do produto cartesiano 
A x B 
R ∁ Ax B 
 
 
 
 Resp.: { (1,0) , (3,2) , (5,4) , (7,6)} 
 
 Resp.: { (1,2) , (1,4) , (1,6) , (3,4), ( 3,6) , (5,6) } 
 
 Resp.: { } 
 
 
Resp.: 
 
 
 
 
 
 
 
Resp.: E = { a,b,c,d,e} Im (R) = { b,c,d,e} 
 
 
Resp.: D(R) = { a,b,c,d,e} 
 
 
Resp.: E = { a,b,c,d,e} D(R -1)= { b,c,d,e} Im (R-1) = {a, b,c,d} 
 
 
 
 
Resp.: 
 
 
 
Resp.: 
 
 
 
Resp.: 
 
 
 
Resp.: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resp.: 
 
 
 
 
 
 
Resp.: 
 
 
 
Resp.: 
 
 
 
 
 
 
Resp.: 
Precisamos obedecer algumas propriedades em relação a equivalência 
I) Reflexiva 
II) Simétrica 
III) Transitiva 
 
 
Sendo a , b , c elementos de S 
 
Temos: 
 
I) A ~ a pois a - a =0 ∈ ℤ , logo ~é reflexiva 
II) Se a ~ b então a – b é inteiro .Portanto a – b = - ( a – b ) é inteiro , b ~a é simétrica 
III) Se a ~ b e a ~ c logo a – b e b – c são inteiros . Portanto ( a – b) + (b – c) é inteiro, 
e a ~ c é transitiva. 
 
 
 
 
Resp.: Não pois não obedece a transitividades. 
 
 
 
 
 
Resp.: 
 
 
Resp.: 
 
 
 
Resp.: 
 
 
 
 
Resp.: 
 
 
 
 
Resp.: 
Se a e b são pares 
M e n inteiros 
a= 2n e b = 2m portanto a + b = 2n + 2m = (m+n→) par 
 
Se a e b são impar 
q + r → a = 2q + 1 e b= 2r + 1 impar 
 
 
 
 
 
 
 
Resp.: 
Se m e n são elementos de S, e m não é perpendicular a n , então não é reflexiva. 
 
 
Resp.: 
m ∩ m = m ≠ { } , logo ~ não é reflexiva. 
 
 
 
Resp.: 
 
 
Portanto é uma relação de equivalência. 
 
 
 
 
 
 
Portanto é uma relação de equivalência. 
 
 
Resp.: 
 
 
Portanto é uma relação de equivalência. 
 
 
 
 
 
 
Resp.: 
 
 
 
 
Resp.: 
 
 
 
 
 
 
Resp.: