lista4 2014

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 
CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIA 
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
 
Introdução à Teoria dos Números 
 
Lista de exercícios: Propriedades dos Inteiros e divisibilidade. 
 
1) Seja Ζ∈a . Mostre que .)1( aa −=− 
 
2) Sejam Ζ∈ba, tais que ba ≤ . Prove que ab −≤− . 
 
3) Sejam Ζ∈ba, . Mostre que se ²² ba = e 0≥⋅ ba então ba = . 
 
4) Sejam Ζ∈ba, . Mostre que 0²2² ≥+− baba . 
 
5) Mostre que se ba ≤ então ³³ ba ≤ . Podemos dizer que se ba ≤ então ²² ba ≤ ? 
 
6) Prove que se �, �, �,� e � são inteiros tais que �	|	� e �	|	� então �|(�� + ��). 
 
7) Existem afirmações que envolvem divisibilidade que aparentemente são 
verdadeiras, mas que na verdade são falsas. Para cada uma das afirmações abaixo dê 
pelo menos um contra-exemplo mostrando sua falsidade: 
 
a) �	|	�� ⇒ �	|	� ou �	|	�. 
 
b) �	|	(� + �)	⇒ 	�	|	� e �	|	�. 
 
c) �	|	�	
	�	|	�	⇒ 	(� + �)	|	(� + �).	
 
8) Para todos os valores de � e � abaixo, encontre o quociente � e o resto � tais que 
� = �� + � e 0≤ 	� < �. 
a) � = 237	
	� = 43	
b) � = −572	
	� = 104	
c) � = 202	
	� = 22	
d) � = −409	
	� = 52	
e) � = 52	
	� = 101	
f) � = 227	
	� = 143	
g) � = 1479	
	� = 272	
h) � = 2378	
	� = 1769	
 
9) Quantos inteiros entre 100 e 200 deixam resto 5 quando divididos por 7? 
 
10) Prove que se � é um inteiro qualquer então ou � é par ou � + 1 é par. 
 
11) Prove que se � é um inteiro ímpar então � á da forma 4� + 1 ou 4� + 3. 
 
12) Mostre que o quadrado de um inteiro qualquer ou é da forma 3� ou da 
forma 3� + 1. 
 
13) Lista todos os inteiros entre 0 e 50 que podem ser expressos na forma 8� para 
algum inteiro �. 
 
14) Lista todos os inteiros entre 0	e 50 que podem ser expressos na forma 8� + 3 para 
algum inteiro �. 
 
15) Lista todos os inteiros entre 0 e 50 que podem ser expressos na forma 8� + 7	para 
algum inteiro �. 
 
16) Encontre o menor múltiplo positivo de 5 que deixa resto 2 quando dividido por 3 e 
4. 
 
17) Use o algoritmo da divisão para concluir que: 
 
a) O cubo de qualquer inteiro tem uma das seguintes formas: 9�, 9� + 1 ou 
9� + 8. 
b) Se um inteiro é simultaneamente um quadrado perfeito e um cubo perfeito 
(64 = 8² = 4³), então ele é da forma 7 ou 7 + 1, para algum inteiro. 
c) Nenhum número da forma 3�² − 1 é um quadrado perfeito. 
 
18) Dado um inteiro �, conclua usando o Algoritmo da Divisão, que o número 
6
)12)(1( ++ nnn
 é um inteiro. 
19) Quantos inteiros entre 100 e 200 deixam resto 5 quando divididos por 7? 
 
20) Quantos inteiros entre 0 e 200 deixam resto 4 quando divididos por 6? 
 
21) Encontre o maior número inteiro de três dígitos que deixa resto 5 quando dividido 
por 8. 
 
22) Qual é o número de inteiros � que divididos por 27 deixam resto igual ao 
quociente? 
 
23) Determine os inteiros positivos que divididos por 17 deixam resto igual ao quadrado 
do quociente. 
 
24) Quais são os números inteiros que, quando divididos por 7, deixam resto igual : 
 
a) À metade do quociente? 
b) Ao dobro do quociente? 
c) Ao quociente? 
d) Ao triplo do quociente? 
 
25) O resto da divisão de um número inteiro n por 15 é 5. Qual é o resto da divisão de n 
por 7?